資源簡介

7.3 萬有引力理論的成就 學案
知識點1 計算天體的質量
知識點2 天體密度的計算
知識點3 發(fā)現(xiàn)未知天體
作業(yè) 鞏固訓練
1、“稱量”地球質量:若不考慮地球自轉的影響，地面上質量為m的物體所受的重力mg等于地球對物體的引力，即→
2、環(huán)繞法：借助環(huán)繞中心天體做勻速圓周運動的行星（或衛(wèi)星）計算中心天體的質量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：
萬有引力提供向心力 中心天體的質量 說明
r為行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，v、、T為行星(或衛(wèi)星)的線速度、角速度和周期
【典例1-1】一智能機器人登陸一行星，機器人將一小石塊在高度為h處靜止釋放，經(jīng)時間為t，小石塊落在地面上，已知萬有引力常量為G，此行星的半徑為R，那么這個行星的質量為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】小球下落的過程中根據(jù)自由落體運動規(guī)律有
解得
質量為m的物體，在星球表面，星球對它的引力等于其重力，有
解得星球質量
故選B。
【典例1-2】（多選）2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行。若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是（　　）
A．核心艙的質量和繞地半徑 B．核心艙的繞地角速度和繞地半徑
C．核心艙的質量和繞地周期 D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
【答案】BD
【詳解】根據(jù)核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，可得
可得
則已知核心艙的質量和繞地半徑、已知核心艙的質量和繞地周期都不能求解地球的質量；若已知核心艙的繞地角速度和繞地半徑、核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質量。
故選BD。
【典例1-3】那么該衛(wèi)星環(huán)繞行星運動的線速度大小v = ，該行星的質量M= 。（萬有引力恒量為G）
【答案】
【詳解】衛(wèi)星線速度：；衛(wèi)星的角速度：；
根據(jù)線速度與角速度的關系公式：，
衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，有
聯(lián)立解得
【典例1-4】中國空間站是我國自主建成的太空實驗室。已知“空間站”繞地球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t，運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為θ（弧度），引力常量為G，求：
（1）“空間站”的環(huán)繞周期T；
（2）地球的質量M。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）“空間站”做勻速圓周運動的角速度
“空間站”的環(huán)繞周期
所以
（2）“空間站”的軌道半徑
“空間站”做勻速圓周運動萬有引力提供向心力
所以地球質量
【變式1-1】宇航員在某星球表面將一物體豎直向上拋出，其運動的圖像如圖所示。地球質量為M，地球表面重力加速度為，已知該星球的半徑是地球半徑的2倍，則該星球的質量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)圖像，由自由落體公式可知星球表面的重力加速度為
m/s2
在星球表面，根據(jù)萬有引力等于重力有
解得
則
故選A。
【變式1-2】（多選）2020年6月23日9時43分，長征三號乙運載火箭成功發(fā)射第55顆北斗導航衛(wèi)星，并順利進入地球靜止軌道，實現(xiàn)了全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)組網(wǎng)成功。已知該衛(wèi)星在地球靜止軌道距離地面的高度為地球半徑的N倍，其運行周期約為T，地球的半徑為R，引力常量為G。則下列說法正確的是（　　）
A．地球的質量為
B．該衛(wèi)星的質量為
C．地球的密度為
D．地球表面的重力加速度g=
【答案】AD
【詳解】AC．假設地球的質量為M，衛(wèi)星的質量為m，衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動時萬有引力提供向心力，則由
G＝mr， r＝（N＋1）R
解得
M＝，ρ＝＝
故A正確，C錯誤；
B．顯然由A選項解析可知，衛(wèi)星質量不可求，故B錯誤；
D．對于位于地球表面的物體，萬有引力近似等于重力，則有
G＝mg
則
g＝
由以上整理得
g＝
故D正確。
故選AD。
【變式1-3】卡文迪許利用 實驗測量了引力常量G。設地球表面物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力，已知地球表面重力加速度為g，半徑為R，萬有引力常量G，則地球質量為M＝ （用上述已知量表示）。
【答案】 扭秤
【詳解】[1]卡文迪許利用扭秤實驗測量了引力常量G。
[2]對地球表面的物體
解得
【變式1-4】2023年6月15日，我國航天事業(yè)完成“一箭40星”偉大壯舉。其中一顆質量為m的人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期為T，衛(wèi)星到地面的高度h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，求：地球的質量M。
