資源簡介

導數大題證明不等式歸類
目錄
題型 01 不等式證明方法
題型 02 單變量構造：利用第一問結論
題型 03 單變量構造：數列型
題型 04 數列不等式：無限和裂項型
題型 05 數列不等式：累積相消型
題型 06 數列不等式：取對數型
題型 07 虛設根型證不等式
題型 08 利用函數“凸凹反轉性”證明不等式
題型 09 同構型不等式證明
題型 10 雙變量型構造
題型 11 極值點偏移型：和型證明
題型 12 極值點偏移型：積型證明
題型 13 極值點偏移型：平方型證明
題型 14 三角函數型不等式證明
題型 15 韋達定理代換型
題型 16 切線放縮型證明
高考練場
題型 01 不等式證明方法
【解題攻略】
利用導數證明不等式問題，基本思維方法如下：
(1)直接構造函數法：證明不等式 f x > g x (或 f x < g x )轉化為證明 f x - g x > 0(或 f x -
g x < 0)，進而構造輔助函數h x = f x - g x ；
(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
利用導數證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構造新的函數h x ；
(3)利用導數研究h x 的單調性或最值；
(4)根據單調性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問
題．
1
1 (陜西省澄城縣 20121- 2022學年高三試數學 (理)試題)設函數 f(x) = lnx- x+ 1．
(1)討論 f(x)的單調性；
(2)證明：當 x∈ (1,+∞)時，1< x- 1．
lnx
2 已知函數 f(x) = x2-2lnx.
(Ⅰ)求函數 f(x)的單調區間；
(Ⅱ)求證：當 x> 2時，f(x)> 3x- 4.
2
【變式訓練】
1 (湖南省三湘名校教育聯盟 2021- 2022學年高三數學試題)已知函數 f x = ex+ax+ b，曲線 y=
f x 在點 0,f 0 處的切線方程為 y= a- b．
(1)求 a，b的值；
(2)證明：f x ≥ 0．
2 (湖北省華中師范大學潛江附屬中學 2021- 2022學年高三 4月數學試題)已知函數 f(x) = ax3
-3lnx.
(1)若 a= 1，證明：f(x)≥ 1；
(2)討論 f(x)的單調性.
3 (2022·云南昆明·統考模擬預測)已知函數 f(x) = x- sinx，x∈ (0,+∞)．
(1) π π求曲線 y= f(x)在點 ,f 處的切線方程；2 2
(2)證明：2ex f(x) + cosx ex> 1．
3
題型 02單變量構造：利用第一問結論
【解題攻略】
一些試題，可以通過對第一問分類討論，得出一些不等式放縮式子或者放縮方向
1.可以利用第一問單調性提煉出不等式
2.可以利用第一問極值或者最值提煉出常數不等式
3.可以利用題干和第一問結論構造新函數 (新不等式)
1 (2023· 1吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測)已知函數 f(x) = x2-1 - lnx.2
(1)求 f x 的最小值；
(2)證明：ln 4 > 7 .
3 32
2 (2021下·北京豐臺·高三統考)已知函數 f(x) = aex+bx+ 1在 x= 0處有極值 2．
(Ⅰ)求 a，b的值；
(Ⅱ)證明：f(x)> ex- x．
4
【變式訓練】
1 (2021·四川·四川省綿陽南山中學校考模擬預測)設函數 f x = x2-2x ex+aex- e2lnx，其中 e為自
然對數的底數，曲線 y= f 3 x 在 2,f 2 處切線的傾斜角的正切值為 e2+2e．
2
(1)求 a的值；
(2)證明：f x > 0．
2 (2022下·山東聊城·高三練習)已知函數 f(x) = xlnx.
(1)討論 y= f(x)的單調性并求極值；
(2)證明：當 x> 1時，ln2(x+ 1)> lnx ln(x+ 2).
x
3 (20122 e -a安徽馬鞍山·統考模擬)已知函數 f x = ,a∈R.
x
(1)若 f x 在定義域內無極值點，求實數 a的取值范圍；
(2)求證：當 0< a< 1,x> 0時，f x > 1恒成立.
