資源簡介

1.2集合間的基本關(guān)系（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：集合的子集、真子集問題
重點題型二：集合之間關(guān)系的判斷
重點題型三：求子集、真子集
重點題型四：集合相等關(guān)系的應(yīng)用
重點題型五：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍
高頻易錯點：忽視空集
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：圖（韋恩圖）
在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。
圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用圖，可以使問題簡單明了地得到解決。
對圖的理解
(1)表示集合的圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.
(2)用圖表示集合的優(yōu)點是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點是集合元素的公共特征不明顯.
知識點2：子集
2.1子集：
一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集
（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合是它本身的子集，即.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
2.2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別
符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.
知識點3：集合相等
一般地,如果集合的任何一個元素都是集合的元素,同時集合的任何一個元素都是集合的元素,那么集合與集合相等,記作.也就是說,若,且,則.
（1）的圖表示
（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)
知識點4：真子集的含義
如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;
（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合都不是是它本身的真子集.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
知識點5：空集的含義
我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：
規(guī)定：空集是任何集合的子集，即;
性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，
(2)，則
和 和 和
相同點 都表示無 都是集合 都是集合
不同點 表示集合； 是實數(shù) 不含任何元素 含有一個元素 不含任何元素 含有一個元素，該元素為：
關(guān)系 或者
1．（2022·江蘇鹽城·高一期末）設(shè)集合{是正四棱柱}，{是長方體}，{是正方體}，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·高一）下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列四個選項中正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合．若，則實數(shù)m的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
重點題型一：集合的子集、真子集問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
例題2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則的非空子集的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·上海徐匯·高一期末）已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為_________個
同類題型演練
1．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（文））集合的非空真子集的個數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合，則A的子集共有（ ）
A．3個 B．4個 C．8個 D．16個
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，且，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江蘇·高一單元測試）滿足{1，2，3}的所有集合A是___________．
5．（2022·上海金山·高一期末）滿足條件：的集合M的個數(shù)為______.
6．（2022·上海·同濟大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）若集合有且僅有兩個不同的子集，則實數(shù)=_______；
重點題型二：集合之間關(guān)系的判斷
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·廣西桂林·二模（文））已知集合，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·四川·雅安中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知集合，或，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）集合，，則M、P之間的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下面五個式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正確的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
4．（2021·湖北黃岡·高一期中）設(shè)集合，.
(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；
5．（2021·全國·高一課時練習(xí)）判斷下列兩個集合之間的關(guān)系：（1），；
（2），；
（3）是4與10的公倍數(shù)}，.
重點題型三：求子集、真子集
典型例題
例題1．（2022·江蘇省灌云高級中學(xué)高二階段練習(xí)）集合的一個真子集可以為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且．
(1)求實數(shù)的值；
(2)寫出集合的所有子集．
同類題型演練
1．（2022·北京大興·高一期末）集合的非空子集是________________．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，．
（1）寫出集合的所有子集；
重點題型四：集合相等關(guān)系的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知集合， 若， 則 （ ）
A．3 B．4 C． D．
例題2．（2022·廣東佛山·高一期末）已知集合，.若，求實數(shù)的值；
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若A=B，則a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2．（2022·全國·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實數(shù)m等于___________．
3．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，.若，則______.
4．（2021·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合，，若，則___________.
5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，若集合，則___________．
重點題型五：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．
例題2．（2022·全國·高一）設(shè)，若，則的取值范圍是_____．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知集合，，則下列命題中不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若時，則或
2．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，，若，則的值為( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））設(shè)集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·江蘇·高一）設(shè)，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知集合, ,若，則實數(shù)a的取值范圍為______．
9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)不等式的解集為A，若，則a的取值范圍為________.
10．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是______.
高頻易錯點：忽視空集
典型例題
例題1．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù) =（ ）
A． B．1 C．0或 D．0或1
例題2．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)集合，若，則由實數(shù)組成的集合為（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，且，則實數(shù)a的值為___________.
