資源簡介

1.1集合的概念（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：集合的概念
重點題型二：元素與集合的關系
重點題型三：集合中元素的特性及其應用
重點題型四：集合的表示方法
重點題型五：集合中的含參問題
角度1：已知集合相等求參數
角度2：已知集合元素個數求參數
重點題型六：集合與方程的綜合問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：集合的含義
一般地,我們把研究對象統稱為元素,通常用小寫拉丁字母,,,…表示.
把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母,,,…表示集合.
知識拓展集合的三個特性：
①描述性：集合是一個原始的不加定義的概念，像點、直線一樣，只能描述性地說明.
②廣泛性：凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對象.
③整體性：集合是一個整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，那么這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.
知識點2：元素與集合
2.1元素與集合的關系
(1)屬于(belong to)：如果是集合的元素，就說屬于，記作 .
(2)不屬于(not belong to)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.
特別說明：表示一個元素，表示一個集合.它們間的關系為：.
2.2集合元素的三大特性
（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，我們把這個性質稱為集合元素的確定性.
（2）互異性（考試常考特點，注意檢驗集合的互異性）：一個給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復出現的，我們把這個性質稱為集合元素的互異性.
（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質稱為集合元素的無序性.
知識點3：集合的表示方法與分類
3.1常用數集及其符號
常用數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
數學符合 或
3.2集合的表示方法
（1）自然語言法：用文字敘述的形式描述集合的方法叫做自然語言法
（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注用列舉法表示集合時注意：
①元素與元素之間必須用“，”隔開．
②集合中的元素必須是明確的．
③集合中的元素不能重復．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定義：一般地，設表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韋恩圖法）：
在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為圖。
3.3集合的分類
根據集合中元素的個數可以將集合分為有限集和無限集.
（1）有限集：含有有限個元素的集合是有限集，如方程的實數解組成的集合，其中元素的個數為有限個，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在圖中來表示.
（2）無限集：含有無限個元素的集合是無限集，如不等式的解組成的集合，其中元素的個數為無限個，故為無限集.通常用描述法表示。
知識點4：集合相等
只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是相等的.記作：,例如： ，
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）接近于0的數可以組成集合．( )
（2）分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的．( )
（3）一個集合中可以找到兩個相同的元素．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）已知集合M有兩個元素3和，且，則實數___________．
3．（2022·全國·高一課時練習）用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q；___________R．
4．（2022·全國·高一課時練習）方程的解集用列舉法表示為( )
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，那么正確的是( )
A． B． C． D．
重點題型一：集合的概念
典型例題
例題1．下面各組對象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函數
C．高一年級中家離學校很遠的學生 D．大于2的所有實數
例題2．判斷下列各組對象能否構成集合．若能構成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構成集合，試說明理由．
(1)北京各區縣的名稱；
(2)尾數是5的自然數；
(3)我們班身高大于1.7m的同學．
同類題型演練
1．給出下列表述：①聯合國常任理事國；②充分接近的實數的全體；③方程的實數根④全國著名的高等院校.以上能構成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
2．下列說法中正確的是（ ）
A．與定點A，B等距離的點不能構成集合
B．由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為5
C．一個集合中有三個元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等邊三角形
D．高中學生中的游泳能手能構成集合
重點題型二：元素與集合的關系
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）給出下列關系：①；②；③；④，其中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（2022·全國·高一專題練習）用符號“”和“”填空：
（1）______； （2）1______； （3）_____；
（4）______； （5）______； （6）0______．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）給出下列四個關系：π∈R， 0 Q ，0.7∈N， 0∈ ，其中正確的關系個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2022·廣西桂林·高一期末）下列關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·高一課時練習）用符號“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
重點題型三：集合中元素的特性及其應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）設集合，若，則的值為（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，且．求實數的值；
同類題型演練
1．（2021·江蘇·常州市第一中學高一期中）已知集合，若，則實數的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或
2．（2022·全國·高一專題練習）若，則的可能值為（ ）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
3．（2022·上海民辦南模中學高三階段練習）若，則實數a的取值集合為______．
重點題型四：集合的表示方法(1)列舉法
典型例題
例題1．（2022·廣西·高二學業考試）設為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合等于（ ）
A．{長江，黃河} B． {長江，黑龍江}
C． {長江，珠江} D． {長江，黃河，黑龍江，珠江}
例題2．（2022·內蒙古·赤峰紅旗中學松山分校高一期末（文））方程的所有實數根組成的集合為（　　）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）方程組的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·廣東廣雅中學高一階段練習）方程的解集可表示為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高一期中）方程組的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一課時練習）一元二次方程的解集為（ ）
A． B． C． D．
重點題型四：集合的表示方法(2)描述法
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）由大于且小于的偶數所組成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·江西省崇義中學高一期中）集合用列舉法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
例題3．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習）集合的元素個數為（ ）
A．4 B．5 C．10 D．12
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）用描述法表示奇數集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}
③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·江蘇·高一課時練習）由大于-3且小于11的偶數所組成的集合是（ ）
A．{x|-3B．{x|-3C．{x|-3D．{x|-33．（2022·湖南·雅禮中學高一階段練習）已知集合，則集合A的真子集個數為（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
重點題型五：集合中的含參問題
角度1：已知集合相等求參數
典型例題
例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學高二學業考試）已知集合， 若， 則 （ ）
A．3 B．4 C． D．
例題2．（2022·全國·高一）集合，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
同類題型演練
1．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實數 _______
2．（2022·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）已知，.若，則______.