【答案】
【詳解】據(jù)牛頓第二定律
解得
1、若天體的半徑為R，則，。
（1）g、R法：→。
（2）T、r法：→。
2、特殊情況：當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，衛(wèi)星的軌道半徑r可認為等于天體半徑R，則有：。
【典例2-1】假設某星球可視為質量均勻分布的球體，已知該星球表面的重力加速度在兩極的大小為，在赤道的大小為，星球自轉的周期為T，引力常量為G，則該星球的密度為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設星球的質量為，半徑為，在赤道處隨地球做圓周運動物體的質量為，物體在赤道處隨地球自轉做圓周運動的周期等于地球自轉的周期，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有
在兩極處有
又
聯(lián)立解得該星球的密度為
故選C。
【典例2-2】（多選）假設在半徑為R的某天體發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近天體的表面做勻速圓周運動的周期為T，已知引力常量為G，該天體表面的重力加速度為g，不考慮天體自轉的影響，下列關于該天體密度ρ正確的是（　　）
A．ρ= B．ρ= C．ρ= D．ρ=
【答案】AC
【詳解】由題意可得
解得
則天體密度
或者
故選AC。
【典例2-3】假設在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月面，上升的最大高度為h。已知月球半徑為R、引力常量為G，不計一切阻力，則月球表面的重力加速度大小為 ，月球的密度為 。
【答案】
【詳解】[1]由自由落體公式得
解得
g=
[2]設月球質量為M，月球表面質量為m的物體所受重力等于萬有引力，有
mg=G
設月球體積為V，V=πR3，則月球的密度為ρ=，聯(lián)立以上各式得
ρ=
【典例2-4】2023年5月，我國神舟十六號宇宙飛船成功發(fā)射，三位宇航員與神舟十五號的三位宇航員在中國空間站成功會師。空間站繞地球運行視為勻速圓周運動，運行周期為T。若不考慮地球自轉，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G。求：
（1）地球的平均密度；
（2）空間站距離地面的高度h。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）在地球表面
根據(jù)密度公式
，
解得
（2）空間站繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力
在地球表面
解得
【變式2-1】2018年2月，我國口徑射電望遠鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉周期為T，假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為G。以周期T穩(wěn)定自轉的星體的密度最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】毫秒脈沖星恰好穩(wěn)定自轉時由萬有引力提供其表面物體做圓周運動的向心力，根據(jù)
解得
脈沖星體積為
所以密度最小值為
故選C。
【變式2-2】（多選）下列哪一組數(shù)據(jù)能夠估算出地球的密度，引力常量G已知，則（　　）
A．月球繞地球運行的周期與地月之間的距離
B．地球表面的重力加速度與地球半徑
C．繞地球運行衛(wèi)星的周期與線速度
D．繞地球表面運行衛(wèi)星的周期
【答案】BD
【詳解】A．根據(jù)
即已知月球繞地球運行的周期與地月之間的距離可求解地球的質量，但由于地球的半徑未知，不能求解地球的密度，選項A錯誤；
B．根據(jù)
可得
可得
即已知地球表面的重力加速度與地球半徑可求解地球密度，選項B正確；
C．已知繞地球運行衛(wèi)星的周期與線速度，根據(jù)
可求解衛(wèi)星的軌道半徑，但是由于地球質量未知，不能求解地球密度，選項C錯誤；
D．根據(jù)
可得
即已知繞地球表面運行衛(wèi)星的周期可求解地球的密度，選項D正確。
故選BD。
【變式2-3】有一宇宙飛船到了某行星附近（該行星沒有自傳運動），以速度v繞行星表面做勻速圓周運動，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則該行星的半徑為 和平均密度 。
【答案】
【詳解】[1]根據(jù)
可得
[2]根據(jù)
解得
【變式2-4】2021年5月，“天問一號”探測器在火星成功著陸。探測器著陸前，若將其在貼近火星表面軌道上的運動看做勻速圓周運動，已知探測器的運動周期為，火星的半徑為R，引力常量為G。求：
（1）探測器在火星表面做勻速圓周運動的線速度大小；
（2）火星的密度。
【答案】（1）；（2）
【分析】
【詳解】（1）探測器在火星表面做勻速圓周運動的線速度大小為
（2）根據(jù)牛頓第二定律有
根據(jù)球體積公式有
根據(jù)密度公式有
解得
1、到了18世紀，人們已經(jīng)知道太陽系有7顆行星，其中1781年發(fā)現(xiàn)的第七顆行星 —— 天王星的運動軌道有些“古怪”：根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道與實際觀測的結果總有一些偏差。
