資源簡介

2009年湖南省普通高中學業水平考試大綱
數 學
（送審稿）
考試目標
普通高中數學學業水平考試是面向全體普通高中學生的達標性考試。《普通高中數學課程標準（實驗）》（下文簡稱為《課程標準》）是在高中數學教育教學領域落實普通高中數學教育培養目標的綱領性文件，它明確了高中數學課程的總體目標是“使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要”。學業水平考試就是要全面考察和評估我省普通高中學生的數學學業水平是否達到了這個要求。
教師的專業素養是實現課程總體目標的重要因素。通過學業水平考試，要對我省普通高中數學教師的專業發展狀況，做出合理評價。隨著社會的進步，“未來公民所必要的數學素養”在變化，學業水平考試要引導社會、學校和家庭關注學生的全面發展，形成正確的質量觀和人才觀。
二、命題依據
為實現普通高中教育培養目標，數學學業水平考試命題將依據《課程標準》、《湖南省普通高中學業水平考試實施方案（試行）》（下文簡稱為《實施方案》）和《2009年湖南省普通高中學業水平考試大綱（試行）》（下文簡稱為《考試大綱》），在深入調研我省普通高中數學教學實際情況的基礎上進行，力求規范、科學，符合我省高中數學教學實踐最廣泛的要求。
三、命題原則
1. 導向性原則。面向全體學生，有利于促進學生全面、和諧、健康的發展，有利于中學實施素質教育，有利于體現數學學科新課程理念，充分發揮學業水平考試對普通高中數學學科教學的正確導向作用。
2. 基礎性原則。突出考查數學學科基礎知識、基本技能、基本體驗和基本思想，考查初步應用數學學科知識與方法分析問題、解決問題的能力。試題植根于基礎知識、主干知識。
3.科學性原則。試題設計必須與《課程標準》和《考試大綱》要求一致，關注數學學科的主干知識和核心內容，關注數學學科與社會的聯系，貼近學生的生活實際。試題結構合理，內容科學、嚴謹，試題文字簡潔、規范，試題答案準確、合理。
4.公平性原則。充分考慮我省高中數學教學的實際，注意到我省不同市（州）基礎教育發展的不平衡性，面向全體學生，聯系生產實際或日常生活的試題背景應當是不同層面學生都熟悉并能理解的題材，保證測試的公平。
四、考試內容與要求
普通高中數學學業水平考試根據《實施方案》、《課程標準》和學科特點，將本學科能力層級由低到高分為“知道”、“了解”、“理解”和“應用”四個層次并分別用A、B、C、D表示。學科能力層級與《實施方案》中提出的能力層級關系如下：
《實施方案》能力層級
識記
理解
簡單應用
綜合應用
本學科能力層級
知道
了解
理解
應用
符 號
A
B
C
D
A：知道（包括識別、描述、舉例等）——對所學過的內容（包括基礎知識、基本方法、基本體驗和基本思想（下同））能準確識別和再認。
B：了解（包括表示、辨別、比較等）——對所學過的內容能準確復述和直接應用。
C：理解（包括解釋、歸納、概括等）——對所學過的內容能進行理性分析和綜合論證。
D：應用（包括建模、解決、檢驗等）——能運用所學過的知識分析日常生活或生產實踐中的問題。
模塊
內容
能力層級
備注
A
B
C
D
數
學
1
集合的含義
√
集合之間的包含與相等的含義
√
全集與空集的含義
√
兩個集合的并集與交集的含義及計算
√
補集的含義及求法
√
用Venn圖表示集合的關系及運算
√
函數的概念
√
求簡單函數的定義域和值域
√
函數的表示法
√
簡單的分段函數及應用
√
函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義
√
關注學科內綜合
奇偶性的含義
√
利用函數的圖象理解和探究函數的性質
√
關注探究過程
有理指數冪的含義
√
冪的運算
√
指數函數的概念及其意義；指數函數的單調性與特殊點
√
指數函數模型的應用
√
關注實踐應用
對數的概念及其運算性質
√
換底公式的應用
√
對數函數的概念及其意義；對數函數的單調性與特殊點
√
指數函數與對數函數
互為反函數
√
冪函數的概念
√
函數的零點與方程根的聯系
√
用二分法求方程的近似解
√
關注探究過程
函數的模型及其應用
√
關注實踐應用
數
學
2
柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征
√
簡單空間圖形的三視圖的畫法及三視圖的識別
√
斜二測法畫空間圖形的直觀圖
√
應用平行投影與中心投影畫空間圖形的視圖與直觀圖
√
球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式
√
空間點、線、面的位置關系的四個公理和一個定理
√
直線與平面、平面與平面的平行或垂直的判定和性質
√
運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題
√
直線的傾斜角及斜率的概念
√
過兩點的直線的斜率的計算公式
√
利用斜率判斷直線的平行與垂直
√
直線方程的三種形式：點斜式、兩點式和一般式
√
關注探究過程