3．（2022·河北唐山·高一期中）設集合，，若，則_____________．
角度2：已知集合元素個數求參數
典型例題
例題1．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若集合有且只有一個元素，則的取值集合為__________．
例題2．（2021·全國·高一專題練習）若為單元素集，則實數的取值的集合為______．
例題3．（2022·上海市奉賢中學高一階段練習）已知集合.
（1）若中只有一個元素，求及；
（2）若中至多有一個元素，求的取值范圍.
同類題型演練
1．（2021·福建寧德·高三期中）集合至多有一個元素，則的取值范圍是___________.
2．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，在下列條件下分別求實數m的取值范圍：
(1)；
(2)恰有一個元素.
3．（2021·全國·高一專題練習）已知集合，其中為常數，且.
（1）若A是單元素集合，求的取值范圍；
（2）若A中至少有一個元素，求的取值范圍；
（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍.
重點題型六：集合與方程的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
例題2．（2021·全國·高一課時練習）已知關于的方程（、）.
(1)求方程的解集.
(2)若，關于上述方程僅有正整數解，求的所有取值組成的集合.
同類題型演練
1．（2021·全國·高一課時練習）已知集合．
(1)若，求實數a的值；
(2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值；
(3)若集合A中僅含有兩個元素，求實數a的取值范圍．
2．（2021·全國·高一課時練習）若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
1．（2022·全國·高一）當一個非空數集滿足：如果，則，且時，時，我們稱就是一個數域，以下關于數域的說法：①是任何數域的元素；②若數域有非零元素，則；③集合是一個數域；④有理數集是一個數域；⑤任何一個有限數域的元素個數必為奇數，其中正確的選項是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
2．（2021·湖北省武昌實驗中學高一階段練習）非空集合A具有下列性質：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（ ）
①﹣1 A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
3．（2020·上海市嘉定區第一中學高一期中）當一個非空數集滿足“如果，則，且時，”時，我們稱就是一個數域，以下四個數域的命題；
①0是任何數域的元素；
②若數域有非零元素，則;
③集合是一個數域
④有理數集是一個數域
其中假命題的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2021·浙江·高一單元測試）在整數集中，被除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，，給出如下四個結論：①；②；③若整數屬于同一“類”，則；④若，則整數屬于同一“類”.其中，正確結論的個數是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2022·貴州·貴陽一中模擬預測（文））已知集合則集合的元素個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·河北·模擬預測）已知集合中所含元素的個數為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2022·陜西·模擬預測（文））已知表示正整數集合，若集合，則中元素的個數為（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
4．（2022·山東濟南·二模）已知集合，， ，則C中元素的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·重慶南開中學模擬預測）已知集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南·岳陽一中一模）定義集合的一種運算：，若，，則中的元素個數為（ ）
A． B． C． D．
1.1集合的概念（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：集合的概念
重點題型二：元素與集合的關系
重點題型三：集合中元素的特性及其應用
重點題型四：集合的表示方法
重點題型五：集合中的含參問題
角度1：已知集合相等求參數
角度2：已知集合元素個數求參數
重點題型六：集合與方程的綜合問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：集合的含義
一般地,我們把研究對象統稱為元素,通常用小寫拉丁字母,,,…表示.
把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母,,,…表示集合.