2、英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶相信未知行星的存在。他們根據(jù)天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846 年 9 月 23 日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”——海王星。
3、海王星發(fā)現(xiàn)之后，人們發(fā)現(xiàn)它的軌道也與理論計算的不一致。于是幾位學者用亞當斯和勒維耶列的方法預言另一顆行星的存在。在預言提出之后，1930年3月14日，湯博發(fā)現(xiàn)了這顆行星——冥王星。
4、預言哈雷彗星回歸：哈雷依據(jù)萬有引力定律，用一年時間計算了它們的軌道。發(fā)現(xiàn) 1531 年、1607 年和 1682 年出現(xiàn)的這三顆彗星軌道看起來如出一轍，他大膽預言，這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星（圖 7.3-3），周期約為 76 年，并預言它將于 1758 年底或 1759 年初再次回歸。1759 年 3 月這顆彗星如期通過了近日點，它最近一次回歸是 1986 年，它的下次回歸將在2061 年左右。
【典例3-1】2023年8月27日發(fā)生土星沖日現(xiàn)象，如圖所示，土星沖日是指土星、地球和太陽幾乎排列成-一線，地球位于太陽與土星之間。此時土星被太陽照亮的一-面完全朝向地球，所以明亮而易于觀察。地球和土星繞太陽公轉的方向相同，軌跡都可近似為圓，地球一年繞太陽一周，土星約29.5年繞太陽一周。則（ ）

A．在相同時間內，土星、地球與太陽中心連線掃過的面積相等
B．土星的運行速度比地球的運行速度大
C．土星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面的大
D．下一次出現(xiàn)土星沖日現(xiàn)象是在2024年
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)開普勒第二定律可知，對同一行星而言，它與中心天體的連線在相等的時間內掃過的面積相等，選項A錯誤；
B．又由，可知土星的運行速度比地球的小，選項B錯誤；
C．行星表面的重力由萬有引力提供，行星表面重力加速度，火星和地球的質量以及半徑未知，無法比較其表面重力加速度的數(shù)值的大小，選項C錯誤；
D．根據(jù)年，則年，由
得距下一次土星沖日所需時間
年
選項D正確；
故選D。
【典例3-2】（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．開普勒第三定律是開普勒利用第谷的行星觀測數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的，無法在實驗室驗證
B．卡文迪什根據(jù)開普勒第三定律推出了行星與太陽間引力大小跟行星與太陽間距離的平方成反比的關系
C．萬有引力理論成功地發(fā)現(xiàn)了未知天體、預言了彗星回歸、解釋了湖汐現(xiàn)象
D．引力常量的大小是牛頓根據(jù)大量實驗數(shù)據(jù)得出的
【答案】AC
【詳解】A．開普勒第三定律是開普勒利用第谷的行星觀測數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的，無法在實驗室驗證，故A正確；
B．牛頓探究天體間的作用力，得到行星間引力與距離的平方成反比，并進一步擴展為萬有引力定律，行星與太陽間引力大小跟行星與太陽間距離的平方成反比的關系并不是卡文迪什提出的，故B錯誤；
C．萬有引力理論成功地發(fā)現(xiàn)了未知天體、預言了彗星回歸、解釋了湖汐現(xiàn)象，故C正確；
D．引力常量是卡文迪什測得的，故D錯誤。
故選AC。
【變式3-1】當我們遠古的祖先驚嘆星空的玄妙時，他們就開始試圖破譯日月星辰等天文現(xiàn)象的奧秘。下列敘述中正確的是（　　）
A．人們觀察到太陽東升西落，說明地球是靜止不動的，是宇宙的中心
B．牛頓總結了萬有引力定律，并測出了引力常量
C．開普勒通過對第谷大量觀測數(shù)據(jù)的深入研究，總結出了行星運動三大定律
D．天王星是人們根據(jù)萬有引力定律計算出其軌道后才發(fā)現(xiàn)的，被稱為“筆尖下的行星”
【答案】C
【詳解】A．在太陽系中，地球及所有行星都在繞太陽轉動，人們觀察到太陽東升西落是選地球作為參考系造成的，宇宙沒有中心，故A錯誤；
B．牛頓總結了萬有引力定律，卡文迪許測出了引力常量，故B錯誤；
C．開普勒通過對第谷大量觀測數(shù)據(jù)的深入研究，總結出了行星運動三大定律，故C正確；
D．海王星是人們根據(jù)萬有引力定律計算出其軌道后才發(fā)現(xiàn)的，被稱為“筆尖下的行星”，故D錯誤。
故選C。
【變式3-2】海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學的學生 和法國年輕的天文學家 根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的 在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．
【答案】 亞當斯 勒維耶 伽勒
【詳解】略
1．利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質量的是（　　）
A．地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉）
B．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離
C．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離
D．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期
