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專題05 平面向量基本定理-【寒假自學(xué)課】（蘇教版2019）
專題05 平面向量基本定理
知識聚焦
考點(diǎn)聚焦
知識點(diǎn)01 平面向量基本定理
1、定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使
2、基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
3、對平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．
（3）是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
（4）由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．
知識點(diǎn)02 平面向量基本定理的應(yīng)用
1、唯一性的應(yīng)用：
設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，
若，則
2、重要結(jié)論
設(shè)是平面內(nèi)一個(gè)基底，若，
①當(dāng)時(shí)，與共線；②當(dāng)時(shí)，與共線；③當(dāng)時(shí)，；
知識點(diǎn)03 平面向量的正角分解
由平面基本定理知，平面內(nèi)任意向量可以用一組基底表示成的形式，我們稱為向量的分解.當(dāng)所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量的正交分解.
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)1 平面向量基本定理的概念
【例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）
1．下面說法中，正確的是　(　　)
①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；
②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；
③零向量不可作為基底中的向量；
④對于平面內(nèi)的任一向量和一組基底，，使=λ+μ成立的實(shí)數(shù)對一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）
2．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個(gè)非零向量表示
B．平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一
【變式1-2】（2023·河南新鄉(xiāng)·高一原陽一中校考階段練習(xí)）（多選）
3．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底
B．若，是單位向量)，則
C．向量與共線存在不全為零的實(shí)數(shù)使
D．已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若則
【變式1-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）
4．如果、是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么在下列各說法中錯(cuò)誤的有（ ）
①可以表示平面內(nèi)的所有向量；
②對于平面中的任一向量，使的，有無數(shù)多對；
③若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；
④若實(shí)數(shù)，使，則．
A．①② B．②③ C．③④ D．僅②
考點(diǎn)2 判斷兩向量能否作為基底
【例2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期中）
5．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式2-1】（2023·安徽阜陽·高一校考階段練習(xí)）（多選）
6．設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下可作為該平面內(nèi)一組基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式2-2】（2023·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
7．如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
【變式2-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）
8．如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（ ）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)3 基底表示向量（1）
【例3】（2023·陜西·高一校聯(lián)考期中）
9．如圖，在中，設(shè)，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023·安徽蕪湖·高一無為襄安中學(xué)校考期中）
10．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）
11．如圖，已知，，分別是三邊，，上的點(diǎn)，且，，，如果，，試用基底表示向量，，.
【變式3-3】（2023·重慶·高一校聯(lián)考期中）
12．在平行四邊形ABCD中，設(shè)M為線段BC的中點(diǎn)，N為線段AD上靠近D的三等分點(diǎn)，，，則向量（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)4 基底表示向量（2）
【例4】（2023·重慶·高一臨江中學(xué)校考階段練習(xí)）
13．如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，設(shè)，，則等于（ ）.
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）
14．在平行四邊形ABCD中與相交于點(diǎn)，若，則=（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·山東威海·高一統(tǒng)考期末）
15．在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
16．在中，E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且，，BF與DE相交于點(diǎn)P，試用和表示 ．
考點(diǎn)5 平面向量基本定理求參數(shù)
【例5】（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
17．已知向量、不共線，且，則的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
【變式5-1】（2023·河北石家莊·高一校考期中）
18．已知平行四邊形中，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式5-2】（2023·河北衡水·高一衡水市第二中學(xué)校考期中）
19．如圖所示，平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)O，，若，則等于（ ）

A．1 B． C． D．
【變式5-3】（2023·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期中）
20．如圖，在平面四邊形中，，，延長交的延長線于點(diǎn)，若，則 .

考點(diǎn)6 平面向量基本定理的應(yīng)用
【例6】（2023·貴州貴陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
21．直角三角形中，，，若點(diǎn)滿足，則（ ）
A．0 B．3 C． D．9
【變式6-1】（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）
22．已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，直線AE，CD交于點(diǎn)P，且滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·浙江·高一景寧中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
23．如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則，則的最小值（ ）

A．1 B．3 C．5 D．8
【變式6-3】（2023·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
24．如圖所示的矩形ABCD中，，，以為圓心的圓與AC相切，為圓上一點(diǎn)，且，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
過關(guān)檢測
一、單選題
（2023·山東·高一統(tǒng)考期中）
25．設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（2023·安徽蕪湖·高一校聯(lián)考期中）
26．在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·北京·高一校考期中）
27．如圖，梯形中，，且，對角線相交于點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津·高一校考階段練習(xí)）
28．如圖，平行四邊形中，M為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
（2023·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）
29．如圖，在中 ，2BD=CD，E為AC中點(diǎn)，AD和BE相交于點(diǎn)F，那么AF：DF=（ ）.
A．2 B． C．3 D．4
（2023·山東泰安·高一泰安一中校考期中）
30．如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為（ ）