知識拓展集合的三個特性：
①描述性：集合是一個原始的不加定義的概念，像點、直線一樣，只能描述性地說明.
②廣泛性：凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對象.
③整體性：集合是一個整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，那么這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.
知識點2：元素與集合
2.1元素與集合的關系
(1)屬于(belong to)：如果是集合的元素，就說屬于，記作 .
(2)不屬于(not belong to)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.
特別說明：表示一個元素，表示一個集合.它們間的關系為：.
2.2集合元素的三大特性
（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，我們把這個性質稱為集合元素的確定性.
（2）互異性（考試常考特點，注意檢驗集合的互異性）：一個給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復出現的，我們把這個性質稱為集合元素的互異性.
（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質稱為集合元素的無序性.
知識點3：集合的表示方法與分類
3.1常用數集及其符號
常用數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
數學符合 或
3.2集合的表示方法
（1）自然語言法：用文字敘述的形式描述集合的方法叫做自然語言法
（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
注用列舉法表示集合時注意：
①元素與元素之間必須用“，”隔開．
②集合中的元素必須是明確的．
③集合中的元素不能重復．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定義：一般地，設表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韋恩圖法）：
在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為圖。
3.3集合的分類
根據集合中元素的個數可以將集合分為有限集和無限集.
（1）有限集：含有有限個元素的集合是有限集，如方程的實數解組成的集合，其中元素的個數為有限個，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在圖中來表示.
（2）無限集：含有無限個元素的集合是無限集，如不等式的解組成的集合，其中元素的個數為無限個，故為無限集.通常用描述法表示。
知識點4：集合相等
只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是相等的.記作：,例如： ，
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）接近于0的數可以組成集合．( )
（2）分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的．( )
（3）一個集合中可以找到兩個相同的元素．( )
【答案】 錯誤 正確 錯誤
【詳解】
（1）接近于0的數不確定是哪些數，對象不確定，所以接近于0的數不能組成一個集合．該結論錯誤．
（2）兩個集合的元素完全相同，所以兩個集合是相等的．該結論正確．
（3）一個集合中的元素互異，不能找到兩個相同的元素，該結論錯誤．
2．（2022·全國·高一課時練習）已知集合M有兩個元素3和，且，則實數___________．
【答案】3
因為，且集合M有兩個元素3和a+1，
所以或，
又不成立，所以
∴
故答案為：3
3．（2022·全國·高一課時練習）用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q；___________R．
【答案】 ∈ ∈
4．（2022·全國·高一課時練習）方程的解集用列舉法表示為( )
A． B． C． D．
【答案】B
，所以方程的解集為
故選：B
5．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，那么正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
由或
故A對，B、C、D錯
故選：A
重點題型一：集合的概念
典型例題
例題1．下面各組對象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函數
C．高一年級中家離學校很遠的學生 D．大于2的所有實數
【答案】C
所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函數，元素是確定的，可以形成集合，大于2的所有實數，能形成集合，
而高一年級中家離學校很遠的學生，這里的“很遠”的標準不確定，因而這里的學生就不確定，所以高一年級中家離學校很遠的學生不能形成集合，
故選：C
例題2．判斷下列各組對象能否構成集合．若能構成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構成集合，試說明理由．
(1)北京各區縣的名稱；
(2)尾數是5的自然數；
(3)我們班身高大于1.7m的同學．
【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.
(1)因為北京各區縣的名稱是確定的，故北京各區縣的名稱能構成集合；因為北京各區縣是有限的，故該集合為有限集；
(2)因為尾數是5的自然數是確定的，故尾數是5的自然數能構成集合；因為尾數是5的自然數是無限的，故該集合為無限集；
(3)因為我們班身高大于1.7m的同學是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學能構成集合；因為我們班身高大于1.7m的同學是有限的，故該集合為有限集.
同類題型演練
1．給出下列表述：①聯合國常任理事國；②充分接近的實數的全體；③方程的實數根④全國著名的高等院校.以上能構成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
① 聯合國的常任理事國有：中國、法國、美國、俄羅斯、英國.所以可以構成集合.
② 中的元素是不確定的，不滿足集合確定性的條件，不能構成集合.
③ 方程的實數根是確定，所以能構成集合.
④ 全國著名的高等院校.不滿足集合確定性的條件，不構成集合.
