資源簡介

1.5全稱量詞與存在量詞（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
重點題型二：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
重點題型三：存在量詞命題、全稱量詞命題的綜合應用
重點題型四：存在量詞命題、全稱量詞命題中的探究性問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：全稱量詞與全稱量詞命題
概念:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.
表示:全稱量詞命題“對中任意一個,成立”可用符號簡記為.　
對全稱量詞與全稱量詞命題的理解
(1)從集合的觀點看,全稱量詞命題是陳述某集合中的所有元素都具有某種性質的命題.注意:全稱量詞表示的數量可能是有限的,也可能是無限的,由題目而定.
(2)常見的全稱量詞還有“一切”“任給”等.
(3)一個全稱量詞命題可以包含多個變量,如“”.
(4)全稱量詞命題含有全稱量詞,有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的,理解時需把它補充出來.例如,命題“平行四邊形的對角線互相平分”應理解為“所有的平行四邊形的對角線都互相平分”.
知識點2：存在量詞與存在量詞命題
概念:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號“”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.
表示:存在量詞命題“存在中的元素,成立”,可用符號簡記為.
對存在量詞與存在量詞命題的理解
(1)從集合的觀點看,存在量詞命題是陳述某集合中有(存在)一些元素具有某種性質的命題.
(2)常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等.
(3)含有存在量詞的命題,不管包含的程度多大,都是存在量詞命題.
(4)一個存在量詞命題可以包含多個變量,如“”.
(5)含有存在量詞“存在”“有一個”等的命題,或雖沒有寫出存在量詞,但其意義具備“存在”“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題.
知識點3：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
3.1全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數學語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
3.2存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數學語言：.
②存在量詞命題的否定：.
知識點4：常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定詞語 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多一個 至少一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少兩個 一個也沒有
1．判斷正誤．
（1）命題“任意一個自然數都是正整數”是全稱量詞命題．( )
（2）命題“三角形的內角和是”是全稱量詞命題．( )
（3）命題“梯形有兩邊平行”不是全稱量詞命題．( )
2．判斷正誤．
（1）命題“”的否定是“”．( )
（2）與的真假性相反．( )
（3）從存在量詞命題的否定看，是對“量詞”和“”同時否定．( )
3．判斷正誤．
（1）命題“有些菱形是正方形”是全稱命題．( )
（2）命題“存在一個菱形，它的四條邊不相等”是存在量詞命題．( )
（3）命題“有的實數絕對值是正數”是存在量詞命題．( )
4．若命題，則命題p的否定為( )
A． B．
C． D．
5．已知命題，那么p的否定是___________．
重點題型一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
典型例題
例題1．（2022·廣東廣州·高一期末）下列全稱量詞命題與存在量詞命題中：
①設、為兩個集合，若，則對任意，都有；
②設、為兩個集合，若，則存在，使得；
③是無理數，是有理數；
④是無理數，是無理數.
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（2022·河南三門峽·高一期末）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的為（ ）
A．有些四邊形的內角和不等于 B．，
C．， D．所有能被4整除的數都是偶數
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（ ）
A．每個二次函數的圖象都開口向上 B．存在一條直線與已知直線不平行
C．對任意實數a，b，若則 D．存在一個實數x，使等式成立
2．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中是全稱量詞命題，并且又是真命題的是（ ）
A．是無理數 B．，使為偶數
C．對任意，都有 D．所有菱形的四條邊都相等
3．（2022·內蒙古·赤峰紅旗中學松山分校高二期末（文））有下列四個命題，其中真命題是（ ）．
A．， B．，，
C．，， D．，
重點題型二：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
典型例題
例題1．（2022·江蘇南通·高二期末）命題“”的否定是_________．
例題2．（2022·山西晉中·模擬預測（理））命題：，，則為___________.
例題3．（2022·四川·射洪中學高二階段練習（文））命題：的否定為__________.
例題4．（2022·全國·高一專題練習）已知命題，則____________
同類題型演練
1．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）命題“，”的否定是___________.
2．（2022·吉林·梅河口市第五中學高二期中）若命題p是“對所有正數x，”，則命題p的否定是________________.
3．（2022·遼寧朝陽·高一開學考試）命題“”的否定為______．
4．（2022·四川省內江市第六中學高二階段練習（理））曲線，，則為___________.
重點題型三：存在量詞命題、全稱量詞命題的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·寧夏吳忠區青銅峽市教育局高二開學考試（文））若命題“使”是假命題，則實數的取值范圍為_______．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）若恒成立，則實數的取值范圍為________.
例題3．（2022·江蘇·高一）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為______.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知命題：“，”，若為假命題，則實數的取值范圍為___________.
