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專題04 向量的數(shù)量積-【寒假自學(xué)課】（蘇教版2019）
專題04 向量的數(shù)量積
知識(shí)聚焦
考點(diǎn)聚焦
知識(shí)點(diǎn)一、向量的數(shù)量積
1、向量的夾角
（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，是平面上的任意一點(diǎn)，作，，
則（）叫做向量與的夾角．
（2）性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向．
（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．
2、向量數(shù)量積的定義
（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積）；
（2）記法：向量與的數(shù)量積記作，即；
零向量與任一向量的數(shù)量積為0；
3、投影向量
（1）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，
考慮如下變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，過點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．
（3）幾何意義：數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影的乘積.
4、向量數(shù)量積的物理背景
如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功就等于力與位移的數(shù)量積，即，其中是與的夾角.
知識(shí)點(diǎn)二、向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律
1、向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與（或）的夾角．則
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；
特別地，或；
（4）cos θ＝；
（5）
2、向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律
（1）；
（3）（λ為實(shí)數(shù)）；
（3）；
（4）兩個(gè)向量，的夾角為銳角 且，不共線；
兩個(gè)向量，的夾角為鈍角 且，不共線．
（5）平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

知識(shí)點(diǎn)三、求平面向量數(shù)量積的方法
1、定義法：若已知向量的模及夾角，則直接利用公式，運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件；
2、運(yùn)算律轉(zhuǎn)化法：由可得如下運(yùn)算公式：；；；
3、向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化法：涉及平面圖形中向量的數(shù)量積的計(jì)算時(shí)，要結(jié)合向量的線性運(yùn)算，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量求解.
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)1 向量數(shù)量積的概念辨析
【例1】（2023·高一單元測試）
1．以下關(guān)于兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的敘述中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩個(gè)向量同向共線，則他們的數(shù)量積是正的 B．兩個(gè)向量反向共線，則他們的數(shù)量積是負(fù)的
C．兩個(gè)向量的數(shù)量積是負(fù)的，則他們夾角為鈍角 D．兩個(gè)向量的數(shù)量積是0，則他們互相垂直
【變式1-1】（2023·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）
2．下列命題中正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
【變式1-2】（2023·陜西咸陽·高一校考階段練習(xí)）
3．在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-3】（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
4．下列說法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
考點(diǎn)2 向量數(shù)量積的運(yùn)算
【例2】（2023·河南·高一校考階段練習(xí)）
5．在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【變式2-1】（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
6．已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
【變式2-2】（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
7．已知向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，試求
(1)；
(2).
【變式2-3】（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考期中）
8．已知邊長為1的菱形中，角，則 .
【變式2-4】（2023·安徽馬鞍山·高一當(dāng)涂第一中學(xué)校考期中）
9．如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，若，，且與的夾角為，則的值為 .

考點(diǎn)3 利用數(shù)量積求向量模長
【例3】（2023·天津和平·高一統(tǒng)考期末）
10．已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A．12 B．16 C． D．
【變式3-1】（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）
11．已知向量與向量滿足：，，且與的夾角為，則 ．
【變式3-2】（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
12．若平面向量兩兩夾角相等， 且， 則= （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
【變式3-3】（2023·河南·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）
13．已知向量，滿足，，，則 ．
【變式3-4】（2023·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）
14．設(shè)點(diǎn)、、、為四個(gè)互不相同的點(diǎn)，且在同一圓周上，若，且，則 .
考點(diǎn)4 利用數(shù)量積求向量夾角
【例4】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）
15．已知向量，，，則向量與的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）
16．若，，且，則與的夾角為 ；
【變式4-2】（2023·湖南常德·高一階段練習(xí)）
17．已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，設(shè)向量，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
18．已知單位向量，滿足，若向量，則 ．
【變式4-4】（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）
19．在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)5 兩個(gè)向量的垂直問題
【例5】（2023·高一單元測試）
20．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）
21．若向量，滿足，且，，則（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【變式5-2】（2023·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級(jí)中學(xué)校考期中）
22．已知非零向量滿足，則與的夾角為 .
【變式5-3】（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校考階段練習(xí)）
23．已知單位向量，的夾角為，，，若，則實(shí)數(shù) .
【變式5-4】（2023·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）
24．已知，，與的夾角為45°，要使與垂直，則的值為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)6 投影及投影向量
【例6】（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
25．已知向量與的夾角為，，則向量在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·湖北·高一仙桃中學(xué)校考階段練習(xí)）
26．已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·云南昆明·高一校考階段練習(xí)）
27．已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為 ．
【變式6-3】（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校考階段練習(xí)）
28．設(shè)單位向量 的夾角為，，，則在方向上的投影為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)7 由數(shù)量積判斷三角形形狀
【例7】（2023·河北石家莊·高一校考期中）
29．在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【變式7-1】（2023·山東菏澤·高一鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
30．在中，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
【變式7-2】（2023·貴州黔西·高一校考階段練習(xí)）
31．若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【變式7-3】（2023·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）
32．在中，若，則的形狀是 .
考點(diǎn)8 求向量數(shù)量積的最值
【例8】（2023·山東青島·高一統(tǒng)考期中）
33．已知點(diǎn)是邊長為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）
34．中，，，，點(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
【變式8-2】（2023·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）
35．如圖，邊長為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為 .
【變式8-3】（2023·安徽池州·高一校聯(lián)考期中）
36．已知菱形的邊長為1，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）．
A．1 B． C． D．
過關(guān)檢測
一、單選題
（2023·高一單元測試）
37．已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
（2023·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）
38．在中，，，，則（ ）
A． B．16 C． D．9
（2023·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）
39．已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2023·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)校考期末）
40．若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，且與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
41．若平面向量，，，兩兩的夾角相等，且，，，則（ ）．
A．2 B．4或 C．5 D．2或5
（2023·吉林·高一榆樹市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考期末）
42．如圖，已知，，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（ ）

