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專題06 指數與指數函數（考點清單）
目錄
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc12878" 一、思維導圖 2
HYPERLINK \l "_Toc16541" 二、知識回歸 2
HYPERLINK \l "_Toc10186" 三、典型例題講與練 6
HYPERLINK \l "_Toc8547" 考點清單01：根式 6
HYPERLINK \l "_Toc14056" 【期末熱考題型1】根式的化簡求值 6
考點清單 HYPERLINK \l "_Toc92" 02：分數指數冪 7
HYPERLINK \l "_Toc4908" 【期末熱考題型1】分數指數冪的化簡求值 7
HYPERLINK \l "_Toc9641" 考點清單03：條件求值 8
HYPERLINK \l "_Toc1047" 【期末熱考題型1】條件求值 8
HYPERLINK \l "_Toc779" 考點清單04：指數函數定義 9
HYPERLINK \l "_Toc25512" 【期末熱考題型1】指數函數的判斷與求值 9
HYPERLINK \l "_Toc25814" 【期末熱考題型2】根據函數是指數函數求參數 9
HYPERLINK \l "_Toc1509" 考點清單05：指數函數的圖象 10
HYPERLINK \l "_Toc19421" 【期末熱考題型1】指數函數的圖象過定點 10
HYPERLINK \l "_Toc31159" 【期末熱考題型2】指數函數圖象的識別 11
HYPERLINK \l "_Toc16216" 【期末熱考題型3】畫指數（型）函數圖象 12
HYPERLINK \l "_Toc21915" 考點清單06：指數函數的單調性 13
HYPERLINK \l "_Toc8013" 【期末熱考題型1】利用指數函數的單調性比較大小 13
HYPERLINK \l "_Toc5885" 【期末熱考題型2】利用指數函數的單調性解不等式 13
HYPERLINK \l "_Toc780" 【期末熱考題型3】指數型復合函數的單調性 14
HYPERLINK \l "_Toc4401" 考點清單07：值域 15
HYPERLINK \l "_Toc19642" 【期末熱考題型1】與指數函數（指數型復合函數）有關的值域 15
HYPERLINK \l "_Toc4453" 【期末熱考題型2】可化為一元二次函數型 16
HYPERLINK \l "_Toc8704" 考點清單08：與指數函數的相關的綜合問題 17
HYPERLINK \l "_Toc18184" 【期末熱考題型1】與指數函數的相關的綜合問題 17
一、思維導圖
二、知識回歸
知識點01：整數指數冪
1、正整數指數冪的定義：，其中，
2、正整數指數冪的運算法則：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知識點02：根式
1、次根式定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特別的：
①當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.這時，的次方根用符號表示.
②當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.這時，正數的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().
③負數沒有偶次方根；
④的任何次方根都是，記作
2、根式：
式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數．
在根式符號中，注意：
①，
②當為奇數時，對任意都有意義
③當為偶數時，只有當時才有意義.
3、與的區別：
①當為奇數時，（）
②當為偶數時，（）
③當為奇數時，且，
④為偶數時，且，
知識點03：分式指數冪
1、正數的正分數指數冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數指數冪的形式.
2、正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規定，（，，）.
3、的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義.
知識點04：有理數指數冪
①（，）
②（，）
③（，）
知識點05：無理數指數冪
①（，）
②（，）
③（，）
知識點05：指數函數的概念
1、一般地，函數叫做指數函數，其中指數是自變量，底數是一個大于0且不等于1的常量，定義域是.
2、學習指數函數的定義，注意一下幾點
（1）定義域為：
（2）規定是因為：
①若，則（恒等于1）沒有研究價值；
②若，則時，（恒等于0），而當時，無意義；
③若，則中為偶數，為奇數時，無意義.
④只有當或時，即，可以是任意實數.
（3）函數解析式形式要求：
指數函數只是一個新式定義，判斷一個函數是指數函數的關鍵有三點：①的系數必須為1；②底數為大于0且不等于1的常數，不能是自變量；③指數處只有一個自變量，而不是含自變量的多項式.
知識點06：指數函數的圖象與性質
1、函數的圖象和性質如下表：
底數
圖象
性質 定義域
值域
定點 圖象過定點
單調性 增函數 減函數
函數值的變化情況 當時，當時，當時， 當時，當時，當時，
對稱性 函數與的圖象關于軸對稱
2、指數函數的底數對圖象的影響
函數的圖象如圖所示：
觀察圖象，我們有如下結論：
2.1.底數與1的大小關系決定了指數函數圖象的“升”與“降”.
