資源簡介

1150620010325100第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(精講）
目錄
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(精講） 1
第一部分：知識點必背 2
4、含參問題討論單調(diào)性 2
第二部分：高考真題回歸 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參） 4
高頻考點二：已知函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào) 4
高頻考點三：已知函數(shù)false在區(qū)間false上存在單調(diào)區(qū)間 5
高頻考點四：已知函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào) 6
高頻考點五：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間為（是）false 6
高頻考點六：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間的個數(shù) 7
高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 8
角度1：導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性 8
角度2：比較大小 10
角度3：構(gòu)造函數(shù)解不等式 11
高頻考點六：含參問題討論單調(diào)性 12
角度1：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 12
角度2：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 14
角度3：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 15
第四部分：高考新題型 16
①開放性試題 16
第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 17
①分類討論的思想 17
②轉(zhuǎn)化與化歸思想 17
溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭
第一部分：知識點必背
1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）
條件
恒有
結(jié)論
函數(shù)false在區(qū)間false上可導(dǎo)
false
false在false內(nèi)單調(diào)遞增

false
false在false內(nèi)單調(diào)遞減

false
false在false內(nèi)是常數(shù)函數(shù)
2、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求false的定義域
②求false
③令false，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令false，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時，令false（或false）不跟等號.
3、由函數(shù)false的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
（1）已知函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)
①已知false在區(qū)間false上單調(diào)遞增falsefalse，false恒成立.
②已知false在區(qū)間false上單調(diào)遞減falsefalse，false恒成立.
注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數(shù)false在區(qū)間false上存在單調(diào)區(qū)間
①已知false在區(qū)間false上存在單調(diào)增區(qū)間false令false，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間false，則false
②已知false在區(qū)間false上存在單調(diào)減區(qū)間false令false，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間false，則false
（3）已知函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào)falsefalse，使得false(其中false是變號零點）
4、含參問題討論單調(diào)性
第一步：求false的定義域
第二步：求false（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）
第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為false
對于false進(jìn)行求導(dǎo)得到false，對false初步處理（如通分），提出false的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為false的有效部分（如：false，則記false為false的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定false的正負(fù).
第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分false的類型：
①false為一次型（或可化為一次型）②false為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論false的單調(diào)性
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·北京·高考真題節(jié)選）已知函數(shù)false．
(1)求曲線false在點false處的切線方程；
(2)設(shè)false，討論函數(shù)false在false上的單調(diào)性；
2．（2022·全國（新高考Ⅱ）·高考真題節(jié)選）已知函數(shù)false．
(1)當(dāng)false時，討論false的單調(diào)性；
3．（2022·浙江·高考真題節(jié)選）設(shè)函數(shù)false．
(1)求false的單調(diào)區(qū)間；
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
典型例題
例題1．（2023春·天津濱海新·高二漢沽一中校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是（????）
A．false B．false C．false D．false
例題2．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是（????）
A．false B．false C．false D．false
例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
練透核心考點
1．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞增區(qū)間為（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023春·廣東茂名·高二信宜市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是_______________.
3．（2023·高三課時練習(xí)）寫出函數(shù)false的嚴(yán)格增區(qū)間：____________．
高頻考點二：已知函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)遞減，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false在false上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍為（????）
A．false B．false C．false D．false
例題3．（2023·高二課時練習(xí)）若false在false上是減函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍是_________.
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)false在false單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（????）
A．false B．false C．false D．false
3．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false在false上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍是________．
高頻考點三：已知函數(shù)false在區(qū)間false上存在單調(diào)區(qū)間
典型例題
例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)false存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false
C．false D．false
例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)false在區(qū)間false內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
false B．false C．false D．false



練透核心考點
1．（2023·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)false存在遞減區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false
C．false D．false
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)＝－falsex3＋falsex2＋2ax，若f(x)在false上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.
高頻考點四：已知函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào)
典型例題
例題1．（2023·高二課時練習(xí)）“當(dāng)false時，函數(shù)false在區(qū)間false上不是單調(diào)函數(shù)”為真命題的false的一個取值是__________．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false在false上不單調(diào)，則false的取值范圍是______.
練透核心考點
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false．若false在false內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是______．
2．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)false在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
高頻考點五：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間為（是）false
典型例題
例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間為false，則（????）.
A．false B．false
C．false D．false
例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是false，則false（????）
A．3 B．false C．2 D．false
例題3．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是false，則false的值為______.