A．1 B．2
C． D．
（2023·河南·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）
43．若向量與向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京海淀·高一清華附中校考期末）
44．已知，，，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、多選題
（2023·貴州貴陽·高一校考階段練習(xí)）
45．如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期中）
46．已知矩形的面積為，則（ ）
A．5 B．3 C． D．
（2023·河北石家莊·高一校考期中）
47．若向量滿足，，則（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）
48．下列說法正確的有（ ）
A．
B．λ、μ為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線
C．若，則
D．若平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則必有
三、填空題
（2023·上海·高一校考期中）
49．設(shè)向量滿足，，則 ．
（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）
50．已知平面向量滿足，則實(shí)數(shù)的值為 ．
（2023·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）
51．已知與是兩個(gè)單位向量，且向量與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為 ．
（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
52．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值是 ．

四、解答題
（2023·全國·高一專題練習(xí)）
53．已知向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，試求
(1)；
(2).
（2023·青海西寧·高一校考期中）
54．設(shè)向量、滿足，且．
(1)求與夾角的大小；
(2)求與夾角的大小．
（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）
55．已知向量為向量的夾角.
(1)求的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值.
（2023·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）
56．已知，，．
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的正切值．
（2023·貴州黔西·高一校考階段練習(xí)）
57．已知向量與的夾角為，且，，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量的模．
（2023·陜西西安·高一期中）
58．已知向量滿足，且的夾角為.
(1)求的模；
(2)若與互相垂直，求λ的值.
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和向量夾角的范圍確定答案.
【詳解】對(duì)于任意得兩個(gè)非零向量，，其中.
若兩個(gè)非零向量同向共線，則，，，故A正確；
若兩個(gè)非零向量反向共線，則，，，故B正確；
若這兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是負(fù)的，則，，故C錯(cuò)誤；
若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是0，則，，互相垂直，故D正確.
故選: C.
2．B
【分析】根據(jù)相等向量、零向量的定義判斷A、C、D，根據(jù)向量數(shù)量積的定義判斷B.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于B：若時(shí)，與的方向可能不同，與可能不相等，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若時(shí)，即，所以，得不出，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
3．A
【分析】由零向量、向量數(shù)乘、數(shù)量積等概念和性質(zhì)，即可判斷正誤，進(jìn)而確定答案.
【詳解】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，故①錯(cuò)誤；
0乘以任何向量都為零向量，故②正確；
向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故③錯(cuò)誤；
不一定有，如滿足條件，結(jié)論不成立，故④錯(cuò)誤；
故選：A
4．AD
【分析】可由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可逐一判定選項(xiàng).
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
5．D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
6．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
7．(1)11
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可代入求解，
（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律即可代入求解.
【詳解】（1）向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，，，
，，，，
；
（2）
8．
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】設(shè)向量，且，，
因?yàn)椋傻茫?br/>所以.
故答案為：

