資源簡介

專題03 向量的數乘-【寒假自學課】（蘇教版2019）
專題03 向量的數乘
知識聚焦
考點聚焦
知識點1 向量的數乘運算
1、向量數乘的定義：規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：λa，
它的長度與方向規定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；
（3）當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．
2、向量數乘的幾何意義
當時，把向量沿的相同方向放大或縮小；
當時，把向量沿的相反方向放大或縮小.
3、向量數乘的運算律：設λ，μ為任意實數，則有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
4、向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知識點2 向量共線定理
1、向量共線的條件
（1）當向量時，與任一向量共線．
（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數，使，那么由實數與向量的積的定義知與共線．
反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．
2、向量共線的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數，使，則向量與非零向量共線．
3、向量共線的性質定理：若向量與非零向量共線，則存在一個實數，使．
【注意】
（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；
（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；
（3）有且只有一個實數，使．
（4）是判定兩個向量共線的重要依據，其本質是位置關系與數量關系的相互轉化，體現了數形結合的高度統一.
4、向量共線的常用結論
（1）設，均為實數，若，不共線，點滿足，，則三點共線；
（2）中線向量公式：在中，若是的中點，則；
（3）與同方向的單位向量為，與共線的單位向量為；
（4）是的重心的充要條件是
考點剖析
考點1 向量數乘的基本運算
【例1】（2023·重慶綦江·高一校考期中）
1．化簡為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023·高一課時練習）
2．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·全國·高一課時練習）
3．設是兩兩不共線的向量，且向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·高一課時練習）
4．（1）已知向量，，計算：．
（2）若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．
【變式1-4】（2023·全國·高一隨堂練習）
5．求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
考點2 用已知向量表示其他向量
【例2】（2023·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）
6．在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·江蘇連云港·高一統考期中）
7．已知中，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）
8．如圖所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·福建三明·高一統考期末）
9．在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（ ）

A． B． C． D．
【變式2-4】（2023·河南周口·高一太康縣第一高級中學校考階段練習）
10．如圖所示平行四邊形中，設向量，，又，，用，表示 .

考點3 用向量共線證明三點共線
【例3】（2023·重慶·高二校考期中）
11．已知空間向量且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【變式3-1】（2023·河南許昌·高二統考期末）
12．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高一課時練習）
13．已知，是平面內兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（ ）
A． B．2 C．4 D．
【變式3-3】（2023·江蘇鎮江·高一統考期末）
14．設與是兩個不共線向量，向量，，，若，，三點共線，則（ ）
A． B． C． D．3
【變式3-4】（2023·廣東廣州·高一廣州市第五中學校考階段練習）
15．設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則k的值為（ ）
A．－8 B．8 C．6 D．－6
考點4 利用向量共線求參數
【例4】（2023·山西運城·高一統考期中）
16．已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【變式4-1】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考期末）
17．已知，是兩個不共線的向量，向量，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·遼寧遼陽·高一統考期末）
18．已知向量不共線，，，，則實數 ．
【變式4-3】（2023·山西朔州·高一校考階段練習）
19．已知兩個非零向量不共線，且與共線，求實數k的值．
【變式4-4】（2023·四川成都·高一樹德中學校考期末）
20．設，是兩個不共線的向量，且向量與是平行向量，則實數的值為（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
考點5 向量共線定理推論應用
【例5】（2023·全國·高一隨堂練習）
21．在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則 ．
【變式5-1】（2022·陜西渭南·高三校考期末）
22．如圖所示，中為重心，過點，，，則 ．

【變式5-2】（2023·全國·高一課時練習）
23．已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·廣西玉林·高一博白縣中學校考開學考試）
24．如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（ ）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【變式5-4】（2024·全國·高一課時練習）
25．已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊交于兩點（點與點不重合），設，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
考點6 向量線性運算的幾何應用
【例6】（2023·高一單元測試）
26．已知點O為所在平面上一點，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【變式6-1】（2023·高一單元測試）
27．已知，若點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．點一定在內部 B．
C． D．
【變式6-2】（2023·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期中）
28．在中，，以下結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·甘肅·高一校聯考階段練習）
29．設點是所在平面內一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則點是的中點
B．若，則點在邊的延長線上
C．若，則點是的重心
D．若，則
【變式6-4】（2023·全國·高一課時練習）
30．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

過關檢測
一、單選題
（2023·高一課時練習）
31．已知m、n是實數，、是向量，對于命題：
① ②
③若，則 ④若，則
其中正確命題的個數是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·高一課時練習）
32．已知分別為的邊上的中線，設，,則＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
（2023·安徽滁州·高一統考期末）
33．如圖，在平面四邊形中，E，F分別為和的中點，那么（ ）

