資源簡介

1.3集合的基本運算（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：集合的并集與交集運算
重點題型二：已知集合的交集、并集求參數的值或取值范圍
重點題型三：集合的交集、并集性質的應用
重點題型四：補集的基本運算
重點題型五：交集、并集與補集的混合運算
重點題型六：補集性質的應用
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：并集
一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合稱為集合與集合的并集，記作 （讀作：并）.記作：.
并集的性質：,,,,.
高頻性質：若.
圖形語言
對并集概念的理解
(1)仍是一個集合,由所有屬于集合或屬于集合的元素組成.
(2)并集符號語言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“或”包括下列三種情況:①,且;②,且;③,且.可用下圖所示形象地表示.
知識點2：交集
一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.
交集的性質：,,,,.
高頻性質：若.
圖形語言
對交集概念的理解
(1)仍是一個集合,由所有屬于集合且屬于集合的元素組成.
(2)對于“”,包含以下兩層意思:①中的任一元素都是與的公共元素;②與的公共元素都屬于,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如,,則,而不是或或.
(3)并不是任意兩個集合總有公共元素,當集合與集合沒有公共元素時,不能說集合與集合沒有交集,而是.
(4)當時,和同時成立.
知識點3：全集與補集
全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.
補集：設是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補集，記作 ，即.
補集的性質： , , .
知識點4：德摩根律
(1)
(2)
知識點5：容斥原理
一般地，對任意兩個有限集,
進一步的：
1．（2022·江西吉安·高二期末（文））設全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·廣東深圳·高二期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·北理工附中高二階段練習）集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海交大附中高三階段練習）已知集合，，，則實數________．
5．（2022·重慶·高一期末）設集合，，則______．
重點題型一：集合的并集與交集運算
典型例題
例題1．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（文））已知集合,，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測（理））已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學高二期中）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·浙江嘉興·高二期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山東·鄒平市第一中學高二期中）已知集合，，則中元素的個數是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
重點題型二：已知集合的交集、并集求參數的值或取值范圍
典型例題
例題1．（2022·湖南師大附中三模）已知集合，，若，則=（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）設集合，，則中元素的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例題3．（2022·內蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預測）已知集合，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2
例題4．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
例題5．（2022·湖南衡陽·高一期末）已知集合，．
(1)當時，求A的非空真子集的個數；
(2)若，求實數的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·貴州貴陽·模擬預測（理））設集合，，則集合中元素的個數為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·河北·模擬預測）已知集合，，則中元素的個數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022·內蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)若，求a的取值范圍．
4．（2022·山西·懷仁市第一中學校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求實數m的取值范圍．
重點題型三：集合的交集、并集性質的應用
典型例題
例題1．（2022·陜西·西安市閻良區關山中學高二階段練習（文））已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求實數的取值范圍．
例題2．（2022·重慶·高一期末）已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
例題3．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高一開學考試）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知集合，集合
(1)若集合，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
2．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若，求實數m的取值范圍．
3．（2022·全國·高三專題練習）設集合，.
（1）當時，求中各元素之和；
（2）若，求實數的取值的集合.
重點題型四：補集的基本運算
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知全集，集合，則_________.
例題2．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學高二期中）已知，，則圖中陰影表示的集合是（ ）
A． B．或 C． D．
同類題型演練
1．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實驗學校高二學業考試）設全集，，（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·清華附中高二階段練習）已知全集，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·雅禮中學二模）已知集合，則（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2022·北京八十中模擬預測）已知，，則___________.
重點題型五：交集、并集與補集的混合運算
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）已知集合，，求，，，．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）設為全集，，，且，求的取值范圍．
例題3．（2022·江蘇·揚州中學高一開學考試）已知集合.
(1)在①，②，③這三個條件中選擇一個條件，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·青海海東·高一期末）已知集合，或.
(1)當時，求；
(2)若，求的取值范圍.
2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高一開學考試）已知，
（1）若時，求；
（2）若，求實數m的取值范圍．
3．（2022·江蘇省天一中學高二期中）已知集合，集合．現有三個條件：條件①；條件②；條件③．請從上述三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并求解下列問題：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個選擇的解答計分．
重點題型六：補集性質的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·模擬預測）已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·河北·唐山一中高二階段練習）設全集，集合，集合
(1)當時，求；
(2)若，求的取值范圍.
