資源簡介

專題1.1 集合的概念-重難點題型精講
1．元素與集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．
2．元素的特性
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．
(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．
3．元素與集合的關(guān)系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．
(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a A．
4．常用的數(shù)集及其記法
5．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復(fù)．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
【題型1 集合的基本概念】
【方法點撥】
給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．
【例1】（2021秋 雨花區(qū)期末）下列對象不能組成集合的是（　　）
A．不超過20的質(zhì)數(shù) B．π的近似值
C．方程x2＝1的實數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值
【變式1-1】（2021秋 鯉城區(qū)校級期中）以下各組對象不能組成集合的是（　　）
A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流
C．方程x2﹣7＝0的實數(shù)解 D．周長為10cm的三角形
【變式1-2】（2021春 廣南縣期中）下列各對象可以組成集合的是（　　）
A．與1非常接近的全體實數(shù)
B．北附廣南實驗學(xué)校2020～2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級視力比較好的同學(xué)
D．中國著名的數(shù)學(xué)家
【變式1-3】（2021秋 大安市校級月考）有下列各組對象：
①接近于0的數(shù)的全體；
②比較小的正整數(shù)的全體；
③平面上到點O的距離等于1的點的全體；
④直角三角形的全體．
其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【題型2 判斷元素與集合的關(guān)系】
【方法點撥】
直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．
推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
【例2】（2021秋 河北區(qū)期末）下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（　　）
①；②；③0∈N*；④π∈Z．
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-1】（2021秋 桂林期末）下列關(guān)系中，正確的是（　　）
A．﹣2∈{0，1} B． C．π∈R D．5∈
【變式2-2】（2021秋 岳陽期末）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（　　）
A．﹣1∈N B．0 N* C． D．
【變式2-3】（2021秋 綠園區(qū)校級月考）設(shè)集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x B，則x的值為（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【題型3 利用集合中元素的特異性求參數(shù)】
【方法點撥】
①集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；
②構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．
③利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗，要注意分類討論思想的應(yīng)用．
【例3】（2022 渭濱區(qū)校級模擬）設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（　　）
A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2
【變式3-1】（2021秋 興寧區(qū)校級月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數(shù)a的值為（　　）
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
【變式3-2】（2021秋 大安市校級月考）已知集合A含有三個元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（　　）
A．2 B．2或4 C．4 D．0
【變式3-3】（2021春 西湖區(qū)期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（　　）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【題型4 用列舉法表示集合】
【方法點撥】
①求出集合的元素；
②把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
③用花括號括起來．
【例4】（2021秋 合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（　　）
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}
【變式4-1】（2021秋 昌吉州期末）集合用列舉法可以表示為（　　）
A．{3，6} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【變式4-2】（2021秋 重慶月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（　　）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【變式4-3】（2021秋 番禺區(qū)校級期中）將集合{（x，y）|}表示成列舉法，正確的是（　　）
A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）
【題型5 用描述法表示集合】
【方法點撥】
①用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．
②用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．
③多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．
【例5】（2021秋 金山區(qū)校級期中）用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合 　 　．
【變式5-1】（2021秋 浦東新區(qū)校級月考）用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合 　 　．
【變式5-2】（2021秋 長寧區(qū)校級月考）用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合 　 　．
【變式5-3】（2020秋 徐匯區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點的坐標(biāo)組成的集合可以用描述法表示為 　 　．
【題型6 集合中的新定義問題】
【方法點撥】
根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問題，結(jié)合集合的相關(guān)知識，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例6】（2021秋 長壽區(qū)期末）設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P Q中元素的個數(shù)為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式6-1】（2021秋 秦淮區(qū)校級月考）設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個數(shù)為（　　）
A．4 B．5 C．19 D．20
【變式6-2】（2021秋 黃陵縣校級期末）設(shè)集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A B中所有元素之積為（　　）
A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16
【變式6-3】（2021秋 黃陵縣校級月考）定義集合運算：A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{2，0}，B＝{0，8}，則集合A B的所有元素之和為（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22專題1.1 集合的概念-重難點題型精講