【答案】C
【詳解】A．由于不考慮地球自轉，則在地球表面附近，有
可得
能計算地球質量，故A錯誤；
B．由萬有引力提供月球繞地球運動的向心力，有
可得
能計算地球質量，故B錯誤；
C．同理，根據(jù)地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離，可求出太陽的質量，但不可求出地球的質量，故C正確；
D．由萬有引力提供人造衛(wèi)星的向心力，有
又
聯(lián)立得
能計算地球質量，故D錯誤。
故選C。
2．已知地球的半徑約為，地球表面的重力加速度約為，引力常量約為，則地球的質量約為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設地球的質量為M，物體在地球表面的重力約等于萬有引力，即
解得
故選C。
3．中子星是一種密度很大的特殊天體。若某中子星恰好能維持不解體，其自轉的周期為T，已知引力常量為G，則中子星的平均密度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】當中子星恰好能維持自轉不解體時，萬有引力充當向心力
又，解得
故選B。
4．假設地球可視為質量均勻分布的球體，地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉的周期為T，若地球表面上的質點與地心O的連線與赤道平面的夾角為60°。其他條件不變，則質點位置的向心加速度為（ ）
A． B． C． D．g0－g
【答案】A
【詳解】根據(jù)重力和萬有引力的關系，在兩極有
在赤道有
則在與赤道平面的夾角為60°的質點的向心加速度為
解得
故選A。
5．一物體從一行星表面某高處自由下落（不計表層大氣阻力），自開始下落計時，得到物體離該行星表面的高度h隨時間t變化的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．物體作勻速直線運動
B．行星表面重力加速度的大小為
C．物體落到行星表面時的速度大小為
D．物體下落到行星表面的過程中，平均速度的大小為
【答案】D
【詳解】A．物體在星球行星表面某高處自由下落，只受重力，加速度為重力加速度，做勻加速直線運動，故A錯誤；
B．物體離該行星表面的高度為
代入，時，可得行星表面重力加速度為
故B錯誤；
C．物體落到行星表面時的速度大小為
故C錯誤；
D．物體下落到行星表面的過程中，平均速度的大小為
故D正確。
故選D。
6．2020年11月10日，我國“奮斗者”號潛水器在馬里亞納海溝成功坐底，坐底深度為（10.909km）；2022年11月29日，搭載3名宇航員的神舟15號飛船與在離地面高度為（400km）的空間站的天和核心艙成功對接，完成了空間站的最后建造工作。真正實現(xiàn)了“可上九天攬月，可下五洋捉鱉，談笑凱歌還”的豪言壯語。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，假設地球質量分布均勻，半徑為R，不考慮其自轉，則馬里亞納海溝底部處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】設質量為的物體在馬里亞納海溝底部，則有
又
質量為的物體在空間站上，有
聯(lián)立可得馬里亞納海溝底部處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為
故選B。
7．某同學針對以下四幅圖說明所學的物理知識，下列說法錯誤的是（　　）
A．圖甲中，在南極點行走的帝企鵝受到的重力是由于地球對它的引力
B．圖乙中，足球向前運動是因為物體具有保持原來勻速直線運動的性質
C．圖丙中，蹲在體重計上的人突然站起的瞬間指針示數(shù)會小于人的體重
D．圖丁中，嫦娥五號返回時打開降落傘后傘繩對返回艙的作用力與返回艙對傘繩的作用力大小相等
【答案】C
【詳解】A．圖甲中，處在南極極點的帝企鵝的向心力為0，則在南極點行走的帝企鵝受到的重力是地球對它的引力，故A正確；
B．圖乙中，足球被踢出后，與腳不接觸，所以沒有彈力，足球向前運動是因為物體具有保持原來勻速直線運動的性質，即慣性，故B正確；
C．圖丙中，蹲在體重計上的人突然站起的瞬間，具有向上的加速度，處于超重狀態(tài)，指針示數(shù)會大于人的體重，故C錯誤；
D．圖丁中，嫦娥五號返回時打開降落傘后，傘繩對返回艙的作用力與返回艙對傘繩的作用力為一對相互作用力，大小相等，方向相反，故D正確。
本題選錯誤，故選C。
8．（多選）2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學們上了一堂精彩的科學課。“天宮二號”繞地球運動看做勻速圓周運動，引力常量G已知，由下面哪些數(shù)據(jù)，可以計算地球的質量（ ）
A．地球半徑和“天宮二號”繞地球運動的周期
B．地球半徑和“天宮二號”繞地球運動的線速度
C．“天宮二號”繞地球運動的線速度和周期
D．“天宮二號”繞地球運動的角速度和周期
【答案】ABC
【詳解】ABC．“天宮二號”繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力
ABC正確
D．若只知道角速度和周期，缺少半徑條件，無法求出中心天體質量M，D錯誤。
故選ABC。
9．（多選）地球剛誕生時自轉周期約是8小時，因為受到月球潮汐的影響，自轉在持續(xù)減速，現(xiàn)在地球自轉周期是24小時。與此同時，在數(shù)年、數(shù)十年的時間內，由于地球板塊的運動、地殼的收縮、海洋、大氣等一些復雜因素以及人類活動的影響，地球的自轉周期會發(fā)生毫秒級別的微小波動。
科學研究指出，若不考慮月球的影響，在地球的總質量不變的情況下，地球上的所有物質滿足常量，其中………m 表示地球各部分的質量，r 、r 、……n為地球各部分到地軸的距離，ω為地球自轉的角速度，如圖所示。根據(jù)以上信息，結合所學，判斷下列說法正確的是