（1）當時，指數函數的圖象是“上升”的，且當時，底數的值越大，函數的圖象越“陡”，說明其函數值增長的越快.
（2）當時，指數函數的圖象是“下降”的，且當時，底數的值越小，函數的圖象越“陡”，說明其函數值減小的越快.
2.2.底數的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是還是，底數越大，在第一象限內的函數圖象越“靠上”.
在同一平面直角坐標系中，底數的大小決定了圖象相對位置的高低；
在軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，即“底數大圖象高”；
在軸左側，圖象從上到下相應的底數由小變大，即“底數大圖象低”；
知識點07：指數函數的定義域與值域
1、定義域：
（1）指數函數的定義域為
（2）的定義域與函數的定義域相同
（3）的定義域與函數的定義域不一定相同.
2、值域
（1）指數函數的值域為
（2）求形如的函數的值域，先求的值域，然后結合得性質確定的值域
（3）求形如的值域，轉化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數中.
知識點08：指數函數的圖象變換
已知函數
1、平移變換
①
②
③
④
2、對稱變換
①
②
③
3、翻折變換
①（去掉軸左側圖象，保留軸右側圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側）
②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）
三、典型例題講與練
01：根式
【期末熱考題型1】根式的化簡求值
【解題方法】①當為奇數時，（）
②當為偶數時，（）
③當為奇數時，且，
④為偶數時，且，
【典例1】（2023上·江蘇連云港·高一江蘇省板浦高級中學校考期中）下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國·高一專題練習）若，求的取值范圍．
【專訓1-1】（2023上·高一課時練習）計算下列各式．
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ .
【專訓1-2】（多選）（2023上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學校考期中）若，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
02：分數指數冪
【期末熱考題型1】分數指數冪的化簡求值
【解題方法】根據分數指數冪定義
①（，，）
②（，，）
【典例1】（2023上·上海普陀·高一校考期中）化簡： ．（結果用根式表示）
【典例2】（2023上·山西臨汾·高一統考期中）（1）計算；
（2）化簡．
【專訓1-1】（2023上·浙江杭州·高一杭州高級中學校考期中）化簡求值： .
【專訓1-2】（2023·全國·高一專題練習）化簡().
03：條件求值
【期末熱考題型1】條件求值
【解題方法】完全平方公式；立方公式
【典例1】（2022上·廣西玉林·高一校考期中）已知，則 ．
【典例2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知．
(1)求；
(2)求．
【專訓1-1】（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省梅村高級中學校考期中）化簡求值：
若，求下列各式的值：
①；
②.
【專訓1-2】（2023上·江蘇連云港·高一統考期中）已知，求下列各式的值.
(1) (2) (3)
04：指數函數定義
【期末熱考題型1】指數函數的判斷與求值
【解題方法】指數函數的定義
【典例1】（2023上·廣東茂名·高三校考階段練習）若函數的圖象經過，則（ ）
A． B． C．3 D．9
【典例2】（2023·高一課時練習）下列函數中，屬于指數函數的是 ．（填序號）
①﹔②；③；④（a為常數，，）；⑤；⑥﹔⑦．
【專訓1-1】（2021·全國·高一專題練習）下列函數中，是指數函數的個數是（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．0
【專訓1-2】（2023下·貴州黔東南·高一校考期末）已知指數函數的圖像經過點，則 ．
【期末熱考題型2】根據函數是指數函數求參數
【解題方法】指數函數的定義
【典例1】（2023·江蘇·高一專題練習）若函數是指數函數，則（　　）
A．或 B．
C． D．且
【典例2】（2020上·吉林·高一吉化第一高級中學校校考階段練習）已知 且，函數是指數函數，且．
(1)求和的值；
【專訓1-1】（2023·高一課時練習）已知函數是指數函數，求實數a的值．
【專訓1-2】（2022上·甘肅定西·高三校考期末）已知函數是指數函數.