2．（2022·全國·高一）若命題“”是假命題，則實數a的取值范圍的解集是______
3．（2022·上海青浦·二模）若命題：“存在整數使不等式成立”是假命題，則實數的取值范圍是_________．
4．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二階段練習（理））已知命題p：，若命題P為假命題，則實數a的取值范圍是___．
重點題型四：存在量詞命題、全稱量詞命題中的探究性問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一期中）已知命題“，”為真命題.
(1)求實數的取值的集合；
(2)若，使得成立，記實數的范圍為集合，若中只有一個整數，求實數的范圍.
例題2．（2022·江蘇揚州·高一期中）已知命題p：，命題：，使得
(1)若命題p是真命題，求實數a的取值范圍；
(2)若p和q有且只有一個是真命題，求實數a的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）已知命題，使為假命題．
(1)求實數m的取值集合B；
(2)設為非空集合，若是的充分不必要條件，求實數a的取值圍．
2．（2022·全國·高一專題練習）從兩個符號“”“”中任選一個填寫到①的位置，并完成下面的問題.
已知集合，，若命題：①，則是真命題，求m的取值范圍.
3．（2022·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（理））已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實數的取值范圍．
4．（2021·廣東·揭陽華僑高中高一階段練習）命題：“，”是真命題，命題：“，”是真命題，求實數a的取值范圍？
1．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））設命題p：，(x－1)(x+2)>0，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，或
2．（2022·云南昆明·模擬預測（文））已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（多選）（2022·湖北·鄂南高中模擬預測）給定命題，都有.若命題為假命題，則實數可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·山東聊城·三模）命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為______.
5．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）命題“，”的否定是___________.
1.5全稱量詞與存在量詞（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
重點題型二：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
重點題型三：存在量詞命題、全稱量詞命題的綜合應用
重點題型四：存在量詞命題、全稱量詞命題中的探究性問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：全稱量詞與全稱量詞命題
概念:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.
表示:全稱量詞命題“對中任意一個,成立”可用符號簡記為.　
對全稱量詞與全稱量詞命題的理解
(1)從集合的觀點看,全稱量詞命題是陳述某集合中的所有元素都具有某種性質的命題.注意:全稱量詞表示的數量可能是有限的,也可能是無限的,由題目而定.
(2)常見的全稱量詞還有“一切”“任給”等.
(3)一個全稱量詞命題可以包含多個變量,如“”.
(4)全稱量詞命題含有全稱量詞,有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的,理解時需把它補充出來.例如,命題“平行四邊形的對角線互相平分”應理解為“所有的平行四邊形的對角線都互相平分”.
知識點2：存在量詞與存在量詞命題
概念:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號“”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.
表示:存在量詞命題“存在中的元素,成立”,可用符號簡記為.
對存在量詞與存在量詞命題的理解
(1)從集合的觀點看,存在量詞命題是陳述某集合中有(存在)一些元素具有某種性質的命題.
(2)常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等.
(3)含有存在量詞的命題,不管包含的程度多大,都是存在量詞命題.
(4)一個存在量詞命題可以包含多個變量,如“”.
(5)含有存在量詞“存在”“有一個”等的命題,或雖沒有寫出存在量詞,但其意義具備“存在”“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題.
知識點3：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
3.1全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數學語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
3.2存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數學語言：.
②存在量詞命題的否定：.
知識點4：常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定詞語 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多一個 至少一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少兩個 一個也沒有
1．判斷正誤．
（1）命題“任意一個自然數都是正整數”是全稱量詞命題．( )
（2）命題“三角形的內角和是”是全稱量詞命題．( )
（3）命題“梯形有兩邊平行”不是全稱量詞命題．( )
【答案】 正確 正確 錯誤
（1）“任意”是全稱量詞，所以它是全稱量詞命題，該結論正確.
（2）這里省略了全稱量詞“所有”，意思是“所有三角形內角和是180°”，該結論正確.
（3）這里省略了全稱量詞“所有”，意思是“所有梯形有兩邊平行”，該結論錯誤.
2．判斷正誤．
（1）命題“”的否定是“”．( )
（2）與的真假性相反．( )
（3）從存在量詞命題的否定看，是對“量詞”和“”同時否定．( )
【答案】 錯誤 正確 錯誤
（1）“，”的否定是“，”，故該結論錯誤．
（2）由特稱命題的否定是全稱命題可得，該結論正確．
（3）由特稱命題的否定是全稱命題可得，不是對量詞否定，只是對“”否定，同時改量詞．
3．判斷正誤．
（1）命題“有些菱形是正方形”是全稱命題．( )
（2）命題“存在一個菱形，它的四條邊不相等”是存在量詞命題．( )
（3）命題“有的實數絕對值是正數”是存在量詞命題．( )
【答案】 錯誤 正確 正確
（1）“有些”是存在量詞，所以它是存在量詞命題，不是全稱命題，故該結論錯誤.