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，且，則實數(shù)的取值集合為___________.
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則，就稱是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二階段練習(xí)）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素且互不為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中，下列說法正確的是（ ）
A．對任意，是的子集，對任意的，不是的子集
B．對任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，對任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
4．（2022·全國·高一）設(shè)集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是___________.
1．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）若集合，則對于集合的關(guān)系，則下列關(guān)系中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·舟山中學(xué)模擬預(yù)測）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，則實數(shù)的值為__________.
1.2集合間的基本關(guān)系（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：集合的子集、真子集問題
重點題型二：集合之間關(guān)系的判斷
重點題型三：求子集、真子集
重點題型四：集合相等關(guān)系的應(yīng)用
重點題型五：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍
高頻易錯點：忽視空集
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：圖（韋恩圖）
在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。
圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用圖，可以使問題簡單明了地得到解決。
對圖的理解
(1)表示集合的圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.
(2)用圖表示集合的優(yōu)點是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點是集合元素的公共特征不明顯.
知識點2：子集
2.1子集：
一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集
（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合是它本身的子集，即.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
2.2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別
符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.
知識點3：集合相等
一般地,如果集合的任何一個元素都是集合的元素,同時集合的任何一個元素都是集合的元素,那么集合與集合相等,記作.也就是說,若,且,則.
（1）的圖表示
（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)
知識點4：真子集的含義
如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;
（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合都不是是它本身的真子集.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
知識點5：空集的含義
我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：
規(guī)定：空集是任何集合的子集，即;
性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，
(2)，則
和 和 和
相同點 都表示無 都是集合 都是集合
不同點 表示集合； 是實數(shù) 不含任何元素 含有一個元素 不含任何元素 含有一個元素，該元素為：
關(guān)系 或者
1．（2022·江蘇鹽城·高一期末）設(shè)集合{是正四棱柱}，{是長方體}，{是正方體}，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
當(dāng)正四棱柱的高與底面邊長相等時，該正四棱柱為正方體；
當(dāng)長方體底面為正方形時，該長方體為正四棱柱；.
故選：B.
2．（2022·江蘇·高一）下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
選項A，集合，為點集，而點與點為不同的點，故A錯；選項C，集合為點集，集合為數(shù)集，故C錯；選項D，集合為數(shù)集，集合為點集，故D錯；選項B，集合，表示的都是“大于的實數(shù)”，為同一個集合．
故選：B
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列四個選項中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確；
故選：D
4．（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為，又，所以任取，則，
所以可能為，A對，
又 ，，
∴ 不可能為，，，B，C，D錯，
故選：A.
5．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合．若，則實數(shù)m的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于，所以，
所以實數(shù)m的取值集合為.
故選：C
重點題型一：集合的子集、真子集問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
由題意，
因此其真子集個數(shù)為．
故選：D．
例題2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則的非空子集的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
即集合含有個元素，則的非空子集有（個）.
故選：B.
例題3．（2022·上海徐匯·高一期末）已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為_________個
【答案】7
因為，
,
因為，所以1，2都是集合C的元素，
集合C中的元素還可以有3，4，5，且至少有一個，
所以集合C為：，，，，，， ，共7個.
故答案為：7
同類題型演練
1．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（文））集合的非空真子集的個數(shù)為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
由題意可知，集合A的非空真子集為，共6個.
故選：B.
2．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合，則A的子集共有（ ）
A．3個 B．4個 C．8個 D．16個
【答案】C
由，得集合
所以集合A的子集有個，
故選： C
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，且，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為，由題意可知，集合為的子集，
則滿足條件的集合的個數(shù)為.
故選：B.
4．（2022·江蘇·高一單元測試）滿足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
因為{1，2，3}，
所以集合A中至少有一個元素1，且為集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案為：{1}或{1，2}或{1，3}
5．（2022·上海金山·高一期末）滿足條件：的集合M的個數(shù)為______.
