資源簡介

專題01 向量的概念-【寒假自學課】（蘇教版2019）
專題01 向量的概念
知識聚焦
考點聚焦
知識點1 向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、數量：只有大小，沒有方向的量(如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等)，稱為數量．
【注意】
（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移；
（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素；
（3）向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
知識點2 向量的表示法
1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
2、向量的字母表示法：如等.
3、向量的幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
【注意】
（1）用字母表示向量便于向量運算；
（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
知識點3 向量的有關概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．
2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3、單位向量：長度等于1個單位的向量.
【注意】（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；
（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．
知識點4 向量的共線或平行
1、向量共線或平行的定義：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).
規定：與任一向量共線.
【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區別.
（2）平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.
2、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
考點剖析
考點1 向量的相關概念辨析
【例1】（2023·高一課時練習）
1．給出下列物理量：（1）質量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
【變式1-1】（2023·貴州遵義·高一校考階段練習）
2．下列說法錯誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個有公共終點的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
【變式1-2】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）
3．下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-3】（2023·山東菏澤·高一鄄城縣第一中學校考階段練習）
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動 B．是單位向量，則
C． D．若，則
【變式1-4】（2023·全國·高一課時練習）
5．下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
考點2 向量的表示方法
【例2】（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學校考階段練習）
6．對下面圖形的表示恰當的是（ ）．

A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）
7．已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M
【變式2-2】（2023·全國·高一課時練習）
8．用有向線段分別表示一個方向向上、大小為20N的力，以及一個方向向下、大小為30N的力（用1cm的長度表示大小為10N的力）．
【變式2-3】（2023·全國·高一隨堂練習）
9．選擇適當的比例尺，用有向線段表示下列向量．
(1)終點A在起點O正東方向3m處；
(2)終點B在起點O正西方向3m處；
(3)終點C在起點O東北方向4m處；
(4)終點D在起點O西南方向2m處．
【變式2-4】（2023·高一課時練習）
10．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1．
(1)試以為終點畫一個有向線段，設該有向線段表示的向量為，使．
(2)在圖中畫一個以為起點的有向線段，設該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？
考點3 相等向量與共線向量判斷
【例3】（2023·高一課時練習）
11．如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023·天津和平·高一校考階段練習）
12．如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結論中不一定成立的是（　　）
A． B．與共線
C．與共線 D．
【變式3-2】（2023·全國·高一課時練習）
13．在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？

【變式3-3】（2023·高一課時練習）
14．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對.