(1)求實數的值；
05：指數函數的圖象
【期末熱考題型1】指數函數的圖象過定點
【解題方法】
【典例1】（2023上·福建廈門·高一廈門市海滄中學校考期中）函數且的圖象過定點（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022下·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考期中）函數的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為 ．
【專訓1-1】（2023上·海南海口·高一海口一中校考期中）函數且的圖象必經過點 ．
【專訓1-2】（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中學校考階段練習）已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（ ）
A．9 B． C． D．
【期末熱考題型2】指數函數圖象的識別
【解題方法】根據指數函數的圖象特征
【典例1】（2023上·廣西南寧·高一南寧三中校考期中）函數與的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·重慶涪陵·高一校考階段練習）函數（）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓1-1】（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中學校考階段練習）函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓1-2】（多選）（2023上·廣西百色·高一統考期末）函數（，且）與在同一坐標系中的圖像可能是（ ）
A．. B．
C． D．
【期末熱考題型3】畫指數（型）函數圖象
【解題方法】根據函數圖象變換方法
【典例1】（2023上·陜西西安·高三長安一中校考階段練習）函數恰有一個零點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2018·高一課時練習）（1）已知是奇函數，求的值；
（2）畫出函數的圖象，并利用圖象回答：為何值時，方程無解？有一解？有兩解.
【專訓1-1】（2023·全國·高三專題練習）若直線與函數(且)的圖像有兩個公共點，則的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
【專訓1-2】（2023上·江西·高一上饒市第一中學校聯考期中）若函數在上單調遞增，則實數m的最小值為 ．
06：指數函數的單調性
【期末熱考題型1】利用指數函數的單調性比較大小
【解題方法】根據指數函數的單調性
【典例1】（2023上·江西·高一上饒市第一中學校聯考期中）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·北京大興·高一統考期中）設，則（ ）
A． B．
C． D．
【專訓1-1】（2023上·廣東廣州·高一廣州市協和中學校考期中）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
專訓1-2】（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學校考期中）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【期末熱考題型2】利用指數函數的單調性解不等式
【解題方法】根據指數函數的單調性
【典例1】（2023上·江西上饒·高一校考期中）已知指數函數經過點(2,9)，則不等式的解集為 ．
【典例2】（2023上·浙江·高一浙江省江山中學校聯考期中）已知定義在上的函數是奇函數．
(1)求實數的值；
(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【專訓1-1】（2023上·陜西漢中·高一校聯考期中）設函數（，且），若的圖象過點．
(1)求a的值及的解；
(2)求不等式的解集．
【專訓1-2】（2023上·北京通州·高一統考期中）已知指數函數的圖象過點.
(1)求函數的解析式
(2)試比較這三個數的大小，并說明理由;
(3)若，求實數的取值范圍.
【期末熱考題型3】指數型復合函數的單調性
【解題方法】復合函數單調性法則
【典例1】（2023上·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期中）函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學校考階段練習）已知函數在區間上單調遞減，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【專訓1-1】（2023上·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）函數的單調遞增區間為 .
【專訓1-2】（2023上·江西贛州·高三江西省大余中學校聯考期中）已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為 .
07：值域
【期末熱考題型1】與指數函數（指數型復合函數）有關的值域
【解題方法】換元法
【典例1】（2021上·高一課時練習）函數，且在上的最大值與最小值的和為，則函數在上的最大值為 .
【典例2】（2019·高一課時練習）已知，且，若函數在區間上的最大值為10，則 .
【專訓1-1】（2023下·河北石家莊·高一校考期中）已知函數在區間上的最大值比最小值大，則a=
【專訓1-2】（2022上·遼寧·高一渤海大學附屬高級中學校考期末）若函數在上有最大值，則實數a的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【期末熱考題型2】可化為一元二次函數型
【解題方法】換元法
【典例1】（2023上·廣東廣州·高一廣州市培英中學校考期中）設，且，函數在區間上的最小值為，則的取值范圍為 ．
【典例2】（2023上·吉林長春·高一長春外國語學校校考期中）已知函數，且，．
(1)求a，b的值，并寫出的解析式；
(2)設，求在的最大值和最小值．
【專訓1-1】（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學校考期中）函數，．
(1)若，求的最大值．
(2)若時，圖象恒在圖象的上方，求實數的取值范圍．
【專訓1-2】（2023上·山東濰坊·高一校考階段練習）已知函數.
(1)若，求的值；
(2)求函數的值域.
08：與指數函數的相關的綜合問題
【期末熱考題型1】與指數函數的相關的綜合問題
【解題方法】指數函數的圖象與性質
【典例1】（2023上·浙江紹興·高一浙江省柯橋中學校考期中）已知函數（且）是定義在R上的奇函數.