兩直線交點坐標的求法
√
兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式，兩平行線間的距離
√
圓的標準方程和一般方程
√
直線與圓以及圓與圓的位置關系
√
關注學科內綜合
直線和圓的方程的簡單應用
√
關注實踐應用
空間直角坐標系的概念
√
用空間直角坐標系刻劃點的位置
√
空間兩點間的距離公式
√
數
學
3
算法的思想和含義
√
程序框圖的三種基本邏輯結構
√
關注探究過程
五種基本算法語句
√
隨機抽樣的必要性和重要性
√
用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本
√
分層抽樣和系統抽樣方法
√
列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖
√
關注實踐應用
樣本數據標準差的意義和作用
√
合理選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征，并能做出合理的解釋
√
用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的數字特征估計總體的數字特征
√
隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的基本思想的實際應用
√
關注實踐應用
散點圖的作法
√
利用散點圖直觀認識變量之間的相關關系
√
最小二乘法
√
根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程
√
概率的意義及頻率和概率的區別
√
兩個互斥事件的概率加法公式及應用
√
關注實踐應用
古典概型及其概率的計算公式，用列舉法計算概率
√
幾何概型的意義
√
數
學
4
任意角的概念和弧度制
√
弧度與角度的互化
√
任意角三角函數的定義
√
正弦、余弦、正切函數的誘導公式
√
正弦、余弦、正切函數的圖象畫法及性質的運用
√
關注探究過程
三角函數的周期性
√
同角三角函數的基本關系式
√
的實際意義
√
三角函數模型的簡單應用
√
關注實踐應用
平面向量和向量相等的含義及向量的幾何表示
√
向量加、減法的運算及其幾何意義
√
向量數乘的運算
√
向量數乘運算的幾何意義及兩向量共線的含義
√
向量的線性運算性質及其幾何意義
√
平面向量的基本定理及其意義
√
平面向量的正交分解及其坐標表示
√
用坐標表示平面向量的加、減及數乘運算
√
用坐標表示平面向量共線的條件
√
平面向量數量積的含義及其物理意義
√
關注探究過程
平面向量的數量積與向量投影的關系
√
平面向量數量積的坐標表達式及其運算
√
運用數量積表示兩個向量的夾角，并判斷兩個平面向量的垂直關系
√
關注學科內綜合
平面向量的應用
√
關注學科間聯系
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
√
二倍角的正弦、余弦、正切公式
√
運用相關公式進行簡單的三角恒等變換
√
數
學
5
正弦定理、余弦定理及其運用
√
關注實踐應用
數列的概念和簡單的表示法
√
等差數列、等比數列的概念
√
等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式
√
數列方法的應用
√
關注學科內綜合
一元二次不等式的概念
√
解一元二次不等式
√
二元一次不等式的幾何意義
√
用平面區域表示二元一次不等式組
√
兩個正數的基本不等式
√
兩個正數的基本不等式的簡單應用
√
關注學科內綜合
考點分布統計表
必修模塊
能力層次
總計
A
B
C
D
數學1
6
7
11
1
25
數學2
3
3
13
1
20
數學3
3
11
5
0
19
數學4
4
8
14
1
27
數學5
3
1
6
1
11
合計
19
30
49
4
102
所占百分比
20%
30%
47%
3%
100%
五、考試方式、時量與分值
考試方式
紙筆測試；閉卷
考試時量
120分鐘
試卷分值
100分
六、試卷結構
1．各類題型與分值
題 型
題 量
分 值
選擇題
10小題
40分
填空題
5小題
20分
60分
解答題
5小題
40分
2．考試內容與分值
必修模塊
數學1
數學2
數學3
數學4
數學5
所占分值
20分
20分
20分
20分
20分
3．難度分布
難度級別
容易題
稍難題
難題
難度系數
0.85以上
0.65——0.85
0.50——0.65
約占比例
70%
20%
10%
七、題型示例
【例1】若施化肥量kg與水稻產量kg的回歸直線方程為，當施化肥量為80kg時，預計的水稻產量為 ．
解析：本題著重考查了利用回歸直線方程對總體進行估計的數學思想，能力層級為A，屬于容易題，預估難度為0.95.解題過程為：
將代入回歸直線方程為，得
（kg）．
答案：650（kg）．
【例2】如果，則把變量 的值增加1會使S的值增加最大（填入中的某個字母）.