故選：A
2．下列說法中正確的是（ ）
A．與定點A，B等距離的點不能構成集合
B．由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為5
C．一個集合中有三個元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等邊三角形
D．高中學生中的游泳能手能構成集合
【答案】C
解：對于A：與定點A，B等距離的點在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯誤；
對于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為4，故B錯誤；
對于C：因為集合的元素具有互異性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；
對于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯誤；
故選：C
重點題型二：元素與集合的關系
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）給出下列關系：①；②；③；④，其中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
是實數，①正確；是無理數，②錯誤；－3是整數，③錯誤；－是無理數，④正確.
所以正確的個數為2.
故選：B.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）用符號“”和“”填空：
（1）______； （2）1______； （3）_____；
（4）______； （5）______； （6）0______．
【答案】
由所表示的集合，由元素與集合的關系可判斷
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）給出下列四個關系：π∈R， 0 Q ，0.7∈N， 0∈ ，其中正確的關系個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
∵R表示實數集，Q表示有理數集，N表示自然數集， 表示空集，
∴π∈R，0∈Q，0.7 N，0 ，
∴正確的個數為1 .
故選:D.
2．（2022·廣西桂林·高一期末）下列關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
對于A，，所以A錯誤；
對于B，不是整數，所以，所以B錯誤；
對于C，，所以C正確；
對于D， 因為不含任何元素，則，所以D錯誤.
故選：C.
.3．（2022·湖南·高一課時練習）用符號“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
表示自然數集；表示正整數集；
表示整數集；表示有理數集；表示實數集.
故答案為：；；；；；；；；；；；.
重點題型三：集合中元素的特性及其應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）設集合，若，則的值為（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
【答案】D
由集合中元素的確定性知或．
當時，或；當時，．
當時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；
當時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；
當時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．
綜上，或．
故選：D．
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，且．求實數的值；
【答案】(1)1
∵，
當時，，此時，由于集合中的元素不能重復，故舍去
當時，或，當時，符合要求；當時，，此時集合A中有兩個0，故舍去，綜上：
同類題型演練
1．（2021·江蘇·常州市第一中學高一期中）已知集合，若，則實數的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
，且，或
⑴、當即或，
①、當時，，，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
②、當時，，，此時，符合題意；
⑵、當即時，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實數的值為1.
故選：B
2．（2022·全國·高一專題練習）若，則的可能值為（ ）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
【答案】A
因為，
當時，集合為，不成立；
當時，集合為，成立；
當時，則（舍去）或，當時，集合為，成立；
∴或.
故選：A
3．（2022·上海民辦南模中學高三階段練習）若，則實數a的取值集合為______．
【答案】
因為，故或或，
當時，，與元素的互異性矛盾，舍；
當時，，符合；
當時，或，根據元素的互異性，符合，
故a的取值集合為.
故答案為：
重點題型四：集合的表示方法(1)列舉法
典型例題
例題1．（2022·廣西·高二學業考試）設為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合等于（ ）
A．{長江，黃河} B． {長江，黑龍江}
C． {長江，珠江} D． {長江，黃河，黑龍江，珠江}
【答案】D
∵M為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，
∴M ={長江，黃河，黑龍江，珠江}.
故選：D.
例題2．（2022·內蒙古·赤峰紅旗中學松山分校高一期末（文））方程的所有實數根組成的集合為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由，解得或，所以方程的所有實數根組成的集合為；
故選：C
例題3．（2022·全國·高一課時練習）方程組的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
由題意，可得，即，代入方程可得，
∴解集是.
故選：C
同類題型演練
1．（2022·廣東廣雅中學高一階段練習）方程的解集可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因為，所以，故方程的解集可表示為，
故選：C.
2．（2022·北京·高一期中）方程組的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
,解得：，
則方程組的解集為：.
故選：C.
3．（2022·全國·高一課時練習）一元二次方程的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
可化為，解得或
所以一元二次方程的解集為
故選：B
重點題型四：集合的表示方法(2)描述法
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）由大于且小于的偶數所組成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題意可知，由大于且小于的偶數所組成的集合是.
故選：D.