9．
【分析】根據(jù)題意，由，將數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基底向量運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以
即.
故答案為：.
10．C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，結(jié)合模長公式和數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：，
所以.
故選：C.
11．2
【分析】由向量模、數(shù)量積公式先求出，再由公式即可得解.
【詳解】由題意，，
所以 .
故答案為：2.
12．C
【分析】根據(jù)給定條件，分情況結(jié)合數(shù)量積定義求解即得.
【詳解】平面向量兩兩夾角相等，則或，
當(dāng)時(shí)，即向量同向共線，則，
當(dāng)時(shí)，
.
故選：C
13．
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長公式計(jì)算即可.
【詳解】由可知，
所以.
故答案為：.
14．
【分析】依題意可得為圓的直徑，設(shè)，則為圓的直徑，連接，根據(jù)數(shù)量積的定義及銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.
【詳解】，
，
為圓的直徑，如圖所示：

設(shè)，則為圓的直徑，連接，，
，
．
故答案為：．
15．B
【分析】根據(jù)公式可求夾角的大小.
【詳解】，而，故，
故選：B.
16．####
【分析】根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可推得，然后即可求出，進(jìn)而得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
又，所以.
故答案為：.
17．C
【分析】由已知求出，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求出的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，
，
，
所以，，
所以，，
所以，.
故選：C.
18．##0.25
【分析】根據(jù)條件先求得，再利用向量的夾角公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】由已知得，
，
所以．
故答案為：
19．C
【分析】由，得，再兩邊平方求解即可.
【詳解】
由，則①，
又②，
由①+②可得，即，
故，設(shè)與夾角為，
則，解得.
故選：C．
20．ABC
【分析】由可判斷A；計(jì)算的值可判斷B，C錯(cuò)誤；計(jì)算的值可判斷D.
【詳解】在中，由，得，故A錯(cuò)誤；
又，且，所以，所以，故B，C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕蔇正確.
故選：ABC.
21．D
【分析】根據(jù)已知化簡即可得出，，進(jìn)而得出答案.
【詳解】設(shè)，
由已知可得，，
所以.
又，
所以，解得（舍去負(fù)值），
所以，.
故選：D.
22．
【分析】由已知可得：，并且，整理可得，進(jìn)而可得，即可得到，即，再根據(jù)向量的夾角公式可求答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>兩式相減得，
所以，
將代入第一個(gè)式子可得：，
所以，即.
設(shè)向量與的夾角為，則，
因?yàn)椋韵蛄颗c的夾角大小為.
故答案為：.
23．##
【分析】根據(jù)垂直數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積公式求解即可.
【詳解】由題意，，即，解得.
故答案為：
24．A
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】若與垂直，則，即，所以.
故選：A
25．A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的投影的定義和計(jì)算方法，即可求解.
【詳解】由題意知，向量且向量與的夾角為，
所以向量在上的投影為，
又因?yàn)椋韵蛄吭谏系耐队跋蛄繛?
故選：A.
26．D
【分析】利用投影向量定義求解即可.
【詳解】由已知，向量，的夾角為，
得，又已知為單位向量，
則在上的投影向量是.
故選：D.
27．
【分析】根據(jù)投影向量定義可知所求模長為，由向量垂直關(guān)系可求得，根據(jù)可得結(jié)果.
【詳解】在方向上的投影向量為，為與同向的單位向量，
在方向上的投影向量的模長為；
，，，
，即所求模長為.
故答案為：.
28．A
【分析】根據(jù)投影公式運(yùn)算即可.
【詳解】由題意，，故在方向上的投影為.
故選：A
29．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量運(yùn)算律計(jì)算判斷即得.
【詳解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故選：C
30．D
【分析】由，可得，分析即得解.
【詳解】由題意，
，又，
為銳角，但另外兩角不能確定，故的形狀不能確定.
故選：D.
31．B
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.
【詳解】由，可得，即，，
等式兩邊平方，化簡得，，
因此，是直角三角形.
故選：B.
32．等腰三角形
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求解.
【詳解】，
，即，
為等腰三角形.
故答案為：等腰三角形
33．C
【分析】利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求解.
【詳解】解：如圖所示：
因?yàn)辄c(diǎn)是邊長為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，
由圖象知：，
所以，
故選；C
34．B
【分析】因?yàn)椋梢赃x定為基向量，因?yàn)辄c(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以,讓后將其都轉(zhuǎn)化為為基向量的運(yùn)算，即可求出的最小值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，
所以,
所以
因?yàn)辄c(diǎn)D是的中點(diǎn),所以,
所以,
又，，，即
所以，
，
又，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值.
故選：B.
35．##-0.75
【分析】根據(jù)已知條件求出，再表示出，進(jìn)而求其最小值.
【詳解】由題菱形邊長為2，
則，，所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
令，
則，
所以，
則當(dāng)時(shí)，取最小值為.
故答案為：
36．D
【分析】設(shè)，，令,直接利用向量的數(shù)量積定義運(yùn)算即可.
【詳解】設(shè)，，
，
∴的最大值為．
故選:D．
37．B
【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.
【詳解】`
由，且與的夾角為，
所以
.
故選：B.
38．B
【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算結(jié)合題意推出，平方后可得數(shù)量積，再結(jié)合數(shù)量級(jí)的運(yùn)算律，即可求得答案.
【詳解】由題意得在中，,
故由，，，
得，即，
即，
故，
故選：B
39．B
【分析】設(shè)向量的夾角為，結(jié)合，求得，即可求解.
【詳解】設(shè)向量的夾角為，因?yàn)椋傻茫?br/>又因?yàn)椋?br/>可得
，解得，
因?yàn)椋傻?
故選：B.
40．B
【分析】先求得的值，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得以及的模，再根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋菉A角為的兩個(gè)單位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故選：B.
41．D
【分析】依題意可得夾角為或，再分夾角為和夾角為兩種情況討論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.
【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚瑑蓛傻膴A角相等，所以夾角有兩種情況，
即，，兩兩的夾角為或,
當(dāng)夾角為時(shí)，，
當(dāng)夾角為時(shí)，
，
所以或.
故選：D．
42．B
【分析】由題意得，分別是線段，的中點(diǎn)，，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意得，分別是線段，的中點(diǎn)，，
所以.
故選：B.
43．D
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，可得，再由投影向量的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，且，則，
即，又，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量是.
故選：D
44．B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，則，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋矗?br/>即，即，
所以，
所以
，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)取最大值，最大值為.
故選：B
45．ABC
【分析】根據(jù)單位向量計(jì)算出，，判斷CD；由于兩向量方向未知，故AB錯(cuò)誤.
【詳解】CD選項(xiàng)，是兩個(gè)單位向量，故，，C錯(cuò)誤，D正確；
AB選項(xiàng)，只是模長相等，方向未知，則不一定相等，不一定等于1，故AB不正確.
故選：ABC
46．AD
【分析】設(shè)，由題意可得，從而可求出，再運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則
，解得，或，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
或當(dāng)時(shí)，，
故選：AD