A． B．
C． D．
（2022·廣東深圳·高一紅嶺中學校考期中）
34．已知，則共線的三點為（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）
35．在平行四邊形中，與交于點，點滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇南通·高一統考階段練習）
36．已知P為平行四邊形ABCD內一點，且，若，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023·江蘇南通·高一統考期中）
37．已知，是兩個不共線的向量，向量，．若，則（ ）
A．－2 B． C．2 D．
（2023·江蘇·高一專題練習）
38．已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
二、多選題
（2023·安徽淮北·高一淮北師范大學附屬實驗中學校考階段練習）
39．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陜西西安·高一期中）
40．下列命題正確的的有（ ）
A．
B．
C．若，則共線
D．，則共線
（2023·浙江嘉興·高一校考期中）
41．如圖，點是線段的三等分點，則下列結論正確的有（ ）

A． B．
C． D．
（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）
42．如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA AB上的中線，且相交于點G，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
三、填空題
（2023·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）
43．若，則 ．
（2023·河北石家莊·高一校考期中）
44．設是內部一點，且，則 ．
（2023·黑龍江·高一富錦市第一中學校考階段練習）
45．如圖所示，在正方形ABCD中，點E為BC的中點，點F為CD上靠近點C的四等分點，點G為AE上靠近點A的三等分點，則向量用與表示為
（2023·云南玉溪·高二玉溪第三中學校考期末）
46．趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則的值為 .

四、解答題
（2023·海南儋州·高一校考階段練習）
47．化簡：
(1)；
(2)；
(3).
（2023·全國·高一課時練習）
48．判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
（2023·全國·高一隨堂練習）
49．如圖，在中，，，點O是AC與BD的交點，點G是DO的中點，試用，表示.

（2023·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學校聯考期末）
50．如圖，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若點滿足，證明：，，三點共線．
（2023·遼寧遼陽·高一統考期末）
51．如圖，在平行四邊形中，，分別為，的中點．

(1)試問與是相等向量還是相反向量？說明你的理由．
(2)若，試用，表示，．
（2023·全國·高一隨堂練習）
52．如圖，點D是中BC邊的中點，，.

(1)試用，表示；
(2)若點G是的重心，能否用，表示？
(3)若點G是的重心，求.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】利用平面向量的數乘及加減運算即可求得結果.
【詳解】根據向量的四則運算可知，
.
故選：D
2．C
【分析】根據向量混合運算即可.
【詳解】，
故選：C.
3．C
【分析】根據向量基底運算法則直接計算即可.
【詳解】因為，，
所以.
故選：C
4．（1）；（2），
【分析】（1）根據向量的運算律，準確化簡，即可求解；
（2）根據題意列出方程組，即可求解向量.
【詳解】（1）根據向量的運算律，可得原式．
（2）由方程組，解得，.
5．(1)
(2)
(3)
【分析】根據向量數乘運算求解.
【詳解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
6．C
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】由題意可知，.
故選：C
7．A
【分析】利用向量的線性運算化簡求解即可.
【詳解】中，，
所以.
故選：A.
8．A
【分析】根據條件及圖，利用向量的線性運算即可求出結果.
【詳解】因為點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，
如圖，，
故選：A.
9．D
【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉化為、即可.
【詳解】
.
故選：D.

