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專題1.7 充分條件與必要條件-重難點(diǎn)題型精講
1．命題及相關(guān)概念
2．充分條件與必要條件
一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．
數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．
充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，記作p q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p q，那么p與q互為充要條件．
溫馨提示：“ ”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p q，q s，則有p s，即p是s的充要條件．
【題型1 充分條件、必要條件及充要條件的判定】
【方法點(diǎn)撥】
(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p q、q p和p q是否成立，最后得出結(jié)論．
(2)命題判斷法：
①若p q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．
②若p q，則p是q的充要條件．
③若p q，且qp，則稱p是q的充分不必要條件．
④若pq，且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
⑤若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
【例1】（2022 呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（　　）
A．充分不要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件
【變式1-1】（2022春 溫州期中）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【變式1-2】（2022 西寧一模）設(shè)m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（　　）
A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件
C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
【變式1-3】（2022 柯橋區(qū)模擬）設(shè)x∈R，則“x＞2”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【題型2 充分條件、必要條件及充要條件的探索】
【方法點(diǎn)撥】
(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對(duì)象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．
(2)將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時(shí)也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．
【例2】（2022春 射洪市校級(jí)期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（　　）
A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
【變式2-1】（2021秋 南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（　　）
A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D．
【變式2-2】（2022 全國(guó)一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個(gè)必要條件是（　　）
A．a(chǎn)+b≠0 B．a(chǎn)2+b2≠0 C．a(chǎn)3+b3≠0 D．
【變式2-3】（2021秋 湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0
【題型3 由充分條件、必要條件求參數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，先將p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．
【例3】（2021秋 赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．a(chǎn)≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a≥1
【變式3-1】（2021秋 羅莊區(qū)校級(jí)月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3
【變式3-2】（2022 晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]
【變式3-3】（2022 渭濱區(qū)校級(jí)模擬）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A． B． C．或 D．或
【題型4 充要條件的證明】
【方法點(diǎn)撥】
證明充要條件時(shí)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明，首先分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件” “結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論” “條件”．
【例4】（2021秋 禪城區(qū)校級(jí)月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．
【變式4-1】（2021秋 金山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)n∈Z，求證：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．
【變式4-2】已知a，b，m都是正數(shù)．求證：“”的充要條件是“a＞b”．
【變式4-3】求證：一個(gè)三角形是鈍角三角形的充要條件是三角形內(nèi)有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和．專題1.7 充分條件與必要條件-重難點(diǎn)題型精講
1．命題及相關(guān)概念
2．充分條件與必要條件
一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．
數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．
充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，記作p q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．
如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p q，那么p與q互為充要條件．
溫馨提示：“ ”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p q，q s，則有p s，即p是s的充要條件．
【題型1 充分條件、必要條件及充要條件的判定】
【方法點(diǎn)撥】
(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p q、q p和p q是否成立，最后得出結(jié)論．
(2)命題判斷法：
①若p q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．
②若p q，則p是q的充要條件．
③若p q，且qp，則稱p是q的充分不必要條件．
④若pq，且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
⑤若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
【例1】（2022 呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（　　）
A．充分不要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件
【解題思路】分別化簡(jiǎn)集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判斷出．
【解答過程】解：由集合A＝{x|x≥0}，
集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）．
因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件．
故選：B．
【變式1-1】（2022春 溫州期中）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【解題思路】利用或和且的含義，再結(jié)合充要條件的定義判定即可．
【解答過程】解：①當(dāng)x＞2且y＞3時(shí)，則x＞2或y＞3，∴充分性成立，
②∵x＞2或y＞3 x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立，
∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要條件，
故選：A．
【變式1-2】（2022 西寧一模）設(shè)m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（　　）
A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件
C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
【解題思路】“m＜0” “m＜1”，反之不成立，取m．即可判斷出．
【解答過程】解：“m＜0” “m＜1”，反之不成立，取m．
因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要條件．
故選：C．
【變式1-3】（2022 柯橋區(qū)模擬）設(shè)x∈R，則“x＞2”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解題思路】先將結(jié)論等價(jià)化簡(jiǎn)，再根據(jù)充分與必要條件的概念即可求解．
【解答過程】解：∵“”等價(jià)于：，即，即x（x﹣2）＞0，即x＜0或x＞2，
∴“x＞2”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
【題型2 充分條件、必要條件及充要條件的探索】
【方法點(diǎn)撥】
(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對(duì)象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．