【變式3-4】（2023·高一課時練習）
15．如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
考點4 向量在幾何中的應用
【例4】（2023·全國·高一課時練習）
16．已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【變式4-1】（2022·高一校考課時練習）
17．在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD的形狀是 .
【變式4-2】（2023·高一課時練習）
18．如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
【變式4-3】（2023·高一課時練習）
19．如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
考點5 向量在實際問題中的應用
【例5】（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學校考階段練習）
20．如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
【變式5-1】（2023·高一課時練習）
21．如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方．
(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
(2)求的模．
【變式5-2】（2022·高一課時練習）
22．某人從點A出發向西走4個單位長度到達點B，然后改變方向朝西北方走6個單位長度到達點C，最后又向東走4個單位長度到達點D．試分別作出向量，和．
【變式5-3】（2023·高一課時練習）
23．已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【變式5-4】（2023·全國·高一課時練習）
24．某人從A點出發向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了 米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
過關檢測
一、單選題
（2023·海南·高一校考期中）
25．下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質量 B．距度 C．力 D．體重
（2023·全國·高一專題練習）
26．下列說法正確的個數是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·全國·高一課時練習）
27．給出下列命題:①和的模相等；②方向不同的兩個向量一定不平行；③；④.其中正確命題的個數是
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·新疆·高一校考期中）
28．已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起點是 D．向量的終點是
（2022·高一課時練習）
29．如圖，四邊形是等腰梯形，則下列關系中正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高一課時練習）
30．設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共線向量 D．共起點的向量
（2023·山東濱州·高一統考期中）
31．下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
（2023·新疆·高一兵團第三師第一中學校考階段練習）
32．關于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
二、多選題
（2023·海南儋州·高一校考階段練習）
33．以下說法正確的是（ ）
A．兩個相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是單位向量，則
D．平行向量一定是共線向量
（2023·四川瀘州·高一瀘縣五中校考階段練習）
34．下面關于向量的說法正確的是（ ）
A．單位向量：模為的向量
B．零向量：模為的向量
C．平行共線向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
（2023·福建寧德·高一校考階段練習）
35．以下關于向量的說法正確的有（ ）
A．若，則
B．零向量沒有方向
C．若且，則
D．若與共線，與共線，則與共線
（2023·甘肅白銀·高一校考期中）
36．下列說法中正確的是（ ）
A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反
C．若，為單位向量，則 D．是與非零向量共線的單位向量
三、填空題
（2023·高一單元測試）
37．在四邊形中，，則這個四邊形的形狀是 .
（2023·高一課時練習）
38．某人從A點出發向西走了到達點，然后改變方向向西偏北走了到達點，最后又改變方向，向東走了到達點，則的模= ．
（2023·高一課時練習）
39．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對角線AC與BD的交點，設點集，向量的集合不重合且，則集合T有 個元素．
（2023·上海·高一復興高級中學校考期末）
40．下列關于向量的命題，序號正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
四、解答題
（2023·全國·高一課時練習）
41．用有向線段表示下列物體運動的速度．
(1)向正東方向勻速行駛的汽車在2h內的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落體運動的物體在1s末的速度（用1cm的長度表示速度2m/s）．
（2023·高一課時練習）
42．一輛貨車從A地出發向西行駛200km到達B地，然后義從B地向北偏西40°方向行駛400km到達C地，最后從C地向東行駛200km到達D地.
（1）作出向量，，；
（2）求的大小和方向.
（2022·高一課時練習）
43．在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規畫出下列向量．
(1)，點A在點O北偏西45°方向；
(2)，點B在點O正南方向．
（2022·高一課時練習）
44．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分別為AD和BC的中點，以A，B，C，D，M，N為起點和終點作向量，回答下列問題：
(1)在模為1的向量中，相等的向量有多少對？
(2)在模為的向量中，相等的向量有多少對？
（2023·新疆·高一校考期中）
45．如圖，設O是 ABCD對角線的交點，則
(1)與的模相等的向量有多少個？
(2)與的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)寫出與共線的向量．
（2023·高一課時練習）
46．是正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，在如圖所示的向量中：
（1）分別找出與，相等的向量；
（2）找出與共線的向量；
（3）找出與模相等的向量；
（4）向量與是否相等？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據向量的概念，即可得出答案.
【詳解】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.
故選：A.
2．ABD
【分析】根據向量的概念以及平行向量的概念判斷求解.
【詳解】對A, 有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯誤；
對B，兩個有公共終點的向量不一定是平行向量，B錯誤；
對C，我們規定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；
對D，單位向量僅是模長相等，方向不確定，D錯誤；
故選:ABD.
3．A
【分析】根據平面向量的相關概念，逐項判斷，即可得到本題答案.
【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；
對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；
對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.
故選：A
4．D
【分析】根據題意，由向量的定義以及相關概念對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確；
由單位向量對于可知，，故B正確；
因為，所以，故C正確；
因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤；
故選：D
5．C
【分析】A選項，由零向量的定義進行判斷；B選項，根據向量的模及相等向量判斷；
C選項，根據向量的性質判斷，D選項，根據共線向量的定義判斷；
【詳解】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；
對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；
對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；
對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.
故選：C.
6．C
【分析】圖像是個有向線段，可知其表達是一個向量.
【詳解】圖像有起點有終點，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.
故選：C.
7．D
【詳解】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．
8．答案見解析．
【分析】根據有向線段的定義作圖．
【詳解】如圖，有向線段表示方向向上、大小為20N的力，有向線段表示方向向下、大小為30N的力，
9．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)答案見解析；
(4)答案見解析．
【分析】（1）從向東作長度為3m的有向線段；
（2）從向西作長度為3m的有向線段；
（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段；
（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段．
【詳解】（1）從向東作長度為3m的有向線段：