5
題型 03單變量構造：數列型
【解題攻略】
數列型不等式證明
1.對于n∈N 型數列不等式證明，可以轉化為定義域為X≥ 1,在實數范圍內證明不等式。
2.一些特殊形式的數列不等式，可以通過選擇合適的換元，構造新函數，注意因為 n的正整數屬性，注意對應
換元的取值范圍
3.數列型不等式的證明，一般需要聯系前面第一問的結論，對要證明的不等式進行適當的拆分湊配來證明
x
1 (2023· 1吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測)已知函數 f x = 1+ (x> 0)．x
(1)證明：f x < e；
(2)討論 f x 的單調性，并證明：當 n∈N*時， 2n+ 1 ln n+ 1 2（2012·河北衡水·統考一模)設函數 f(x) = x2+bln(x+ a),其中 b≠ 0．
(1)當 b= 1時，f(x)在 x=-2時取得極值，求 a；
(2)當 a= 1時，若 f(x)在 (-1,+∞)上單調遞增，求 b的取值范圍；
(3) 1 1 1證明對任意的正整數n,不等式 ln + 1n > - 都成立．n2 n3
6
【變式訓練】
1 2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測)設函數 f x = 1- ax ln x+ 1 - bx，其中 a
和 b是實數，曲線 y= f x 恒與 x軸相切于坐標原點．
1 求常數 b的值；
2 當 0≤ x≤ 1時，關于 x的不等式 f x ≥ 0恒成立，求實數 a的取值范圍；
10001 10000.4 1000.5
3 求證： < e< 1001 ．10000 1000
2 (2023上·河南南陽·高三統考期中) (1)已知函數 f x = xlnx，判斷函數 g x = f 1+ x + f 1- x 的
單調性并證明；
1+ 1 1- 1
(2)設n為大于 1的整數，證明： n+ 1 n n- 1 n>n2.
3 (2017下· 1- x黑龍江大慶·高三大慶中學校已知函數 f(x) = + lnx；
ax
(1)若函數 f(x)在 [1,+∞)上為增函數，求正實數 a的取值范圍；
(2)當 a= 1 1時，求函數 f(x)在 ,2 上的最值；2
(3)當 a= 1時，對大于 1的任意正整數n，試比較 ln n 1- 與 的大小關系．n 1 n
7
題型 04數列不等式：無限和裂項型
【解題攻略】
證明不等式 f 1 + f 2 + +f n < g n ，該不等式左邊是求和式，右邊只有單獨的一項，但可以通過變形將
右邊也轉化為求和式，即
g n = g n - g n- 1 + g n- 1 - g n- 2 + g n- 2 - g n- 3 + + g 2 - g 1 + g 1 - g 0
這樣一來，設 b *n= g n - g n- 1 n∈N ，
則只需證 f 1 + f 2 + +f n < b1+b2+ +bn，而要證明這個式子，可以證明左右兩側對應項的大小關系，
即如果能夠證出 f n < bn恒成立，則原不等式也就成立.
1 (2023·內蒙古呼和浩特·呼市二中?？家荒?已知函數 f x = ln 1+ x -mx．
(1)求函數 f x 的極值；
(2) 1 1 1求證： *
n+ + + + > ln2 n∈N ．1 n+ 2 n+n+ 1
2 (2023·全國·高三專題練習)已知函數 f(x) = 2alnx- x2+a，a∈R．
(1)討論函數 f x 的單調性；
(2)證明:2ln n+ 1 > 1 + 1 + 1 + + 1 *
2 3 4 n+ (n∈N ) ．1
8
【變式訓練】
1 (2023上·浙江·高三浙江省富陽中學校聯考階段練習)已知函數 f x = axlnx- x,(a∈R)).
(1)討論 f x 的單調性；
(2)若 x> 1時，f x >-1，求實數 a的取值范圍；
(3)對任意n∈N *，證明： 1 + 2 + 3 + + n + ln n+ 1>n.
2 3 4 n+ 1
2 (2023上· lnx福建廈門·高三廈門市湖濱中學校考期中)已知函數 f x = kx,g x = .
x
(1)若不等式 f x ≥ g x 在區間 0,+∞ 內恒成立，求實數 k的取值范圍；
(2) ln2 + ln3 +...+ lnn 1求證： < (n≥ 2,n∈N ,e為自然對數的底數)
24 34 n4 2e
3 (2023上·陜西·高三校聯考階段練習)已知函數 f x = e-x-aex，a∈R．
(1)若函數 f x 在R上單調遞減，求 a的取值范圍；
(2)已知 a= 1 m≥ 1， ，x> 1，g x = lnx+mf lnx ，求證：g x < 0；
2
(3) ln5< 1 + 1 1證明： *+ + + n∈N ．n n 1 5n
9
題型 05數列不等式：累積相消型
【解題攻略】
累加列項相消證明法
證明不等式 f 1 f 2 f n < g n 為例，該不等式左邊是求積式，右邊只有單獨的一項，但可以通過
變形將右邊也轉化為求和式，如轉化為累積相消型
g n g n- 1 g2
g n = g 1
g n- 1 g n- 2 g 1
g n
這樣一來，設 bn= n∈N *-
，
g n 1
則只需證 f 1 f 2 f n < b1+b2+ +bn，而要證明這個式子，可以證明左右兩側對應項的大小關系，即如
果能夠證出 f n < bn恒成立，則原不等式也就成立.