47．BC
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可判斷A、B、C，求出，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?br/>所以，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋裕蔆正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋遥?br/>所以在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
48．BD
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)，即可判斷A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)，，滿足即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)平面向量的加、減運(yùn)算，即可判斷D正確.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤，
對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)棣恕ⅵ虨榉橇銓?shí)數(shù)，，
所以，所以與共線，故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，若，，滿足，故C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)D，平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，
，，
所以，即，即，故D正確.
故選：BD
49．5
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
故答案為：5
50．1或
【分析】結(jié)合平面向量的相關(guān)知識(shí)，將兩邊平方，計(jì)算即可.
【詳解】將兩邊平方，得，
得，即，解得或．
故答案為：或.
51．
【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.
【詳解】向量在向量上投影向量為，
故答案為：
52．
【分析】利用平面向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【詳解】由題可得，，，
，
所以
，
，
，
所以，
則.
故答案為：.
53．(1)11
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可代入求解，
（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律即可代入求解.
【詳解】（1）向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，，，
，，，，
；
（2）
54．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律有，結(jié)合已知模長和向量數(shù)量積的定義求夾角即可；
（2）根據(jù)已知模長和數(shù)量積的運(yùn)算律求模長, 結(jié)合夾角公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，，
又，∴，∴，即，
又，∴與的夾角為；
（2）設(shè)與的夾角為，∵，
又，，∴，
又，∴與的夾角為．
55．(1)
(2)0或
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得，代入公式夾角公式即可得結(jié)果；
（2）分別用坐標(biāo)表示出，利用模長相等即可解得或.
【詳解】（1））由可得，
所以.
（2）由，
可得，
即，解得或.
即實(shí)數(shù)的值為0或.
56．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；
（2）先求得，，再根據(jù)夾角公式可得，進(jìn)而根據(jù)同角三角關(guān)系運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
因?yàn)椋瑒t，所以．
（2）由（1）可得：，
，
所以，，
設(shè)與的夾角為，
則，
可得，則，所以，
即向量與夾角的正切值是．
57．(1)0
(2)1
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解；
（2）首先求投影向量，再求模.
【詳解】（1）∵向量與的夾角為，且，，
∴，，，
，
（2）在方向上的投影向量為，
所以投影向量的模為：.
58．(1)
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)向量滿足，且的夾角為，由求解；
（2）根據(jù)與互相垂直，由求解.
【詳解】（1）因?yàn)橄蛄繚M足，且的夾角為，
所以，
解得；
（2）因?yàn)榕c互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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