例題2．（2022·江西省崇義中學高一期中）集合用列舉法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
解：由題知
故選：D
例題3．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習）集合的元素個數為（ ）
A．4 B．5 C．10 D．12
【答案】A
由題意，集合中的元素滿足
是自然數，且是自然數，
由此可得=0，1，3，9；
此時的值分別為： 4，3，2，1，
符合條件的共有4個，
故選：A．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）用描述法表示奇數集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}
③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
由題意得：①②表示奇數集合，
③的表示方法錯誤，
④D＝{x|x＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整數或除以4余3的整數，
∵一個奇數除以4之后，余數不是1就是3，
故④表示奇數集合；
故選：C．
2．（2022·江蘇·高一課時練習）由大于-3且小于11的偶數所組成的集合是（ ）
A．{x|-3B．{x|-3C．{x|-3D．{x|-3【答案】D
解：大于-3且小于11的偶數，可表示為-3所以由大于-3且小于11的偶數所組成的集合是{x|-3對于A，集合表示的是大于-3且小于11的整數，不符題意；
對于B，集合表示的是大于-3且小于11的數，不符題意；
對于C，集合表示的是大于-3且小于11的數，，但不一定是整數，不符題意.
故選：D.
3．（2022·湖南·雅禮中學高一階段練習）已知集合，則集合A的真子集個數為（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
【答案】D
∵
∴為12的正約數，又，
∴ ，4，3，2，0
∴集合，
∴ 集合A的真子集個數為31，
故選：D.
重點題型五：集合中的含參問題
角度1：已知集合相等求參數
典型例題
例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學高二學業考試）已知集合， 若， 則 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
解：因為且，
所以，且，
又，
所以和為方程的兩個實數根，
所以；
故選：D
例題2．（2022·全國·高一）集合，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
因為，且，
所以，即，
所以，，
又因為，所以，
所以，
故選B.
同類題型演練
1．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實數 _______
【答案】
解：因為，
所以方程有且只有一個實數根，
所以，解得.
所以
故答案為：
2．（2022·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）已知，.若，則______.
【答案】
因為
所以解之得：
故答案為：
3．（2022·河北唐山·高一期中）設集合，，若，則_____________．
【答案】1
根據題意，可知，解得.
故答案為：1.
角度2：已知集合元素個數求參數
典型例題
例題1．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若集合有且只有一個元素，則的取值集合為__________．
【答案】##
①若，則，解得，滿足集合A 中只有一個元素，所以符合題意；
②若，則為二次方程，集合A有且只有一個元素等價于，解得.
故答案為：.
例題2．（2021·全國·高一專題練習）若為單元素集，則實數的取值的集合為______．
【答案】
由題意方程只有一解或兩個相等的實根，
(*)，,，此時，方程的解為，滿足題意，；
若方程(*)有一個根是，則另一根是，，；
若方程(*)有一個根是，則另一根是，，．
綜上，的取值集合為．
故答案為：．
例題3．（2022·上海市奉賢中學高一階段練習）已知集合.
（1）若中只有一個元素，求及；
（2）若中至多有一個元素，求的取值范圍.
【答案】（1）時，；時，；（2）；
（1）當時，，解得： ，
所以中只有一個元素，即，
當時，，解得：，
，解得：，此時
綜上可知時，時.
（2）當集合時，，解得：
由（1）可知集合有1個元素時，或，
綜上可知：或，
即.
同類題型演練
1．（2021·福建寧德·高三期中）集合至多有一個元素，則的取值范圍是___________.
【答案】
解：集合至多有一個元素
即集合有一個元素或者零個元素
①當集合有一個元素時，等價于有一個根
即，解得
②當集合有零個元素，即時，等價于無實數根
即，解得
綜上，的取值范圍是
故答案為：.
2．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，在下列條件下分別求實數m的取值范圍：
(1)；
(2)恰有一個元素.
【答案】(1)(2)
(1)若，則關于x的方程沒有實數解，
則，且，
所以，實數m的取值范圍是；
(2)若A恰有一個元素，
所以關于x的方程恰有一個實數解，
討論：當時，，滿足題意；
當時，，所以．
綜上所述，m的取值范圍為．
3．（2021·全國·高一專題練習）已知集合，其中為常數，且.
（1）若A是單元素集合，求的取值范圍；
（2）若A中至少有一個元素，求的取值范圍；
（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍.
【答案】（1）0或；（2）；（3）或
（1）若A是單元素集合，則方程只有一個實數根，
當時，原方程為，解得，滿足題意；
當時，一元二次方程只有一個實數根，則，解得.
所以a的值為0或.
（2）若A中只有一個元素，由（1）知或；
若A中有兩個元素，則，且，解得.
綜上，時，A中至少有一個元素.
（3）若A中只有一個元素，由（1）知或；
若A中沒有元素，則，且，解得，此時方程沒有實數根.