1 (2022貴州銅仁·高三貴州省銅仁第一中學階段練習)已知函數 f(x) = aln x- ax- 3(a∈R)．
(1)若 a=-1，求函數 f(x)的單調區間；
(2)若函數 y= f(x)的圖象在點 (2，f(2))處的切線的傾斜角為 45°，對于任意的 t∈ [1,2]，函數 g(x) = x3
+x2 f '(x) +
m ( f
(x)是 f(x)的導函數)在區間 (t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍；
n
(3) ln2 × ln3 × ln4 × × lnn < 1求證： (n≥ 2，n∈N *)
2 3 4 n n
2 (2023·全國·高三專題練習)已知函數 f x = alnx+ 1- x．
(1)若 f x ≤ 0，求 a的值；
(2)證明：當n∈N+且n≥ 2 ln2時， × ln3 × ln4 × × lnn < 1．
22 32 42 n2 n
10
【變式訓練】
1 (2023·全國·高三專題練習)已知函數 f(x) = (x+ 1)lnx，g x = ax- 2 a∈R
(1)若 f(x)≥ g(x)對任意的 x∈ [1,+∞)恒成立，求實數 a的取值范圍；
n
(2)求證：ln2 ln3 ln4...lnn> 2 n≥ 2,n∈N .
n(n+ 1) +
2 (2023·全國·高三專題練習)設整數 p> 1，n∈N *，x>-1 p且 x≠ 0，函數 f x = 1+ x -px- 1．
(1)求證：f x > 0；
(2) 1求證： 1+ 1+ 1 1+ 1 1+ 1 > 2n+ 1．1 3 5 2n- 1
a x2-x
3 (2022·全國·高三專題練習)已知函數 f x = xlnx，g x =

.
2
(1)若 f x < g x 在 1,+∞ 上恒成立，求實數 a的取值范圍；
(2)求證： 1+
1 1+
2 n
n+ 1 2 n+ 1 2
1+ < e.
n+ 1 2
11
題型 06數列不等式：取對數型
【解題攻略】
取對數型
證明不等式 f 1 f 2 f n < t為例，該不等式左邊是求積式，右邊只有單獨的一項常數，但可以通過
取對數，把左邊的積轉化為對數和型，如轉化為累加或者累積相消型
ln f 1 f 2 f n < lnt ln f 1 + ln f 2 + ln f 3 +ln f 2 < lnt
1 (2023·全國·高三專題練習)已知函數 f x = ln 1+ x ．
(1) x求證：當 x∈ 0,+∞ 時， + < f x < x；1 x
(2) 1 2 n已知 e為自然對數的底數，求證： n∈N *， e< 1+ 1+ 1+ < e．n2 n2 n2
2 (2023·全國·高三專題練習)已知函數 f(x) = sinx- xcosx(x≥ 0)．
(1)求函數 f(x) π的圖象在 ,1 處的切線方程；2
(2)若任意 x∈ (0,+∞)，不等式 f(x)≤ ax3恒成立，求實數 a的取值范圍；
(3)設 g(x) = 3 f(x)，證明： 1+ g 1 1 1 x2 3 1+ g 1+ g < e．32 3n
12
【變式訓練】
1 (2023上·江蘇淮安·高三金湖中學校聯考)已知函數 f x = ax- a- lnx．
(1)求曲線 y= f x 在點 1,f 1 處的切線方程；
(2)證明：當 a= 1時，f x ≥ 0；
2 n-1
(3)設m為整數，若對于 n∈N*, 1+ 1 1+ 2 1+ 23 32 33 1+
2
n 2 (2023·全國·高三專題練習)已知關于 x的函數 f x = ax- lnx- 1+ ln2 .
(1)討論 f x 的單調性；
(2)證明：當n∈N *時，ln 1× 2× 3× ×n 3 (2023· 1四川成都·石室中學校考模擬預測)已知函數 f x = ex- ax2-x
2
(1)若 f x 單調遞增，求 a的值；
(2) 1 1判斷 1+ 1 1+ 1+ (n∈N*且n≥ 2)與 e2的大小，并說明理由.4 n2
13
題型 07虛設根型證不等式
【解題攻略】
虛設零點法：
涉及到導函數有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設出來而不必求出來，然后尋找一種整
體的轉換和過度，再結合其他條件，進行代換變形，從而最重獲得問題的解決
1 已知函數 f(x) = x2- (a- 2)x- alnx(a∈R)．
(1)求函數 y= f(x)的單調區間；
(2)當 a= 1時，證明：對任意的 x> 0，f(x) + ex> x2+x+ 2．
2 (20122·浙江·模擬預測)已知函數 f(x) = x2- (a- 2)x- alnx(a∈R)．
(1)求函數 y= f(x)的單調區間；
(2)當 a= 1時，證明：對任意的 x> 0，f(x) + ex> x2+x+ 2．
14
【變式訓練】
1 (2023上·福建福州·高三校聯考)設函數 f(x) = e2x-alnx．
(1)求 a= e時，f(x)的單調區間；
(2)求證：當 a> 0時，f(x)≥ 2a+ aln 2．
a
2 (2024上·陜西安康·高三校聯考階段練習)已知函數 f x = x- alnx- 4,a∈R.