A．2 B．3 C． D．5
（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）
31．已知中，，，與相交于點(diǎn)，，則有序數(shù)對（ ）
A． B． C． D．
（2023·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）
32．如圖，，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中，，則（ ）

A．1 B．2 C． D．3
二、多選題
（2023·全國·高一專題練習(xí)）
33．下列說法中正確的有（ ）
A．已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，對于實(shí)數(shù)，，一定在該平面內(nèi)
B．已知，是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)，使，則
C．已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，若實(shí)數(shù)，，，使，則，
D．已知，是平面內(nèi)的一組基底，對平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)，有且只有一對
（2023·福建福州·高一福州日升中學(xué)校考期中）
34．已知向量，不共線，則下列各組向量中，能作平面向量的一組基底的有（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）
35．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)滿足，是的中點(diǎn).設(shè)，，則下列等式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·四川成都·高一樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）
36．如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
（2023·湖南岳陽·高一校考開學(xué)考試）
37．在平行四邊形中，如圖，，依次是對角線上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)試用與表示和，則= ，= ．

（2023·廣西·高一統(tǒng)考期末）
38．中，為中點(diǎn)，，，則 ．
（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期中）
39．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 而向量正是數(shù)與形“溝通的橋梁”. 如圖，在中，，若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且， .

（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考期中）
40．平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是 ．
四、解答題
（2023·貴州畢節(jié)·高一校考期中）
41．如圖，在梯形中，，分別是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，設(shè).

(1)用表示；
(2)用表示.
（2023·湖北·高一仙桃中學(xué)校考階段練習(xí)）
42．如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，若.
(1)，求的值；
(2)求證：，并求的最小值.
（2023·吉林·高一東北師大附中校考階段練習(xí)）
43．如圖1所示，在中，點(diǎn)D在線段BC上，滿足，G是線段AB上的點(diǎn)，且滿足，線段CG與線段AD交于點(diǎn)O.
(1)試用，表示和；
(2)如圖2所示，過點(diǎn)O的直線與線段AB，AC（不與端點(diǎn)重合）分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，，求xy的最小值.
（2023·云南昆明·高一校考期中）
44．如圖所示，是邊長為2的正三角形，點(diǎn)，，四等分線段BC．

(1)求的值；
(2)若點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值．
（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）
45．如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．

(1)當(dāng)時(shí)，用向量，表示；
(2)證明：為定值．
（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考期中）
46．如圖，在直角三角形ABC中，，．點(diǎn)D，E分別是線段AB，BC上的點(diǎn)，滿足，，．

(1)求的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)向量基底的概念可判斷①②，根據(jù)零向量的概念可判斷③，由平面向量基本定理判斷④.
【詳解】因?yàn)椴还簿€的任意兩個(gè)向量均可作為平面的一組基底，故②③正確，①不正確；
由平面向量基本定理知④正確．
綜上可得②③④正確．
故選：B．
2．B
【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)和基底的性質(zhì)，結(jié)合平面向量基本定理逐一判斷即可.
【詳解】由共線向量的性質(zhì)可知選項(xiàng)A正確；
根據(jù)平面向量基本定理可知：平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量表示，所以選項(xiàng)B不正確；
根據(jù)平面向量基本定理可知中：選項(xiàng)C、D都正確，
故選：B
3．CD
【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判斷AB，由共線向量定理可判斷CD.
【詳解】對于A，由平面基底的概念可知，只要不共線的任何兩個(gè)向量都可以作為平面的一組基底向量，故A錯(cuò)誤；
對于B，不妨設(shè)，，此時(shí)有，但不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C，向量共線定理的充要條件可知C正確；
對于D，由向量共線定理可知，
其中，
若則，故D正確.
故選：CD.
4．B
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，逐一對選項(xiàng)①②③分析判斷，即可得出正誤，對于選項(xiàng)④，反證法可判斷出正誤，從而得到結(jié)果.
【詳解】對于①，由平面向量基本定理可知，①是正確的．
對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的，所以②錯(cuò)誤；
對于③，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即時(shí)，這樣的有無數(shù)個(gè)，所以③錯(cuò)誤；
對于④，假設(shè)不全為0 ，不妨設(shè)，則，則，共線，與，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量矛盾，所以，所以④正確.
故選：B.
5．C
【分析】只要兩個(gè)向量不共線，便可作為平面內(nèi)的一組基底，從而判斷哪組向量共線即可.
【詳解】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯(cuò)誤；
對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯(cuò)誤；
對于C，，
和共線，不能作為一組基底，C正確；
對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯(cuò)誤.
故選：C.
6．ABD
【分析】根據(jù)基底的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】不能用表示，故不共線，所以A符合；
不能用表示，所以不共線，故B符合；
，故共線，所以C不符合；
不能用表示，故不共線，所以D符合.
故選：ABD.
7．C
【分析】利用平面向量基底的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)，
因?yàn)椤⒉还簿€，則，顯然不成立，A中的兩個(gè)向量可作一個(gè)基底；
對于B選項(xiàng)，設(shè)，
因?yàn)椤⒉还簿€，則，顯然不成立，B中的兩個(gè)向量可作一個(gè)基底；
對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋珻中的兩個(gè)向量不能作一個(gè)基底；
對于D選項(xiàng)，設(shè)，
因?yàn)椤⒉还簿€，則，顯然不成立，D中的兩個(gè)向量可作一個(gè)基底.
故選：C.
8．C
【分析】根據(jù)平面基底的定義和判定，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)，使得，
對于A中，向量和，不存在實(shí)數(shù)，使得，可以作為一個(gè)基地；
對于B中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，
可得，此時(shí)方程組無解，所以和可以作為基底；
對于C中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，
可得，解得，所以和不可以作為基底；
對于D中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，
可得，此時(shí)方程組無解，所以和可以作為基底；
故選：C.
9．D
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解.
【詳解】由題意,
故選：D．
10．B
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式，結(jié)合圖形，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以．