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，3)，則b＋c＝（????）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
2．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間為false，則false的值為________．
高頻考點六：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間的個數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false
C．false D．false
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍為______．
例題3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)false恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定false的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是(　　)
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false恰好有三個不同的單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false


高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
角度1：導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2023秋·山西陽泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)false圖象如下圖所示，則原函數(shù)false的圖象是（????）
A． B．
C． D．
例題2．（多選）（2023春·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)，將false和false的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，可能正確的是（????）
A． B．
C． D．


練透核心考點
1．（2023春·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false的圖象如圖所示（其中false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，false的圖象大致是（????）
A． B．
C． D．
2．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)，在同一個直角坐標(biāo)系中，false和false的圖象不可能是（????）
A． B．
C． D．
角度2：比較大小
典型例題
例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)false，其導(dǎo)函數(shù)false的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(????)
A．false B．false
C．false D．false
例題2．（2023春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（????）
A．false
B．false
C．false
D．false
練透核心考點
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false的圖象如圖所示，false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（????）
A．false B．false
C．false D．false
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)false的圖象如圖所示，記false、false、false，則false、false、false最大的是________.
角度3：構(gòu)造函數(shù)解不等式
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false在false上可導(dǎo)且滿足false，則下列不等式一定成立的為（????）
A．false B．false
C．false D．false
例題2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false是定義在false上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為false，且當(dāng)false時，false，則不等式false的解集為______．
例題3．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中學(xué)校考期中）已知函數(shù)false是其導(dǎo)函數(shù)，恒有false，則（?????）
A．false B．false
C．false D．false
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知定義在false上的函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)為false，且滿足false，false，則false的解集為（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知false是函數(shù)false的導(dǎo)數(shù)，false則不等式false的解集是（????）
A．false B．false C．false D．false
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時,false，且f（3）＝0，則不等式f（x）≥0的解集為（????）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）


高頻考點六：含參問題討論單調(diào)性
角度1：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）
典型例題
例題1．（2023春·廣東茂名·高二信宜市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false，討論函數(shù)false的單調(diào)性；
例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false
(1)當(dāng)false時，求曲線false在點false處曲線的切線方程；
(2)求函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間.
例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)false，求false的單調(diào)區(qū)間．
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false.討論false的單調(diào)性；
（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false，其中false.討論函數(shù)false的單調(diào)性；
角度2：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)false.當(dāng)false時，討論函數(shù)false的單調(diào)性；
例題2．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false．討論false的單調(diào)性；
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false，討論false的單調(diào)性；
練透核心考點
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false．求函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間；
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false，false.討論false的單調(diào)性；
（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false，討論函數(shù)false的單調(diào)性；
角度3：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型
典型例題
例題1．（2023春·山東青島·高二青島二中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)false.
(1)若函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)遞增，求實數(shù)false的取值范圍；
(2)討論函數(shù)false的單調(diào)性.
例題2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)false．
討論函數(shù)false的單調(diào)性；
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false.討論函數(shù)false的單調(diào)性；
（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)false的單調(diào)性
第四部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）寫出一個同時具備下列性質(zhì)①②的函數(shù)false：__________．
①false；②false ．
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)false___________.
①false；②當(dāng)false時，false；
第五部分：數(shù)學(xué)思想方法
①分類討論的思想
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false.討論false的單調(diào)性
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false，討論函數(shù)false的單調(diào)性
②轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2023·江西九江·高二統(tǒng)考）若函數(shù)false在定義域內(nèi)單調(diào)，則false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false，若false在false上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false（false）若對任意false，false恒成立，則false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
1035050011176000第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(精講）
目錄
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(精講） 1
第一部分：知識點必背 2
4、含參問題討論單調(diào)性 2
第二部分：高考真題回歸 3
第三部分：高頻考點一遍過 4
高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參） 4
高頻考點二：已知函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào) 6
高頻考點三：已知函數(shù)false在區(qū)間false上存在單調(diào)區(qū)間 8
高頻考點四：已知函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào) 10
高頻考點五：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間為（是）false 12
高頻考點六：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間的個數(shù) 13
高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 15
角度1：導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性 15
角度2：比較大小 18
角度3：構(gòu)造函數(shù)解不等式 20
高頻考點六：含參問題討論單調(diào)性 24
角度1：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 24
角度2：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 26
角度3：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 29
第四部分：高考新題型 32
①開放性試題 32
第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 33
①分類討論的思想 33
②轉(zhuǎn)化與化歸思想 34
溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭
第一部分：知識點必背
1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）
條件
恒有
結(jié)論
函數(shù)false在區(qū)間false上可導(dǎo)
false
false在false內(nèi)單調(diào)遞增

false
false在false內(nèi)單調(diào)遞減

false
false在false內(nèi)是常數(shù)函數(shù)
2、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求false的定義域
②求false
③令false，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令false，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時，令false（或false）不跟等號.
