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專題1.3 集合間的基本關系-重難點題型精講
1．子集的概念
2．真子集的概念
3．集合相等的概念
如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A B且B A，則A＝B.
4．空集的概念
【題型1 子集、真子集的概念】
【方法點撥】
①集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，這是判斷A B的常用方法．
②不能簡單地把“A B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝ 時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定義中，A B首先要滿足A B，其次至少有一個x∈B，但x A.
【例1】（2022 新疆模擬）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，則A的子集共有（　　）
A．3個 B．4個 C．8個 D．16個
【解題思路】化簡集合A，再求子集個數即可．
【解答過程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，
∴A的子集共有23＝8，
故選：C．
【變式1-1】（2022 新疆模擬）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，則A的真子集共有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．7個
【解題思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集個數．
【解答過程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}，
∴A有22﹣1個真子集，即3個真子集．
故選：C．
【變式1-2】（2022春 兗州區期中）設集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則在集合A的子集中，有2個元素的子集個數為（　　）
A． B． C．62 D．26
【解題思路】有2個元素，相當于從6個數中隨機抽取2個．
【解答過程】解：從6個數中隨機選取2個，即為，
故選：B．
【變式1-3】（2021秋 尚志市校級月考）已知集合，則集合A的所有非空子集．的個數為（　　）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【解題思路】解出集合A，再由含有n個元素的集合，其真子集個數為2n﹣1個可得答案．
【解答過程】解：已知集合A＝{x∈N|∈N}＝{2，4，5}，則集合A真子集的個數為23﹣1＝7個，
故選：C．
【題型2 集合的相等與空集】
【方法點撥】
①利用集合相等的定義和集合中的元素的性質去解題．
②利用空集的定義去解題.
【例2】（2021秋 新余期末）下列集合與集合A＝{2022，1}相等的是（　　）
A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1}
C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）}
【解題思路】利用集合相等的定義直接判斷．
【解答過程】解：對于A，（1，2022）≠{2022，1}，故A錯誤；
對于B，{（x，y）|x＝2022，y＝1}≠{2022，1}，故B錯誤；
對于C，{x|x2﹣2023x+2022＝0}＝{2022，1}，故C正確；
對于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，故D錯誤．
故選：C．
【變式2-1】（2021秋 大姚縣校級期中）下列四個集合中，是空集的是（　　）
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}
【解題思路】空集的定義：無任何元素的集合，即可得出結論．
【解答過程】解：空集的定義：無任何元素的集合，選項B是空集．
故選：B．
【變式2-2】（2021秋 西寧期末）設a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，則a﹣b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解題思路】由P＝Q，求出a，b的值，再計算a﹣b的值．
【解答過程】解：∵P＝Q，
∴，解得，
∴a﹣b＝0，
故選：C．
【變式2-3】（2021秋 海安市期中）設a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，則a+b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【解題思路】由集合元素的互異性，可求出結果．
【解答過程】解：∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q，
∴﹣b＝1，a＝﹣1，
∴a+b＝﹣2，
故選：A．
【題型3 集合間關系的判斷】
【方法點撥】
①列舉法：用列舉法將兩個集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關系．
②元素特征法：根據集合中元素滿足的性質特征之間的關系判斷．
③圖示法：利用數軸或Venn圖判斷兩集合間的關系．
【例3】（2022春 麒麟區校級期中）已知集合，，則集合M，N的關系是（　　）
A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝
【解題思路】通過分析兩個集合中元素的關系，結合集合子集的定義分析求解即可．
【解答過程】解：因為集合M＝{y|y，x∈Z}，
集合N＝{y|yx﹣1，x∈Z}＝{y|y，x∈Z}，
即M＝N．
故選：A．
【變式3-1】（2022 河南模擬）已知集合，，則（　　）
A．N M B．M N C．M＝N D．M∩N＝
【解題思路】將兩集合中的元素滿足的條件化歸統一即可判斷．
【解答過程】解：∵，，當k∈Z時，2k+1是奇數，k+2是整數，∴N M．
故選A．
【變式3-2】（2022 廣西模擬）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，則下列關系正確的是（　　）
A．A＝B B．A B C．B A D．A∩B＝
【解題思路】根據集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，判斷即可．
【解答過程】解：∵A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，
∴B A，
故選：C．
【變式3-3】（2022 興慶區校級三模）下面五個式子中：
①a {a}；
② {a}；
③{a}∈{a，b}；
④{a} {a}；
⑤a∈{b，c，a}．
