資源簡介

三輪復習談高考數學解答題的解題策略
一．知識探究：
1．數學綜合題的解題策略
解綜合性問題的三字訣“三性”：綜合題從題設到結論，從題型到內容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復雜性和解題設計的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結果的終極目標和每一步驟分項目標。(2)準確性：提高概念把握的準確性和運算的準確性。(3)隱含性：注意題設條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準確性的前提和保證。
　　“三化”：(1)問題具體化(包括抽象函數用具有相同性質的具體函數作為代表來研究，字母用常數來代表)。即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關系具體明確，有時可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規律應用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關知識相聯系的簡單問題，把復雜的形式轉化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強調變換問題的條件或結論，使其表現形式符合數或形內部固有的和諧統一的特點，或者突出所涉及的各種數學對象之間的知識聯系。
　　“三轉”：(1)語言轉換能力。每個數學綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強的語言轉換能力。還需要有把普通語言轉換成數學語言的能力。(2)概念轉換能力：綜合題的轉譯常常需要較強的數學概念的轉換能力。(3)數形轉換能力。解題中的數形結合，就是對題目的條件和結論既分析其代數含義又分析其幾何意義，力圖在代數與幾何的結合上找出解題思路。運用數形轉換策略要注意特殊性，否則解題會出現漏洞。
　　“三思”：(1)思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時應考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設置往往會突顯考查數學思想方法，解題時應注意數學思想方法的運用。(3)思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇。
“三聯”：(1)聯系相關知識，(2)連接相似問題，(2)聯想類似方法。
2．數學綜合題的解題策略
求解應用題的一般步驟是（四步法）：
（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關系；
（2）、建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題；
（3）、求解：化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解；
（4）、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節，最后將結果應用于現實，作出解釋或驗證.
4．在近幾年高考中，經常涉及的數學模型，有以下一些類型：數列模型、函數模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。
Ⅰ．函數模型 函數是中學數學中最重要的一部分內容，現實世界中普遍存在著的最優化問題，常常可歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法去解決；
⑴ 根據題意，熟練地建立函數模型；
⑵ 運用函數性質、不等式等知識處理所得的函數模型。
Ⅱ．幾何模型 諸如航行、建橋、測量、人造衛星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，或用方程、不等式或用三角函數知識來求解；
Ⅲ．數列模型 在經濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數列問題，即通過建立相應的數列模型來解決.在解應用題時，是否是數列問題一是看自變量是否與正整數有關；二是看是否符合一定的規律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規律。
二．命題趨勢
數學綜合性試題常常是高考試卷中把關題和壓軸題。在高考中舉足輕重，高考的區分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預設目標。目前的高考綜合題已經由單純的知識疊加型轉化為知識、方法和能力綜合型尤其是創新能力型試題。綜合題是高考數學試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數學思想方法的運用以及要求考生具有一定的創新意識和創新能力等特點。像圓錐曲線綜合題、函數方程不等式的交匯題、三角向量的結合問題等將是08年高考的重點；
高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優化型，另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現。當然，數學高考應用性問題關注當前國內外的政治、經濟、文化，緊扣時代的主旋律，凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線。多數出現在像理科概率中分布列的期望方差解釋實際問題、函數和數列知識及其性質解釋、解決實際問題，它們將是08年高考的熱點。
三．例題點評
題型1：二次函數綜合問題
例1．(2007廣東) 已知a是實數，函數，如果函數在區間上有零點，求a的取值范圍。
解析：若 , ,顯然在上沒有零點, 所以 .
令 , 解得
①當 時, 恰有一個零點在上;
②當，即時，在
上也恰有一個零點.
③當在上有兩個零點時, 則
或
解得或
綜上所求實數的取值范圍是 或 。
點評：二次函數的圖像具有連續性，且由于二次方程至多有兩個實數根. 所以存在實數使得且在區間上，必存在的唯一的實數根。
例2．設，若，，, 試證明：對于任意，有.
分析：同上題，可以用來表示.
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 當時，
當時，
綜上，問題獲證。
點評：由于二次函數的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數的問題時，常常借助其解析式，通過純代數推理，進而導出二次函數的有關性質。
題型2：代數推理題的典例解析
例3．已知
的單調區間；
（2）若
解析：（1） 對 已 知 函 數 進 行 降 次 分 項 變 形 , 得 ,
（2）首先證明任意
事實上：
而



.
點評：函 數 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓 練 價 值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法。
例4．對于函數，若存在成立，則稱的不動點。如果函數有且只有兩個不動點0，2，且
（1）求函數的解析式；
（2）已知各項不為零的數列，求數列通項；
（3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.
解析：依題意有,化簡為 由違達定理,
得：
解得 代入表達式，
由得 不止有兩個不動點，
（2）由題設得 （*）
且 （**）
由（*）與（**）兩式相減得：


