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專題04 函數的概念及表示（1）-【寒假自學課】（蘇教版2019）
專題04 函數的概念及表示
知識聚焦
考點聚焦
知識點1 函數的定義及相關概念
1、函數的定義：設A，B是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y＝f(x)，x∈A
【注意】函數的本質含義：定義域內的任意一個x值，必須有且僅有唯一的y值與之對應.
（1）特殊性：定義的集合A，B必須是兩個非空數集；
（2）任意性：A中任意一個數都要考慮到；
（3）唯一性：每一個自變量都在B中有唯一的值與之對應；
（4）方向性：A→B
2、函數的有關概念
（1）函數的定義域、值域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；
與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.
（2）函數的三要素：定義域、對應關系和值域.
（3）函數的表示法：表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
3、同一個函數：兩個函數定義域相同，對應關系相同，則稱為同一個函數.
知識點2 函數定義域的求法
函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值范圍
1、具體函數的定義域求法
（1）分式的分母不能為零.
（2）偶次方根的被開方數的被開方數必須大于等于零，即中
奇次方根的被開方數取全體實數，即中，.
（3）零次冪的底數不能為零，即中.
（4）若函數是一些簡單函數通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各個簡單函數定義域的交集.
【注意】定義域用集合或區間表示，若用區間表示熟記，不能用“或”連接，而應用并集符號“∪”連接.
2、抽象函數與復合函數定義域的求法
復合函數的定義域是指的范圍，而不是的范圍.
（1）已知的定義域為，求的定義域，其實質是的取值范圍（值域）為，求的取值范圍;
（2）已知的定義域為，求的定義域，其實質是已知中的的取值范圍為，求出的范圍（值域），即的定義域.
（3）已知的定義域，求的定義域，要先按（2）求出的定義域，即的取值范圍，再根據的取值范圍求出的范圍.
知識點3 函數解析式的求法
1、待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數等），可用待定系數法.
（1）確定所有函數問題含待定系數的一般解析式；
（2）根據恒等條件，列出一組含有待定系數的方程；
（3）解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決.
2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數的解析式的問題
（1）先令，注意分析的取值范圍；
（2）反解出x，即用含的代數式表示x；
（3）將中的x度替換為的表示，可求得的解析式，從而求得.
3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，然后以x替代g(x)，便得的解析式.
4、方程組法：主要解決已知與、、的方程，求解析式.
例如：若條件是關于與的條件（或者與）的條件，可把代為（或者把代為）得到第二個式子，與原式聯立方程組，求出.
知識點4 分段函數
1、分段函數的定義：在函數定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數.
2、分段函數的性質：
（1）分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集.
（2）作分段函數圖象時，應分別作出每一段的圖象.
3、求分段函數的函數值
（1）分段函數求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應的解析式求得.
（2）若題中含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.
（3）已知函數值求相應的自變量值時，應在各段中分別求解.
考點剖析
考點1 函數定義的理解與辨析
【例1】（2023·全國·高一專題練習）
1．某校有一班級，設變量x是該班同學的姓名，變量y是該班同學的學號，變量z是該班同學的身高，變量w是該班同學的數學考試成績，則下列選項中正確的是（ ）
A．y是x的函數 B．w是y的函數
C．w是z的函數 D．w是x的函數
【變式1-1】（2023秋·安徽阜陽·高一校考階段練習）
2．下列說法正確的是（ ）
A．函數值域中的每一個數在定義域中都有數與之對應
B．函數的定義域和值域一定是無限集合
C．對于任何一個函數，如果x不同，那么y的值也不同
D．表示當時，函數的值，這是一個常量
【變式1-2】（2023·全國·高一專題練習）
3．下列對應是從集合A到集合B的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高一專題練習）
4．已知集合=，集合=，下列能表示從集合到集合的函數關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-4】（2022秋·高一單元測試）
5．下列圖象中，能表示函數的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
考點2 同一個函數的判斷
【例2】（2022秋·江蘇蘇州·高一校考階段練習）
6．以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
【變式2-1】（2023秋·云南曲靖·高一校考階段練習）
7．下列各組中的兩個函數為同一函數的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式2-2】（2023秋·河南鄭州·高一校考階段練習）
8．下列各組函數表示相同函數的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式2-3】（2023秋·寧夏銀川·高一校考期中）
9．在下列四組函數中，與不表示同一函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考點3 求具體函數的定義域
【例3】（2023秋·寧夏銀川·高一校考期中）
10．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習）
11．函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023秋·廣東梅州·高一校考期中）
12．函數 的定義域是 ．
【變式3-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一校考階段練習）
13．函數的定義域為 ．
考點4 求抽象函數的定義域
【例4】（2023·江蘇·高一專題練習）
14．已知函數的定義域為，則函數的定義域為（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023秋·河北唐山·高一校考階段練習）
15．已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
【變式4-2】（2023秋·江蘇無錫·高一校考階段練習）
16．已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
【變式4-3】（2023秋·重慶·高一校考階段練習）
17．已知函數的定義域為，則函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
考點5 由函數定義域求參數
【例5】（2023·全國·高一專題練習）
18．函數在上有意義，則實數a的取值范圍為 ．
【變式5-1】（2023秋·山東德州·高一校考階段練習）
19．若函數的定義域為，則實數的取值范圍為 ．
【變式5-2】（2023秋·內蒙古赤峰·高一校考階段練習）
20．若函數的定義域為，則實數的取值集合是 .（用區間表示）
【變式5-3】（2023秋·福建漳州·高一校考階段練習）
21．已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
考點6 待定系數法求解析式
【例6】（2023秋·福建廈門·高一校考階段練習）
22．已知是一次函數，且，則 .