1．元素與集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．
2．元素的特性
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．
(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．
3．元素與集合的關(guān)系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．
(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a A．
4．常用的數(shù)集及其記法
5．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復(fù)．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
【題型1 集合的基本概念】
【方法點撥】
給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．
【例1】（2021秋 雨花區(qū)期末）下列對象不能組成集合的是（　　）
A．不超過20的質(zhì)數(shù) B．π的近似值
C．方程x2＝1的實數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值
【解題思路】分析四個答案中所列的對象是否滿足集合元素的確定性和互異性，即可得到答案．
【解答過程】解：A、一不超過20的質(zhì)數(shù)，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構(gòu)造集合；
B、π的近似值，無法確定元素，不滿足集合元素的確定性和互異性，故不可以構(gòu)造集合；
C、方程x2＝1的實數(shù)根為﹣1，1，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構(gòu)造集合；
D、函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值為0，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構(gòu)造集合；
故選：B．
【變式1-1】（2021秋 鯉城區(qū)校級期中）以下各組對象不能組成集合的是（　　）
A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流
C．方程x2﹣7＝0的實數(shù)解 D．周長為10cm的三角形
【解題思路】根據(jù)集合元素的特點：互異性、確定性、無序性，判斷各選項即可．
【解答過程】解：對于選項A：中國古代四大發(fā)明是指指南針、造紙術(shù)、印刷術(shù)、火藥，滿足集合元素的特征，構(gòu)成集合；
對于選項B：地球上的小河流，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱為小河流，
故地球上的小河流不能組成集合．
對于選項C：方程x2﹣7＝0的實數(shù)解為±，滿足集合元素的特征，構(gòu)成集合；
對于選項D：周長為10cm的三角形也有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，滿足集合元素的特征，構(gòu)成集合；
故選：B．
【變式1-2】（2021春 廣南縣期中）下列各對象可以組成集合的是（　　）
A．與1非常接近的全體實數(shù)
B．北附廣南實驗學(xué)校2020～2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級視力比較好的同學(xué)
D．中國著名的數(shù)學(xué)家
【解題思路】根據(jù)集合的元素必須具有確定性，逐個判斷各個選項即可．
【解答過程】解：對于選項A：其中元素不具有確定性，故選項A錯誤，
對于選項B：對于任何一個學(xué)生可以判斷其是否屬于{北附廣南實驗學(xué)校2020～2021學(xué)年度笫二學(xué)期全體高一學(xué)生}，故選項B正確，
對于選項C：其中元素不具有確定性，故選項C錯誤，
對于選項D：其中元素不具有確定性，故選項D錯誤，
故選：B．
【變式1-3】（2021秋 大安市校級月考）有下列各組對象：
①接近于0的數(shù)的全體；
②比較小的正整數(shù)的全體；
③平面上到點O的距離等于1的點的全體；
④直角三角形的全體．
其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據(jù)集合的元素的確定性可判斷①②是錯誤的，根據(jù)集合的定義即可判斷③④正確．
【解答過程】解：因為集合的元素必須是確定的，而①②中的數(shù)沒有標(biāo)準(zhǔn)，故①②不能構(gòu)成集合，
根據(jù)集合的定義可判斷③④可以構(gòu)成集合，
故選：A．
【題型2 判斷元素與集合的關(guān)系】
【方法點撥】
直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．
推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
【例2】（2021秋 河北區(qū)期末）下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（　　）
①；②；③0∈N*；④π∈Z．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷．
【解答過程】解：①正確，② R不正確，③0∈N*不正確，④π∈Z不正確．
故選：A．
【變式2-1】（2021秋 桂林期末）下列關(guān)系中，正確的是（　　）
A．﹣2∈{0，1} B． C．π∈R D．5∈
【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，用∈ 符號，可得結(jié)論．
【解答過程】解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，用∈ 符號，
﹣2 {0，1}， Z，π∈R，5 ，可知C正確．
故選：C．
【變式2-2】（2021秋 岳陽期末）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（　　）
A．﹣1∈N B．0 N* C． D．
【解題思路】根據(jù)集合N，N*，Q，R的元素的性質(zhì)對應(yīng)各個選項即可判斷求解．
【解答過程】解：選項A：因為集合N中沒有負(fù)數(shù)，故A錯誤，
選項B：因為集合N*中的元素是所有正整數(shù)，故B正確，
選項C：因為集合Q表示所有有理數(shù)，故C錯誤，
選項D：R為實數(shù)集，是實數(shù)，故D錯誤，
故選：B．
【變式2-3】（2021秋 綠園區(qū)校級月考）設(shè)集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x B，則x的值為（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【解題思路】利用x與集合A和集合B的關(guān)系確定x的值．
【解答過程】解：∵x∈{2，3，5}，∴x＝2或x＝3或x＝5．
∵x {2，3，6}，∴x≠2且x≠3且x≠6，
∴x＝5．
故選：C．
【題型3 利用集合中元素的特異性求參數(shù)】
【方法點撥】
①集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；
②構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．
③利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗，要注意分類討論思想的應(yīng)用．
【例3】（2022 渭濱區(qū)校級模擬）設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（　　）
A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2
【解題思路】分別由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入觀察即可．
【解答過程】解：若1﹣a＝4，則a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，則a＝2或a＝﹣1，
a＝2時，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1時，1﹣a＝2（舍），
故選：C．
【變式3-1】（2021秋 興寧區(qū)校級月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數(shù)a的值為（　　）
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
【解題思路】利用集合與元素的關(guān)系，可得：a＝1或a＝a2﹣2a+2，再利用集合中元素的互異性進(jìn)行判斷即可．
【解答過程】解：a∈{1，a2﹣2a+2}，
則：a＝1或a＝a2﹣2a+2，
當(dāng)a＝1時：a2﹣2a+2＝1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；
當(dāng)a≠1時：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；
故選：B．
【變式3-2】（2021秋 大安市校級月考）已知集合A含有三個元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（　　）