(1)求及的值；
(2)求函數的值域.
【典例2】（2023上·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知函數.
(1)求證：函數是上的奇函數；
(2)判斷函數的單調性，并用單調性的定義證明；
(3)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【典例3】（2023上·浙江溫州·高一校聯考期中）已知函數
(1)若在上單調遞增，求m的取值范圍．
(2)若，對任意的總存在使得 成立，求的取值范圍．
【專訓1-1】（2023上·山西臨汾·高一統考期中）已知定義在上的函數為奇函數．
(1)求a，b的值；
(2)判斷并證明的單調性；
(3)求不等式的解集．
【專訓1-2】（2023上·天津濱海新·高一大港一中校考期中）設函數（且）是定義域為R的奇函數．
(1)求及k的值；
(2)若，試判斷函數單調性（不需證明）并求不等式的解集；
(3)若，設，且在上的最小值為，求m的值．
參考答案：
【期末熱考題型1】根式的化簡求值
【典例1】
【答案】D
【詳解】，，故A錯誤；
，故B錯誤；
∵，∴當為奇數時，；當為偶數時，，故C錯誤；
成立，故D正確.
故選：D.
【典例2】
【答案】
【詳解】由題意，
∵，
由可知，∴．
故a的取值范圍為．
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
故答案為：（1）；（2）；（3）
【專訓1-2】
【答案】ABC
【詳解】，則，解得．
故選：ABC
【期末熱考題型1】分數指數冪的化簡求值
【典例1】
【答案】
【詳解】由題意.
故答案為：.
【典例2】
【答案】（1）41；（2）
【詳解】（1）；
（2）.
【專訓1-1】
【答案】8
【詳解】.
故答案為：8.
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】 .
【期末熱考題型1】條件求值
【典例1】
【答案】
【詳解】由可得，
即，
又因為，
即，可得
即，
所以．
故答案為：
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
因為，所以.
（2）由（1）得，，
所以.
【專訓1-1】
【答案】①；②
【詳解】①，則，則，則；
②設，則，則，即
【專訓1-2】
【答案】(1) (2)6 (3)
【詳解】（1）由，可知，
因為，故
（2）
（3）由（1）知，所以
又因為，所以
所以
【期末熱考題型1】指數函數的判斷與求值
【典例1】
【答案】B
【詳解】解：因為函數的圖象經過，
所以，解得 ，
所以，
則，
故選：B
【典例2】
【答案】③④
【詳解】對①：指數式的系數為2，不是1，故不是指數函數；
對②：其指數為，不是，故不是指數函數；
對③④：滿足指數函數的定義，故都是指數函數；
對⑤：是冪函數，不是指數函數；
對⑥：指數式的系數為，不是1，故不是指數函數；
對⑦：指數的底數為，不滿足底數大于零且不為1的要求，故不是；
綜上，是指數函數的只有③④.
故答案為：③④.
【專訓1-1】
【答案】D
【詳解】解：①中底數－8<0，所以不是指數函數；
②中指數不是自變量，而是的函數，所以不是指數函數；
③中底數，只有規定且時，才是指數函數；
④中前的系數是2，而不是1，所以不是指數函數.
故選：D.
【專訓1-2】
【答案】/0.5
【詳解】設（，且），由于其圖像經過點 ，
所以，解得或（舍去），
因此，故 .
故答案為：.
【期末熱考題型2】根據函數是指數函數求參數
【典例1】
【答案】C
【詳解】因為函數是指數函數，
所以，解得.
故選：C.
【典例2】
【答案】(1)
【詳解】（1）由題意得，，解得或 (不符合題意，舍去)，由，且，得．
【專訓1-1】
【答案】4
【詳解】因為函數是指數函數，
所以，解得，
即實數a的值為4.
【專訓1-2】
【答案】(1)
【詳解】（1）由函數是指數函數可得，解得
【期末熱考題型1】指數函數的圖象過定點
【典例1】
【答案】D
【詳解】因為，所以令即時，有，
即函數且的圖象過定點.
故選：D.
【典例2】
【答案】
【詳解】當時，，所以，定點的坐標為，
由已知可得，因為，則且，
所以，.
當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.
故答案為：.
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】因為當時，，
所以函數且的圖象必經過點，
故答案為：
【專訓1-2】
【答案】C
【詳解】曲線且中，由，得，因此該曲線過定點，
即，于是，又，
因此，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為16.