(1)討論函數 f x 的單調性；
(2)當 a= 1時，令F x = x- 2 ex-f x ，若 x= x0為F x 的極大值點，證明：03 (2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習)已知函數 f x = ax+ xlnx,a∈R.
(1)判斷 f x 的單調性;
(2)若 a= 1,0< x≤ 1, 求證:ex+1- f x ≤ e,其中 e是自然對數的底數.
15
題型 08利用函數“凸凹反轉性”證明不等式
【解題攻略】
凸凹反轉首先是證明不等式的一種技巧，欲證明 f(x) > 0，若可將不等式左端 f(x)拆成 g(x) > h(x)，且 gmin
(x)> hmax(x)的話，就可證明原不等式成立. 通常情況，我們一般選取 g(x)為上凸型函數，h(x)為下凹型函數
來完成證明.
1 (2023 m上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學校?？?已知函數 f x = + lnx,m∈R.
x
(1)討論 f x 的單調性；
(2)證明：當m> 0時，mf x ≥ 2m- 1.
2 已知函數 f(x) = ex-x-m(m∈R)．
(1)當 x> 0時，f(x)> 0恒成立，求m的取值范圍；
(2) x- lnx 1當m=-1時，證明： x f(x)> 1- ．e e2
16
【變式訓練】
1 (2021上·全國·高三校聯考階段練習)已知 f(x) = lnx+ ax，a∈R．
(Ⅰ)討論 f(x)的單調性；
(Ⅱ)若 a<-1，證明：f(x)<-1．
2 已知 f(x) = xlnx，g(x) =-x2+ax- 3
(1)對 x∈ (0,+∞)，不等式 2f(x)≥ g(x)恒成立，求實數 a的取值范圍；
(2)證明：對一切 x∈ (0,+∞) 1 2，都有 lnx> x - ．e ex
3 已知函數 f(x) = ax2-xlnx．
(I)若 f(x)在區間 (0，+∞)內單調遞增，求 a的取值范圍；
(Ⅱ)若 a= e(e 1為自然對數的底數)，證明：當 x> 0時，f(x)< xex+ ．
e
17
題型 09同構型不等式證明
【解題攻略】
常見同構技巧：
指對變形同構
1.x= lnex= elnx(“無中生有”公式，原理公式)
2.xex= elnx ex= elnx+x
lnx
3. x = e = elnx-x
ex ex
4.x+ lnx= lnex+lnx= ln(xex)
x
5.x- lnx= lnex-lnx= ln e
x
常見指對同構函數式子：
1.xex(同構函數基礎)
-1
2. lnx =-x-1lnx-1=-elnx lnx-1
x
3. x = 1 = 1
lnx -x-1lnx-1 -1-elnx lnx-1
4.xlnx= elnx lnx
5. x = xe-x=- (-x)e-x
ex
x
6. e = 1
x - (-x)e-x
2.指對變形式
（1）lnex= x= elnx(核心公式)
（2）xex= elnx ex= elnx+x
lnx
（3 x） x =
e = elnx-x
e ex
（4）x+ lnx= lnex+lnx= lnxex
ex
（5）x- lnx= lnex-lnx= ln
x
3.指對同構式：f x = xe（x 母函數）
x 1 1
（1） = =
lnx - -1 -1 lnx-1x lnx -e lnx-1
（2 lnx） =-x-1lnx-1
-1
=-elnx lnx-1
x
（3）xlnx= elnx lnx
4 x（ ） ==- (-x)e-x
ex
ex 1
（5） =
x - (-x)e-x
18
總結：一個概念：同構式；
一個核心：lnex= x= elnx
一個方法：指對式分離，構造同構式
一個提醒：注意同構后的整體變量范圍
1 (2023· 2全國·高三專題練習)已知 f x = ex+1- ，g x = a+ x+ lnx ，a∈R．
x x
(1)當 x∈ 1,+∞ 時，求函數 g x 的極值；
(2)當 a= 0時，求證：f x ≥ g x ．
(2023 · · ) f(x) = e
x
2 上 安徽馬鞍山 高三馬鞍山二中?？茧A段練習 已知函數 - 1，e= 2.71828 為自然對
x3
數的底數.
(1)試判斷函數 f(x)的零點個數并說明理由；
(2)證明：f(x)≥ x- 3lnx.
19
【變式訓練】
1 (2023·四川遂寧·統考模擬預測)設 f(x) = ae3x-x，h(x) = 3x2-xlnx，
(1)試討論 f(x)的單調性；
(2)當 a≥ 1時，證明 f(x)> h(x)恒成立.
2 已知 f x = ex+1- 2 ，g x = a+ x+ lnx，a∈R．
x x
(1)當 x∈ 1,+∞ 時，求函數 g x 的極值；
(2)當 a= 0時，求證：f x ≥ g x ．
20
題型 10 雙變量型構造
1 (2022 lnx貴州黔東南·統考一模)已知函數 f(x) = (m≠ 0).
mx
(1)試討論函數 f(x)的單調性；
(2)對 a,b∈ e,+∞ ，且 a< b，證明：ab> ba.