（2）從向西作長度為3m的有向線段：

（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：

（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：

10．(1)圖見解析
(2)點的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓
【分析】（1）根據相等向量的定義，即可畫出向量；
（2）根據模長，畫出向量，在判斷軌跡.
【詳解】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長度相等，即，即可得到向量；

（2）如圖，畫出一個滿足條件的向量，點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓.

11．D
【分析】根據正六邊形的性質逐項判斷后可得正確的選項.
【詳解】對于A，由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對于B，因為，故，故B正確.
對于C，由正六邊形的性質可得，故，故C正確.
對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，
故選：D.
12．C
【分析】利用菱形的性質及向量的定義逐一判斷即可.
【詳解】四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，
，即三點共線，
，，
即，，與共線，ABD正確；
對于C：若與共線，則必有，即，該條件不一定成立，
如時，，故與共線不一定成立，
故選：C.
13．7個，個.
【分析】根據給定條件，利用相等向量的定義，確定給定圖形中的向量起點即可判斷作答.
【詳解】當向量的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與相等的向量，
這樣的格點共有8個，除去點A外，還有7個，所以共有7個向量與相等；
與長度相等的共線向量（除外），有與相等的向量，還有與方向相反且長度相等的向量，
所以與長度相等的共線向量共有（個）.

14．2
【分析】根據等腰梯形的性質結合已知條件，可推得，即可得出答案.
【詳解】由題意∥AB可知，，所以，所以.
因為，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三點共線，
所以，，故相等向量有2對.
故答案為：2.
15．(1)有9個
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據平面幾何的性質及相等向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】（1）因為四邊形為正方形，為平行四邊形，
所以，
所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.
（2）與相等的向量有、.
（3）與共線的向量有，，，，，，.
（4）因為為平行四邊形，所以且，
所以與相等的向量為.
16．A
【分析】根據向量共線和模長相等的幾何與意義結合平行四邊形、矩形、梯形的定義逐項判斷即可.
【詳解】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項，如圖

，但是四邊形不是矩形，錯誤；
選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．
選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.
故選：A
17．梯形
【分析】利用向量關系得出對邊平行且邊長不等，進而得出答案.
【詳解】在四邊形ABCD中，因為，所以，
又，所以四邊形ABCD的形狀是梯形.
故答案為：梯形
18．(1)，，；
(2)證明見解析.
【分析】根據條件，可得四邊形為平行四邊形，即可寫出與向量共線的向量；
根據題意可得出四邊形是平行四邊形，從而得出，，進而得出結論.
【詳解】（1）解：因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
所以與向量共線的向量為：，，.
（2）證明：在平行四邊形中，，.
因為，分別是，的中點，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
故.
19．見解析
【解析】根據平行四邊形及向量相等的定理即可證明；
【詳解】解：因為，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又與的方向相同，所以.
同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.
因為，，所以，
又與的方向相同，所以
【點睛】本題考查向量相等的定義的應用，屬于基礎題.
20．A
【分析】根據題意，作圖，結合向量的幾何意義，可得答案.
【詳解】由題意，作圖如下：
則該飛機由先飛到，再飛到，則，，，
則飛機飛行的路程為，，
所以.
故選：A.
21．(1)作圖見解析
(2)
【分析】（1）根據行走方向和單位長度即可確定各點在坐標系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由題意可知，四邊形是平行四邊形，則可求得的模.
【詳解】（1）根據題意可知，B點在坐標系中的坐標為，
又因為D點在B點的正北方，所以，
又，所以，即D、 C兩點在坐標系中的坐標為，；
即可作出、、如下圖所示.
（2）如圖，作出向量，
由題意可知，且，
所以四邊形是平行四邊形，
則，
所以的模為
22．答案見解析.
【分析】根據題意，在平面內任取一點為，按照要求進行繪制即可.
【詳解】根據題意，在平面內任取一點為，按照題意要求方向，作線段，，
則向量，和如下所示：
.
23．答案見解析.
【分析】根據方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【詳解】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系．
由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，