（2）“存在”是存在量詞，所以它是存在量詞命題，故該結論正確.
（3）“有的”是存在量詞，所以它是存在量詞命題，故該結論正確.
4．若命題，則命題p的否定為( )
A． B．
C． D．
【答案】C
由特稱命題的否定可得，命題p的否定為“”
故選：C
5．已知命題，那么p的否定是___________．
【答案】
因為命題是全稱命題，
所以其否定為特稱命題
重點題型一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
典型例題
例題1．（2022·廣東廣州·高一期末）下列全稱量詞命題與存在量詞命題中：
①設、為兩個集合，若，則對任意，都有；
②設、為兩個集合，若，則存在，使得；
③是無理數，是有理數；
④是無理數，是無理數.
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
對于①，因集合A、B滿足，則由集合包含關系的定義知，對任意，都有，①是真命題；
對于②，因集合A、B滿足，則由集合不包含關系的定義知，存在，使得，②是真命題；
對于③，顯然是無理數，也是無理數，則③是假命題；
對于④，顯然是無理數，卻是有理數，則④是假命題.
所以①②是真命題.
故選：B
例題2．（2022·河南三門峽·高一期末）下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的為（ ）
A．有些四邊形的內角和不等于 B．，
C．， D．所有能被4整除的數都是偶數
【答案】D
A和C都是存在量詞命題，B是全稱量詞命題，但其是假命題，如時，，D選項為全稱命題且為真命題．
故選：D.
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（ ）
A．每個二次函數的圖象都開口向上 B．存在一條直線與已知直線不平行
C．對任意實數a，b，若則 D．存在一個實數x，使等式成立
【答案】C
易知C正確；
A選項是假命題；B選項是存在量詞命題；D選項是存在量詞命題.
故選：C.
2．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中是全稱量詞命題，并且又是真命題的是（ ）
A．是無理數 B．，使為偶數
C．對任意，都有 D．所有菱形的四條邊都相等
【答案】D
解：對于A，是特稱命題；
對于B，是特稱命題，是假命題；
對于C，是全稱命題，而，所以是假命題；
對于D，是全稱命題，是真命題，
故選：D
3．（2022·內蒙古·赤峰紅旗中學松山分校高二期末（文））有下列四個命題，其中真命題是（ ）．
A．， B．，，
C．，， D．，
【答案】B
對于選項A，令，則，故A錯；
對于選項B，令，則，顯然成立，故B正確；
對于選項C，令，則顯然無解，故C錯；
對于選項D，令，則顯然不成立，故D錯.
故選B
重點題型二：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
典型例題
例題1．（2022·江蘇南通·高二期末）命題“”的否定是_________．
【答案】
命題“”是全稱量詞命題，其否定是“”.
故答案為：
例題2．（2022·山西晉中·模擬預測（理））命題：，，則為___________.
【答案】，
命題：，. 則為：，
故答案為：，
例題3．（2022·四川·射洪中學高二階段練習（文））命題：的否定為__________.
【答案】
命題：是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，
所以命題：的否定是：.
故答案為：
例題4．（2022·全國·高一專題練習）已知命題，則____________
【答案】
解：因為命題，
所以根據特稱命題的否定為全稱命題，可得.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）命題“，”的否定是___________.
【答案】“，”
解：因為命題“，”是全稱量詞命題，
所以其否定是存在量詞命題，即 “，”，
故答案為：“，”
2．（2022·吉林·梅河口市第五中學高二期中）若命題p是“對所有正數x，”，則命題p的否定是________________.
【答案】
命題p的否定是.
故答案為：.
3．（2022·遼寧朝陽·高一開學考試）命題“”的否定為______．
【答案】
解：命題“，”的否定為“，”.
故答案為：，.
4．（2022·四川省內江市第六中學高二階段練習（理））曲線，，則為___________.
【答案】，
命題“R，”的否定為：
“R，”.
故答案為：R，.
重點題型三：存在量詞命題、全稱量詞命題的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·寧夏吳忠區青銅峽市教育局高二開學考試（文））若命題“使”是假命題，則實數的取值范圍為_______．
【答案】
解：因為命題“使”是假命題
所以“使”是真命題，
所以當，即時，不等式成立；
當時，則需滿足，解得
綜上，實數a的取值范圍為
故答案為：
例題2．（2022·全國·高三專題練習）若恒成立，則實數的取值范圍為________.
【答案】.
由題意，命題恒成立，
可得，解得，
即實數的取值范圍為.
故答案為：.