例題3．（2022·全國·高一專題練習）設集合，，．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
2．（2022·浙江溫州·高一期末）設，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范圍．
1．（2021·山西·懷仁市第一中學校高一期中）有限集合S中元素的個數記作，設A，B都為有限集合，下列命題中是真命題的是（ ）
A．的充要條件是
B．的充要條件是
C．的充分不必要條件是
D．的充要條件是
2．（多選）（2021·河北邢臺·高一階段練習）在研究集合時，經常遇到有關集合中元素的個數問題.我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的個數，已知有限集，設集合，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則可能是
B．若，則不可能是
C．若，則可能是
D．若，則不可能是
3．（多選）（2021·全國·高一單元測試）中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷有題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二問：物幾何 ”現有如下表示：已知，，，若，則下列選項中符合題意的整數為（ ）
A．8 B．128 C．37 D．23
4．（多選）（2021·浙江·高一期中）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（ ）
A．M沒有最大元素，N有一個最小元素
B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M有一個最大元素，N沒有最小元素
5．（2021·江蘇·海安高級中學高一階段練習）定義兩種新運算“ ”與“ ”，滿足如下運算法則：對任意的a，，有，．設全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能滿足？若能，求出實數m的取值范圍；若不能，請說明理由．
1．（2022·浙江·高考真題）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高考真題（理））設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題（理））設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
1.3集合的基本運算（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：集合的并集與交集運算
重點題型二：已知集合的交集、并集求參數的值或取值范圍
重點題型三：集合的交集、并集性質的應用
重點題型四：補集的基本運算
重點題型五：交集、并集與補集的混合運算
重點題型六：補集性質的應用
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點1：并集
一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合稱為集合與集合的并集，記作 （讀作：并）.記作：.
并集的性質：,,,,.
高頻性質：若.
圖形語言
對并集概念的理解
(1)仍是一個集合,由所有屬于集合或屬于集合的元素組成.
(2)并集符號語言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“或”包括下列三種情況:①,且;②,且;③,且.可用下圖所示形象地表示.
知識點2：交集
一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.
交集的性質：,,,,.
高頻性質：若.
圖形語言
對交集概念的理解
(1)仍是一個集合,由所有屬于集合且屬于集合的元素組成.
(2)對于“”,包含以下兩層意思:①中的任一元素都是與的公共元素;②與的公共元素都屬于,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如,,則,而不是或或.
(3)并不是任意兩個集合總有公共元素,當集合與集合沒有公共元素時,不能說集合與集合沒有交集,而是.
(4)當時,和同時成立.
知識點3：全集與補集
全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.
補集：設是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補集，記作 ，即.
補集的性質： , , .
知識點4：德摩根律
(1)
(2)
知識點5：容斥原理
一般地，對任意兩個有限集,
進一步的：
1．（2022·江西吉安·高二期末（文））設全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，圖中陰影部分表示的集合為．
故選：A．
2．（2022·廣東深圳·高二期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意，
故選：C
3．（2022·北京·北理工附中高二階段練習）集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，所以
故選：B
4．（2022·上海交大附中高三階段練習）已知集合，，，則實數________．
【答案】
由題意得或，解得，經檢驗，當時，
故答案為：
5．（2022·重慶·高一期末）設集合，，則______．
【答案】
解方程組，得或.
故答案為：．
重點題型一：集合的并集與交集運算
典型例題
例題1．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（文））已知集合,，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題可知：
所以
故選：C
例題2．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測（理））已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
,
則,
故選：A
例題3．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因為集合，，
所以，
故選：D.
例題4．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學高二期中）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·浙江嘉興·高二期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，故
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題，，故
故選：D
3．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
則
故選：C
4．（2022·山東·鄒平市第一中學高二期中）已知集合，，則中元素的個數是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
對于集合，
，解得：
又，，
，共個元素，
故選：C.
重點題型二：已知集合的交集、并集求參數的值或取值范圍
典型例題
例題1．（2022·湖南師大附中三模）已知集合，，若，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題意知：2是的一個解，
所以，則，
故.
故選：B.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）設集合，，則中元素的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
由，，
故，元素個數為3.
故選：B
例題3．（2022·內蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預測）已知集合，，若，則（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2
【答案】C
解：，
因為，
所以a=1或2，
故選：C．
例題4．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)或(2)
(1)解：由題意當時得，因為，所以或，所以或．
(2)解：因為，所以，
①當時，，解得，符合題意；．
②當時，，解得．
故的取值范圍為
例題5．（2022·湖南衡陽·高一期末）已知集合，．
(1)當時，求A的非空真子集的個數；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)1262)
(1)因為，，所以，A中共有7個元素，則A的非空真子集的個數為；
(2)因為，所以，
因為，故，則，解得：，從而實數的取值范圍為
同類題型演練
1．（2022·貴州貴陽·模擬預測（理））設集合，，則集合中元素的個數為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
由解得，即，∴，
又由得，，
∴.