故選：C
【期末熱考題型2】指數函數圖象的識別
【典例1】
【答案】A
【詳解】當時，函數單調遞增，當時，，
故選：A
【典例2】
【答案】C
【詳解】當時，，因此，且函數在上單調遞增，故A、B均不符合；
當 時，，因此，且函數在上單調遞減，故C符合，D不符合．
故選：C．
【專訓1-1】
【答案】C
【詳解】因為
又，
根據指數函數的性質知，時，函數為增函數，排除B、D；
時，函數為減函數，排除A．
故選：C．
【專訓1-2】
【答案】BD
【詳解】由題意得，中若，，則，
若，，則；
中表示縱截距.
對于A，圖像中，圖像中，故A錯誤；
對于B，圖像中，圖像中，故B正確；
對于C，圖像中，圖像中，故C錯誤；
對于D，圖像中，圖像中，故D正確；
故選：BD
【期末熱考題型3】畫指數（型）函數圖象
【典例1】
【答案】C
【詳解】由題設，與只有一個交點，
又的圖象如下：

∴.
故選：C.
【典例2】
【答案】（1）；（2）時，無解；時，有兩個解；或時，有一個解.
【詳解】（1）為奇函數，
，
所以
（2）
函數圖象如圖，可知時，無解；時，有兩個解；或時，有一個解
【專訓1-1】
【答案】A
【詳解】作出和兩種圖像，如圖，作直線，
由圖可知，∴，
故選：A.
【專訓1-2】
【答案】3
【詳解】因為，
作函數函數的圖象如下，
結合圖象可知，函數在單調遞增，
所以，則實數m的最小值為3，
故答案為:3.
【期末熱考題型1】利用指數函數的單調性比較大小
【典例1】
【答案】A
【詳解】因為為增函數，所以，即；
又，即；所以.
故選：A.
【典例2】
【答案】A
【詳解】因為為減函數，所以，即；
因為在為增函數，所以，即；
所以.
故選：A.
【專訓1-1】
【答案】A
【詳解】，
因為在R上單調遞增，且，
所以，即.
故選：A
【專訓1-2】
【答案】A
【詳解】，
因為函數是實數集上的增函數，所以，即，
，，
因為函數是正實數集上的增函數，
所以，即，綜上所述：，
故選：A
【期末熱考題型2】利用指數函數的單調性解不等式
【典例1】
【答案】(1,2)
【詳解】設且，所以有，解得，即，
因此函數為R上的增函數，
因為，所以，解得，
故答案為：.
【典例2】
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數，所以，即，
經檢驗滿足題意，所以.
（2）由（1）知，易知在上單調遞減，
由，可得，
因為為定義在上的奇函數，所以原不等式等價于，
又在上單調遞減，所以，
所以在上恒成立，
當時，恒成立，符合題意；
當時，有，解得，
綜上所述，實數的取值范圍是.
【專訓1-1】
【答案】(1)，方程的解為；
(2)．
【詳解】（1）根據題意，函數的圖象過點，則有，
又，且，則，故，
若，則．
（2），即，變形可得，解得，
即不等式的解集為．
【專訓1-2】
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)
【詳解】（1）設函數為，則，解得，即；
（2）函數在上單調遞減，且，
故，即；
（3）函數在上單調遞減，，即，
故，解得，即.
【期末熱考題型3】指數型復合函數的單調性
【典例1】
【答案】A
【詳解】函數的定義域為R，函數在上單調遞減，在單調遞增，
而函數在R上單調遞減，因此函數在上單調遞增，在單調遞減，
所以函數的單調遞增區間是.
故選：A
【典例2】
【答案】C
【詳解】因為函數為R上的減函數，
根據復合函數的單調性可知，要使函數在區間上單調遞減，
則函數在區間上單調遞增.
根據二次函數的性質可知，函數在上單調遞增，
所以應有，即.
故選：C.
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】，令，則；
因為為增函數，的增區間為，所以的單調遞增區間為.
故答案為：
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數，
所以在上遞減，在上遞增，
又在上單調遞減，故，則.
故答案為：
【期末熱考題型1】與指數函數（指數型復合函數）有關的值域
【典例1】
【答案】12.
【詳解】指數函數，且在定義域上是單調函數，
又在上的最大值與最小值的和為，
，解得，
函數在定義域上為減函數，在為減函數，
在上的最大值為.