【變式6-1】（2023·全國·高一專題練習）
23．設為一次函數且，求.
【變式6-2】（2023秋·浙江嘉興·高一校考階段練習）
24．已知函數是一次函數，且，則（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【變式6-3】（2023·全國·高一專題練習）
25．已知二次函數滿足，且的最大值是8，則此二次函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-4】（2023秋·福建南平·高一校考階段練習）
26．設二次函數滿足，且，求的解析式.
考點7 換元法/配湊法求解析式
【例7】（2023秋·福建漳州·高一校考階段練習）
27．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023·全國·高一專題練習）
28．已知函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（2023秋·安徽阜陽·高一校考階段練習）
29．已知函數，則函數的解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式7-3】（2023·全國·高一專題練習）
30．已知函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-4】（2023·全國·高一專題練習）
31．已知，則函數 ，= ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據函數的定義，結合題意，可得答案.
【詳解】對于AD，由于同學姓名非數字，故AD錯誤；
對于B，任意一個學號都對應一位確定的同學，則該同學的數學成績也是唯一確定的，故B正確；
對于C，假設班級中有兩位身高相同的同學，則這個身高可能對應兩個不同同學的數學成績，故C錯誤；
故選：B.
2．AD
【分析】結合函數的定義，對各選項逐項分析作答即可.
【詳解】對A，函數是一個數集與另一個數集間的特殊對應關系，所給出的對應是否可以確定為y是x的函數，主要是看其是否滿足函數的三個特征，A正確；
對B，函數的定義域和值域不一定是無限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數，定義域為，值域為，B錯誤；
對C，當x不同時，函數y的值可能相同，如函數，當和時，y都為1，C錯誤；
對D，表示當時，函數的值是一個常量，D正確.
故選：AD
3．A
【分析】由函數的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A選項，對集合A中的任意一個數x，集合B中都有唯一的數y與之對應，是函數；
對于B選項，時，，有兩個y與之對應，不是函數；
對于C選項，當時，不存在，不是函數；
對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數.
故選：A
4．BD
【分析】根據函數的定義逐一判斷即可.
【詳解】對于選項A：顯然當時，在集合中，沒有與之對應的實數，故不表示從集合到集合的函數關系，所以本選項不符合題意；
對于選項B：當時，任意一個，在集合中，都有唯一與之對應的實數，故表示從集合到集合的函數關系，所以本選項符合題意；
對于選項C：顯然當時，在集合中有兩個數與之對應，故不表示從集合到集合的函數關系，所以本選項不符合題意；
對于選項D：當時，任意一個，在集合中，都有唯一與之對應的實數，故表示從集合到集合的函數關系，所以本選項符合題意，
故選：BD
5．ABC
【分析】由函數定義可得答案.
【詳解】對于選項ABC，當取一個值時，有唯一值與之對應，符合函數定義，故ABC正確；
D選項，當取一個值時，有兩個值與之對應，不符合函數的定義，故D錯誤.
故選：ABC
6．B
【分析】根據相同函數的定義，逐個判斷即可.
【詳解】從定義域，對應關系，值域是否相同，逐項判斷即可．
對于A：的值域為，的值域為，所以A錯誤；
對于B：的定義域需滿足，即為，
的定義域滿足，即為，且，
所以和是同一個函數，B正確；
對于C：的定義域為，的定義域為，所以C錯誤；
對于D：的定義域滿足，即為，
的定義域需滿足，即為，所以D錯誤，
故選：B
7．C
【分析】按函數相等的定義逐項判斷即可.
【詳解】A項：的定義域不包括，兩個函數的定義域不同，所以是不同函數；
B項：，即對應關系不同；
C項：定義域都是實數集，對應關系都相同，是同一函數；
D項：的定義域不包括，兩個函數的定義域不同，所以是不同函數.