2 ( 2023 x- a上 ·四川內江 ·高三四川省內江市第六中學?？茧A段練習 ) 已知函數 f x = + -x 1
ln x+ 1 a∈R ．
(1)求函數 f x 的單調區間；
(2)已知m，n是正整數，且 1 1+n m．
21
【變式訓練】
(2022· · ) g x = 1- 1+ lnx1 全國 高三專題練習 已知函數 ．
x
(1)求 g x 的單調區間；
(2) 1 n 1+ lnn當 e m 1+ lnm
2 x- 1
2 (2021· 全國·高三專題練習)已知函數 f x = lnx- + ．x 1
(1)求證：函數 f x 在 0,+∞ 上單調遞增；
(2)設m>n> 0 lnm- lnn 2，求證：
m- >n m+ ．n
a
( · · ) = -
x- 1
3 2022全國 高三專題練習 已知函數 f x lnx .
x+ 1
(1)若函數 f x 在 0,+∞ 上為單調增函數，求 a的取值范圍；
(2)設m,n∈R m≠n m-n m+n，且 ，求證
lnm- < .lnn 2
22
題型 11極值點偏移型：和型證明
【解題攻略】
極值點偏移多有零點這個條件。零點型，注意數形結合思想的應用：
1.零點是否是特殊值，或者在某個確定的區間之內。
2.零點是否可以通過構造零點方程，進行迭代或者轉化。
3.將方程根的判定轉化為函數的單調性問題處理
1 (2023·四川成都·成都七中校考模擬預測)已知函數 f x = ex-ax2+e2x 1有兩個極值點 a≤- ，x
3 2
x1< x2 ．
(1)求實數 a的取值范圍；
(2)證明：x1+x2< 2ln2a．
2 (2023·山西·?？寄M預測)已知函數 f x = lnx- a x+ 1,a∈R.
(1)若 f x ≤ 0，求 a的取值范圍；
(2)若關于 x的方程 f x2 = eax-ex2有兩個不同的正實根 x1,x2，證明：x1+x2> 2 e.
23
【變式訓練】
1 (2023· m江西·統考模擬預測)已知函數 f(x) = x+
ex
．
(1)討論 f(x)的單調性；
(2)若 x1≠ x2，且 f x1 = f x2 = 2，證明：02 (2023上·江蘇鎮江· 2a高三?？茧A段練習)已知函數 f x = lnx+ ,a∈R．若函數 f x 有兩個不相
x
等的零點 x1,x2．
(1)求 a的取值范圍；
(2)證明：x1+x2> 4a．
24
題型 12極值點偏移型：積型證明
【解題攻略】
處理極值點偏移問題中的類似于x1x2< a f x1 = f x2 的問題的基本步驟如下：
①求導確定 f x 的單調性，得到 x1,x2的范圍；
a
②構造函數F x = f x - f ，求導可得F x 恒正或恒負；x
f x f a③得到 1 與 的大小關系后，將 f x1 置換為 f xx 2 ；1
④根據x a a2與 的范圍，結合 f x 的單調性，可得x2與 的大小關系，由此證得結論.x1 x1
1 (2023上· 1河南·高三南陽中學校聯考階段練習)已知函數 f(x) = ax2- (2a+ 1)x+ 2lnx(a∈R).
2
(1)若 f(x)有唯一極值，求 a的取值范圍；
(2)當 a≤ 0時，若 f(x1) = f(x2)，x1≠ x2，求證：x1x2< 4.
x
2 (2023上·陜西漢中·高三西鄉縣第一中學校聯考)已知函數 f x = e ，g x = lnx- x.
x
(1)求函數 g x 的極值；
(2)若 h x = f x - g x ，求函數 h x 的最小值；
(3)若 h x = a有兩個零點 x1，x2，證明：x1x2< 1.
25
【變式訓練】
1 (2023上·重慶渝中·高三統考)已知函數 f x = xlnx- ax2+x,a∈R．
(1)若函數 f x 是減函數，求 a的取值范圍；
(2)若 f x 有兩個零點 x1,x2，且 x > 2x x x > 82 1，證明： 1 2 ．
e2
1
2 (2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學校考階段練習)已知函數 f x = lnx+ ax2
2
- a+ 1 x a∈R .
(1)當 a= 1時，求函數 y= f x 的零點個數.
(2) 1若關于 x的方程 f x = ax2有兩個不同實根 x1,x2，求實數 a的取值范圍并證明 x1 x2> e2.2
26
題型 13極值點偏移型：平方型證明
1 (2023 lnx+ 1下·遼寧·高三統考)已知函數 f x = .
ax
(1)討論 f x 的單調性；
(2) ex x2= ex x若 1 2 1(e是自然對數的底數)，且 x1> 0，x2> 0，x1≠ x2，證明：x21+x22> 2.
2 (2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學?？寄M預測)已知函數 f x = lnx- ax2.