3、由函數(shù)false的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
（1）已知函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)
①已知false在區(qū)間false上單調(diào)遞增falsefalse，false恒成立.
②已知false在區(qū)間false上單調(diào)遞減falsefalse，false恒成立.
注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數(shù)false在區(qū)間false上存在單調(diào)區(qū)間
①已知false在區(qū)間false上存在單調(diào)增區(qū)間false令false，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間false，則false
②已知false在區(qū)間false上存在單調(diào)減區(qū)間false令false，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間false，則false
（3）已知函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào)falsefalse，使得false(其中false是變號零點）
4、含參問題討論單調(diào)性
第一步：求false的定義域
第二步：求false（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）
第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為false
對于false進(jìn)行求導(dǎo)得到false，對false初步處理（如通分），提出false的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為false的有效部分（如：false，則記false為false的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定false的正負(fù).
第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分false的類型：
①false為一次型（或可化為一次型）②false為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論false的單調(diào)性
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)false．
(1)求曲線false在點false處的切線方程；
(2)設(shè)false，討論函數(shù)false在false上的單調(diào)性；
【答案】(1)false
(2)false在false上單調(diào)遞增.
【詳解】（1）解：因為false，所以false，
即切點坐標(biāo)為false，
又false，
∴切線斜率false
∴切線方程為：false
（2）解：因為false，????
所以false，
令false，
則false，
∴false在false上單調(diào)遞增，
∴false
∴false在false上恒成立，
∴false在false上單調(diào)遞增.
2．（2022·全國（新高考Ⅱ）·高考真題）已知函數(shù)false．
(1)當(dāng)false時，討論false的單調(diào)性；
【答案】(1)false的減區(qū)間為false，增區(qū)間為false.
【詳解】（1）當(dāng)false時，false，則false，
當(dāng)false時，false，當(dāng)false時，false，
故false的減區(qū)間為false，增區(qū)間為false.
3．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)false．
(1)求false的單調(diào)區(qū)間；
【答案】(1)false的減區(qū)間為false，增區(qū)間為false.
【詳解】（1）false，
當(dāng)false，false；當(dāng)false，false，
故false的減區(qū)間為false，false的增區(qū)間為false.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
典型例題
例題1．（2023春·天津濱海新·高二漢沽一中校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【詳解】由已知false，
false時，false，false時，false，
所以false的減區(qū)間是false，增區(qū)間是false；
故選：A．
例題2．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【詳解】false，函數(shù)定義域為false，false，
令false，得false，所以函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是false.
故選：A.
例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
【答案】false
【詳解】函數(shù)false，則false，
令false解得false，
當(dāng)false時,false,函數(shù)false單調(diào)遞減，
當(dāng)false時,false,函數(shù)false單調(diào)遞增，
當(dāng)false時,false,函數(shù)false單調(diào)遞減，
故答案為：false.
練透核心考點
1．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞增區(qū)間為（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【詳解】因為false，所以false，
令false，得false或false，
又函數(shù)的定義域為false，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為false，
故選：C
2．（2023春·廣東茂名·高二信宜市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是_______________.
【答案】false
【詳解】由題設(shè)false，令false，解得false，
因此，函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是false.
故答案為：false
3．（2023·高三課時練習(xí)）寫出函數(shù)false的嚴(yán)格增區(qū)間：____________．
【答案】false，false
【詳解】由題意false，解得false，false，
故函數(shù)false的嚴(yán)格增區(qū)間為false，false.
故答案為：false，false.
高頻考點二：已知函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)遞減，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】解：false，則false在false上恒成立，即false恒成立，又false在false上單調(diào)遞減，故false，
所以false，當(dāng)false時，導(dǎo)數(shù)不恒為0，
故選：D.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false在false上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍為（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】false，
因為false在false上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以false在false上恒成立，
令false，
要滿足false①，或false②，
由①得：false，由②得：false，
綜上：實數(shù)m的取值范圍是false.
故選：D
例題3．（2023·高二課時練習(xí)）若false在false上是減函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍是_________.
【答案】false
【詳解】false，
因為false在false上是減函數(shù)，
所以false在false上恒成立，
即false，
當(dāng)false時，false的最小值為false，所以false，
故答案為：false
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【詳解】false，又false在false上單調(diào)遞增，故false在false上恒成立，而false時，易見false，只需要false即可，故false.
故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)false在false單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】由題得false，
false函數(shù)false在區(qū)間false單調(diào)遞增，
false在區(qū)間false上恒成立．
false，
而false在區(qū)間false上單調(diào)遞減，
false．
選項中只有false是false的必要不充分條件. 選項AC是false的充分不必要條件，選項B是充要條件.