正確的有（　　）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【解題思路】根據“∈”用于元素與集合；“ ”用于集合與集合間； 是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，可判斷式子正誤．
【解答過程】解：①a是集合{a}中的元素，應表示為a∈{a}，故①錯誤，
② 是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，所以 {a}，故②正確，
③“∈”用于元素與集合，故③錯誤，
④任意非空集合是其本身的真子集，所以{a} {a}，故④正確，
⑤元素a屬于集合{b，c，a}，故⑤正確，
故正確的有②④⑤．
故選：A．
【題型4 有限集合子集、真子集的確定】
【方法點撥】
①確定所求集合，是子集還是真子集．
②合理分類，按照子集所含元素的個數依次寫出．
③注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
假設集合A中含有n個元素，則有：
①A的子集的個數為2n個；②A的真子集的個數為2n－1個；③A的非空真子集的個數為2n－2個．
【例4】（2021秋 蘭山區校級期中）滿足 M {1，2，3}的集合M共有（　　）
A．6個 B．7個 C．8個 D．15個
【解題思路】利用真子集、子集的定義，結合列舉法能求出結果．
【解答過程】解：滿足 M {1，2，3}的集合M有：
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}，
共7個．
故選：B．
【變式4-1】（2021秋 渝中區校級月考）已知{1，3} A {1，2，3，4，5}，則滿足條件的集合A的個數是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】A是至少含有1和3這2個元素是本題的關鍵．
【解答過程】解：A＝{1，3}或A＝{1，3，2}或A＝{1，3，4}或A＝{1，3，5}或A＝{1，3，2，4}或A＝{1，3，2，5}或A＝{1，3，4，5}．
故選：C．
【變式4-2】（2021秋 開福區校級期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，則符合條件的實數a的值共（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
【解題思路】求解集合T＝{1，﹣1}，由S T，分S＝ 和S≠ 兩種情況，分別求解．
【解答過程】解：集合T＝{x|x2﹣1＝0}＝{1，﹣1}，
因為S T，
所以當S＝ 時，a＝0，符合題意；
當S≠ 時，由ax＝1得x，
所以1或，
解得a＝1或﹣1，
所以符合條件的a有3個，
故選：C．
【變式4-3】（2021 青島開學）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1+a2+a3＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【解題思路】由題意知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分為二類，從而求和知3（a1+a2+a3）＝9，即可解得．
【解答過程】解：集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分為二類，
集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有一個元素，
分別為{a1}，{a2}，{a3}，
集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有兩個元素，
分別為{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
則3（a1+a2+a3）＝9，
故a1+a2+a3＝3，
故選：C．
【題型5 利用集合間的關系求參數】
【方法點撥】
①當集合為連續數集時，常借助數軸來建立不等關系求解，此時應注意端點處是實點還是虛點．
②當集合為不連續數集時，常根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論思想的運用．
【例5】（2021 葫蘆島二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B A，則實數m的取值集合為（　　）
A．{1} B．{} C．{1，﹣1} D．{}
【解題思路】若B A，則m2＝1，即可求解滿足條件的m
【解答過程】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，
若B A，
則m2＝1
∴m＝1或m＝﹣1
實數m的取值集合為{1，﹣1}
故選：C．
【變式5-1】（2021秋 舒城縣校級期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B A，則實數a的值為（　　）
A．或 B． C．或0 D．或0
【解題思路】先求出A＝{﹣3，2}，根據B A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝ ，從而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．
【解答過程】解：A＝{﹣3，2}；
∵B A；
∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝ ；
∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；
∴或或0．
故選：D．
【變式5-2】（2021 佛山模擬）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B A，則實數a的取值范圍為（　　）
A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【解題思路】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，根據B A，可得參數a的取值范圍．
【解答過程】解：集合A＝{x|x＞3或x＜1}，
集合B＝{x|x＜a}，
由B A，可得a≤1，
故選：D．
【變式5-3】（2021秋 眉山期末）設集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A B，則實數a的取值范圍是（　　）
A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2019} C．{a|a≥2019} D．{a|0＜a＜2019}
【解題思路】根據A與B的子集關系，借助數軸求得a的范圍．
【解答過程】集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，
因為A B，所以a≥2019；
故選：C．
【題型6 集合間關系中的新定義問題】
【方法點撥】
根據題目所給的有關集合的新定義問題，結合集合間的關系，進行轉化求解即可.