綜上，或時，A中至多有一個元素.
重點題型六：集合與方程的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：若，
則有，解得；
(2)解：，
因為，
所以，解得.
例題2．（2021·全國·高一課時練習）已知關于的方程（、）.
(1)求方程的解集.
(2)若，關于上述方程僅有正整數解，求的所有取值組成的集合.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(1)解：由題意，可得，
①當時，解集為；
②當，時，解集為；
③當，時，解集為.
(2)解：由題意及（1）問結論知，，且，
所以或2或4或8，所以.
同類題型演練
1．（2021·全國·高一課時練習）已知集合．
(1)若，求實數a的值；
(2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值；
(3)若集合A中僅含有兩個元素，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)(2)或(3)
(1)∵，∴，
∴；
(2)當時，，符合題意；
當時，，∴．
綜上，或；
(3)集合中含有兩個元素，即關于的方程有兩個不相等的實數解，
∴，且，
解得且，
∴實數的取值范圍為．
2．（2021·全國·高一課時練習）若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
（1）若，則的兩個根分別為，
由韋達定理可得，故.
（2）若，則或，故.
綜上若，則或
1．（2022·全國·高一）當一個非空數集滿足：如果，則，且時，時，我們稱就是一個數域，以下關于數域的說法：①是任何數域的元素；②若數域有非零元素，則；③集合是一個數域；④有理數集是一個數域；⑤任何一個有限數域的元素個數必為奇數，其中正確的選項是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
對于①，當且時，由數域定義知：，是任何數域的元素，①正確；
對于②，當且時，由數域定義知：，
，，，…，，②正確；
對于③，當，時，，③錯誤；
對于④，若，則，且當時，，則有理數集是一個數域，④正確；
對于⑤，，若且，則，則這個數不為則必成對出現，
數域的元素個數必為奇數，⑤正確.
故選：D.
2．（2021·湖北省武昌實驗中學高一階段練習）非空集合A具有下列性質：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（ ）
①﹣1 A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
解：對于①：假設，則令，則，，
令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故①對；
對于②：由題意知，，則，，故②正確；
對于③：，，故③正確；
對于④：，若，則，故④錯誤，
所以一定成立的是①②③，
故選：C.
3．（2020·上海市嘉定區第一中學高一期中）當一個非空數集滿足“如果，則，且時，”時，我們稱就是一個數域，以下四個數域的命題；
①0是任何數域的元素；
②若數域有非零元素，則;
③集合是一個數域
④有理數集是一個數域
其中假命題的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
解：對于①，根據新定義，，，當時，，對于，可得，故正確，
對于②，若數域中有非零元素，可以取實數域，可取，，可得，故正確，
對于③，由的元素知，是3的倍數，當，時，，故錯誤，
對于④，若是有理數，則當，，則，，，且當時，都成立，故正確，
故假命題為③．
故選：C．
4．（2021·浙江·高一單元測試）在整數集中，被除所得余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即，，給出如下四個結論：①；②；③若整數屬于同一“類”，則；④若，則整數屬于同一“類”.其中，正確結論的個數是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
對于①，，，①正確；
對于②，，即被除余，，②錯誤；
對于③，設，，，能被整除，
，③正確；
對于④，設，，即，，
不妨令，，，
則，，，，
屬于同一“類”， ④正確；
綜上所述：正確結論的個數為個.
故選：.
1．（2022·貴州·貴陽一中模擬預測（文））已知集合則集合的元素個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
由解得，所以.
又
所以，共有7個元素，
故選：B.
2．（2022·河北·模擬預測）已知集合中所含元素的個數為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
解：因為，
所以中含6個元素．
故選：C.
3．（2022·陜西·模擬預測（文））已知表示正整數集合，若集合，則中元素的個數為（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
由題設，又，
由，則，
由，則，
由，則，
同理，均屬于集合A，
所以第一象限中有13個點屬于集合A.
故選：D
4．（2022·山東濟南·二模）已知集合，， ，則C中元素的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
由題意，當時， ，當，時， ，
當，時， ，
即C中有三個元素，
故選：C
5．（2022·重慶南開中學模擬預測）已知集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題，當時最小為，最大為，且可得，故集合
故選：D
6．（2022·湖南·岳陽一中一模）定義集合的一種運算：，若，，則中的元素個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為，，，
所以，
故集合中的元素個數為3，
故選：C.

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