故選：D
3．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false在false上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍是________．
【答案】false
【詳解】由題意得false在false上恒成立，
因此false，
解得false，
所以實數(shù)false的取值范圍是false．
故答案為：false.
高頻考點三：已知函數(shù)false在區(qū)間false上存在單調(diào)區(qū)間
典型例題
例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)false存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【詳解】函數(shù)false的定義域為false ，且其導(dǎo)數(shù)為false．由false存在單調(diào)遞減區(qū)間知false在false 上有解，即false有解．因為函數(shù)false的定義域為false ，所以false．要使false有解，只需要false的最小值小于false，所以false，即false，所以實數(shù)false的取值范圍是false ．
故選:B．
例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)false在區(qū)間false內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】由false可得：false.
因為函數(shù)false在區(qū)間false內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，
所以false在false上有解，即false在false上有解.
設(shè)false，由false在false上恒成立，所以false在false單調(diào)遞增，所以false.
所以false.
故選：D
練透核心考點
1．（2023·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)false存在遞減區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【詳解】由題設(shè)，false，由false存在遞減區(qū)間，即存在false使false，
∴false，可得false或false.
故選：B
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)＝－falsex3＋falsex2＋2ax，若f(x)在false上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.
【答案】false
【詳解】由 f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝false，
當(dāng)false時，f ′(x)的最大值為false
令false，得false.
所以，當(dāng)false時，f(x)在false上存在單調(diào)遞增區(qū)間．
高頻考點四：已知函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào)
典型例題
例題1．（2023·高二課時練習(xí)）“當(dāng)false時，函數(shù)false在區(qū)間false上不是單調(diào)函數(shù)”為真命題的false的一個取值是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的實數(shù)即可）
【詳解】∵false，∴false，
函數(shù)false在區(qū)間false上不是單調(diào)函數(shù)，
∴false在區(qū)間false上有解,∵false，∴false,∴false,
故答案為：5（答案不唯一，只要是大于4的實數(shù)即可）.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false在false上不單調(diào)，則false的取值范圍是______.
【答案】false
【詳解】false
因為函數(shù)false在false上不單調(diào)
所以false必有解
當(dāng)false只有一個解時，false
得出函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，與題干矛盾，故false必有兩個不等實根
則false，解得false或false
故答案為false
練透核心考點
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false．若false在false內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】false
【詳解】由false，得false，
當(dāng)false在false內(nèi)為減函數(shù)時，則false在false內(nèi)恒成立，
所以false在false內(nèi)恒成立，
當(dāng)false在false內(nèi)為增函數(shù)時，則false在false內(nèi)恒成立，
所以false在false內(nèi)恒成立，
令false，因為false在false內(nèi)單調(diào)遞增，在false內(nèi)單調(diào)遞減，
所以false在false內(nèi)的值域為false，所以false或false，
所以函數(shù)false在false內(nèi)單調(diào)時，a的取值范圍是false，
故false在false上不單調(diào)時，實數(shù)a的取值范圍是false．
故答案為：false．
2．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)false在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】(4，5)
【詳解】解：false函數(shù)false，false，
若函數(shù)false在區(qū)間false上不單調(diào)，則false在false上存在變號零點，
由false得false，
令false，false，false，
false在false遞減，在false遞增，而false，false，false，
所以false.
故答案為：false.
高頻考點五：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間為（是）false
典型例題
例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間為false，則（????）.
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【詳解】由false得false，又false的單調(diào)遞減區(qū)間是false，所以false和1是方程false的兩個根，代入得false.經(jīng)檢驗滿足題意
故選：B.
例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是false，則false（????）
A．3 B．false C．2 D．false
【答案】B
【詳解】函數(shù)false，則導(dǎo)數(shù)false
令false，即false，
∵false，false的單調(diào)遞減區(qū)間是false，
∴0，4是方程false的兩根，
∴false，false，
∴false
故選：B.
例題3．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間是false，則false的值為______.
【答案】false
【詳解】由題設(shè)，false，由false單調(diào)遞減區(qū)間是false，
∴false的解集為false，則false是false的解集，
∴false，可得false，故false.
故答案為：false
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，3)，則b＋c＝（????）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
【答案】A
【詳解】false＝3x2＋2bx＋c，由題意知，－1∴－1，3是false＝0的兩個根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.
故選：A．
2．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false的單調(diào)遞減區(qū)間為false，則false的值為________．
【答案】false
【詳解】函數(shù)false的定義域為false，且false，
由題意可知，不等式false的解集為false，所以，false，解得false.