【例6】（2021 衡水模擬）定義集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，設A＝{2，3}，B＝{1，2}，則集合A★B的非空真子集的個數為（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
【解題思路】先求出集合A★B，由此能求出集合A★B的非空真子集的個數．
【解答過程】解：∵A★B＝{2，3，4，6}，
∴集合A★B的非空真子集的個數為24﹣2＝14．
故選：B．
【變式6-1】（2021秋 和平區校級月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P*Q的真子集個數為（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
【解題思路】根據條件即可求出集合P*Q的元素個數，從而可得出集合P*Q的真子集個數．
【解答過程】解：根據題意得，P*Q的元素個數為個，
∴P*Q的真子集個數為26﹣1＝63個．
故選：B．
【變式6-2】（2021秋 西鄉塘區校級月考）定義集合中的一種運算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則A*B的非空子集個數是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解題思路】先根據定義求出集合A*B，再利用集合的非空子集個數公式2n﹣1，即可求出結果．
【解答過程】解：若x＝0，不論y取何值，則ω＝0，
若x＝1，y＝2，則ω＝1×2（1+2）＝6，
若x＝1，y＝3，則ω＝1×3（1+3）＝12，
所以A*B＝{0，6，12}，
所以A*B的非空子集個數是23﹣1＝7，
故選：A．
【變式6-3】（2021秋 同安區校級月考）對于任意兩個正整數m，n，定義某種運算“※”，法則如下：當m，n都是正奇數時，m※n＝m+n；當m，n不全為正奇數時，m※n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的個數是（　　）
A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1
【解題思路】由所給的定義，對a※b＝16，a∈N*，b∈N*進行分類討論，分兩個數都是正奇數，與兩個數不全為正奇數，兩類進行討論，確定出元素的個數即可求出集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的個數．
【解答過程】解：由題意，當m，n都是正奇數時，m※n＝m+n；當m，n不全為正奇數時，m※n＝mn；
若a，b都是正奇數，則由a※b＝16，可得a+b＝16，此時符合條件的數對為（1，15），（3，13），…（15，1）滿足條件的共8個；
若m，n不全為正奇數時，m※n＝mn，由a※b＝16，可得ab＝16，則符合條件的數對分別為（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5個；
故集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}中的元素個數是13，
所以集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的個數是213﹣1．
故選：C．專題1.3 集合間的基本關系-重難點題型精講
1．子集的概念
2．真子集的概念
3．集合相等的概念
如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A B且B A，則A＝B.
4．空集的概念
【題型1 子集、真子集的概念】
【方法點撥】
①集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，這是判斷A B的常用方法．
②不能簡單地把“A B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝ 時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定義中，A B首先要滿足A B，其次至少有一個x∈B，但x A.