為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向為東南方向．
24．（1）見解析；（2）米
【分析】（1）利用方位根據向量的定義作出向量.
（2）根據（1）作出的平面圖形，利用平面幾何知識求解.
【詳解】（1）作出向量，，；如圖所示：
（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【點睛】本題主要考查平面向量的畫法和向量模的求法，還考查了方位問題和平面幾何知識，屬于基礎題.
25．C
【分析】根據向量的定義判斷可得出結論.
【詳解】由向量的定義可知，力為向量，質量、距離、體重都為數量.
故選：C.
26．A
【分析】根據零向量與單位向量，向量的定義對各個項逐個判斷即可求解．
【詳解】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，
對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，
對于（3），零向量的模可能為0，不一點是正數，故（3）錯誤，
對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，
故選：A．
27．B
【解析】根據平面向量的基本概念，對每一個命題進行分析、判斷即可．
【詳解】與是方向相反 模相等的兩個向量，故①正確；
方向相同和相反的兩個向量平行，方向不同包括反向共線，故②錯誤；
是一個向量，而0為數量，所以，故③錯誤；
向量不能比較大小，故④錯誤.
故選：B
【點睛】本題考查向量的概念和共線向量的定義，考查判斷能力和推理能力，屬于基礎題．
28．D
【分析】根據向量的幾何表示逐個選項分析可得答案.
【詳解】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；
向量的起點是，故C正確；向量的終點是，故D不正確.
故選：D
29．B
【分析】根據向量的相關概念及等腰梯形的定義即可求解.
【詳解】解：由題意，四邊形是等腰梯形得，且，，
所以選項A錯誤，選項B正確，
又向量不能比較大小，
所以選項C，D錯誤，
故選：B
30．B
【分析】根據正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解
【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，
到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.
故選：B
31．C
【分析】利用向量的相關性質逐項判斷即可.
【詳解】對于A，單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，所以選項A錯誤；
對于B，若，說明兩個向量的模長相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項B錯誤；
對于C，向量的相等條件為方向相同且模長相等，所以，則，所以選項C正確；
對于D，此時若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項D題干矛盾，所以選項D錯誤.
故選：C.
32．B
【分析】根據向量相等的定義、共線向量的定義和性質依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，當時，方向可能不同，未必成立，A錯誤；
對于B，若，則反向，，B正確；
對于C，只能說明長度的大小關系，但還有方向，無法比較大小，C錯誤；
對于D，當時，，，此時未必共線，D錯誤.
故選：B.
33．AD
【分析】根據相等向量、平行向量、單位向量、共線向量的概念分析可得答案.
【詳解】根據相等向量的概念可知，兩個相等向量的模相等，故A正確；
根據平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量與任何向量平行，此時不談方向，故B不正確；
若和都是單位向量，則，不一定有，故C不正確；
平行向量與共線向量是同一個概念，故D正確.
故選：AD.
34．ABD
【分析】由單位向量、零向量、相等向量、共線向量的概念可知.
【詳解】C項，方向相反的向量也是共線向量，故錯誤；
ABD項，由單位向量、零向量、相等向量概念可知，正確.
故選：ABD.
35．AC
【分析】由相等向量、相反向量的定義判斷A、C；根據零向量性質判斷B、D.
【詳解】A：，即為相等向量，則，對；
B：零向量方向任意，錯；
C：由且，可得，對；
D：若為零向量，、為非零向量，則與不一定共線，錯.
故選：AC
36．AD
【分析】根據零向量的定義與性質，單位向量的定義以及共線向量的定理，可得答案.
【詳解】對于A，根據零向量的定義，故A正確；
對于B，當時，顯然與共線，當零向量的方向是任意的，故B錯誤；
對于C，設，，顯然為單位向量，但，故C錯誤；
對于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，故D正確.
故選：AD.
37．平行四邊形
【分析】根據向量相等的意義進行判斷
【詳解】由可知//，且，
注意到四邊形中不共線，于是//，
結合可知，該四邊形是平行四邊形.
故答案為：平行四邊形
38．
【分析】根據向量共線，且，判斷四邊形為平行四邊形，可得，即可求得答案.
【詳解】如圖示，由題意可得向量共線，且，