【答案】7
由可知，
M中的元素個數(shù)多于中的元素個數(shù)，不多于中的元素個數(shù)
因此M中的元素來自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素時，M有3個；取2個元素時，有3個；取3個元素時，有1個，
故足條件：的集合M的個數(shù)有7個，
故答案為：7.
6．（2022·上海·同濟大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）若集合有且僅有兩個不同的子集，則實數(shù)=_______；
【答案】或.
因為集合僅有兩個不同子集，所以集合中僅有個元素，
當(dāng)時，，所以，滿足要求；
當(dāng)時，，所以，此時方程解為，即，滿足要求，
所以或，
故答案為：或.
重點題型二：集合之間關(guān)系的判斷
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由且，即，而，
所以為的子集，則.
故選：A
例題2．（2022·廣西桂林·二模（文））已知集合，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為集合，
所以根據(jù)子集的定義可知，
故選：C.
例題3．（2022·四川·雅安中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由，解得，即，即，
又由，即，
所以.
故選：D.
同類題型演練
1．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知集合，或，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為或，則，，，
故選：A.
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）集合，，則M、P之間的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為，
，
所以，
故選：C
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下面五個式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正確的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
中，是集合{a}中的一個元素，，所以錯誤；
空集是任一集合的子集，所以正確；
是的子集，所以錯誤；
任何集合是其本身的子集，所以正確；
a是的元素，所以正確.
故選：A.
4．（2021·湖北黃岡·高一期中）設(shè)集合，.
(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；
【答案】(1)
當(dāng)時，，
因為，
所以.
5．（2021·全國·高一課時練習(xí)）判斷下列兩個集合之間的關(guān)系：（1），；
（2），；
（3）是4與10的公倍數(shù)}，.
【答案】（1） ；（2） ；（3）.
(1)根據(jù)數(shù)軸可知, 表示左邊的數(shù)的集合, 表示左邊的數(shù)的集合,故 .
(2) 表示3的整數(shù)倍 ,
表示6的整數(shù)倍.故 .
(3) 是4與10的公倍數(shù)}即 20的正整數(shù)倍, 也表示20的正整數(shù)倍.故
重點題型三：求子集、真子集
典型例題
例題1．（2022·江蘇省灌云高級中學(xué)高二階段練習(xí)）集合的一個真子集可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由，即，解得，
所以，所以的一個真子集可以為．
故選：C
例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且．
(1)求實數(shù)的值；
(2)寫出集合的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
(1)∵，
當(dāng)時，，此時，由于集合中的元素不能重復(fù)，故舍去
當(dāng)時，或，當(dāng)時，符合要求；當(dāng)時，，此時集合A中有兩個0，故舍去，綜上：
(2)由（1）知，，故A的所有子集為：，，，，，，，
同類題型演練
1．（2022·北京大興·高一期末）集合的非空子集是________________．
【答案】
集合的所有非空子集是.
故答案為：.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，．
（1）寫出集合的所有子集；
【答案】（1），，，，；（2）．
（1），，
集合的所有子集有：，，，，．
重點題型四：集合相等關(guān)系的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知集合， 若， 則 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
解：因為且，
所以，且，
又，
所以和為方程的兩個實數(shù)根，
所以；
故選：D
例題2．（2022·廣東佛山·高一期末）已知集合，.若，求實數(shù)的值；
【答案】(1)
由已知得
，
解得；
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若A=B，則a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
由于，
所以
（1），結(jié)合集合元素的互異性可知此方程組無解.
（2）解得.
故選：D
2．（2022·全國·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實數(shù)m等于___________．
【答案】2或－1##－1或2
，且，
，
解得，或
故答案為：－1或2
3．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，.若，則______.
【答案】
因為
所以解之得：
故答案為：
4．（2021·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合，，若，則___________.
【答案】0
由題意可知，∴，
又
∴，∴.
故答案為：.
5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，若集合，則___________．
【答案】
由，所以
故答案為：
重點題型五：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．
【答案】或
用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以實數(shù)的取值范圍或.