(1)討論函數 f x 的單調性：
(2)若 x1,x2是方程 f x = 0的兩不等實根，求證：x2 21+x2> 2e；
27
【變式訓練】
1 (2023· lnx山西·校聯考模擬預測)已知函數 f x = - ax.
x
(1)若 f x ≤-1，求實數 a的取值范圍；
(2) 12若 f x 有 2個不同的零點 x1,x2(x1< x2)，求證：2x21+3x22> .5a
2 (2023上· 1+ lnx云南·高三云南師大附中校考階段練習)已知函數 f x = ，a> 0．
ax
(1)若 f x ≤ 1，求 a的取值范圍；
(2)證明：若存在 x1，x2，使得 f x1 = f x 2 22 ，則 x1+x2> 2．
28
題型 14三角函數型不等式證明
【解題攻略】
1. 利用導數證明三角函數型不等式
2.正余弦的有界性
3.三角函數與函數的重要放縮公式：x≥ sinx x≥ 0 .
1 (2023·全國·高三專題練習)已知函數 f x = ex-x- 1.
(1)證明：f x ≥ 0；
(2)當m≤ 1時，證明不等式 ex-mx+ cosx- 2≥ 0，在 x∈ 0,+∞ 上恒成立.
2 (2023·四川資陽·統考模擬預測)已知函數 f x = x3-ax+ 1．
(1)當 a= 1時，過點 1,0 作曲線 y= f x 的切線 l，求 l的方程；
(2)當 a≤ 0時，對于任意 x> 0，證明：f x > cosx．
29
【變式訓練】
1 (2022·新疆·統考三模)已知函數 f(x) = sinx- axcosx，a∈R
(1)若 f(x)在 x= 0處的切線為 y= x，求實數 a的值；
(2)當 a≥ 1 ，x∈ [0,+∞)時，求證：f x ≤ 2ax.
3
2 設函數 f(x) = excosx，g(x) = acosx，x∈ 0, π .
e2x 3
π
(1)求 f x 的最小值，并證明：e 12< 2；
(2)若不等式：g(x)≥ 2- e3x成立，求實數 a的取值范圍.
30
題型 15韋達定理代換型
【解題攻略】
利用韋達定理證明不等式
1.題干條件大多數是與函數額極值 x1，x2有關。
2.利用韋達定理代換：可以消去參數
1 已知函數 f x = lnx+ x2-ax a∈R .
(1)求函數 f x 的單調區間；
(2) 1 3設 f x 存在兩個極值點 x1,x2，且 x1< x2，若 0< x1< ，求證：f x2 1 - f x2 > - ln2.4
2 已知函數 f(x) = ln x+ ax2-x.
(1)若 a=-1，求函數 f(x)的極值；
(2)設 f′ (x)為 f(x)的導函數，若 x1，x2是函數 f′ (x)的兩個不相等的零點，求證：f(x1) + f(x2)< x1+x2-5
31
【變式訓練】
1 已知函數 f x = x- 1 - alnx(a∈R)，
x
(1) 1求曲線 y= f x 在點 e,- 處的切線與坐標軸圍成三角形的面積．e
(2)f x 是 f x 的導函數，若函數 g x = x2 f x - ax+ 2lnx有兩個極值點 x1,x2，且 0< x1< x2< e，求
證：g x 1 1 + < g x2 + e2-4．
e2
2 已知函數 f x = 1 x2+lnx+mx，(m∈R)．
2
(1)若 f x 存在兩個極值點，求實數m的取值范圍；
f x + f x m+ 2 2
(2) x +x 若 x1，x f
1 2
2為 x 的兩個極值點，證明： - f 1 2 > ．2 2 8
32
題型 16切線放縮型證明
【解題攻略】
常用的切線放縮有：
(1)ex≥ x+ 1；(2)ex≥ ex；(3)1- 1 ≤ lnx≤ x- 1；(4)lnx≤ x .
x e
1 (2023·青島模擬改編)已知 x1ln x1= x2ln x2= a，且 x1< x2，求證：
x2-x1< 2a+ 1+ e-2.
n
|a- b| < n
1-n
求證： t+ n n.
lnn
2 已知函數 f(x) = 4ex-1+ax2，曲線 y= f(x)在 x= 1處的切線方程為 y= bx+ 1.
(1)求實數 a、b的值；
(2)x> 0且 x≠ 1時，證明：曲線 y= f(x)的圖象恒在切線 y= bx+ 1的上方；
(3)證明：不等式：4xex-1-x3-3x- 2lnx≥ 0.
33
【變式訓練】
1 已知函數 f(x) = 4ex-1+ax2，曲線 y= f(x)在 x= 1處的切線方程為 y= bx+ 1.
(1)求實數 a，b的值；
(2)x> 0且 x≠ 1時，證明：曲線 y= f(x)的圖象恒在切線 y= bx+ 1的上方；
(3)證明不等式：4xex-1-x3-3x- 2ln x≥ 0.
