資源簡介

專題02 向量的加減法-【寒假自學課】（蘇教版2019）
專題02 向量的加減法
知識聚焦
考點聚焦
知識點1 向量的加法運算
1、向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
2、向量加法的三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，再作向量，
向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝
3、向量加法的平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內任取一點O，
以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 OACB，對角線就是a與b的和
【規定】零向量與任一向量a的和都有a＋00＋a＝.
【注意】（1）在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；
（2）平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．
4、向量加法的運算律
結合律：a＋b＝b＋a 交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知識點2 向量的減法
1、相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
（1）規定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
（2）－(－a)＝a；
（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
（4）若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．
2、向量的減法
（1）定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.
（2）幾何意義：以O為起點，作向量＝a，＝b，則＝a－b，
如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．
【注意】在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．
考點剖析
考點1 向量的加減法法則及應用
【例1】（2023·全國·高一隨堂練習）
1．如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1)
(2)
【變式1-1】（2023·全國·高一隨堂練習）
2．如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【變式1-2】（2023·海南·高一校考期中）
3．如圖，在正六邊形ABCDEF中，（　 　）

A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·高一校考課時練習）
4．如圖，在矩形ABCD中，O為AC與BD的交點，則（ ）

A． B． C． D．
【變式1-4】（2023·云南迪慶·高一統考期末）
5．四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
考點2 向量的減法法則及應用
【例2】（2022·高一課時練習）
6．如圖，已知向量，，求作向量．
【變式2-1】（2023·山東棗莊·高一校考階段練習）
7．如圖，點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，則下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·河南駐馬店·高一統考期末）
8．已知矩形的對角線相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·吉林長春·高一東北師大附中校考階段練習）
9．如圖所示，、、分別是的邊、、的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2022·高一課前預習）
10．化簡下列式子：
(1)；
(2)；
考點3 向量加減法運算化簡
【例3】（2023·廣東東莞·高一厚街中學校考階段練習）
11．化簡向量等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·河南·高一濟源第一中學校考階段練習）
12．在平面四邊形中，下列表達式化簡結果與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高一隨堂練習）
13．下列各式中，化簡后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2023·河南新鄉·高一校考階段練習）
14．化簡以下各式，結果為的有（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-4】（2023·全國·高一課時練習）
15．化簡下列各式：
(1)；
(2)
考點4 利用向量加減法證明等式
【例4】（2023·高一單元測試）
16．如圖所示，P，Q是的邊BC上兩點，且.求證：.
【變式4-1】（2022·高一課時練習）
17．如圖所示，點分別為的三邊的中點.
求證：
(1)；
(2).
【變式4-2】（2022·高一課時練習）
18．如圖所示，是平行四邊形的對角線的交點，設，，，求證：.
【變式4-3】（2023·高一課時練習）
19．已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于點E，O是任意一點，求證：．

考點5 向量加減法在幾何中的應用
【例5】（2023·河南駐馬店·高一校聯考期中）
20．在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【變式5-1】（2023·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）
21．若在△ABC中，，，且，，則△ABC的形狀是（ ）
A．正三角形 B．銳角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【變式5-2】（2023·云南西雙版納·高一校考期中）
22．在四邊形中，若，且，則（ ）
A．在四邊形是矩形
B．在四邊形是菱形
C．在四邊形是正方形
D．在四邊形是平行四邊形
【變式5-3】（2023·陜西咸陽·高一校考期中）
23．已知是四邊形所在平面上任一點，且．則四邊形一定為（ ）
A．菱形 B．梯形 C．平行四邊形 D．矩形
【變式5-4】（2023·浙江溫州·高一統考期末）
24．在四邊形ABCD中，已知，則四邊形ABCD為（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形
考點6 向量加減法在實際中的應用
【例6】（2023·高一課時練習）
25．人騎自行車的速度為，風速為，則逆風行駛的速度為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·陜西榆林·高一統考期末）
26．若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（ ）
A．向東北方向航行
B．向北偏東方向航行
C．向正北方向航行
D．向正東方向航行
【變式6-2】（2023·云南文山·高二校考階段練習）
27．如圖，一個人騎自行車由A地出發到達B地，然后由B地出發到達C地，則這個人由A地到C地位移的結果為（ ）

