資源簡(jiǎn)介

1.1.2 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（基礎(chǔ)知識(shí)+基本題型）
知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的夾角
1．概念
如圖3.1-26，已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則么叫做向量的夾角，記.
2．范圍
．
3．特別地，如果，那么向量互相垂直，記作．
對(duì)空間兩個(gè)向量的夾角的理解，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
(1)由概念，知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為，故(或)(為非零向量)．
(2)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即∥．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
(3)對(duì)空間任意兩個(gè)向量，有；
①；②；③．
拓展
若兩個(gè)向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，
(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，
(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，；當(dāng)兩向量的夾角為時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時(shí)，.
知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的數(shù)量積
定義 已知兩個(gè)非零向量，則叫做向量的數(shù)量積，記作，即. 零向量與任意向量的數(shù)量積為，即.
幾何意義 向量的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積或等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積.
運(yùn)算律
（交換律）
（分配律）
1． 對(duì)于空間向量的數(shù)量積，我們可以從以下幾個(gè)方面理解：
(1)向量的數(shù)量積記為．而不能表示為或;
(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實(shí)數(shù)，而不是向量，其符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定：當(dāng)為銳角時(shí)，>0，但當(dāng)>0時(shí)， 也可能為0；當(dāng)為鈍角時(shí)．<0，但當(dāng)<0時(shí)，也可能為：
(3)當(dāng)≠0時(shí)， =0不能推出一定是零向量，這是因?yàn)閷?duì)于任一個(gè)與垂直的非零向量．都有=0．
2． 在考向量數(shù)量積的運(yùn)算律時(shí)，要準(zhǔn)確區(qū)分兩向量的數(shù)量積與向量的數(shù)乘 、實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的乘積之問(wèn)的差異.
（1）向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律，即=推不出，
（2）向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即不一定等于 ．
（3）向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足除法，即對(duì)于向量，若=k，不能得到（或）．例如，當(dāng)非零向量垂直時(shí)，=0，但顯然是不正確的．
知識(shí)點(diǎn)三 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)
若是非零向量，是與方向相同的單位向量，為與夾角，則：
(l) .
(2)
(3)若與同向，則；若與反向，則．特別地，．
(4)若為與的夾角．則cos.
(5).
拓展
空間向量數(shù)量積的性質(zhì)可以看作數(shù)量積的定義的．引申和拓展，空間向量數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān)，更多的是以它為工具解決立體幾何中與夾角和距離有關(guān)的問(wèn)題．例如．
（1）求空間中兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度，可以理解為求解為求相應(yīng)線段所對(duì)應(yīng)的向量的模．
(2)求空間中兩條直線的夾角（特別是兩條異面直線所成的角），即求這兩條直線所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角或其補(bǔ)角．
(3)證明線線垂直問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算兩條直線所對(duì)應(yīng)的兩向量的數(shù)量積為零來(lái)說(shuō)明這兩條直線垂直．
考點(diǎn)一 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題
例1 已知向量之間的夾角為30，且=3，4，求．
解：，，
總結(jié)：有關(guān)向量數(shù)量積的運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題：
⑴要與數(shù)乘運(yùn)算區(qū)分開(kāi)，數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，向量的數(shù)量積為實(shí)數(shù)．
⑵書(shū)寫(xiě)規(guī)范：不能寫(xiě)成，也不能寫(xiě)成．
⑶向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，也不滿足消去律．
(4)向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多項(xiàng)式展開(kāi)法則等，但也有很多區(qū)別，要注意總結(jié)．
考點(diǎn)二 利用向量的數(shù)量積求角
例2如圖3．1—30．在正方體中，求向量與的夾角的大小．
解：方法1：因?yàn)?，所以的大小就等?br/>因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，所以，所以與的夾角的大小為．
方法2．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
又因?yàn)?，所以cos，
因?yàn)椋耘c的夾角的大小為．
求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：⑴結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍；⑵先求，再利用公式，求，最后確定．
考點(diǎn)三 利用向量的數(shù)量積求距離
例3 已知線段AB在平面內(nèi)，線段，線段，且與所成的角是，如果，求C，D間的距離．
解：如圖，由，知，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)，連接，
則，所以
故．
總結(jié)：（1）線段長(zhǎng)度的計(jì)算通常有兩種方法：一是構(gòu)建三角形，解三角形；二是向量法，計(jì)算相應(yīng)向量的模，此時(shí)常需將待求向量轉(zhuǎn)化為關(guān)系明確的向量（一般向幾何體的棱上轉(zhuǎn)化）．
（2）應(yīng)牢記并能熟練地考公式
．
考點(diǎn)四 利用向量的數(shù)量積證明垂直
例4 如圖，在四面體中，M,N,P,Q分別為BC，AC，OA，OB的中點(diǎn)，若，求證：．
分析：欲證，只要證明，需將用其他向量表示后再進(jìn)行計(jì)算．
證明：如圖3．1-34，連接OM，設(shè)．
因?yàn)镻，M分別為OA，BC的中點(diǎn)，所以．
同理，連接ON，所以．
所以．
又因?yàn)椋?br/>所以，所以，即．

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