故答案為：false.
高頻考點六：已知函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間的個數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
【詳解】由題意，函數(shù)false，可得false，
因為函數(shù)false存在三個單調(diào)區(qū)間，可得false有兩個不相等的實數(shù)根，
則滿足false，解得false或false，
即實數(shù)false的取值范圍是false.
故選：C.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍為______．
【答案】false
【詳解】試題分析：函數(shù)有3個單調(diào)區(qū)間，等價于導(dǎo)函數(shù)有2個不同零點，falsefalse
例題3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)false恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍．
【答案】false.
【詳解】由題可知false的定義域為R，false，
若false，則false恒成立，此時false在R上單調(diào)遞增，即只有一個單調(diào)區(qū)間，不符題意；
若false，由false解得false，
由false解得false或false，
此時false在false上單調(diào)遞增，在false與false上單調(diào)遞減，共有三個單調(diào)區(qū)間，符合題意；
所以a的取值范圍是false．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是(　　)
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】解：∵函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，
∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，
由函數(shù)f（x）恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得f′（x）有兩個不相等的零點，
∴3ax2﹣6x+1＝0滿足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．
故選D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)false恰好有三個不同的單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】由題意得false，
false函數(shù)false恰好有三個不同的單調(diào)區(qū)間，false有兩個不同的零點，
所以，false，解得false.
因此，實數(shù)false的取值范圍是false.
故選：D.
高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
角度1：導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2023秋·山西陽泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)false圖象如下圖所示，則原函數(shù)false的圖象是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由圖可知，當(dāng)false時，false，則函數(shù)false在false上為增函數(shù)，
當(dāng)false時，false單調(diào)遞增，故函數(shù)false在false上的增長速度越來越快，
當(dāng)false時，false單調(diào)遞減，故函數(shù)false在false上的增長速度越來越慢.
B選項中的圖象滿足題意.
故選：B.
例題2．（多選）（2023春·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)，將false和false的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，可能正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】對選項A，若圖中的直線為false的圖象，曲線為false的圖象，
因為false的圖象先負(fù)后正，false的圖象先減后增，故A可能正確.
對選項B，若圖中上面的曲線為false的圖象，下面曲線為false的圖象，
因為false的圖象在false處先負(fù)后正，false的圖象在false處先減后增，
故B可能正確.
對選項C，若圖中上面的曲線為false的圖象，下面曲線為false的圖象，
因為false恒成立，false的圖象為增函數(shù)，故C可能正確.
對選項D，若圖中上面的曲線為false的圖象，下面曲線為false的圖象，
因為false的圖象先負(fù)后正，false的圖象為增函數(shù)，不符合，
若圖中上面的曲線為false的圖象，下面曲線為false的圖象，
因為false恒成立，false的圖象為增函數(shù)，不符合，故D錯誤.
故選：ABC
練透核心考點
1．（2023春·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false的圖象如圖所示（其中false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，false的圖象大致是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題給函數(shù)false的圖象，可得
當(dāng)false時，false，則false，則false單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，false，則false，則false單調(diào)遞減；
當(dāng)false時，false，則false，則false單調(diào)遞減；
當(dāng)false時，false，則false，則false單調(diào)遞增；
則false單調(diào)遞增區(qū)間為false，false；單調(diào)遞減區(qū)間為false
故僅選項C符合要求.
故選：C
2．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)，在同一個直角坐標(biāo)系中，false和false的圖象不可能是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】對A，false和false可滿足，故A可能成立；
對B，false和false可滿足，故B可能成立；
對C，false和false可滿足，故C可能成立；
對D，因為導(dǎo)函數(shù)為原函數(shù)的斜率函數(shù)，易得若任一一個函數(shù)圖象為導(dǎo)函數(shù)，則原函數(shù)的切線斜率應(yīng)該恒非負(fù)或非正，故不滿足，故D錯誤；
故選：D
角度2：比較大小
典型例題
例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)false，其導(dǎo)函數(shù)false的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(????)
A．false B．false
C．false D．false
【答案】D
【詳解】由false圖像可知f(x)圖像大致如下：
由圖可知f(a)>f(b)，f(b)故選：D．
例題2．（2023春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（????）
A．false
B．false
C．false
D．false
【答案】A
【詳解】由false圖象知，false遞減，即false，但false圖象的切線斜率隨著false的增大而增大，導(dǎo)函數(shù)false是遞增的，
因此false．
故選：A．
練透核心考點
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false的圖象如圖所示，false是函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】A
【詳解】由函數(shù)false的圖象可知，
當(dāng)false時，false單調(diào)遞增，
所以false，false，false，
由此可知，false在false上恒大于0，
因為直線的斜率逐漸增大，
所以false單調(diào)遞增，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，
故false，
所以false，
故選：A．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)false的圖象如圖所示，記false、false、false，則false、false、false最大的是________.