解析: 本題考查不等式的性質，比較兩數大小的方法，能力層級為B，屬于容易題，預估難度為0.88.解題過程為：
顯然變量的值增加1會使的值增加最大. 事實上
因為
所以，
所以，
即當變量的值增加1會使的值增加最大.
答案: .
【例3】已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
解析：本題考查等差數列的定義、通項公式和前項和公式的基礎知識，能力層級為B，屬于容易題，預估難度為0.87.解題過程為：
因為 ①
②
由①-②，得 .
答案：C.
【例4】設△的內角成等差數列，且滿足條件,試判斷△的形狀，并證明你的結論.
解析：本題植根于兩角和與差的三角函數公式，著重考查了數學基礎知識的綜合運用能力，“關注學科內綜合”（見前面表格中的“備注”），能力層級為C，屬于容易題，預估難度為0.86.解題過程為：
∵ ，∴ .
由 , 得
即
又 , ∴ , △為等邊三角形.
【例5】把一根長為12cm的鐵絲截成兩段后，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形的面積之和的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
解析: 本題考查函數思想方法的綜合運用，能力層級為D，屬于容易題，預估難度為0.85.解題過程為：
設其中一個正三角形的邊長為cm，則另一個正三角形的邊長為cm，則它們的面積之和為
.
答案:D.
【例6】某商場購物實行優惠措施，若購物金額x在800元以上打8折；若購物金額x在500元以上打9折，否則不打折。請設計程序算法框圖，要求輸入金額x，輸出實際交款金額 .
解析：本題考查“算法初步”的知識和方法的簡單運用，“關注實踐應用”（見前面表格中的“備注”），能力層級為C，屬于容易題，預估難度為0.85.
答案：根據題意，實際交款額y與購物金額x的函數關系為

程序框圖如圖所示.
【例7】如圖所示，在正三棱錐中，分別是的中點，，若，則正三棱錐的體積為 .
解析: 本題考查空間線面垂直關系的判定和性質，以及三棱錐體積的計算，能力層級為C，屬于稍難題，預估難度為0.75.解題過程為：
因為為正三棱錐,所以.
又因為∥，所以.
又,所以平面,即平面，三條側棱兩兩垂直.
.
答案: .
【例8】 求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們稱它為原來問題的一個“逆向”問題．
例如，原來問題是“若正四棱柱的底面積為4，側棱長為3，求該正四棱柱的體積”。求出體積為12后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱柱的底面積為4，體積為12，求該正四棱柱的側棱長”；也可以是“若正四棱柱的體積為12，求該正四棱柱的底面積與側棱長的數值的和的最小值”．
對于問題：“在平面直角坐標系中，如果直線與圓相離，試求半徑的取值范圍”．
你給出的該問題的“逆向”問題是
．
（2）求解你在（1）中所給出的“逆向”問題。
解析：此題是一道條件與結論都具有開放性的試題，通過要求學生寫出“逆向”問題并給出解答，綜合考查學生的數學閱讀與理解能力，以及分析問題、提出問題與解決問題的能力，“關注探究過程”（見前面表格中的“備注”），能力層級為C，屬于稍難題，預估難度為0.67.
答案：（1）如果，試判斷直線與圓的位置關系．
因為圓心到直線的距離，
由，可知直線與圓相離．
【例9】已知P點坐標為，在軸及直線上各取一點、，使的周長最小，求、的坐標。
解析：本題考查的本質是對稱問題，能力層級為D，屬于難題，預估難度為0.60. 解題過程為：
如圖，作關于軸的對稱點，作關于直線對稱點，
則
解得，即
的周長為
，
當在一條直線上時，的周長最小。
直線方程為：，與軸的交點為，與直線的交點。
【例10】如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪A、B，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質量為和的物體（），另在兩滑輪中間的一段繩子的O點處懸掛質量為的另一物體。已知，且系統保持平衡（滑輪半徑、繩子質量均忽略不計），則 .
解析：本題考查了向量、三角函數等知識在物理學中的應用，“關注學科間關系”（見前面表格中的“備注”），能力層級為D，屬于難題，預估難度為0.55.解題過程為：
設兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為、，物體m向下的
重力為F，由系統平衡條件知
　　　　　　　　　
如圖，設，根據平行四邊形法則，得
　　　　　　　　　　
即　　　　　　　　　
在中，由正弦定理，得，即，代入上面方程組第一個方程，得
因為，所以，
故
答案:.