解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項，-1為公差的等差數列，
；
（3）采用反證法，假設則由（1）知
,有，
而當這與假設矛盾，故假設不成立，。
關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上：
由得<0或
結論成立；
若，此時從而即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.
點評：比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數學解題后需要進行必要的反思, 學會反思才能長進。
題型3：解析幾何綜合問題
例5．已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。
分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式. 由此出發，可設計如下解題思路：
解題過程略.
分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：
解析：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為：

于是，問題即可轉化為如上關于的方程.
由于，所以，從而有
于是關于的方程



由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等價于
.
由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .
點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全局觀念與整體思維的優越性。
例6．已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程。
分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解. 因此，首先是選定參數，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目的。
由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數，如何將與聯系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可。
通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中有數。
在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。
簡解：設，則由可得：，
解之得： （1）
設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化簡得： (3)
與聯立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得
故知點Q的軌跡方程為： （）.
點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道。
題型4：立體幾何應用問題
例7．在邊長為a的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形．這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等，如圖①．若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖②．則當容器的高為多少時，可使這個容器的容積最大，并求出容積的最大值。
圖① 圖②
解析：設容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為,

.
當且僅當 .
故當容器的高為時，容器的容積最大，其最大容積為
點評：對學過導數的同學來講，三次函數的最值問題用導數求解是最方便的，請讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數學壓軸題有關，還請做做對照. 類似的問題是：某企業設計一個容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時，制造這個密閉容器的用料最省（即容器的表面積最小）。
例8．（06江西卷）如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質點自點出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點的最短路線的長為 。
解析：將正三棱柱沿側棱CC1展開，其側面展開圖如圖所示，由圖中路線可得結論。
點評：解決此類問題要結合問題的實際情景，把問題分解、轉化解決。
題型5：數列中的實際應用問題
例9．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛?
解析：設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則
，
所以，當時，，兩式相減得：
（1）顯然，若，則，即，此時
（2）若，則數列為以為首項，以為公比的等比數列，所以，.
（i）若，則對于任意正整數，均有，所以，，此時，
（ii）當時，，則對于任意正整數，均有，所以，，
由，
得：
，
要使對于任意正整數，均有恒成立，
即
對于任意正整數恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 , 得
,
上式恒成立的條件為：，由于關于的函數單調遞減，所以，。
點評：本題是2002年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關鍵是化歸為含參數的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉化為函數的最值問題。
例10．為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業性貸款利率如下：
貸款期(年數)
公積金貸款月利率(‰)
商業性貸款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問： (1)汪先生家每月應還款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數是多少? (參考數據：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
解析：設月利率為r，每月還款數為a元，總貸款數為A元，還款期限為n月，
第1月末欠款數　A(1＋r)－a
第2月末欠款數　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款數　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a……
第n月末欠款數　，
得：
對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
∴
對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元。
(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業貸款
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上當月的計劃還款數2210.59元，當月共還款43880.12元。
點評：需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查。
題型6：函數、導數應用題
例11．（2007重慶文20）用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
解：設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為
.
故長方體的體積為
從而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜時，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。
從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.
答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。
例12．（2006福建卷）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：y=(0（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
解析：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗沒（升）。
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。
（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，
依題意得

令得
當時，是減函數；
當時，是增函數。
當時，取到極小值
因為在上只有一個極值，所以它是最小值。
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。
點評：本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力。
四．思維總結
1．第一輪復習一般以知識、技能、方法的逐點掃描和梳理為主，綜合運用知識為輔，第二輪復習以專題性復習為主，這一階段所涉及的數學問題多半是綜合性問題，提高解數學綜合性問題的能力是提高高考數學成績的根本保證。解好綜合題對于那些想考一流大學，并對數學成績期望值較高的同學來說，是一道生命線，往往成也蕭何敗也蕭何；對于那些定位在二流大學的學生而言，這里可是放手一搏的好地方。
2．數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一， 也是考生失分較多的一種題型。高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化，能結合應用所學數學知識、思想方法解決問題，包括解決帶有實際意義的或者相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確的加以表述.考生的弱點主要表現在將實際問題轉化成數學問題的能力上.實際問題轉化為數學問題，關鍵是提高閱讀能力即數學審題能力，審出函數、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字敘述所反應的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，抽象其中的數量關系，將文字語言敘述轉譯成數學式符號語言，建立對應的數學模型解答.可以說，解答一個應用題重點要過三關：一是事理關，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關，即把文字語言轉化為數學的符號語言；三是數理關，即構建相應的數學模型，構建之后還需要扎實的基礎知識和較強的數理能力。
由于數學問題的廣泛性，實際問題的復雜性，干擾因素的多元性，更由于實際問題的專一性，這些都給學生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質的內容，轉化為函數、方程、不等式、數列、排列、組合、概率、曲線、解三角形等問題。

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