故選: C.
8．C
【分析】根據函數的定義域及對應法則判斷是否為同一函數即可.
【詳解】對于A，函數的定義域為，函數的定義域為，
兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數，故A錯誤；
對于B，函數的定義域為，函數的定義域為，
兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數，故B錯誤；
對于C，函數與的定義域和對應法則都相同，
所以表示相同的函數, 故C正確；
對于D，函數的定義域為，函數的定義域為，
兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數，故D錯誤.
故選：C.
9．ABC
【分析】結合定義域和化簡之后表達式逐一判斷即可.
【詳解】對A，，與定義域不同；
對B，，與定義域不同；
對C，，與定義域不同；
對D，，則與為同一函數.
故選：ABC
10．C
【分析】根據二次根式被開方數為非負實數，分母不為零進行求解即可.
【詳解】要使函數有意義，則解得，且，
故函數的定義域為．
故選：C
11．C
【分析】根據函數解析式列出不等式組，求解即可.
【詳解】要使函數有意義，
則，解得且，
因此，函數的定義域為.
故選：C.
12．
【分析】根據已知函數即可求出函數的定義域.
【詳解】由題意，
在中，
，解得：且，
故答案為：.
13．
【分析】依題意可得，求解即可.
【詳解】依題意可得，解得且.
所以函數的定義域為.
故答案為：.
14．C
【分析】根據抽象函數定義域求法，即可求其定義域.
【詳解】對于函數可知：，所以，
即的定義域為，
對于函數可知：，解得，
故的定義域是．
故選：C.
15．
【分析】應用換元法，令，根據的定義域為，有，即可求的定義域.
【詳解】對于，令，則，
所以，即的定義域為.
故答案為：
16．
【分析】根據根式的限制條件和抽象函數定義域列出限制條件可得答案.
【詳解】函數的定義域為，
令，解得，即，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
17．D
【分析】根據函數的定義域求出中的范圍，結合分母不為，求出函數的定義域即可．
【詳解】由題意得，解得，
又，解得，
故函數的定義域是 ．
故選：D．
18．
【分析】由題意可得在上恒成立，由此列出不等式組，解得答案.
【詳解】由題意函數在上有意義，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，解得，
故實數a的取值范圍為，
故答案為：
19．
【分析】將定義域為R 轉化為不等式在R上恒成立，然后分和兩種情況討論即可.
【詳解】由題意得，在R上恒成立，
當時，，成立；
當時，，即，解得；
綜上所述，.
故答案為：.
20．
【分析】由題意知對任意實數恒成立，最高次項系數含參問題，考慮參數是否為零，分情況討論.
【詳解】若函數的定義域為，則對任意實數恒成立，
①當時，恒成立，符合題意；
②當時，若，
則需滿足，解得：；
綜上所述：.即.
故答案為：
21．C
【分析】根據分式函數中分母不為0得，恒成立，分類討論，時符合題意，時利用判別式法列不等式求解即可.
【詳解】由函數的定義域為R，得，恒成立.
當時，恒成立；
當時，，解得.
綜上所述，實數a的取值范圍為.
故選：C.
22．
【分析】設，再代入求解即可.
【詳解】設，因為，
則，，故，.
所以.
故答案為：
23．或
【分析】設，利用待定系數法求解.
【詳解】設，則.
又，∴，
即，解得或.
∴或.
∴或.
24．A
【分析】設，根據恒成立可得a，b，然后可解.
【詳解】設，
則，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故選：A
25．A
【分析】根據條件設二次函數為，代入條件求解即可.
【詳解】根據題意，由得:圖象的對稱軸為直線，
設二次函數為，
因的最大值是8，所以，當時， ，
即二次函數，
由得:，解得：，
則二次函數，
故選：A.
26．
【分析】根據題意設，由求出c，由可求得，即可得答案.
【詳解】設二次函數為，
因為，所以，所以，
又因為，
即，
所以，解得：，
所以函數解析式為.
27．B
【分析】利用換元法直接求解即可.
【詳解】令，，則，，
所以，
所以的解析式為：
故選：B.
28．D
【分析】根據換元法求函數解析式.
【詳解】令，可得.
所以，
因此的解析式為.
故選：D.
29．B
【分析】利用配湊法求解析式即可.
【詳解】，且，所以，.
故選：B.
30．D
【分析】根據條件，通過配湊即可求出結果.
【詳解】因為，
所以.
故選：D.
31． 11
【分析】利用換元法可求出，進一步可得.
【詳解】令，則，
所以，所以，
所以.
故答案為：；.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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