八、樣卷
湖南省普通高中學業水平考試數學試卷
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分。時量120分鐘。滿分100分。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．函數的定義域為 （ ）
A．R B． C． D．
2．sin14ocos16o+cos14osin16o的值是（ ）
A． B． C． D．-
3．若集合，則 （ ）
A． B． C． D．
4．某電視臺在娛樂頻道節目播放中，每小時播放廣告20分鐘，那么隨機打開電視機觀看這個頻道看到廣告的概率為 （ ）
A． B． C． D．
5．在遞增等比數列中，且則數列的公比是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知a=b=且a∥b，則銳角的大小為 （ ）
A． B．
C． D．
7．如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是
邊長為2的正方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾
何體的體積為 （ ）
A． B． C．2 D．4
8．已知函數在區間內有唯一零點，則的取值范圍是 （ ）
A． R B．
C． D．
9．三個數的大小順序為 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知三個函數①，②，③ ，其中函數的最小值為4的函數是 （ ）
A．① B．② C．③ D．①②③都不是
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
11．已知函數，則 ．
12．在⊿ABC中，已知 ．
13．把化為十進制數的結果是 ．
14．某廠生產A、B、C三種不同型號的產品，產品數量之比依次為2：3：5．現用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，樣本中A種型號產品有16件，則樣本容量＝ ．
15．2008年5月12日，四川汶川地區發生里氏8.0級特大地震．在隨后的幾天中，地震專家對汶川地區發生的余震進行了監測，記錄的部分數據如下表：
強度（J）
1.6
3.2
4.5
6.4
震級（里氏）
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震強度是指地震時釋放的能量
地震強度（）和震級（）的模擬函數關系可以選用（其中為常數）．利用散點圖可知 的值等于 ．（取）
三、解答題：本大題共5小題，共40分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16．(本小題滿分6分)
某賽季甲,乙兩名籃球運動員每場比賽得分可用莖葉圖表示如下：
（I）某同學根據莖葉圖寫出了乙運動員的部分成績，請你把它補充完整；
乙運動員成績：8，13，14， ，23， ，28，33，38，39，51．
（II）求甲運動員成績的中位數；
（III）估計乙運動員在一場比賽中得分落在區間內的概率．

17．(本小題滿分8分)
已知點，點，且函數（為坐標原點），
（I）求函數的解析式；
（II） 求函數的最小正周期及最值．
18．(本小題滿分8分)
如圖所示，已知M、N分別
是AC、AD的中點，BCCD．
（I）求證：MN∥平面BCD；
（II）求證：平面B CD平面ABC；
（III）若AB＝1，BC＝，求直線AC與平面BCD
所成的角．
19．(本小題滿分8分)
如下圖所示，圓心C的坐標為（2，2），
圓C與軸和軸都相切．
（I）求圓C的一般方程；
（II）求與圓C相切，且在軸和軸上
的截距相等的直線方程．
20．(本小題滿分10分)
某企業生產的某種產品經市場調查得到如下
信息，在不做廣告宣傳時月銷售量為1000件；
若做廣告宣傳，月銷售量S件與廣告費千元
（）的關系可用右邊流程圖來表示：
（I）根據流程圖，試寫出廣告費n分別等
于1千元和2千元時所對應的月銷售量S的值；
（II）試寫出月銷售量S與廣告費千元的函
數關系式；
（III）若銷售一件產品獲利10元，該企業
做幾千元廣告時，才能月獲利最多，最多是多少？
參考答案與評分標準
一、選擇題：（每小題4分，共40分）
1.D 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.D 10.C
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
11.-12 12. 13.50 14.80 15.
三、解答題：
16．(本小題滿分6分)
解（1）.　
（2） 　　　　
（3）設乙運動員在一場比賽中得分落在區間內的概率為,則.
17．(本小題滿分8分)
解（1）依題意，，點，
所以,．
（2）．　　
因為，所以的最小值為，的最大值為,的最小正周期為.
18．(本小題滿分8分)
解 （1）因為分別是的中點，所以．
又平面且平面，所以平面．
(2)因為平面, 平面，所以．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(３)因為平面，所以為直線與平面所成的角．
在直角中，，所以．所以．
故直線與平面所成的角為．
19．(本小題滿分8分)
解 (1) 依題意,半徑,所以,圓的標準方程是.
圓的一般方程為．
（2）設直線方程為,則..
所求直線方程為：或．
20．(本小題滿分10分)
解 (1)當時,．
當時,．
(2)依題意,
．
(3)依題意，當月銷售量最大時，可獲得最大利潤．由⑵知
．
從企業利益考慮，當時，即該企業的廣告費為元時，月銷售量的最大值等于件，此時月利潤的最大值為元．

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