資源簡介

集合與常用邏輯用語
學校____________ 姓名____________ 班級____________
一、知識梳理
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、_______、無序性.
(2)元素與集合的關系是______或不屬于，表示符號分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：______、______、圖示法.
(4)常用數集及記法
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 ______ ______ ______ ______ ______
2.集合間的基本關系
(1)子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.記作______.
(3)相等：若A B，且______，則A＝B.
(4)空集的性質： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集 集合的交集 集合的補集
符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} ______ {x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
5.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“ ”表示.
(2)存在量詞：“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞，用符號“ ”表示.
6.全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中的任意一個x，有q(x)成立 存在M中的一個x，使p(x)成立
簡記 ______ x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈q(x) ______
7.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
考點和典型例題
集合的性質
【例題1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
【例題1-2】（2022·山東聊城·二模）已知集合，，則集合中元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例題1-3】（2022·海南?？凇つM預測）已知集合，，若，則實數a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【例題1-4】（2022·湖南·雅禮中學二模）已知集合，下列選項中均為A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
集合的運算
【例題2-1】（2022·廣東韶關·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則 （ ）
A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【例題2-2】（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知全集為，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2-3】（2022·河北唐山·二模）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2-4】（2022·廣東·二模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2-5】（2022·廣東潮州·二模）已知集合或，則（ ）．
A． B．
C． D．或
量詞命題的否定、充分條件和必要條件
【例題3-1】（2022·遼寧·建平縣實驗中學模擬預測）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例題3-2】（2022·山東濟寧·二模）“”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【例題3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知，，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例題3-4】（2022·陜西·安康市高新中學三模（理））直線與函數的圖象有兩個公共點的充要條件為（ ）
A． B． C． D．
【例題3-5】（2022·山西呂梁·模擬預測（理））“，使得成立”的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
綜合應用
【例題4-1】（2022·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））已知條件，條件．．
(1)若，求．
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍．
【例題4-2】（2022·北京密云·高三期中）設且，集合，若對的任意元子集，都存在，滿足：，，且為偶數，則稱為理想集，并將的最小值記為.
(1)當時，是否存在理想集？若存在，求出相應的；若不存在，請說明理由；
(2)當時，是否存在理想集？若存在，直接寫出對應的 以及滿足條件的；若不存在，請說明理由；
(3)證明：當時，.
【例題4-3】（2022·天津·漢沽一中高三階段練習）不等式的解集是，關于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
(3)設實數x滿足，其中，命題實數x滿足.若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.
【例題4-4】（2022·北京豐臺·二模）設，，…，，，是個互不相同的閉區間，若存在實數使得，則稱這個閉區間為聚合區間，為該聚合區間的聚合點．
(1)已知，為聚合區間，求t的值；
(2)已知，，…，，為聚合區間．
（ⅰ）設，是該聚合區間的兩個不同的聚合點．求證：存在k，，使得；
（ⅱ）若對任意p，q（且p，），都有，互不包含．求證：存在不同的i，，使得．
【例題4-5】（2022·北京朝陽·一模）對非空數集，，定義與的和集.對任意有限集，記為集合中元素的個數.
(1)若集合，，寫出集合與；
(2)若集合滿足，，且，求證：數列，，，是等差數列；
(3)設集合滿足，，且，集合（，），求證：存在集合滿足且.
集合與常用邏輯用語
學校____________ 姓名____________ 班級____________
一、知識梳理
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數集及記法
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關系
(1)子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.記作AB(或BA).
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集 集合的交集 集合的補集
符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
5.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“ ”表示.
(2)存在量詞：“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞，用符號“ ”表示.
6.全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中的任意一個x，有q(x)成立 存在M中的一個x，使p(x)成立
簡記 x∈M，q(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，非q(x) x∈M，非p(x)
7.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
考點和典型例題
集合的性質
【例題1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
因為，又，所以任取，則，
所以可能為，A對，
又 ，，
∴ 不可能為，，，B，C，D錯，
故選：A.
【例題1-2】（2022·山東聊城·二模）已知集合，，則集合中元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【詳解】
解：因為，，所以或或或，
故，即集合中含有個元素；
故選：C
【例題1-3】（2022·海南?？凇つM預測）已知集合，，若，則實數a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【詳解】
對于集合N，因為，
所以N中有兩個元素，且乘積為-2，
又因為，所以，
所以．即a＝1．
故選：B.
【例題1-4】（2022·湖南·雅禮中學二模）已知集合，下列選項中均為A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【詳解】
集合有兩個元素：和，
故選：B
集合的運算
【例題2-1】（2022·廣東韶關·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則 （ ）
A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【詳解】
，則，
故選：A．
【例題2-2】（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知全集為，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
集合，解得，
，
，
由集合交集運算得到： .
【例題2-3】（2022·河北唐山·二模）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
解：因為，所以，又；
所以；
【例題2-4】（2022·廣東·二模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
集合，，
則 ，
故選：C
【例題2-5】（2022·廣東潮州·二模）已知集合或，則（ ）．
A． B．
C． D．或
【詳解】
因為或，所以 ，
故選：B
量詞命題的否定、充分條件和必要條件
【例題3-1】（2022·遼寧·建平縣實驗中學模擬預測）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【詳解】
由特稱命題的否定知原命題的否定為：，.
故選：C.
【例題3-2】（2022·山東濟寧·二模）“”的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
因為，所以，由于，而，故A選項滿足題意；
令，則滿足，但不滿足，故B錯誤；
由得：，故C選項是一個充分必要條件，故C選項錯誤；
令，則滿足，但不滿足，D錯誤.
故選：A
【例題3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知，，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【詳解】
對于不等式，作出曲線與的圖象如下圖所示：
由圖象可知，不等式的解集為，
因為，因此，是的必要不充分條件，
故選：B.