例題3．（2022·江蘇·高一）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為______.
【答案】
若命題“，”為假命題，則一元二次方程無實數解，
∴.
∴a的取值范圍是：.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知命題：“，”，若為假命題，則實數的取值范圍為___________.
【答案】
因為為假命題，所以命題為真命題，
，當且僅當，即時取等號，
因為，所以取不到等號，所以，
所以，
故答案為：
2．（2022·全國·高一）若命題“”是假命題，則實數a的取值范圍的解集是______
【答案】
由命題“”是假命題，可得命題“”是真命題，
根據二次函數的性質，可得，即，解得，
所以實數a的取值范圍的解集是.
故答案為：.
3．（2022·上海青浦·二模）若命題：“存在整數使不等式成立”是假命題，則實數的取值范圍是_________．
【答案】；
“存在整數使不等式成立”是假命題，即不存在整數使不等式成立．
設不等式的解集為，
當時，得，不合題意；
當且時，原不等式化為，
，，要使不存在整數使不等式成立，
須，解得：且；
當時，，合題意，
當時，原不等式化為，或，不合題意，
綜上所述，．
故答案為：
4．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二階段練習（理））已知命題p：，若命題P為假命題，則實數a的取值范圍是___．
【答案】
根據題意，恒成立，所以.
故答案為：.
重點題型四：存在量詞命題、全稱量詞命題中的探究性問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一期中）已知命題“，”為真命題.
(1)求實數的取值的集合；
(2)若，使得成立，記實數的范圍為集合，若中只有一個整數，求實數的范圍.
【答案】(1)；(2).
(1)依題意，關于x的不等式恒成立，
于是得，解得，
所以實數的取值的集合.
(2)若，使得成立，即，，
當時，，則，，
當時，，則，此時，
因此，當時，若使得只有一個整數，則必有，解得，
當時，，則，中有三個整數，與條件不符，
綜上得，，
所以實數的取值范圍是.
例題2．（2022·江蘇揚州·高一期中）已知命題p：，命題：，使得
(1)若命題p是真命題，求實數a的取值范圍；
(2)若p和q有且只有一個是真命題，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)(2)或
(1)解：命題是真命題時，在范圍內恒成立，
∴①當時，有恒成立；
②當時，有，解得.
∴的取值范圍為.
(2)解：命題q是真命題時，，使得，所以.
因為p和q有且只有一個是真命題，所以
①p真q假則； ②p假q真則 .
或，
綜上或
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）已知命題，使為假命題．
(1)求實數m的取值集合B；
(2)設為非空集合，若是的充分不必要條件，求實數a的取值圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：由題意，得關于的方程無實數根，
所以，解得，
即；
(2)解：因為為非空集合，
所以，即，
因為是的充分不必要條件，
則，即，
所以
2．（2022·全國·高一專題練習）從兩個符號“”“”中任選一個填寫到①的位置，并完成下面的問題.
已知集合，，若命題：①，則是真命題，求m的取值范圍.
【答案】選，；選，.
解：由已知集合，，
若選，則“，則”是真命題，則，
所以，解得；
若選，則：“，滿足”是真命題，
若即“，則”為真命題，則，或，或，
解得，或，故若為真，只需.
3．（2022·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（理））已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實數的取值范圍．
【答案】或
若是真命題．則對任意恒成立，∴；
若為真命題，則方程有實根，
∴，解得或，
由題意，真也真，∴或．
即實數的取值范圍是或.
4．（2021·廣東·揭陽華僑高中高一階段練習）命題：“，”是真命題，命題：“，”是真命題，求實數a的取值范圍？
【答案】或
命題：“，”是真命題，則，故；
命題：“，”是真命題，則，
解得或.
綜上所述：或.
1．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））設命題p：，(x－1)(x+2)>0，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，或
【答案】D
為，，等價于，或.
故選：D
2．（2022·云南昆明·模擬預測（文））已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
：，.
故選：D
3．（多選）（2022·湖北·鄂南高中模擬預測）給定命題，都有.若命題為假命題，則實數可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
解：由于命題為假命題，所以命題的否定：，是真命題.
當時，則，令，所以選項A正確；
當時，則，令，所以選項B正確；
當時，則，，不成立，所以選項C錯誤；
當時，則，，不成立，所以選項D錯誤.
故選：AB
4．（2022·山東聊城·三模）命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為______.
【答案】
由題意可知，命題“，”為真命題.
①當時，可得.
若，則有，合乎題意；
若，則有，解得，不合乎題意；
②若，則，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
5．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）命題“，”的否定是___________.
【答案】“，”
解：因為命題“，”是全稱量詞命題，
所以其否定是存在量詞命題，即 “，”，
故答案為：“，”

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