A．月球潮汐的影響使地球自轉的角速度變小
B．若地球自轉變慢，地球赤道處的重力加速度會變小
C．若僅考慮A處的冰川融化，質心下降，會使地球自轉周期變小
D．若僅考慮B處板塊向赤道漂移，會使地球自轉周期變小
【答案】AC
【詳解】A．由題中信息，因為受到月球潮汐的影響，自轉在持續(xù)減速，使地球自轉的角速度變小，選項A正確；
B．根據(jù)
可知
若地球自轉變慢，地球赤道處的重力加速度會變大，選項B錯誤；
C．根據(jù)
=常量
若僅考慮A處的冰川融化，質心下降，則轉動半徑r減小，則角速度ω變大，則會使地球自轉周期變小，選項C正確；
D．根據(jù)
=常量
若僅考慮B處板塊向赤道漂移，則轉動半徑變大，則角速度ω減小，則會使地球自轉周期變大，選項D錯誤。
故選AC。
10．（多選）我國計劃在2030年前實現(xiàn)載人登陸月球開展科學探索，其后將探索建造月球科研試驗站，開展系統(tǒng)、連續(xù)的月球探測和相關技術試驗驗證。若已知月球質量為M，半徑為R，引力常量為G，以下說法正確的是（ ）
A．如果在月球上以初速度豎直上拋一個物體，則物體上升的最大高度為
B．如果在月球上以初速度豎直上拋一個物體，則物體落回到拋出點所用時間為
C．如果有一顆衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，則最大環(huán)繞運行速度為
D．如果在月球上發(fā)射一顆繞月球做圓周運動的衛(wèi)星，則最小周期為
【答案】AC
【詳解】A．在月球表面上有
在月球表面豎直上拋一個物體，能上升的最大高度為
聯(lián)立解得
故A正確；
B．由
結合黃金代換式
得
故B錯誤；
C．若發(fā)射繞月衛(wèi)星，當衛(wèi)星繞月球勻速圓周運動的半徑等于月球半徑時，速度最大，周期最小，此時有
解得
故C正確；
D．最小周期為
故D錯誤。
故選AC。
11．（多選）兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為RA、RB，距A、B行星中心r處，各有一衛(wèi)星分別圍繞行星做勻速圓周運動，線速度的平方v2隨半徑r變化的關系如圖甲所示，兩圖線左端的縱坐標相同；衛(wèi)星做勻速圓周運動的周期為T，的圖像如圖乙所示的兩平行直線，它們的截距分別為bA、bB．已知兩圖像數(shù)據(jù)均采用國際單位，，行星可看作質量分布均勻的球體，忽略行星的自轉和其他星球的影響，下列說法正確的是（ ）
A．圖乙中兩條直線的斜率均為
B．行星A、B的質量之比為1∶3
C．行星A、B的密度之比為1∶9
D．行星A、B表面的重力加速度大小之比為3∶1
【答案】AC
【詳解】A．根據(jù)萬有引力提供向心力有
整理得
兩邊取對數(shù)得
整理可得
題圖乙中兩條直線的斜率均為，選項A正確；
B．根據(jù)已知條件有
解得
選項B錯誤；
C．由題圖甲可知，兩行星的第一宇宙速度相等，有
解得
兩行星的密度滿足
解得
選項C正確；
D．在星球表面
解得
選項D錯誤。
故選AC。
12．某天體的質量約為地球的，半徑約為地球的3倍，則天體和地球的重力加速度之比為 ，若在該天體上，和地球從同樣高度以同樣速度平拋同一物體，水平位移之比為 。
【答案】 1:36 6:1
【詳解】[1]根據(jù)
得
根據(jù)題意，可知
聯(lián)立解得
[2]物體做平拋運動，有
解得
因此，兩者水平位移之比為
13．假設某衛(wèi)星繞月球表面做圓周運動，月球繞地球也做圓周運動，且軌道都在同一平面內。已知衛(wèi)星繞月球運動的周期T0，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R0，月心與地心間的距離為r，引力常量為G，則月球的平均密度為 ；月球繞地球運動的周期為 。
【答案】
【詳解】[1]設月球質量為m，衛(wèi)星質量為m'，月球的半徑為Rm，對于繞月球表面飛行的衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力有
解得
則月球平均密度為
[2]設地球的質量為M，對于在地球表面的物體m表有
即
月球繞地球做圓周運動的向心力來自地球引力，則
解得
14．在離地面高度為h的軌道上，質量為m的飛船繞地球做勻速圓周運動。已知引力常量為G，地球半徑為R，地球質量為M。求：
（1）地球對飛船的引力大小；
（2）飛船繞地球運行的向心加速度大小。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）根據(jù)萬有引力定律，地球對飛船的引力大小
（2）根據(jù)牛頓第二定律有
解得
15．某衛(wèi)星P在地球赤道平面內以周期T繞地球做勻速圓周運動，距離地面的高度與地球半徑相等，且轉動方向與地球自轉方向相同，Q是位于赤道上的某觀測站。已知地球的自轉周期為，且，地球半徑為R，引力常量為G，求：
（1）地球的質量M；
（2）衛(wèi)星P連續(xù)三次經(jīng)過觀測站Q正上方的時間間隔。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）設衛(wèi)星的質量為m，由萬有引力提供衛(wèi)星的向心力，可得
解得
（2）由題意知，時間內衛(wèi)星相對地球轉過的角度為，則
解7.3 萬有引力理論的成就 學案（原卷版）
知識點1 計算天體的質量
知識點2 天體密度的計算
知識點3 發(fā)現(xiàn)未知天體
作業(yè) 鞏固訓練
1、“稱量”地球質量:若不考慮地球自轉的影響，地面上質量為m的物體所受的重力mg等于地球對物體的引力，即→