則四邊形為平行四邊形，故，
故答案為：
39．12
【分析】根據題中關于集合的定義，應用枚舉法，列出符合條件的元素個數即可.
【詳解】由已知得，，且不重合，可得向量集合為（不含相等向量）：
以為起點：，
以為起點：，
以為起點：，
以為起點：，
以為起點：
綜上所述，集合T有12個元素.
故答案為：12
40．①③
【分析】根據平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據相等向量和相反向量的定義可判斷③.
【詳解】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②錯誤；
對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.
故選：①③
41．(1)答案見解析．
(2)答案見解析．
【分析】（1）以為起點，向右作長度是3cm的有向線段；
（2）以為起點，向下作長度為的有向線段．
【詳解】（1），
以為起點，向右作有向線段，它的長度是3cm，

（2），時，，
以為起點，向下作有向線段，長度為：

42．（1）見解析 （2）與同向，則的方向也為北偏西40°.
【解析】（1）根據題意畫出圖形即可得到向量；
（2）可證四邊形為平行四邊形，即可得解；
【詳解】解：（1）向量，，如圖所示.
（2）由題意知與方向相反，故與共線.
又，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，且，
∴與同向，則的方向也為北偏西40°.
【點睛】本題考查相等向量的應用，屬于基礎題.
43．(1)答案見解析；(2)答案見解析.
【分析】(1)根據描述找出終點A即可；
(2)根據描述找出終點B即可.
【詳解】(1)∵，點A在點O北偏西45°方向，∴以O為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點：
(2)∵，點B在點O正南方向，∴以O為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點即為B點：
44．(1)18對
(2)4對
【分析】（1）根據圖形和已知條件，可逐一列出模為1的向量，相等的向量，再確定對數即可；
（2）根據圖形和已知條件，可逐一列出模為的向量，相等的向量，再確定對數即可；
【詳解】（1）解：在模為1的向量中，相等的向量有:
①，共有6對；
②，共有6對；
③，共有3對；
④，共有3對；
所以模為1的向量中，相等的向量共有18對.
（2）解：在模為的向量中，相等的向量有:
.
共有4對.
45．(1)三個
(2)，
(3)，，
【分析】（1）（2）（3）根據平行四邊形的性質、共線向量、向量的模的定義判斷即可；
【詳解】（1）解：在平行四邊形中，為對角線的交點，所以，且，所以與的模相等的向量有，，三個向量．
（2）解：與的模相等且方向相反的向量為，.
（3）解：與共線的向量有，，.
46．（1），；（2），，；（3），，，，，，；（4）不相等．
【分析】根據題中條件，先得到各邊之間關系；
（1）根據相等向量的概念，結合圖形，即可得出結果；
（2）根據共線向量的概念，結合圖形，即可得出結果；
（3）根據向量模的概念，結合圖形，即可得出結果；
（4）根據相等向量的概念，結合題意，即可得出結果.
【詳解】因為是正方形對角線的交點，四邊形，都是正方形，
所以，；
（1）由題中圖形可得：，；
（2）由圖形可得，與共線的向量有：，，；
（3）與模相等的向量有：，，，，，，；
（4）向量與不相等，因為它們的方向不相同．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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