A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考階段練習）
28．某人在靜水中游泳的速度為，河水自西向東的流速為，此人朝正南方向游去，那么他的實際前進方向與水流方向的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2022·高一課時練習）
29．在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發，沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進方向應指向何處？實際航速為多少？
過關檢測
一、單選題
（2023·重慶萬州·高一校考階段練習）
30．下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·高一專題練習）
31．（　　）
A． B． C． D．
（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學校考階段練習）
32．在平面四邊形ABCD中，E為線段CD上任一點，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津紅橋·高一統考期末）
33．化簡：（ ）
A． B． C． D．
（2023·新疆·高一校考期末）
34．在矩形中，等于（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·高一課時練習）
35．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形
C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形
（2023·江西贛州·高一校聯考期中）
36．化簡以下各式:①；②；③；④，結果為零向量的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·北京通州·高一統考期末）
37．對于任意兩個向量和，下列命題中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
（2023·全國·高一課時練習）
38．下列各式中結果為零向量的為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽銅陵·高一銅陵一中校考階段練習）
39．下列能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·高一專題練習）
40．在平面四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，則下列向量與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·內蒙古包頭·高一統考期末）
41．已知，，，四點不共線，下列等式能判斷為平行四邊形的是（ ）
A． B．（為平面內任意一點）
C． D．（為平面內任意一點）
三、填空題
（2023·高一課時練習）
42．若向量表示向東走千米，表示向南走千米，則向量表示 ．
（2023·全國·高一課時練習）
43．化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
（2023·河南開封·高一河南省杞縣高中校考期中）
44．已知非零向量滿足，且，則 .
（2023·高一單元測試）
45．任給兩個向量和，則下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
四、解答題
（2023·江西吉安·高二寧岡中學校考期末）
46．作出以下圖形
(1)如圖1，已知向量 不共線，作向量.
(2)如圖2，已知向量，求作向量.
（2023·河北石家莊·高一校考階段練習）
47．化簡下列各式：
(1)；
(2)
（2023·新疆·高一校考期中）
48．化簡下列各向量的表達式：
(1)；
(2)；
(3)；
（2023·湖北·高一校聯考階段練習）
49．如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
（2023·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中校考階段練習）
50．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，，，，求：
(1)；
(2)．
（2023·河南南陽·高一統考階段練習）
51．如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點，為與的交點．
(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．
(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結果的向量．
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四邊形法則可作出向量.
【詳解】（1）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

（2）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

2．詳見解析
【分析】向量，，不共線中隱含著向量，，均為非零向量，因為零向量與任何一個向量都是共線的，利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.
【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，
則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，
如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，
再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

3．A
【分析】利用向量的加法法則即可求解.
【詳解】由向量的加法法則，得.
故選：A.
4．B
【分析】根據平面向量的加法法則求解.
【詳解】根據平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，得.
故選：B.
5．B
【分析】根據向量的加法運算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
6．如圖，(1) (2)
【分析】如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點即可分別得出結果.
【詳解】解：(1)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，
以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；
(2)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，
以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；
7．C
【分析】根據向量加減法結合圖形判斷各個選項即可.
【詳解】,A選項錯誤;
因為ABCD是平行四邊形, 點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點,,B選項錯誤;
,C選項正確;
,D選項錯誤.
故選：C.
8．D
【分析】利用相等向量結合平面向量的減法可化簡向量.
【詳解】在矩形中，，又因為，則，
因此，.
故選：D.
9．D
【分析】利用平面向量的減法法則結合相等向量的定義可求得結果.
【詳解】因為、、分別是的邊、、的中點，則且，
所以，，，
因此，.
故選：D.
10．(1)
(2)
【分析】按照向量的加法，減法運算法則化簡即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
11．D
【分析】根據向量的加減法運算法則直接求解即可.
【詳解】.
故選：D.
12．B
【分析】根據平面的線性運算求得正確答案.
【詳解】，不符合題意.
，符合題意.
，不符合題意.
，不符合題意.
故選：B