【例題3-4】（2022·陜西·安康市高新中學三模（理））直線與函數的圖象有兩個公共點的充要條件為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
由題意知直線定點，函數的圖象是以為圓心，1為半徑的半圓，
如圖所示．易求，的斜率分別為0，，
由圖知，當l介于與之間（含）時，l與函數的圖象有兩個公共點，即．
故選:C．
【例題3-5】（2022·山西呂梁·模擬預測（理））“，使得成立”的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】
，，等價于，
又，當且僅當時等號成立，
即，故．
故選：A．
綜合應用
【例題4-1】（2022·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））已知條件，條件．．
(1)若，求．
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍．
【解析】
(1)
由，得，
所以，
由，得，所以
當時，.所以
所以；
(2)
由（1）知，，，
是的必要不充分條件，，
所以，解得
所以實數的取值范圍為.
【例題4-2】（2022·北京密云·高三期中）設且，集合，若對的任意元子集，都存在，滿足：，，且為偶數，則稱為理想集，并將的最小值記為.
(1)當時，是否存在理想集？若存在，求出相應的；若不存在，請說明理由；
(2)當時，是否存在理想集？若存在，直接寫出對應的 以及滿足條件的；若不存在，請說明理由；
(3)證明：當時，.
【解析】
(1)
依題意，要為理想集，，
當時，，顯然，有，而不是偶數，即存在3元子集不符合理想集定義，
而，在中任取3個數，有4種結果，；；；，它們都不符合理想集定義，
所以，當時，不存在理想集.
(2)
當時，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定義，
5元子集，在此集合中任取3個數，滿足較小的兩數和大于另一個數的只有與兩種，但這3數和不為偶數，
即存在5元子集不符合理想集定義，
而的6元子集是，是偶數，是偶數，
即的6元子集符合理想集定義，是理想集，
所以，當時，存在理想子集，滿足條件的可分別為或.
(3)
當時，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集定義，
要為理想集，，顯然符合理想集的定義，滿足條件的分別為或，
的6元子集中含有的共有個，這10個集合都符合理想集的定義，
的6元子集中含有不含6的有5個，其中含有4的有4個，這4個集合都符合理想集的定義，不含4的為，
顯然有為偶數，即的6元子集中含有不含6的5個都符合理想集的定義，
的6元子集中含有不含5的有5個，它們是，，
它們對應的可依次為：；；；；，
即的6元子集中含有不含5的5個都符合理想集的定義，
的6元子集中含有不含3的有5個，它們是，，
它們對應的可依次為：；；；；，
即的6元子集中含有不含3的5個都符合理想集的定義，
的6元子集中含有之一的有3個，它們是，對應的可依次為：；；，
即的6元子集中含有之一的3個都符合理想集的定義，
因此，的所有個6元子集都符合理想集的定義，是理想集，
的7元子集有個，其中含有的有5個，這5個集合都符合理想集的定義，不全含的有3個，
它們是，對應的可依次為：；；，
即的所有8個7元子集都符合理想集的定義，是理想集，
的8元子集是，對應的可以為：，因此，是理想集，
因此，的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，，
所以當時，.
【例題4-3】（2022·天津·漢沽一中高三階段練習）不等式的解集是，關于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
(3)設實數x滿足，其中，命題實數x滿足.若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.
【解析】
(1)
由的解集是，解得：.
當m=1時，可化為，解得.
所以.
(2)
因為，所以.
由（1）得：.
當時，由可解得.要使，只需，解得：；
當時，由可解得.不符合，舍去；
當時，由可解得.要使，只需，解得：；
所以，或.
所以實數的取值范圍為：.
(3)
設關于x的不等式（其中）的解集為M，則；
不等式組的解集為N，則；
要使p是q的必要不充分條件，只需NM，即，解得：.
即實數a的取值范圍.
【例題4-4】（2022·北京豐臺·二模）設，，…，，，是個互不相同的閉區間，若存在實數使得，則稱這個閉區間為聚合區間，為該聚合區間的聚合點．
(1)已知，為聚合區間，求t的值；
(2)已知，，…，，為聚合區間．
（ⅰ）設，是該聚合區間的兩個不同的聚合點．求證：存在k，，使得；
（ⅱ）若對任意p，q（且p，），都有，互不包含．求證：存在不同的i，，使得．
【解析】
(1)
由可得，又，為聚合區間，由定義可得，故當且僅當時成立，故
(2)
（ⅰ）由，是該聚合區間的兩個不同的聚合點，不妨設，因為，故，又，故，不妨設中的最大值為，中最小值為，則，即，故存在區間
（ⅱ）若存在 則或，與已知條件矛盾
不妨設 ，則
否則，若，則，與已知條件矛盾
取，設
當時，，
又，所以，所以，
即，所以，
此時取，則，
當時，同理可取，使得，
綜上，存在不同的i，，使得
【例題4-5】（2022·北京朝陽·一模）對非空數集，，定義與的和集.對任意有限集，記為集合中元素的個數.
(1)若集合，，寫出集合與；
(2)若集合滿足，，且，求證：數列，，，是等差數列；
(3)設集合滿足，，且，集合（，），求證：存在集合滿足且.
【解析】
(1)
∵集合，，
∴，；
(2)
∵，
∴集合中至少包含個元素，
所以，又，
由題可知，又為整數，
∴，
∴，
∴中的所有元素為，
又是中的個元素，且，
∴，即，
∴，
∴數列，，，是等差數列；
(3)
∵集合，
∴，
設，其中，
設是首項為，公差為的等差數列，即，
令集合，
則，
∴，
即，
∵，
∴，
所以，
故存在集合滿足且.

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