2、環(huán)繞法：借助環(huán)繞中心天體做勻速圓周運動的行星（或衛(wèi)星）計算中心天體的質量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：
萬有引力提供向心力 中心天體的質量 說明
r為行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，v、、T為行星(或衛(wèi)星)的線速度、角速度和周期
【典例1-1】一智能機器人登陸一行星，機器人將一小石塊在高度為h處靜止釋放，經(jīng)時間為t，小石塊落在地面上，已知萬有引力常量為G，此行星的半徑為R，那么這個行星的質量為（　　）
A． B． C． D．
【典例1-2】（多選）2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行。若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是（　　）
A．核心艙的質量和繞地半徑 B．核心艙的繞地角速度和繞地半徑
C．核心艙的質量和繞地周期 D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
【典例1-3】那么該衛(wèi)星環(huán)繞行星運動的線速度大小v = ，該行星的質量M= 。（萬有引力恒量為G）
【典例1-4】中國空間站是我國自主建成的太空實驗室。已知“空間站”繞地球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t，運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為θ（弧度），引力常量為G，求：
（1）“空間站”的環(huán)繞周期T；
（2）地球的質量M。
【變式1-1】宇航員在某星球表面將一物體豎直向上拋出，其運動的圖像如圖所示。地球質量為M，地球表面重力加速度為，已知該星球的半徑是地球半徑的2倍，則該星球的質量為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（多選）2020年6月23日9時43分，長征三號乙運載火箭成功發(fā)射第55顆北斗導航衛(wèi)星，并順利進入地球靜止軌道，實現(xiàn)了全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)組網(wǎng)成功。已知該衛(wèi)星在地球靜止軌道距離地面的高度為地球半徑的N倍，其運行周期約為T，地球的半徑為R，引力常量為G。則下列說法正確的是（　　）
A．地球的質量為 B．該衛(wèi)星的質量為
C．地球的密度為 D．地球表面的重力加速度g=
【變式1-3】卡文迪許利用 實驗測量了引力常量G。設地球表面物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力，已知地球表面重力加速度為g，半徑為R，萬有引力常量G，則地球質量為M＝ （用上述已知量表示）。
【變式1-4】2023年6月15日，我國航天事業(yè)完成“一箭40星”偉大壯舉。其中一顆質量為m的人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期為T，衛(wèi)星到地面的高度h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，求：地球的質量M。
1、若天體的半徑為R，則，。
（1）g、R法：→。
（2）T、r法：→。
2、特殊情況：當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，衛(wèi)星的軌道半徑r可認為等于天體半徑R，則有：。
【典例2-1】假設某星球可視為質量均勻分布的球體，已知該星球表面的重力加速度在兩極的大小為，在赤道的大小為，星球自轉的周期為T，引力常量為G，則該星球的密度為（　　）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（多選）假設在半徑為R的某天體發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近天體的表面做勻速圓周運動的周期為T，已知引力常量為G，該天體表面的重力加速度為g，不考慮天體自轉的影響，下列關于該天體密度ρ正確的是（　　）
A．ρ= B．ρ= C．ρ= D．ρ=
【典例2-3】假設在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月面，上升的最大高度為h。已知月球半徑為R、引力常量為G，不計一切阻力，則月球表面的重力加速度大小為 ，月球的密度為 。
【典例2-4】2023年5月，我國神舟十六號宇宙飛船成功發(fā)射，三位宇航員與神舟十五號的三位宇航員在中國空間站成功會師。空間站繞地球運行視為勻速圓周運動，運行周期為T。若不考慮地球自轉，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G。求：
（1）地球的平均密度；
（2）空間站距離地面的高度h。
【變式2-1】2018年2月，我國口徑射電望遠鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉周期為T，假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為G。以周期T穩(wěn)定自轉的星體的密度最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（多選）下列哪一組數(shù)據(jù)能夠估算出地球的密度，引力常量G已知，則（　　）
A．月球繞地球運行的周期與地月之間的距離
B．地球表面的重力加速度與地球半徑
C．繞地球運行衛(wèi)星的周期與線速度