【答案】false
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，false、false、false分別為false處的切線斜率，
又false與false處的切線單調(diào)遞增，false處的切線單調(diào)遞減，且false處的切線比false處的切線更陡峭，
∴false，
故最大為false.
故答案為：false
角度3：構(gòu)造函數(shù)解不等式
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false在false上可導(dǎo)且滿足false，則下列不等式一定成立的為（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
【詳解】構(gòu)造函數(shù)false，
false在false時恒成立，
所以false在false時單調(diào)遞增，
所以false，即false，所以false，
故選:C.
例題2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false是定義在false上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為false，且當(dāng)false時，false，則不等式false的解集為______．
【答案】false或false
【詳解】令false，
則false，
由當(dāng)false時， false，
所以當(dāng)false時，false
即false在false上是增函數(shù)，
由題意false是定義在false上的偶函數(shù)，
所以false，
所以false，
所以false是偶函數(shù)，在false遞減，
所以false，
false，
即不等式等價為false，
所以false，所以false或false.
故答案為：false或false.
例題3．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中學(xué)校考期中）已知函數(shù)false是其導(dǎo)函數(shù)，恒有false，則（?????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】D
【詳解】因為false，所以false，
由false得false，所以false.
構(gòu)造函數(shù)false，false，
則false，所以false在false上為增函數(shù)，
因為false，所以false，所以false，即false，故A錯誤；
因為false，所以false，
所以false，即false，故B錯誤；
因為false，所以false，所以false，
即false，故C錯誤；
因為false，所以false，
所以false，即false，故D正確.
故選：D
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知定義在false上的函數(shù)false的導(dǎo)函數(shù)為false，且滿足false，false，則false的解集為（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【詳解】構(gòu)造函數(shù)false，
false，
所以false在false上遞增，false，
由于false，
根據(jù)false的單調(diào)性解得false，
所以false的解集false.
故選：D
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知false是函數(shù)false的導(dǎo)數(shù)，false則不等式false的解集是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【詳解】令false，則false，
因為false，
所以false，即false，
設(shè)false，
所以false，
因為false，
所以false，所以false在false上單調(diào)遞增，
因為false，
所以false，
所以false等價于false，
則false，即false，解得false．
所以不等式false的解集是false．
故選：C
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時,false，且f（3）＝0，則不等式f（x）≥0的解集為（????）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）
【答案】D
【詳解】設(shè)false，（x＞0），則其導(dǎo)數(shù)false，
而當(dāng)x＞0時false，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又由f（3）＝0，則false0，所以false區(qū)間（0，3）上，g（x）＜0，在區(qū)間（3，+∞）上，g（x）＞0，則在區(qū)間（0，3）上，f（x）＜0，在區(qū)間（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）＝0，false，
且在區(qū)間（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在區(qū)間（﹣3，0）上，f（x）＞0，
綜合可得：不等式f（x）≥0的解集為[﹣3，0]∪[3，+∞）．
故選：D.
高頻考點六：含參問題討論單調(diào)性
角度1：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）
典型例題
例題1．（2023春·廣東茂名·高二信宜市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)false，討論函數(shù)false的單調(diào)性；
【答案】當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞減，在false上單調(diào)遞增.
【詳解】false，false，
①當(dāng)false時，false，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；
②當(dāng)false時，令false，得false，令false，得false，
所以函數(shù)false在false上單調(diào)遞減；false在false上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞減，在false上單調(diào)遞增.
例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false
(1)當(dāng)false時，求曲線false在點false處曲線的切線方程；
(2)求函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)false
(2)答案見解析.
【詳解】（1）當(dāng)false時，false，定義域為false，
false，所以切點為false，
又因為false，所以false，即切線的斜率等于2，
根據(jù)點斜式得false，整理得false.
（2）false,false
當(dāng)false時，false恒成立，所以false在false上單調(diào)遞增，
當(dāng)false時，令false即false解得false，
令false即false解得false，
所以false在false單調(diào)遞增，false單調(diào)遞減.
例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)false，求false的單調(diào)區(qū)間．
【答案】答案見解析
【詳解】false的定義域為false，false．
若false，則false，所以false在false上單調(diào)遞增．
若false，則當(dāng)false時，false；當(dāng)false時，false．
所以false在false上單調(diào)遞減，在false上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，false在false上單調(diào)遞減，在false上單調(diào)遞增．
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false.討論false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】由題可得false的定義域為false，且false，
當(dāng)false時，false成立，所以false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，由false，可得false，所以false在false上為增函數(shù)；
由false，可得false，所以false在false上為減函數(shù).