A．2 B．2或4 C．4 D．0
【解題思路】根據(jù)題意，分析可得，滿足當(dāng)a∈A時，必有6﹣a∈A的有2、4，從而得到a的值．
【解答過程】解：集合A含有三個元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6﹣a∈A，
a＝2∈A，6﹣a＝4∈A，∴a＝2，
或者a＝4∈A，6﹣a＝2∈A，∴a＝4，
綜上所述，a＝2，4．
故選：B．
【變式3-3】（2021春 西湖區(qū)期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（　　）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【解題思路】由題意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再檢驗即可．
【解答過程】解：∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
當(dāng)m＝2時，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合題意，舍去；
當(dāng)m2﹣3m+2＝2時，m＝0或m＝3，但m＝0不合題意，舍去．
綜上可知，m＝3．
故選：B．
【題型4 用列舉法表示集合】
【方法點撥】
①求出集合的元素；
②把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
③用花括號括起來．
【例4】（2021秋 合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（　　）
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}
【解題思路】化簡集合，將元素一一列舉出來即可．
【解答過程】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．
故選：D．
【變式4-1】（2021秋 昌吉州期末）集合用列舉法可以表示為（　　）
A．{3，6} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【解題思路】根據(jù)x∈N*，可得出x的取值分別為1，2，從而得出A＝{1，2}．
【解答過程】解：∵x∈N*，，
∴A＝{1，2}．
故選：B．
【變式4-2】（2021秋 重慶月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（　　）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【解題思路】先求出不等式的解，結(jié)合數(shù)的范圍即可求解．
【解答過程】解：{x∈N|x﹣4＜1}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．
故選：A．
【變式4-3】（2021秋 番禺區(qū)校級期中）將集合{（x，y）|}表示成列舉法，正確的是（　　）
A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）
【解題思路】本題考查的是集合的表示方法．在解答時應(yīng)先分析元素所具有的公共特征，通過解方程組即可獲得問題的解答．注意元素形式為有序?qū)崝?shù)對．
【解答過程】解：解方程組：，
可得：
∴集合．
故選：B．
【題型5 用描述法表示集合】
【方法點撥】
①用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．
②用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．
③多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．
【例5】（2021秋 金山區(qū)校級期中）用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合 　{x|x＝2n，n∈Z}　．
【解題思路】根據(jù)描述法的定義即可求出．
【解答過程】解：描述法為：{x|x＝2n，n∈Z}．
故答案為：{x|x＝2n，n∈Z}．
【變式5-1】（2021秋 浦東新區(qū)校級月考）用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合 　{x|x＝5k，k∈Z}　．
【解題思路】利用集合的描述法的定義求解即可．
【解答過程】解：用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合為{x|x＝5k，k∈Z}，
故答案為：{x|x＝5k，k∈Z}．
【變式5-2】（2021秋 長寧區(qū)校級月考）用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合 　{x|x＝3k+2，k∈N}　．
【解題思路】根據(jù)集合描述法的定義即可求出結(jié)果．
【解答過程】解：用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合為{x|x＝3k+2，k∈N}，
故答案為：{x|x＝3k+2，k∈N}．
【變式5-3】（2020秋 徐匯區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點的坐標(biāo)組成的集合可以用描述法表示為 　{（x，y）|xy＝0}　．
【解題思路】根據(jù)描述法的表示方法，不難求出答案．
【解答過程】解：平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點組成的集合表示為{（x，y）|xy＝0}，
故答案為：{（x，y）|xy＝0}．
【題型6 集合中的新定義問題】
【方法點撥】
根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問題，結(jié)合集合的相關(guān)知識，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例6】（2021秋 長壽區(qū)期末）設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P Q中元素的個數(shù)為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】由集合的定義代入寫出所有元素即可．
【解答過程】解：由題意知，
P Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，
共有6個元素，
故選：D．
【變式6-1】（2021秋 秦淮區(qū)校級月考）設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個數(shù)為（　　）
A．4 B．5 C．19 D．20
【解題思路】根據(jù)定義P※Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}和P、Q中元素，一一列舉出所有的情況再得個數(shù)．
【解答過程】解：由題意可以采用列舉的方式易得：
（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8）
（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8）
（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8）
（4，5），（4，6），（4，7），（4，8）
P*Q中元素的個數(shù)為19個．
故選：C．
【變式6-2】（2021秋 黃陵縣校級期末）設(shè)集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A B中所有元素之積為（　　）
A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16
【解題思路】由集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，知A B＝{2，﹣4，﹣1}，由此能求出A B中所有元素之積．
【解答過程】解：∵集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，
定義集合A B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴A B＝{2，﹣4，﹣1}，
故A B中所有元素之積為：2×（﹣4）×（﹣1）＝8．
故選：C．
【變式6-3】（2021秋 黃陵縣校級月考）定義集合運算：A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{2，0}，B＝{0，8}，則集合A B的所有元素之和為（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【解題思路】集合A B的所有元素，由此能求出集合A B的所有元素之和．
【解答過程】解：∵定義集合運算：A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．
A＝{2，0}，B＝{0，8}，
∴集合A B的元素：z1＝2×0＝0，z2＝2×8＝16，z3＝0×0＝0，z4＝0×8＝0，
故集合A B的所有元素之和為：16．
故選：A．

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