D．繞地球表面運行衛(wèi)星的周期
【變式2-3】有一宇宙飛船到了某行星附近（該行星沒有自傳運動），以速度v繞行星表面做勻速圓周運動，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則該行星的半徑為 和平均密度 。
【變式2-4】2021年5月，“天問一號”探測器在火星成功著陸。探測器著陸前，若將其在貼近火星表面軌道上的運動看做勻速圓周運動，已知探測器的運動周期為，火星的半徑為R，引力常量為G。求：
（1）探測器在火星表面做勻速圓周運動的線速度大小；
（2）火星的密度。
1、到了18世紀，人們已經(jīng)知道太陽系有7顆行星，其中1781年發(fā)現(xiàn)的第七顆行星 —— 天王星的運動軌道有些“古怪”：根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道與實際觀測的結果總有一些偏差。
2、英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶相信未知行星的存在。他們根據(jù)天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846 年 9 月 23 日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”——海王星。
3、海王星發(fā)現(xiàn)之后，人們發(fā)現(xiàn)它的軌道也與理論計算的不一致。于是幾位學者用亞當斯和勒維耶列的方法預言另一顆行星的存在。在預言提出之后，1930年3月14日，湯博發(fā)現(xiàn)了這顆行星——冥王星。
4、預言哈雷彗星回歸：哈雷依據(jù)萬有引力定律，用一年時間計算了它們的軌道。發(fā)現(xiàn) 1531 年、1607 年和 1682 年出現(xiàn)的這三顆彗星軌道看起來如出一轍，他大膽預言，這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星（圖 7.3-3），周期約為 76 年，并預言它將于 1758 年底或 1759 年初再次回歸。1759 年 3 月這顆彗星如期通過了近日點，它最近一次回歸是 1986 年，它的下次回歸將在2061 年左右。
【典例3-1】2023年8月27日發(fā)生土星沖日現(xiàn)象，如圖所示，土星沖日是指土星、地球和太陽幾乎排列成-一線，地球位于太陽與土星之間。此時土星被太陽照亮的一-面完全朝向地球，所以明亮而易于觀察。地球和土星繞太陽公轉的方向相同，軌跡都可近似為圓，地球一年繞太陽一周，土星約29.5年繞太陽一周。則（ ）

A．在相同時間內，土星、地球與太陽中心連線掃過的面積相等
B．土星的運行速度比地球的運行速度大
C．土星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面的大
D．下一次出現(xiàn)土星沖日現(xiàn)象是在2024年
【典例3-2】（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．開普勒第三定律是開普勒利用第谷的行星觀測數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的，無法在實驗室驗證
B．卡文迪什根據(jù)開普勒第三定律推出了行星與太陽間引力大小跟行星與太陽間距離的平方成反比的關系
C．萬有引力理論成功地發(fā)現(xiàn)了未知天體、預言了彗星回歸、解釋了湖汐現(xiàn)象
D．引力常量的大小是牛頓根據(jù)大量實驗數(shù)據(jù)得出的
【變式3-1】當我們遠古的祖先驚嘆星空的玄妙時，他們就開始試圖破譯日月星辰等天文現(xiàn)象的奧秘。下列敘述中正確的是（　　）
A．人們觀察到太陽東升西落，說明地球是靜止不動的，是宇宙的中心
B．牛頓總結了萬有引力定律，并測出了引力常量
C．開普勒通過對第谷大量觀測數(shù)據(jù)的深入研究，總結出了行星運動三大定律
D．天王星是人們根據(jù)萬有引力定律計算出其軌道后才發(fā)現(xiàn)的，被稱為“筆尖下的行星”
【變式3-2】海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學的學生 和法國年輕的天文學家 根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的 在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．
1．利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質量的是（　　）
A．地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉）
B．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離
C．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離
D．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期
2．已知地球的半徑約為，地球表面的重力加速度約為，引力常量約為，則地球的質量約為（　　）
A． B．
C． D．
3．中子星是一種密度很大的特殊天體。若某中子星恰好能維持不解體，其自轉的周期為T，已知引力常量為G，則中子星的平均密度為（　　）
A． B． C． D．
4．假設地球可視為質量均勻分布的球體，地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉的周期為T，若地球表面上的質點與地心O的連線與赤道平面的夾角為60°。其他條件不變，則質點位置的向心加速度為（ ）