綜上，false時，函數(shù)false在false上為增函數(shù)；false時，函數(shù)false在false上為增函數(shù)，函數(shù)false在false上為減函數(shù).
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false，其中false.討論函數(shù)false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】由false，得false，
當(dāng)false時，false恒成立，false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，令false，解得false，
當(dāng)false時，false，false單調(diào)遞減，當(dāng)false時，false，false單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)false時，false在false上單調(diào)遞增；當(dāng)false時，false在false上單調(diào)遞減，在false上單調(diào)遞增.
角度2：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)false.當(dāng)false時，討論函數(shù)false的單調(diào)性；
【答案】見解析
【詳解】由題知，函數(shù)false的定義域為false，
所以求導(dǎo)得false，
若false，
由false得false或false，
由false得false，
所以函數(shù)false在false，和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減，
若false，恒有false，當(dāng)且僅當(dāng)false時取等號，因此函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，
若false，
由false得false或false，
由false得false，
所以函數(shù)false在false，false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)false時，函數(shù)false在false，false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，函數(shù)false在false，false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減.
例題2．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false．討論false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】定義域為R，
false．
當(dāng)false時，則false，false在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)false時，令false，則false，
當(dāng)false時，false，false單調(diào)遞減，
當(dāng)false時，false，false單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)false時，false在R上單調(diào)遞增；當(dāng)false時，false在false上單調(diào)遞減，在false上單調(diào)遞增．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false，討論false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】函數(shù)false定義域R，
求導(dǎo)得false，
若false，
當(dāng)false時，false，當(dāng)false或false時，false，
即false在false上單調(diào)遞減，在false和false上單調(diào)遞增；
若false，恒有false.即false在false上單調(diào)遞增；
若false，
當(dāng)false時，false；當(dāng)false或false時，false，即false在false上單調(diào)遞減，在false和false上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)false時，函數(shù)false的遞減區(qū)間是false，遞增區(qū)間是false和false；
當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，函數(shù)false的遞減區(qū)間是false，遞增區(qū)間是false和false.
練透核心考點
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false．求函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間；
【答案】答案見解析
【詳解】函數(shù)false的定義域為false
則false
當(dāng)false，false時，false恒成立，所以false單調(diào)遞減；
當(dāng)false時，令false，解得false或false（舍去），
令false，false，令false，false
所以false在false上單調(diào)遞減；false上單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)false時，false的單調(diào)遞減區(qū)間為false，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)false時，false的單調(diào)遞增區(qū)間為false，單調(diào)遞減區(qū)間為false
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false，false.討論false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】false ，
當(dāng)false即false時，false或false，
故false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false即false時，false，false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false即false時，false或false，
故false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
綜上可知：false時，故false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
false時， false在false上單調(diào)遞增；
false時，false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
3．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)false，討論函數(shù)false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】解：因為false，
所以false
若false時，false，false在false上單調(diào)遞增；
若false時，false，當(dāng)false或false時，false，false為增函數(shù)，
當(dāng)false時，false，false為減函數(shù)，
若false時，false，當(dāng)false或false時，false，false為增函數(shù)，
當(dāng)false時，false，false為減函數(shù).
綜上，false時，false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false時，false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減.
角度3：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型
典型例題
例題1．（2023春·山東青島·高二青島二中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)false.
(1)若函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)遞增，求實數(shù)false的取值范圍；
(2)討論函數(shù)false的單調(diào)性.
【答案】(1)false
(2)答案見解析
【詳解】（1）false在false上單調(diào)遞增，false在false上恒成立，
即false在false上恒成立，
當(dāng)false時，false，false，false，
即實數(shù)false的取值范圍為false.
（2）由題意得：false，則false；
令false，
①當(dāng)false時，false，false在false上單調(diào)遞增；
②當(dāng)false時，false；
若false，即false時，false恒成立，false恒成立，
false在false上單調(diào)遞增；
若false，即false且false時，令false，解得：false，false；
（i）若false，則false，則false在false上恒成立，
false恒成立，false在false上單調(diào)遞增；
（ii）若false，則false，
false當(dāng)false時，false；當(dāng)false時，false；
false當(dāng)false時，false；當(dāng)false時，false；
false在false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)false時，false在false上單調(diào)遞增；當(dāng)false時，false在false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減.