2 (2013·新課標 II卷)已知函數 f x = ex-ln x+m ①
(1)設 x= 0是 f x 的極值點，求m并討論 f x 的單調性；
(2)當m≤ 2時，證明：f x > 0
34
高考練場
1 2021·福建莆田·統考二模)設函數 f(x) = 2ex+acosx,a∈R．
(1)若 f(x)在 0, π 上存在零點，求實數 a的取值范圍；2
(2)證明：當 a∈ 1,2 ,x∈ 0, π 時，f(x)≥ 2x+ 3．2
2 (2023上·湖北·高三校聯考階段練習)已知函數 f(x) = sinx+ x2.
(1)求曲線 y= f(x)在點 (0,f(0))處的切線方程，
(2)證明：f(x)>- 5 .
16
35
3 (2023·全國·高三專題練習)設函數 f x = x2-a x+ alnx a∈R,a≠ 0 ,f x 是函數 f x 的導函
數.
(1)討論 f x 的單調性；
(2)若 a> 0，且 f 1 + f 1 = 0，結合 (1)的結論，你能得到怎樣的不等式？
(3) 2 3利用 (2)中的不等式證明： + +...+ n+ 1 > ln
2 2 2 n+ 1 n∈N
* .
1 2 n
a x- 1
4 (2022·全國·高三專題練習)已知函數 f x = lnx- + a∈R ．x 1
(1)若函數 f x 在定義域內是單調增函數，求實數 a的取值范圍；
(2) 4 8 12求證： + + + + 4n ln2 ln3 ln4 ln(n+ 1)
36
5 (2023·河北·統考模擬預測)已知函數 f x = ln x+ 1 - aex-x a∈R ．
(1)當 a> 0時，證明：f x < 0恒成立；
(2)當 a= 0 1 1 1時，證明： 1+ × 1+ × 1+ < e n∈N * ．1 2 2 3 n n+ 1
6 (2020·四川綿陽·統考模擬預測)已知函數 f(x) = ex+alnx(a∈R)
(1)當 a= 1時，求曲線 y= f(x)在 (1,f(1))處的切線方程；
(2) x設 x0是 f(x)的導函數 f (x)的零點，若-e< a< 0，求證：f x0 > e 0.
37
7 (天津市紅橋區 2021- 2022學年高三數學試題)已知 f x = xlnx，g x =-x2+ax- 3.
(1)求函數 f x 的單調區間；
(2)對一切 x∈ 0,+∞ ，2f x ≥ g x 恒成立，求實數 a的取值范圍；
(3) 1證明：對一切 x∈ 0,+∞ ，都有 lnx> x -
2
成立.
e ex
8 (遼寧省五校 (遼寧省實驗中學、東北育才學校、鞍山一中、大連八中、大連 24中)2021- 2022學年高
三考試數學試題)材料：在現行的數學分析教材中，對“初等函數”給出了確切的定義，即由常數和基本初等
函數經過有限次的四則運算及有限次的復合步驟所構成的，且能用一個式子表示的.如函數 f x = xx
x> 0 ，我們可以作變形：f x = xx= elnx x= ex lnx= et t= xlnx ，所以 f x 可看作是由函數 f t = et和
g x = xlnx復合而成的，即 f x = xx x> 0 為初等函數，根據以上材料：
(1)直接寫出初等函數 f x = xx x> 0 極值點
2
(2)對于初等函數 h x = xx x> 0 ，有且僅有兩個不相等實數 x1,x2 0< x1< x2 滿足：h x1 = h x2 = ek.
(i)求 k的取值范圍.
- e2
2
(ii)求證：xe -2e≤ e2 (注：題中 e為自然對數的底數，即 e= 2.71828 )x1
38
9 (2023 3上·天津和平·高三天津一中校考階段練習)已知函數 f x = x2 lnx- a ，a為實數．2
(1)當 a= 2 時，求函數在 x= 1處的切線方程；
3
(2)求函數 f x 的單調區間；
(3)若函數 f x 在 x= e處取得極值，f x 是函數 f x 的導函數，且 f x1 = f x2 ，x1< x2，證明：2< x1
+x2< e．
1
10 (2023上·四川遂寧·高三四川省蓬溪中學校?？茧A段練習)設 f x = ax2- a+ 1 x+ lnx，a∈R.
2
(1)當 a= 2時，求 f x 的極值；
(2)若 x> 0有 f x ≤ 0恒成立，求 a的取值范圍；
(3)當 a< 0時，若 f x1 = f x2 ，求證：x1x2< 1.
39
11 (2023·北京通州·統考三模)已知函數 f x = ax- a - lnx(a> 0)
x
(1)已知 f(x)在點 (1，f(1))處的切線方程為 y= x- 1，求實數 a的值；
(2)已知 f(x)在定義域上是增函數，求實數 a的取值范圍.
(3)已知 g x = f a x + 有兩個零點 x1，x2，求實數 a的取值范圍并證明 x 2x 1x2> e .