故答案為：12.
【典例2】
【答案】或
【詳解】（1）若，則函數在區間上是遞增的，
當時，取得最大值，即，
又，∴.
（2）若，則函數在區間上是遞減的，
當時，取得最大值，
所以.
綜上所述，的值為或.
故答案為：或
【專訓1-1】
【答案】或
【詳解】當時，在上的最大值為，最小值為，
故，解得或（舍去）；
當時，在上的最大值為，最小值為，
故，解得或（舍去），
綜上或.
故答案為：或
【專訓1-2】
【答案】A
【詳解】∵函數在上有最大值，
∴，，
∴，解得或（舍去）.
故選：A.
【期末熱考題型2】可化為一元二次函數型
【典例1】
【答案】
【詳解】因為，且函數在區間上的最小值為，
故，
當且時，，則，解得；
當且時，，則，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
【典例2】
【答案】(1)，，
(2)最大值為，最小值為．
【詳解】（1）由，得，
解得，．且．
所以a，b的值分別為1，2，的解析式為．
（2），
令，則由得，
所以變為，．
對稱軸為直線，，
所以當，即時，；
當，即時，．
綜上時，的最大值為，最小值為．
【專訓1-1】
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1），設，，，
故，函數對稱軸為，
當，即時，最大值為；
當，即時，最大值為；
綜上所述：
當時，函數最大值為；
當時，函數最大值為.
（2）圖象恒在圖象的上方，即恒成立，
即，設，，則.
，即恒成立，
，當且僅當時等號成立
故，即.
【專訓1-2】
【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）因為，
若，則，
令，則方程為，
解得或（舍去），
所以，解得.
（2）因為，
令，則，
所以當時，取得最小值，
故的值域.
【期末熱考題型1】與指數函數的相關的綜合問題
【典例1】
【答案】(1);.
(2)
【詳解】（1）因為函數（且）是定義在R上的奇函數，
所以，可得，則，
可得，
經檢驗：，
所以為奇函數,
.
（2）,
因為所以繼而
所以，
則，即，
所以函數的值域.
【典例2】
【答案】(1)證明見詳解
(2)證明見詳解
(3)
【詳解】（1）因為，
所以定義域為,關于原點對稱，
所以函數是上的奇函數.
（2）取
因為，所以，
則，，，
則，
故函數在上單調減.
（3）由對任意的，不等式恒成立
，
又函數是上的奇函數，
，
函數在上單調減，
對任意的，，
即，
所以，
解得：，
故實數的取值范圍為.
【典例3】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，設，
則，
所以函數在上單調遞減，
函數開口向上，對稱軸，在單調遞減，在上單調遞增，
又因為在上單調遞增，
所以，
所以，
所以的取值范圍為
（2）因為，對任意的總存在使得 成立，
所以只需，
由（1）可知在單調遞增，在上單調遞減，
當時，，帶入解析式可得
，
而開口向上，對稱軸，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，在上單調遞減，
，
所以，解得，舍去；
當時，在上單調遞增，
所以解得，
因為，取交集，
所以
當時，
若，即時，
所以，解得，與假設不符合，舍去；
若，即時，
所以，解得，不符合，故舍去，
若，即時，
所以，解得與假設不符，故舍去；
綜上所述，的取值范圍為
【專訓1-1】
【答案】(1)；
(2)在R上單調遞增，證明見解析；
(3)．
【詳解】（1）依題意，，解得，
，，則，，
所以.
（2）函數在R上單調遞增，證明如下：
設任意，，且，
，由，得，
則，，，
因此，即，所以在R上單調遞增.
（3）不等式化為：，，
解得或，
所以所求不等式的解集為．
【專訓1-2】
【答案】(1)，；
(2)單調遞增，；
(3)
【詳解】（1）函數是定義域為R的奇函數，則，且，解得，此時，
顯然，即函數是奇函數，
所以，.
（2）由（1）知，，由，得，而且，解得，
函數在R上單調遞增，在R上單調遞減，因此函數在R上單調遞增，
不等式，
于是，解得，
所以原不等式的解集為.
（3）由（1）知，，由，得，而且，解得，
則，
當時，令，，
當時，函數在上單調遞增，
當，即時，，解得，矛盾，無解；
當時，當時，，解得，符合題意，
所以.
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