例題2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)false．
(1)討論函數(shù)false的單調(diào)性；
【答案】(1)當(dāng)false時，false在false是增函數(shù)；
當(dāng)false時，false在false單調(diào)遞增，在false單調(diào)遞減，在false單調(diào)遞增.
【詳解】（1）由已知得函數(shù)false的定義城為false，
false．當(dāng)且僅當(dāng)false時，等號成立，
當(dāng)false時，恒有false，所以false在false是增函數(shù)；
當(dāng)false時，方程false有兩個不等的正根false，false，
由false，即false，解得false，或false．
由false，即false，解得false，
所以false在false單調(diào)遞增，在false單調(diào)遞減，在false單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)false時，false在false是增函數(shù)；
當(dāng)false時，false在false單調(diào)遞增，在false單調(diào)遞減，在false單調(diào)遞增．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false.討論函數(shù)false的單調(diào)性；
【答案】答案見解析
【詳解】由false，可知定義域false，
false，令false，則false，
①當(dāng)false時，false，則false成立，即false成立，
所以false的單調(diào)增區(qū)間為false；
②當(dāng)false時，令false，得false，記false，
false，當(dāng)false變化時，false，false的變化情況如下表
false
false
false
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以false的增區(qū)間為false，false上單調(diào)遞增，減區(qū)間為false，
綜上，當(dāng)false時，false的單調(diào)增區(qū)間為false；
當(dāng)false時，false的增區(qū)間為false，false上單調(diào)遞增，減區(qū)間為false.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)false的單調(diào)性
【答案】答案見解析
【詳解】由題可知，函數(shù)false的定義域為false，
false，
令false，false，
當(dāng)false時，
false在false恒成立，
所以false在false恒成立，
所以函數(shù)false在false單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，false，
false在false恒成立，
所以false在false恒成立，
所以函數(shù)false在false單調(diào)遞增；
當(dāng)false時，false，
方程false 的兩個根記為false，
有false，可得false，
由求根公式可得false
所以當(dāng)false時，false，
當(dāng)false或false時，false；
綜上，
(i) 當(dāng)false時，函數(shù)false在false單調(diào)遞增，
false單調(diào)遞減，false單調(diào)遞增；
(ii) 當(dāng)false時，函數(shù)false在false單調(diào)遞增.
第四部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）寫出一個同時具備下列性質(zhì)①②的函數(shù)false：__________．
①false；②false ．
【答案】false（答案不唯一）
【詳解】因為false 是加變乘，所以考慮指數(shù)函數(shù)類型，又false 是減函數(shù)，
false false 滿足要求；
故答案為：false （答案不唯一）.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)false___________.
①false；②當(dāng)false時，false；
【答案】false（答案不唯一）
【詳解】依題意，當(dāng)false時，false，
即false在區(qū)間false上為減函數(shù)，
且false，
對函數(shù)false，在區(qū)間false上為減函數(shù)，
任取false，false，符合題意.
故答案為：false（答案不唯一）
第五部分：數(shù)學(xué)思想方法
①分類討論的思想
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false.討論false的單調(diào)性
【答案】答案見解析
【詳解】由題意可知：函數(shù)false的定義域為false，false.
①當(dāng)false時，令false，即false，解得：false.
令false，解得：false；令false，解得：false；
所以函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減.
②當(dāng)false時，則false，
所以函數(shù)false在false上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減.
當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false，討論函數(shù)false的單調(diào)性
【答案】答案見解析
【詳解】因為函數(shù)false，則false，
注意到false，令false，false，
當(dāng)false，即false時，令false，解得false，false，且false，
令false，即false，解得false或false，令false，即false，解得false，
所以函數(shù)false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false，即false時，則false在定義域內(nèi)恒成立，故false在定義域內(nèi)恒成立，
所以false在false上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)false時，函數(shù)false在false和false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false時，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增.
②轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2023·江西九江·高二統(tǒng)考）若函數(shù)false在定義域內(nèi)單調(diào)，則false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【詳解】false，
依題意可得：函數(shù)false在定義域內(nèi)只能單調(diào)遞增，
false恒成立，即false恒成立，
false，
false，
故選：A
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)false，若false在false上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【詳解】解：由false，得false，
false函數(shù)false在false上為單調(diào)減函數(shù)，
false對false恒成立，
即false對false恒成立，
false，解得false，
falsefalse的取值范圍是false.
故選：A.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)false（false）若對任意false，false恒成立，則false的取值范圍是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【詳解】條件等價于對任意false.
false恒成立，設(shè)false（false）.
則false在false上單調(diào)遞減，
則false在false上恒成立，
得false（false）恒成立，
∴false（對false，false僅在false時成立），
故false的取值范圍是false.
故選：A.

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