故選：B
11．，，.
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算結(jié)合幾何圖形求解作答.
【詳解】在中，，由，得，，
由，得，，
所以，
由，得，所以，
.
12．B
【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理求解即可.
【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，設(shè)M為線段BC的中點(diǎn)，N為線段AD上靠近D的三等分點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以
故選：B

13．A
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線以及平面向量的基本定理等知識求得正確答案.
【詳解】由題意得，，
由，，三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)，滿足.
由，，三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)，滿足，
所以.
因?yàn)椋瑸榛祝裕獾茫?br/>所以.
故選：A
14．C
【分析】由三點(diǎn)共線，則可設(shè)，由三點(diǎn)共線，則可設(shè)，然后根據(jù)題意都用表示，從而可求出的值，進(jìn)而可求得答案
【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，
所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，
即，解得，，
所以，
故選：C.
15．D
【分析】根據(jù)平面向量共線定理、平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理得到方程，解得即可.
【詳解】依題意，又，
所以，
因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，
又、、三點(diǎn)共線，所以，
因?yàn)椤⒉还簿€，所以，解得，
所以.
故選：D
16．
【分析】先設(shè)，，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得，，對應(yīng)系數(shù)相等求出，再根據(jù)代入后即可求出結(jié)果.
【詳解】由D，P，E三點(diǎn)共線，B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)，，
由向量的線性運(yùn)算可知，，
又因?yàn)椋傻茫裕?br/>同理，
所以，解得，所以，
故，
故答案為：
17．D
【分析】由平面向量基本定理，列方程求解.
【詳解】向量、不共線，且，
則有，解得，所以.
故選：D
18．D
【分析】利用給定的平行四邊形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理計(jì)算即得.
【詳解】在中，，即是的中點(diǎn)，則，
又，即，
因此，
而，不共線，
所以，.
故選：D
19．B
【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理即可求解.
【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€相交于點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>則.
故選：B.
20．##
【分析】根據(jù)相似比以及平面向量基本定理求得的值.
【詳解】由于，，
所以，所以，所以，
過作，垂足為，則，
由于，所以，
所以.
故答案為：

21．B
【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得、，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，又，
所以.
故選：B.
22．C
【分析】令，，令，，利用平面向量基本定理確定點(diǎn)的位置即可求解作答.
【詳解】如圖，令，，
于是，
而，并且不共線，因此，解得，
令，，
則，
從而，解得，因此點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以，所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
23．D
【分析】利用平面向量共線定理與線性運(yùn)算即可得，且，再結(jié)合基本不等式“1”的代換即可求得最值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，
又是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則可設(shè)，且
所以
則，所以，則，且
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
24．C
【分析】過點(diǎn)做交延長線于點(diǎn)，先根據(jù)相切及等面積法求出圓的半徑即的長度，再根據(jù)，求出的長度，根據(jù)長度之間的比例及向量共線定理分別可得與之間的等式關(guān)系，代入中，故可得的值，即可選出結(jié)果.
【詳解】解：過點(diǎn)做交延長線于點(diǎn)，如圖所示：
因?yàn)榫匦蜛BCD中，，，所以，
因?yàn)闉閳A上一點(diǎn)，所以為圓的半徑，
因?yàn)閳A與相切，根據(jù)面積相等可得：
，即，
解得，因?yàn)椋裕?br/>所以，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
所以，
故，所以.
故選：C
25．B
【分析】如果兩個(gè)向量共線便不能作為基底，從而找到共線向量的一組即可，可根據(jù)共線向量的基本定理進(jìn)行判斷.
【詳解】不共線的向量可以作為基底，所以不能作為基底的便是共線向量，顯然選項(xiàng)B中，，所以和共線.
故選: B.
26．A
【分析】根據(jù)題中條件，由向量的線性運(yùn)算，先由，再由，，代入即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，
.
故選：A.