故答案為：或
例題2．（2022·全國·高一）設(shè)，若，則的取值范圍是_____．
【答案】
根據(jù)題意作圖：
由圖可知，，則只要即可，即的取值范圍是．
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知集合，，則下列命題中不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若時，則或
【答案】D
，若，則，且，故A正確，
時，，故D不正確，
若，則且，解得，故B正確，
當(dāng)時，，解得或，故C正確，
故選：D．
2．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由可得.
故選：D.
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，，若，則的值為( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
【答案】A
，，
若，則＝1或－1，故a＝1或－1．
故選：A．
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））設(shè)集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
或.
因為集合，，所以.
故選：D
5．（2022·江蘇·高一）設(shè)，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題：，，則.
故選：B
6．（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為，所以，解得.
故選：A.
7．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
當(dāng)時，即當(dāng)時，，合乎題意；
當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，解得，此時.
綜上所述，.
故選：A.
8．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知集合, ,若，則實數(shù)a的取值范圍為______．
【答案】
依題意，，當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，
又，，于是得，解得，或，解得，
而，則，綜上得：，
所以實數(shù)a的取值范圍為．
故答案為：
9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)不等式的解集為A，若，則a的取值范圍為________.
【答案】
因不等式的解集為A，且，
則當(dāng)時，，解得：，此時滿足，即，
當(dāng)時，不妨令()，則一元二次方程在上有兩個根，
于是有，解得或，解得：，
則有，綜合得：，
所以a的取值范圍為.
故答案為：
10．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】或
由題可得，集合，當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，，若，則，且，即
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是
故答案為：或
高頻易錯點：忽視空集
典型例題
例題1．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù) =（ ）
A． B．1 C．0或 D．0或1
【答案】C
解：當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，，所以，解得，
綜上實數(shù)的所有可能取值的集合為．
故選：C．
例題2．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)集合，若，則由實數(shù)組成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由題意，當(dāng)時，的值為；
當(dāng)時，的值為；
當(dāng)時，的值為，
故選：D
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，且，則實數(shù)a的值為___________.
【答案】或或0
解：已知集合，，
當(dāng)，滿足；
當(dāng)時，，
因為，故得到或，解得或；
故答案為：或或0
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，且，則實數(shù)的取值集合為___________.
【答案】
當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時，，因為，所以或，解得或
即實數(shù)的取值集合為.
故答案為：
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則，就稱是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
若，則，就稱是伙伴集合，
，
的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合有，，．
的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)是3．
故選:B
2．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二階段練習(xí)）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素且互不為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：集合，，
，，
若，則，
即有；
若，可得，，
不滿足；
若，兩個集合有公共元素，但互不為對方子集，
可得或，解得或．
綜上可得，或或2.
故選：A.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中，下列說法正確的是（ ）
A．對任意，是的子集，對任意的，不是的子集
B．對任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，對任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
解：對于集合，，
可得當(dāng)，即，可得，
即有，可得對任意，是的子集；故C、D錯誤
當(dāng)時，，，
可得是的子集；
當(dāng)時，，且，
可得不是的子集，故A錯誤．
綜上可得，對任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故選：B.
4．（2022·全國·高一）設(shè)集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是___________.
【答案】
由題可知，的長度為 ，的長度為， 都是集合的子集，
當(dāng)?shù)拈L度的最小值時，與應(yīng)分別在區(qū)間的左右兩端，
即，則，
故此時的長度的最小值是：.
故答案為：
1．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）若集合，則對于集合的關(guān)系，則下列關(guān)系中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由于，同理知，故，
故選：A
2．（2022·浙江·舟山中學(xué)模擬預(yù)測）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
當(dāng)時，即，時成立；
當(dāng)時，滿足，解得；
綜上所述：.
故選：C.
3．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，則實數(shù)的值為__________.
【答案】0
解：因為，所以（舍去）或，
所以.故答案為：0

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