10．，，
【分析】根據向量加法 減法，及數乘的幾何意義，及其運算，以及向量加法的平行四邊形法則，即可表示出，，.
【詳解】解：∵，
∴；
又，；
∴.
11．A
【分析】A選項，計算出，A正確；B選項，設，得到方程組，無解；C選項，設，得到方程組，無解；D選項，計算出，設，得到方程組，無解.
【詳解】A選項，，所以A，B，D三點共線，A正確；
B選項，設，則，即，無解，B錯誤；
C選項，設，則，即，無解，C錯誤；
D選項，，設，
即，即，無解，D錯誤.
故選：A
12．D
【分析】A選項，設，得到，無解，A錯誤；B選項，設，得到方程組，無解，B錯誤；C選項，先得到，設，得到方程組，無解，C錯誤；D選項，計算出，得到，得到三點共線.
【詳解】A選項，設，即，故，無解，三點不共線，A錯誤；
B選項，設，即，故，無解，
三點不共線，B錯誤；
C選項，，
設，即，故，無解，
三點不共線，C錯誤；
D選項，，
由于，故三點共線，D正確.
故選：D
13．D
【分析】根據已知求出.根據已知可得共線，進而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，.
因為A，C，D三點共線，所以共線，
則，使得，
即，
整理可得.
因為，不共線，
所以有，解得.
故選：D.
14．B
【分析】若，，三點共線，則存在實數，使，結合向量的線性運算可求解.
【詳解】若，，三點共線，則存在實數，使，
，
∴，
∵與是兩個不共線向量，
∴，且，解得，
故選：B.
15．A
【分析】先求出，然后利用存在實數使，列方程求k的值.
【詳解】由已知得，
三點A，B，D共線
存在實數使
，
，解得.
故選：A.
16．A
【分析】利用向量共線定理求解即可
【詳解】因為向量與方向相同，
所以存在唯一實數，使，
因為向量，不共線，
所以，解得或（舍去），
故選：A
17．A
【分析】利用共線向量定理列方程求解即可.
【詳解】因為，所以存在唯一實數，使，
所以，
因為，是兩個不共線的向量，
所以，解得，
故選：A.
18．
【分析】根據平面向量共線向量定理，得出，再由對應向量系數相等，即可求出.
【詳解】因為，所以，，則，解得．
故答案為：
19．或．
【分析】利用平面向量共線得充要條件計算即可.
【詳解】因為與共線，
所以存在實數，使，
即．
由于不共線，所以．
即實數k的值為或．
20．C
【分析】由共線向量定理結合題意求解即可.
【詳解】因為向量與是平行向量，
所以存在唯一實數，使，
因為，是兩個不共線的向量，
所以，則，，
解得或，
故選：C
21．##0.1
【分析】由平面向量的線性運算和三點共線的充分必要條件得出結果.
【詳解】因為E為AD的中點，所以，
因為B，D，C三點共線，所以，
所以，解得．
故答案為：
22．3
【分析】根據題意，由向量的線性運算可得的表達式，又由向量共線的性質設，即，變形整理可得結論；
【詳解】設
根據題意，；
，，，三點共線，則存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案為：3
23．C
【分析】設，設，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.
【詳解】
設，則，，
設，，
則，，
因為，
所以，解得，
所以，即.
故選：C.
24．B
【分析】設，得到，結合向量共線定理的推論得到，求出，求出答案.
【詳解】因為為的中線，所以，
設，則，
故，所以，
因為，所以，
因為三點共線，可設，則，
故，
故，相加得，
解得，故.
故選：B
25．A
【分析】令是的中點，連接，易得，根據三點共線的推論有，應用基本不等式求目標式最小值，注意取值條件.
【詳解】若是的中點，連接，點G是的重心，則必過，且，
由題設，又共線，
所以，即，注意，

由
，當且僅當，即時等號成立，
故目標式最小值為1.
故選：A
26．B
【分析】如圖，分別是對應邊的中點，對所給的向量等式進行變形，根據變化后的條件得到，由于正三角形，結合題目中的面積關系得到，，由面積之比，分所成的比，從而得出的值．
【詳解】，
．
如圖，，分別是對應邊的中點，

由平行四邊形法則知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形與三角形的底邊相等，面積之比為,
所以，得.
故選：B.
27．ABC
【分析】設、分別是、的中點，依題意可得，從而得到點是中位線上靠近點的三等分點，即可判斷A，再根據面積關系判斷C、D，又平面向量線性運算法則判斷B.
【詳解】由，所以，
設、分別是、的中點，所以，
于是點是中位線上靠近點的三等分點，則點一定在內部，故A正確；
又，所以，則，故B正確；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正確；
所以，故D錯誤；
故選：ABC
28．ABD
【分析】根據給定條件，利用向量運算可得，，，再利用三角形面積性質判斷作答.
【詳解】由，兩邊同時乘以，得，
令，則，即有，
因此，點在上，且，如圖，
所以，則；
同理，兩邊同時乘以得：，
令，點在上，，
所以，則；
，
所以.
故選：ABD
29．ACD
【分析】根據向量的線性運算結合幾何性質逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，可得，
即，則點是邊的中點，故A正確；
對于選項B：因為，可得，
即，則點在邊的延長線上，故B錯誤；
對于選項C：設的中點為，則，
由重心性質可知：點是的重心，故C正確；
對于選項D：因為，則，
整理得，故D正確．
故選：ACD．
30．證明見解析
【分析】根據題意結合向量的線性運算分析證明.
【詳解】由題意可得：，，
所以,
由于與，與分別共線，但與不共線，
所以，，因此N是AC的一個三等分點；
同理可證，因此M也是AC的一個三等分點．
31．B
【分析】①和②屬于數乘對向量與實數的分配律，③中若，結論不成立，④中若，結論不成立.
【詳解】①和②屬于數乘對向量與實數的分配律，正確；
③中若，與沒有確定關系，結論不成立，錯誤；
④中若，m與n沒有確定關系，結論不成立，錯誤.
故①②兩個命題正確．
故選：B
32．B
【分析】根據向量的線性運算即可聯立方程求解.
【詳解】分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
33．C
【分析】根據向量加法的幾何意義，結合圖形的幾何特征即可求解.
【詳解】因為
又，
所以，
即
故選：C
34．D
【分析】根據向量的線性運算以及共線定理判斷即可.
【詳解】不滿足共線定理，A錯誤；
不滿足共線定理，B錯誤；
，
，
不滿足共線定理，C錯誤；
，D正確.
故選：D.
35．A
【分析】方法一：，進而得，根據平面向量基本定理可得結果．
方法二：，由題得，又三點共線，所以，從而得解．
【詳解】方法一：如圖所示，
因為與交于點，點滿足，
所以．
又因為，
所以．
又，不共線，
所以，所以．
方法二：因為四邊形為平行四邊形，所以．
由題得，又三點共線，
所以，即．
故選：A．
36．D
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，得出點的位置，從而得到與對角線所在向量的關系，即可求出，的值．
【詳解】在平行四邊形中，設與交于點，則是與的中點，
由向量加法的平行四邊形法則可得：，，
又，則有，
故有，
則，即．
故選：D．