1+ lnx
12 (2021·福建·高三統考階段練習)已知函數 f x =
ax
(1)討論 f(x)的單調性；
(2) x x若 ex 21 = ex2 1，且 x1> 0，x2> 0，x1≠ x ，證明: x22 1+x22> 2.
40
13 (廣西桂林市國龍外國語學校 2021- 2022學年高三考試數學試題)已知函數 f x = ae-x
+cosx a∈R .
(1) π若函數 f x 在 - ，0 上是單調函數，求實數 a的取值范圍；2
(2) π 1當 a=-1時，x0為 f x 在 0,π 上的零點，求證： < x2 0+ ex
.
0 sinx0-cosx0
14 (山西省山西大學附屬中學 2021屆高三下學期三月模塊診斷理科數學試題)已知函數 f x = x2-x
+ klnx，k∈R．
(1)討論函數 f x 的單調性；
(2)若 f x 1 有兩個極值點 x1，x2，證明： f x1 - f x2 < - 2k．4
41
15 已知函數 f x = ex-1-a x+ 1 x≥ 1 ，g x = x- 1 lnx，其中 e為自然對數的底數.
(1)若 f x ≥ 0恒成立，求實數 a的取值范圍；
(2)若 a取 (1)中的最大值，證明：f x ≥ g x .
42導數大題證明不等式歸類
目錄
題型01不等式證明方法
題型02單變量構造：利用第一問結論
題型03單變量構造：數列型
題型04數列不等式：無限和裂項型
題型05數列不等式：累積相消型
題型06數列不等式：取對數型
題型07虛設根型證不等式
題型08利用函數“凸凹反轉性”證明不等式
題型09同構型不等式證明
題型10雙變量型構造
題型11極值點偏移型：和型證明
題型12極值點偏移型：積型證明
題型13極值點偏移型：平方型證明
題型14三角函數型不等式證明
題型15韋達定理代換型
題型16切線放縮型證明
高考練場
熱點題型歸納
題型01
不等式證明方法
【解題攻略】
利用導數證明不等式問題，基本思維方法如下：
(1)直接構造函數法：證明不等式f(c)>g(x)(或f(c)0(或f(x)一
g(x)(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮：二是利用常見放縮結論：
(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數
利用導數證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形：
(2)構造新的函數h(x):
(3)利用導數研究h(x)的單調性或最值：
(4)根據單調性及最值，得到所證不等式.
特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問
題
例1（陜西省澄城縣20121-2022學年高三試數學（理）試題)設函數f(c)=1nx-x+1.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)證明：當x∈(1，+o)時，1<-1
Inx
【答案】(1)f(x)的增區間為(0,1)，減區間為(1，+o).(2)證明見解析
【分析】(1)求出導數，由導數大于0，可得增區間：導數小于0，可得減區間，注意函數的定義域：
(2)運用(1)的單調性，當x∈(1，+0o)時，可得f(x)(1)f(x)=1nx-x+1的定義域為(0，+oo),f(x）=1-1,由f(m)>0,可得0>1,
即有f(x)的增區間為(0,1)，減區間為(1，+o)
(2)當x∈(1，+o)時，由(1)可得f(x)=lnx-x+1在(1，+0)遞減，
可得)例2已知函數f(x)=x2-2lnx.
(I)求函數f(x)的單調區間：
(Ⅱ)求證：當x>2時，f(x)>3x-4.
【答案】(1)f(x)的單調增區間為(1，+o),單調減區間為(0,1)：(2)見解析.
【分析】(I)明確定義域，求出導函數，解不等式即可得到函數的單調區間：
(Ⅱ)作差構造新函數，研究函數的最值即可
【詳解】（①）依題意知函數的定義域為{x>0,()=2x-2=2(c+1)c-)
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的單調增區間為(1，+o),單調減區間為(0,1)，
(②)i設g(x）=f）-3x+1=x2-2nx-3x+4,∴g(x）=2x-21-3=2m2-3x-2=
(2x+1)(x-2)
:當x>2時，g(x)>0,g(x)在(2，+0)上為增函數，
.g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4>0,.當x>2時，x2-2lnx>3x-4,即當x>2時f(x)>3x-4.
【變式訓練】
題目1]（湖南省三湘名校教育聯盟2021-2022學年高三數學試題）己知函數f(x)=e+ac+b,曲線y=
f(x)在點(0，f(O)處的切線方程為y=a-b.
(1)求a,b的值：
(2)證明：f(x)≥0.
【答案】(1)a=-1,b=-1;(2)證明見解析.
【分析】(1)根據導數的幾何意義，結合f(0)=0,f(0)=a一b,解方程組即可：
(2)根據(1)中所求f(x),利用導數判斷函數單調性，求得最小值，即可證明.
(1)
.f(x)=e*+ax+b,..f(x)=e+a,
:曲線y=f(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y=a-b,
8二1+006g得a=1,6=1

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