13．B
【分析】根據向量的加法、減法運算化簡即可得解.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為，故D錯誤.
故選：B
14．ABD
【分析】根據向量的線性運算求解即可.
【詳解】對A，，故A正確；
對B，，故B正確；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D正確.
故選：ABD
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量加法和減法的運算法則化簡即可得出結果；
（2）首先化簡出兩個向量的結果，再與第三個向量進行加減運算即可求得結果.
【詳解】（1）利用平面向量的加減運算法則可得，
（2）由平面向量的加減運算法則可得
16．證明見解析
【分析】表示出，，相加結合已知，即可得出證明.
【詳解】因為，
，
所以.
又因為，所以.
17．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法則，得到，即可作出證明；.
（2）由向量加法的平行四邊形法則，得到，進而作出證明.
【詳解】（1）證明：由向量加法的三角形法則，
因為，所以.
（2）證明：由向量加法的平行四邊形法則，
因為，
所以
.
18．證明見解析
【分析】方法一：根據圖形關系，利用向量線性運算表示出和即可得到結論；
方法二：根據圖形關系，利用向量線性運算表示出和即可得到結論.
【詳解】方法一：，，
，.
方法二：，
，
，.
19．證明見詳解
【分析】根據題意結合向量減法分析證明.
【詳解】因為
，
又因為為平行四邊形，則為的中點，可得，
所以，
即.
20．A
【分析】根據向量加減法法則及模的定義判斷.
【詳解】因為，，，，
所以，
所以是等邊三角形．
故選：A．
21．D
【分析】利用向量加法的幾何意義和模長之間的關系即可判定其為等腰直角三角形.
【詳解】由于，，，
則，即，
所以△ABC為等腰直角三角形．
故選：D．
22．A
【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷為平行四邊形，再由向量加法、減法運算和模的含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.
【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以，即對角線相等，所以四邊形為矩形.
故選：A
23．C
【分析】分析可得，結合平行四邊形的定義可得出結論.
【詳解】因為，即，
又因為，故四邊形一定為平行四邊形.
故選：C.
24．D
【分析】由向量的減法運算結合向量相等的定義判斷即可.
【詳解】，，即，
相互平行且，則四邊形ABCD為平行四邊形.
故選：D
25．B
【分析】根據速度是既有大小又有方向的量，結合圖示由向量的加法法則即可得出結果.
【詳解】因為速度是既有大小又有方向的量，
如下圖，由向量的加法法則可知，逆風行駛的速度為＋.
故選：B.
26．B
【分析】根據向量的方向，畫出圖形，利用向量的加法運算，計算結果.
【詳解】如圖，

易知，所以．故的方向是北偏東．又.
故選：B．
27．C
【分析】根據向量的加法，即可求得答案.
【詳解】由題意,
故這個人由A地到C地位移的結果為，
故選：C
28．B
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，確定某人的實際前進方向，解直角三角形，可得答案.
【詳解】如圖，表示河水自西向東的流速，表示某人在靜水中游泳的速度，
則即表示他的實際前進方向，
由題意可知，，
則在中，，故，
即他的實際前進方向與水流方向的夾角為，
故選：B
29．船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為
【分析】如圖所示，表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，在中，可得,從而得，，即可得答案.
【詳解】解：設表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，
則四邊形為平行四邊形.
所以，，
因為，于是，
所以，，
故船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為.
30．D
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】對于A：，故A正確；
對于B：，故B正確；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D錯誤；
故選：D
31．C
【分析】利用平面向量的線性運算化簡，求解即可．
【詳解】由題意可得：.
故選：C．
32．C
【分析】根據向量加減法運算法則直接計算即可.
【詳解】由題意得，.
故選：C
33．C
【分析】由向量加法的三角形法則可知.
【詳解】.
故選：C.
34．D
【分析】根據向量加法的幾何關系及矩形性質判斷各項的結果，即可得答案.
【詳解】由題設，，，，，故A、B、C錯，D對.