37．A
【分析】利用共線向量定理列方程求解即可.
【詳解】因為，所以存在唯一實數，使，
所以，
因為，是兩個不共線的向量，
所以，解得，
故選：A
38．C
【分析】根據是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據此可求解.
【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，
即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，
故點P的軌跡一定經過的內心.
故選：C.
39．ABD
【分析】根據向量的加減和數乘運算，即可得出結論.
【詳解】由題意，
A項，，A正確.
B項，，B正確.
C項，，C錯誤.
D項，，D正確.
故選：ABD.
40．ABC
【分析】根據向量的數乘運算判斷A，B；由共線向量的定義判斷C，D.
【詳解】解：對于A，，故正確；
對于B，，故正確；
對于C，因為，所以，所以共線，故正確；
對于D，因為恒成立，所以不一定共線，故錯誤.
故選：ABC.
41．AD
【分析】利用向量相等的定義即可求解，兩個向量相等必須是大小相等且方向相同.
【詳解】由題知，點是線段的三等分點，
所以，，，
對于A：且方向相同，所以，A選項正確；
對于B：，所以，B選項錯誤；
對于C：，所以，C選項錯誤；
對于D：且方向相同，所以，D選項正確；
故選：AD.
42．BC
【分析】由條件可知為的重心，由重心的性質逐一判定即可.
【詳解】由條件可知為的重心，
對于A，由重心的性質可得，所以，故A錯誤；
對于B，由重心的性質可得，所以，故B正確；
對于D，故D錯誤；
對于C，，，
，故C正確.
故選：BC.
43．
【分析】根據向量的線性運算求得結果.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以，
故答案為：.
44．
【分析】先作出草圖，然后分析出的位置，先考慮長度的比值，最后即可得到面積的比值.
【詳解】設為的中點，如圖所示，連接，則.
又，所以，即為的中點，
則，，
即.
故答案為：.
45．
【分析】根據平面向量的基本定理結合線性運算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故答案為：.
46．##
【分析】根據給定條件，利用向量線性運算用表示，再利用平面向量基本定理求解作答.
【詳解】依題意，，即，則，同理，
因此，
即，整理得，而，且不共線，
于是，所以.
故答案為：
【點睛】思路點睛：用向量基本定理解決問題：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
47．(1)
(2)
(3)
【分析】根據平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
48．(1)共線；
(2)共線；
(3)共線.
【分析】用向量共線定理判斷.
【詳解】（1），，所以，
所以，共線.
（2），,
所以，所以，共線.
（3）因為，，
所以，
所以.
所以，共線.
49．
【分析】結合圖形根據平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】因為點O是AC與BD的交點，點G是DO的中點，所以，
所以，所以.
50．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用向量的線性運算和基本定理求解即可.
（2）利用三點共線的判定證明即可.
【詳解】（1）因為，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三點共線.
51．(1)相等向量，理由見解析
(2)，
【分析】（1）由題意可得：，根據平面幾何的知識，結合向量相等分析判斷；
（2）根據題意結合向量的線性運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
因為，分別為，的中點，所以，
所以與是相等向量.
（2）由題意可得：；
因為，則，
所以.
52．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形法則整理化簡即可；
（2）利用三角形重心性質及向量的線性運算化簡計算即可；
（3）利用三角形重心性質及三角形法則化簡計算即可.
【詳解】（1）因為點D是中BC邊的中點，且，，
所以；
（2）因為點G是的重心，
所以
.
（3）因為點G是的重心且D是BC邊的中點，所以，
又，所以，所以.
答案第1頁，共2頁
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