(2)將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時(shí)也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．
【例2】（2022春 射洪市校級(jí)期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（　　）
A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
【解題思路】利用子集和充要條件的關(guān)系判定即可．
【解答過程】解：∵（0，1） （0，2），
∵p的一個(gè)充分不必要條件是0＜x＜1，
故選：C．
【變式2-1】（2021秋 南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（　　）
A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D．
【解題思路】由（，） （0，1），再結(jié)合充要條件的定義判定即可．
【解答過程】解：∵（，） （0，1），
∴p的一個(gè)充分不必要條件是x，
故選：C．
【變式2-2】（2022 全國(guó)一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個(gè)必要條件是（　　）
A．a(chǎn)+b≠0 B．a(chǎn)2+b2≠0 C．a(chǎn)3+b3≠0 D．
【解題思路】取特殊值判斷ACD，根據(jù)充分必要條件的定義判斷B．
【解答過程】解：對(duì)于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0，
反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0，
故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分條件，故B正確，
對(duì)于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出0，故D錯(cuò)誤，
故選：B．
【變式2-3】（2021秋 湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0
【解題思路】解不等式，可得x＞1，進(jìn)而依次分析選項(xiàng)，判斷選項(xiàng)所給的不等式與x＞1的關(guān)系，可判斷選項(xiàng)．
【解答過程】解：對(duì)于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根據(jù)題意，分析選項(xiàng)可得，
A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要條件，
B中，x＞2，當(dāng)x＞2時(shí)，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，則不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要條件，
C中，當(dāng)x＜3時(shí)，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，則不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要條件，
D中，x＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，則能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分條件，
故選：D．
【題型3 由充分條件、必要條件求參數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，先將p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．
【例3】（2021秋 赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．a(chǎn)≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a≥1
【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行求解即可．
【解答過程】解：因?yàn)椤?≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，
所以，即0≤a≤1．
故選：B．
【變式3-1】（2021秋 羅莊區(qū)校級(jí)月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3
【解題思路】根據(jù)“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，可得P Q，再建立a的不等式組可求解．
【解答過程】解：∵“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，∴P Q，
∴，∴﹣1≤a≤5，
故選：A．
【變式3-2】（2022 晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]
【解題思路】利用充分不必要條件的定義建立，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答過程】解：由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，
若p是q的充分不必要條件，
則{x|﹣1＜x＜1} {x|x＞m}，
則m≤﹣1，
故選：D．
【變式3-3】（2022 渭濱區(qū)校級(jí)模擬）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A． B． C．或 D．或
【解題思路】由題意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件與集合間包含關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得不等式組 則有 ，（等號(hào)不同時(shí)成立），解可得答案．
【解答過程】解：根據(jù)題意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，設(shè)此命題為p，
命題 ，為q；
則p的充分不必要條件是q，
即q表示的集合是p表示集合的真子集；
則有 ，（等號(hào)不同時(shí)成立）；
解可得；
故選：B．
【題型4 充要條件的證明】
【方法點(diǎn)撥】
證明充要條件時(shí)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明，首先分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件” “結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論” “條件”．
【例4】（2021秋 禪城區(qū)校級(jí)月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．
【解題思路】先假設(shè)a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立，化簡(jiǎn)可得a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（ab）2b2]，從而證明a﹣b＝0，再假設(shè)a﹣b＝0證明a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立即可．
【解答過程】證明：若a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0，
則a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝a3﹣b3+（2ab2﹣2a2b）
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）+2ab（b﹣a）
＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
＝（a﹣b）[（ab）2b2]＝0，
∵ab≠0，∴（ab）2b2＞0，
∴a﹣b＝0；
若a﹣b＝0，則a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝（a﹣b）[（ab）2b2]＝0；
故a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．
【變式4-1】（2021秋 金山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)n∈Z，求證：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．
【解題思路】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．
【解答過程】證明：若n∈Z，n是偶數(shù)，則n+1是奇數(shù)，（n+1）2是奇數(shù)，是充分條件，
若n∈Z，（n+1）2是奇數(shù)，則n+1是奇數(shù)，則n是偶數(shù)，是必要條件，
故：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．
【變式4-2】已知a，b，m都是正數(shù)．求證：“”的充要條件是“a＞b”．
【解題思路】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義證明即可．
【解答過程】證明：①若，
∵a，b，m∈R+，∴a+m，b+m∈R+
∵，∴b（a+m）＜a（b+m），
∴ba+bm＜ab+am，∴bm＜am，
又∵m∈R+，∴a＞b，
②若a＞b，
∵a＞b＞0，m∈R+，
∴am＞bm，∴ab+am＞ab+bm，
∴a（b+m）＞b（a+m），
∵a，b，m∈R+，∴a+m，b+m∈R+
∴，
綜上，的充要條件是a＞b．
【變式4-3】求證：一個(gè)三角形是鈍角三角形的充要條件是三角形內(nèi)有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和．
【解題思路】根據(jù)余弦定理即可證明．
【解答過程】解：必要性：設(shè)一個(gè)三角形ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)c最大，則角C為鈍角，
cosC0，故a2+b2﹣c2＜0，故c2＞a2+b2，即有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和；
充分性：當(dāng)三角形中有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和時(shí)，不妨設(shè)c2＞a2+b2；∴cosC0，
∴角C為鈍角．∴三角形ABC是鈍角三角形；
故一個(gè)三角形是鈍角三角形的充要條件是三角形內(nèi)有一條邊的平方大于另兩條邊的平方和得證．

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