故選：D
35．A
【分析】由推出，再根據向量相等的定義得且，從而可得答案.
【詳解】因為，故，即，
故且，故四邊形一定是平行四邊形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.
故選：A.
36．C
【分析】根據平面向量的加法運算即可求解.
【詳解】對于①，,故①正確；
對于②，,故②錯誤；
對于③，，故③正確；
對于④，,故④正確.
故結果為零向量的個數是3.
故選:C.
37．C
【分析】根據向量加減法的法則即可得到答案.
【詳解】對A，當，且同方向時，，故A錯誤，
對B，當，且反方向時，，故B錯誤，
對C，根據向量加法的平行四邊形法則，得，故C正確，
對D，根據向量減法的三角形法則，得，故D錯誤，
故選：C.
38．BC
【分析】根據平面線向量加法和減法的運算法則逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以選項A不符合題意；
因為，所以選項B符合題意；
因為，
所以選項C符合題意；
因為，
所以選項D不符合題意，
故選：BC
39．ABC
【分析】根據向量的線性運算分別判斷即可．
【詳解】解：對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D不合題意；
故選：ABC．
40．ABC
【分析】根據平面向量的線性運算即可結合選項逐一求解.
【詳解】因為在平面四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，
所以，
因為，
所以，
所以A正確，
因為，
所以，所以B正確，
因為，
所以，所以C正確，
因為，
所以D錯誤，
故選：ABC
41．ABC
【分析】根據平面向量線性運算法則及相等向量的定義判斷即可.
【詳解】因為，，，四點不共線，
對于A：，所以且，所以為平行四邊形，故A正確；
對于B：因為，所以，所以且，
所以為平行四邊形，故B正確；
對于C：因為，即，
所以，所以且，
所以為平行四邊形，故C正確；
對于D：因為，所以，
所以，所以四邊形為平行四邊形，故D錯誤；
故選：ABC
42．沿東南方向走千米
【分析】利用向量加法的幾何意義解答即可.
【詳解】若向量表示向東走千米，表示向南走千米，
則向量表示的方向為東南方向，大小為的向量
即表示沿東南方向走千米.
故答案為：沿東南方向走千米.
43．
【分析】根據向量加減法的幾何意義進行運算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案為：；；；.
44．4
【分析】根據向量加減運算及向量的模長可得出平行四邊形OACB是矩形，由矩形對角線相等得解.
【詳解】如圖所示，設，，
則，
以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形，
根據矩形的對角線相等得，即.
故答案為：4
45．②③
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則可判斷①；根據向量減法的三角形法則可判斷②③④.
【詳解】①根據向量加法的平行四邊形法則，得，則①不恒成立；
②根據向量減法的三角形法則，得，則②恒成立；
③根據向量減法的三角形法則，得，則③恒成立；
④根據向量減法的三角形法則，得，則④不恒成立.
故答案為：②③.
46．(1)詳見解答
(2)詳見解答
【分析】（1）根據向量的加法運算法則及幾何意義作圖即可
（2）根據向量的減法運算法則及幾何意義作圖即可
【詳解】（1）如圖所示，在平面中取任意一點作，則
（2）如圖所示，在平面中取任意一點作，則
47．(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量加法和減法的運算法則化簡即可得出結果；
（2）首先化簡出兩個向量的結果，再與第三個向量進行加減運算即可求得結果.
【詳解】（1）利用平面向量的加減運算法則可得，
（2）由平面向量的加減運算法則可得
48．(1).
(2).
(3)
【分析】根據平面向量的加法運算和減法運算法則可求出結果.
【詳解】（1）.
（2）
.
（3）
.
49．(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量的加法運算求解即可.
（2）根據平面向量的加法、減法運算求解即可.
【詳解】（1）由題知：．
（2）
．
50．(1)
(2)
【分析】（1）結合圖形及向量相加的三角形法則，可知，后可得答案；
（2）如圖，做，連接CF，BD.后由圖形及向量相減的三角形法則可得答案.
【詳解】（1）由已知得，
∵，∴延長AC到E，使，如圖所示，
則，且．∴．
（2）做，連接CF，BD，則，
而，
∴且．
∴．
51．(1)菱形，理由見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據平面向量加法的運算法則，結合菱形的定義進行求解判斷即可；
（2）根據三角形中位線定理，結合平面向量運算法則進行求解即可.
【詳解】（1）由條件知，
即，又四邊形是平行四邊形，故四邊形是菱形．
（2）由平行四邊形及三角形中位線的性質可知．
所以．
作出向量如圖所示．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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