A． B． C． D．g0－g
5．一物體從一行星表面某高處自由下落（不計表層大氣阻力），自開始下落計時，得到物體離該行星表面的高度h隨時間t變化的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．物體作勻速直線運動
B．行星表面重力加速度的大小為
C．物體落到行星表面時的速度大小為
D．物體下落到行星表面的過程中，平均速度的大小為
6．2020年11月10日，我國“奮斗者”號潛水器在馬里亞納海溝成功坐底，坐底深度為（10.909km）；2022年11月29日，搭載3名宇航員的神舟15號飛船與在離地面高度為（400km）的空間站的天和核心艙成功對接，完成了空間站的最后建造工作。真正實現(xiàn)了“可上九天攬月，可下五洋捉鱉，談笑凱歌還”的豪言壯語。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，假設地球質量分布均勻，半徑為R，不考慮其自轉，則馬里亞納海溝底部處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為（ ）
A． B．
C． D．
7．某同學針對以下四幅圖說明所學的物理知識，下列說法錯誤的是（　　）
A．圖甲中，在南極點行走的帝企鵝受到的重力是由于地球對它的引力
B．圖乙中，足球向前運動是因為物體具有保持原來勻速直線運動的性質
C．圖丙中，蹲在體重計上的人突然站起的瞬間指針示數(shù)會小于人的體重
D．圖丁中，嫦娥五號返回時打開降落傘后傘繩對返回艙的作用力與返回艙對傘繩的作用力大小相等
8．（多選）2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學們上了一堂精彩的科學課。“天宮二號”繞地球運動看做勻速圓周運動，引力常量G已知，由下面哪些數(shù)據(jù)，可以計算地球的質量（ ）
A．地球半徑和“天宮二號”繞地球運動的周期
B．地球半徑和“天宮二號”繞地球運動的線速度
C．“天宮二號”繞地球運動的線速度和周期
D．“天宮二號”繞地球運動的角速度和周期
9．（多選）地球剛誕生時自轉周期約是8小時，因為受到月球潮汐的影響，自轉在持續(xù)減速，現(xiàn)在地球自轉周期是24小時。與此同時，在數(shù)年、數(shù)十年的時間內，由于地球板塊的運動、地殼的收縮、海洋、大氣等一些復雜因素以及人類活動的影響，地球的自轉周期會發(fā)生毫秒級別的微小波動。
科學研究指出，若不考慮月球的影響，在地球的總質量不變的情況下，地球上的所有物質滿足常量，其中………m 表示地球各部分的質量，r 、r 、……n為地球各部分到地軸的距離，ω為地球自轉的角速度，如圖所示。根據(jù)以上信息，結合所學，判斷下列說法正確的是
A．月球潮汐的影響使地球自轉的角速度變小
B．若地球自轉變慢，地球赤道處的重力加速度會變小
C．若僅考慮A處的冰川融化，質心下降，會使地球自轉周期變小
D．若僅考慮B處板塊向赤道漂移，會使地球自轉周期變小
10．（多選）我國計劃在2030年前實現(xiàn)載人登陸月球開展科學探索，其后將探索建造月球科研試驗站，開展系統(tǒng)、連續(xù)的月球探測和相關技術試驗驗證。若已知月球質量為M，半徑為R，引力常量為G，以下說法正確的是（ ）
A．如果在月球上以初速度豎直上拋一個物體，則物體上升的最大高度為
B．如果在月球上以初速度豎直上拋一個物體，則物體落回到拋出點所用時間為
C．如果有一顆衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，則最大環(huán)繞運行速度為
D．如果在月球上發(fā)射一顆繞月球做圓周運動的衛(wèi)星，則最小周期為
11．（多選）兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為RA、RB，距A、B行星中心r處，各有一衛(wèi)星分別圍繞行星做勻速圓周運動，線速度的平方v2隨半徑r變化的關系如圖甲所示，兩圖線左端的縱坐標相同；衛(wèi)星做勻速圓周運動的周期為T，的圖像如圖乙所示的兩平行直線，它們的截距分別為bA、bB．已知兩圖像數(shù)據(jù)均采用國際單位，，行星可看作質量分布均勻的球體，忽略行星的自轉和其他星球的影響，下列說法正確的是（ ）
A．圖乙中兩條直線的斜率均為
B．行星A、B的質量之比為1∶3
C．行星A、B的密度之比為1∶9
D．行星A、B表面的重力加速度大小之比為3∶1
12．某天體的質量約為地球的，半徑約為地球的3倍，則天體和地球的重力加速度之比為 ，若在該天體上，和地球從同樣高度以同樣速度平拋同一物體，水平位移之比為 。
13．假設某衛(wèi)星繞月球表面做圓周運動，月球繞地球也做圓周運動，且軌道都在同一平面內。已知衛(wèi)星繞月球運動的周期T0，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R0，月心與地心間的距離為r，引力常量為G，則月球的平均密度為 ；月球繞地球運動的周期為 。
14．在離地面高度為h的軌道上，質量為m的飛船繞地球做勻速圓周運動。已知引力常量為G，地球半徑為R，地球質量為M。求：
（1）地球對飛船的引力大小；
（2）飛船繞地球運行的向心加速度大小。
15．某衛(wèi)星P在地球赤道平面內以周期T繞地球做勻速圓周運動，距離地面的高度與地球半徑相等，且轉動方向與地球自轉方向相同，Q是位于赤道上的某觀測站。已知地球的自轉周期為，且，地球半徑為R，引力常量為G，求：
（1）地球的質量M；
（2）衛(wèi)星P連續(xù)三次經(jīng)過觀測站Q正上方的時間間隔。

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