【例1】（2022 新疆模擬）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，則A的子集共有（　　）
A．3個 B．4個 C．8個 D．16個
【變式1-1】（2022 新疆模擬）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，則A的真子集共有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．7個
【變式1-2】（2022春 兗州區期中）設集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則在集合A的子集中，有2個元素的子集個數為（　　）
A． B． C．62 D．26
【變式1-3】（2021秋 尚志市校級月考）已知集合，則集合A的所有非空子集．的個數為（　　）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【題型2 集合的相等與空集】
【方法點撥】
①利用集合相等的定義和集合中的元素的性質去解題．
②利用空集的定義去解題.
【例2】（2021秋 新余期末）下列集合與集合A＝{2022，1}相等的是（　　）
A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1}
C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）}
【變式2-1】（2021秋 大姚縣校級期中）下列四個集合中，是空集的是（　　）
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}
【變式2-2】（2021秋 西寧期末）設a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，則a﹣b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【變式2-3】（2021秋 海安市期中）設a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，則a+b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【題型3 集合間關系的判斷】
【方法點撥】
①列舉法：用列舉法將兩個集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關系．
②元素特征法：根據集合中元素滿足的性質特征之間的關系判斷．
③圖示法：利用數軸或Venn圖判斷兩集合間的關系．
【例3】（2022春 麒麟區校級期中）已知集合，，則集合M，N的關系是（　　）
A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝
【變式3-1】（2022 河南模擬）已知集合，，則（　　）
A．N M B．M N C．M＝N D．M∩N＝
【變式3-2】（2022 廣西模擬）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，則下列關系正確的是（　　）
A．A＝B B．A B C．B A D．A∩B＝
【變式3-3】（2022 興慶區校級三模）下面五個式子中：
①a {a}；
② {a}；
③{a}∈{a，b}；
④{a} {a}；
⑤a∈{b，c，a}．
正確的有（　　）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【題型4 有限集合子集、真子集的確定】
【方法點撥】
①確定所求集合，是子集還是真子集．
②合理分類，按照子集所含元素的個數依次寫出．
③注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
假設集合A中含有n個元素，則有：
①A的子集的個數為2n個；②A的真子集的個數為2n－1個；③A的非空真子集的個數為2n－2個．
【例4】（2021秋 蘭山區校級期中）滿足 M {1，2，3}的集合M共有（　　）
A．6個 B．7個 C．8個 D．15個
【變式4-1】（2021秋 渝中區校級月考）已知{1，3} A {1，2，3，4，5}，則滿足條件的集合A的個數是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式4-2】（2021秋 開福區校級期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，則符合條件的實數a的值共（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
【變式4-3】（2021 青島開學）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1+a2+a3＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【題型5 利用集合間的關系求參數】
【方法點撥】
①當集合為連續數集時，常借助數軸來建立不等關系求解，此時應注意端點處是實點還是虛點．
②當集合為不連續數集時，常根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論思想的運用．
【例5】（2021 葫蘆島二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B A，則實數m的取值集合為（　　）
A．{1} B．{} C．{1，﹣1} D．{}
【變式5-1】（2021秋 舒城縣校級期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B A，則實數a的值為（　　）
A．或 B． C．或0 D．或0
【變式5-2】（2021 佛山模擬）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B A，則實數a的取值范圍為（　　）
A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【變式5-3】（2021秋 眉山期末）設集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A B，則實數a的取值范圍是（　　）
A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2019} C．{a|a≥2019} D．{a|0＜a＜2019}
【題型6 集合間關系中的新定義問題】
【方法點撥】
根據題目所給的有關集合的新定義問題，結合集合間的關系，進行轉化求解即可.
【例6】（2021 衡水模擬）定義集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，設A＝{2，3}，B＝{1，2}，則集合A★B的非空真子集的個數為（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
【變式6-1】（2021秋 和平區校級月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P*Q的真子集個數為（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
【變式6-2】（2021秋 西鄉塘區校級月考）定義集合中的一種運算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則A*B的非空子集個數是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【變式6-3】（2021秋 同安區校級月考）對于任意兩個正整數m，n，定義某種運算“※”，法則如下：當m，n都是正奇數時，m※n＝m+n；當m，n不全為正奇數時，m※n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的個數是（　　）
A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1

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