故選：B．
2．（2022·河北·模擬預測）已知集合，，則中元素的個數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
,
所以.所以中元素的個數是.
故選：A.
3．（2022·內蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)或，
(1)解：∵或，且，
∴，解得，
∴a的取值范圍為；
(2)解：∵或，且，
∴，
∴或，即或，
∴a的取值范圍是或.
4．（2022·山西·懷仁市第一中學校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)時，故.
(2)因為，故，
若即時，，符合；
若，則，解得，
綜上，.
重點題型三：集合的交集、并集性質的應用
典型例題
例題1．（2022·陜西·西安市閻良區關山中學高二階段練習（文））已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求實數的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)或，或，
所以；
(2)由得，所以，解得．
例題2．（2022·重慶·高一期末）已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)，則或 ，
當時，，
；
(2)若，則，
，
實數a的取值范圍為，即 .
例題3．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高一開學考試）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【答案】(1)(2)或.
(1)當時，.
因為，
所以.
(2)因為，所以.
當時，解得，，符合題意；
當，即時，，符合題意；
當，即時，，
則解得.
綜上，a的取值集合是或.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知集合，集合
(1)若集合，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)或(2)
(1)
若集合，則且，
將代入方程可得，
解得：或；
當時，原方程可化為，解得：或，
此時，滿足，
當時，原方程可化為，解得：或，
此時，滿足，
所以或；
(2)若，則，所以或或或；
當時，方程無解，所以，
解得：，
若，則方程有兩個相等的實根，
所以此時無解，
若，則方程有兩個相等的實根，
所以此時無解，
若，則方程有兩個不相等的實根，
所以此時無解，
綜上所述：實數的取值范圍為.
2．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)或(2)或
(1)當時，，
，
或
(2)，
當時，；
當時，且，解得：，
綜上所述：或
3．（2022·全國·高三專題練習）設集合，.
（1）當時，求中各元素之和；
（2）若，求實數的取值的集合.
【答案】（1）-2；（2）.
（1），
當時，，
方程有兩個不相等的實數根，，所以，
因為-1和2不是方程的根，
所以中有四個元素，各元素之和為-2；
（2）因為，所以有以下四種可能的情形：
①，則方程無解，
所以，解得；
②，則方程有兩個相等的實數根，
所以，方程組無解；
（法二：）
③，則方程有兩個相等的實數根，
所以，方程組無解；
（法二：）
④，則方程有兩個不相等的實數根，，
所以，解得，
綜上所述實數的取值的集合為.
重點題型四：補集的基本運算
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知全集，集合，則_________.
【答案】
由題意，集合，
根據集合的補集的概念及運算，可得.
故答案為：.
例題2．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學高二期中）已知，，則圖中陰影表示的集合是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
由圖可知，陰影表示的集合為集合A相對于全集U的補集，
即陰影表示的集合是，所以.
故選：D
同類題型演練
1．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實驗學校高二學業考試）設全集，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為全集，，
所以.
故選：C
2．（2022·北京·清華附中高二階段練習）已知全集，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為，所以；
故選：B
3．（2022·湖南·雅禮中學二模）已知集合，則（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
由不等式，解得，即，
根據補集的概念及運算，可得或.
故選：D.
4．（2022·北京八十中模擬預測）已知，，則___________.
【答案】或；
解：因為，，
所以或；
故答案為：或；
重點題型五：交集、并集與補集的混合運算
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）已知集合，，求，，，．
【答案】或；或；；或.
∵集合，，
∴，或；
，或；
或，；
或，或.
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）設為全集，，，且，求的取值范圍．
【答案】.
因為，
所以或，
又，，
所以只需，
即實數的取值范圍為.
例題3．（2022·江蘇·揚州中學高一開學考試）已知集合.
(1)在①，②，③這三個條件中選擇一個條件，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析(2)
(1)解：若選擇①:當時，，
因為，所以.
若選擇②:當時，，
因為，所以.
若選擇③:當時，，
因為，所以.
(2)解：因為，
所以.
因為，所以，
當時，；
當時，，
即；
綜上，.
同類題型演練
1．（2022·青海海東·高一期末）已知集合，或.
(1)當時，求；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)由題意得，或，
，故.