27．B
【分析】根據(jù)平行關(guān)系證明，然后根據(jù)得到與的比例關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化成用基底表示即可．
【詳解】，，
，故，
則，，
而，
，
故選：B．
28．B
【分析】由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即得.
【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃校琈為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，
所以，
所以，又，
所以，.
故選：B.
29．C
【分析】利用平面向量基本定理的推論表示向量，即可求解.
【詳解】設(shè)，
，
則，解得：
所以，即
即，則.
故選：C
30．A
【分析】根據(jù)及三點(diǎn)共線結(jié)論求得的值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)?br/>所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以，
所以.
故選：A
31．D
【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，，利用、分別表示出，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得、，再代入計(jì)算可得.
【詳解】依題意、、三點(diǎn)共線，故，
所以
，
又、、三點(diǎn)共線，故，
則
，
所以，解得，
所以，又，所以，
所以有序數(shù)對.
故選：D
32．B
【分析】連接、，則有，，根據(jù)求解即可.
【詳解】如圖，連接，，，，則，

.
故選：B．
33．ABD
【分析】根據(jù)平面向量基本定理分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對于，是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，
對于實(shí)數(shù)，，由向量運(yùn)算法則得一定在該平面內(nèi)，故正確；
對于，，是平面內(nèi)的一組基底，
若實(shí)數(shù)，使，則由基底的定義得，故正確；
對于，是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，
若實(shí)數(shù)，，，使，
則由向量相等的定義得，不一定成立，故錯(cuò)誤；
對于，已知，是平面內(nèi)的一組基底，對平面內(nèi)任一向量，
由共面向量基本定理得使的實(shí)數(shù)，有且只有一對，故正確．
故選：．
34．CD
【分析】根據(jù)基底的定義，結(jié)合平面向量共線定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以選項(xiàng)AB中的平面向量不能做為一組基底，
因?yàn)橄蛄浚还簿€，
所以不共線，不共線，
所以選項(xiàng)CD中的平面向量可以做為一組基底，
故選：CD
35．BC
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，，A錯(cuò)誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，由B知：，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
36．ACD
【分析】設(shè)，其中，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，求出的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，
所以，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，
又因?yàn)榍摇⒉还簿€，則，
所以，，故ACD選項(xiàng)滿足條件.
故選：ACD.
37．
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【詳解】，
．
故答案為: ;.
38．
【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合已知條件即可得出結(jié)果．
【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，
所以
，
因?yàn)椋?br/>所以，
故答案為：

39．
【分析】利用和分別共線，可得存在使得，再利用向量的四則運(yùn)算解出的值即可求解.
【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)楹头謩e共線，
所以存在使得，，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以，，，
故答案為：
40．
【分析】設(shè)，以為基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)值域求法可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
，，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的取值范圍為.
故答案為：.
41．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理表達(dá)出；
（2）根據(jù)三角形相似關(guān)系求出，結(jié)合（1）中結(jié)論，求出.
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，
所以，
又，
所以
（2）因?yàn)椋?br/>所以∽，
由于，分別是的中點(diǎn)，
故，
由（1）知，
所以
.
42．(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）確定，得到答案.
（2）確定，得到，確定，展開利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），
故，
（2），三點(diǎn)共線，故，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.
43．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的加減法則運(yùn)算即可；
（2）用基底表示向量，利用向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理得，使用基本不等式即可求出最值.
【詳解】（1）；
.
（2）在圖1中，設(shè)，
則，
由G，O，C三點(diǎn)共線，存在唯一，
使得，
所以，則，.
有.
在圖2中，由E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，存在唯一，使得
，
有，則，∵，，
∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，有最小值為.
44．(1)
(2)
【分析】（1）利用轉(zhuǎn)化的方法，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得的值.
（2）根據(jù)向量共線列方程，從而求得的值.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，四等分線段，
所以，，，
，
（2）∵點(diǎn)Q在線段上，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
因此所求實(shí)數(shù)m的值為.
45．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）利用平面向量共線定理計(jì)算即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)锳Q為邊BC的中線，
所以，
所以．
（2）由（1）可知，
所以．
而，，，
所以，
即，
整理可得，
而，是不共線向量，所以，
兩式相加可得，是定值,證畢．
46．(1)
(2)存在，
【分析】（1）以為基底表示，結(jié)合求解即可；
（2）以為基底表示求解即可.
【詳解】（1）.
因?yàn)椋剩?br/>故，又，故.
（2）由題意，，若則，即，
故，
即，解得.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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