(2)當時，，符合題意，
當時，由，得，
故a的取值范圍為．
2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高一開學考試）已知，
（1）若時，求；
（2）若，求實數m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）或．
（1）當時，，則
即．
（2）或，由，可分以下兩種情況：
①當時，，解得：
②當時，利用數軸表示集合，如圖
由圖可知或，解得；
綜上所述，實數m的取值范圍是：或，
即或
3．（2022·江蘇省天一中學高二期中）已知集合，集合．現有三個條件：條件①；條件②；條件③．請從上述三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并求解下列問題：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個選擇的解答計分．
【答案】(1)；(2)條件選擇見解析，.
(1)解不等式得：，則有，
當時，，或，
所以.
(2)選條件①，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范圍是.
選條件②，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范圍是.
選條件③：，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范圍是.
重點題型六：補集性質的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·模擬預測）已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
全集,
又因為，所以,而
所以陰影部分表示的集合是即為，
故選：B.
例題2．（2022·河北·唐山一中高二階段練習）設全集，集合，集合
(1)當時，求；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
(1)；當時，；
，，
.
(2)，，
當時，滿足；此時，解得：；
當時，，解得：；
綜上所述：的取值范圍為.
例題3．（2022·全國·高一專題練習）設集合，，．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）或（2）
（1）或，即或
當，即時，，此時不成立，舍去
當，即時，方程的兩根為，
若使得成立，則需或，
即或，解得.
則成立時，或
綜上所述：或.
（2）即
由（1）可知或，則，
當，即時，成立
當，即時，，若使得成立，
則需滿足，即，解得（舍去）
綜上所述.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
，，
由圖知：陰影部分為，而，，
∴或，即或，
故選：C
2．（2022·浙江溫州·高一期末）設，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)當時，，
所以.
(2)集合，所以.
可化為.
因為，
所以且.
①若，則，顯然，應舍去；
②若，則，顯然，應舍去；
③若，則.
又，所以
因為，所以，解得：.
綜上所述：a的取值范圍是.
1．（2021·山西·懷仁市第一中學校高一期中）有限集合S中元素的個數記作，設A，B都為有限集合，下列命題中是真命題的是（ ）
A．的充要條件是
B．的充要條件是
C．的充分不必要條件是
D．的充要條件是
【答案】A
對于A項，，則集合A與集合B沒有公共元素，正確；
對于B項，，則集合A中的元素都是集合B中的元素，為的必要不充分條件，錯誤；
對于C項，為既不充分也不必要條件，錯誤；
對于D項，，則集合A中的元素與集合B中的元素完全相同，兩個集合的元素個數相同，并不意味著它們的元素相同，錯誤．
故選：A．
2．（多選）（2021·河北邢臺·高一階段練習）在研究集合時，經常遇到有關集合中元素的個數問題.我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的個數，已知有限集，設集合，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則可能是
B．若，則不可能是
C．若，則可能是
D．若，則不可能是
【答案】AC
解：由題意可知，若不出現重復元素，則當時， 若，則，，從而，故A正確；
若，則，，從而，故B錯誤；
若不出現重復元素，則當時，若，則，，從而，故C錯誤；
若，則，，從而，故D錯誤.
故選：AC.
3．（多選）（2021·全國·高一單元測試）中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷有題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二問：物幾何 ”現有如下表示：已知，，，若，則下列選項中符合題意的整數為（ ）
A．8 B．128 C．37 D．23
【答案】BD
對于A，因，則，選項A錯誤；
對于B，，即；又，即；而，即，因此，，選項B正確；
對于C，因，則，選項C錯誤；
對于D，，即；又，即；而，即，因此，，選項D正確.
故選：BD
4．（多選）（2021·浙江·高一期中）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（ ）
A．M沒有最大元素，N有一個最小元素
B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M有一個最大元素，N沒有最小元素
【答案】ABD
令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；
令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；
假設答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數，顯然這是不可能的；
令，，顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能.
故選：ABD．
5．（2021·江蘇·海安高級中學高一階段練習）定義兩種新運算“ ”與“ ”，滿足如下運算法則：對任意的a，，有，．設全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能滿足？若能，求出實數m的取值范圍；若不能，請說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)能；
(1)全集U中
，
當時，或，此時或；
當時，，此時，所以，
由A中，
當時，，此時，即；
(2)因為，當時，或，
當時，方程無實根，，解得；
時，方程有二等實根為，，此時m的值不存在；
綜上知，實數m的取值范圍是．
1．（2022·浙江·高考真題）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，
故選：D.
2．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由補集定義可知：或，即，
故選：D．
3．（2022·全國·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，故，
故選：D
4．（2022·全國·高考真題（理））設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
5．（2022·全國·高考真題（理））設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題意，，所以,
所以.
故選：D.
6．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，故，
故選：B.

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