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第12章
元二次方程
12.1一元二次方程的有關(guān)概念
知識(shí)清單
]一元二次方程在食
①一元二次方程☆
一元二次方程的一般形式
2
1定義：等式兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未
☆應(yīng)
知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.例如，
3一二次方程的板女
4x2=9,x2+3x=0.分母或報(bào)號(hào)內(nèi)不能含有未知數(shù)
2.一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一個(gè)末知數(shù)、術(shù)知
數(shù)的最高次數(shù)是2.
例1判斷下列關(guān)于x的方程是不是一元二次方程。
咱倆可以是
①a2+te=0,②+1=0：
俄不能為0四
任意實(shí)數(shù)哦」
oxbec-o
③2x2-x-1=2(x-1)(x+3):④(x+1)2=2(x+1)
解析①若a=0,則沒有二次項(xiàng)，ax2+bx+c=0不是一元二次
方程；若a≠0，則ax2+bx+c=0是一元二次方程，因此不確定
②方程中含有分式二，不是整式方程，因此不是一元二次
方程
p果陽(yáng)確3ax2+bx+c=0是
③整式方程2x2-x-1=2(x-1)(x+3)化簡(jiǎn)后得5x-5=0,不
一元二次方程，就隱含a≠0
含有二次項(xiàng)，因此不是一元二次方程
這個(gè)條件.
④整式方程(x+1)2=2(x+1)化簡(jiǎn)后得￥2-1=0，只含有一個(gè)
未知數(shù)x,并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，因此是一元二次方程。
故①②③不是·元二次方程，④是一元二次方程
解析(1)去括號(hào)，得x2-2x=
2一元二次方程的一般形式☆☆
4x2-3x,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得
3x2-x=0,所以二次項(xiàng)系數(shù)為
元二次方程的一般形式是ax2+x+0三0(a≠Q(mào)).它的特征
3,一次項(xiàng)系數(shù)為-1，常數(shù)項(xiàng)
是等號(hào)左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，等號(hào)右邊是0其
為0.
巾x2是二次項(xiàng)，“是二次項(xiàng)系數(shù)：x是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系
(2)去分母，得2x2-3(x+1)=
3(-x-1),去括號(hào)，得2x2-3x-N
數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)，
3=-3x-3,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，
例2把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出二
得2x2=0,所以二次項(xiàng)系數(shù)為
次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，
2,一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)
知識(shí)清單
為0.
(1)x(x-2)=4x2-3x;確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常
2
數(shù)項(xiàng)的前提是將一而二次方程化為
一般形式
126
解析（1)當(dāng)x=2時(shí)，左邊
3一元二次方程的根☆
2)-3x+1-0=右邊
1.定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次
方程的解，也叫做一元二次方程的根，
當(dāng)x=1時(shí)，左邊=2×12-3×1+
2.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代入這個(gè)一元
1=0=右邊x=
2,t=1都
二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；
是原方程的解。
若不相等，則不是方程的根
(2)當(dāng)x=√3時(shí)，左邊=(3)月
例3判斷下列方程后面括號(hào)里的數(shù)是不是方程的解。
-23×/5+3=0=右邊：當(dāng)x=
1時(shí)，左邊=12-23×1+3=4-
2-3x*1=02月
23≠右邊.，￥=√3是原方程
的解，x=1不是原方程的解，
(2)x2-23x+3=0(3,1).
菊方法清單
將方程的根代人原方程，再解方程即可求出參
數(shù)的值.
】應(yīng)用一二次方程的定義求字母參數(shù)的方法
例2關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+x+
2一二次方程的報(bào)的應(yīng)用方法商商
3估算一元二次方程的解的一般步驟女
a2-1=0的一個(gè)根是x=0,則a的值為(
4應(yīng)鬧整體代入園想求伐敵式的值在衣
.1
B.-1
C.1或-1
D.
2
應(yīng)用一元二次方程的定義求字母參數(shù)的方
解析把x=0代人一元二次方程，得a2-1
法★
=0,解得a=±1.因?yàn)?，所以a≠1，所以
我們知道，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)
a=-1,故選B.求出參數(shù)的值后，還需注意限
的最高次數(shù)是2（其中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的整
答案阝制參數(shù)取值的其他隱含秦件.
式方程是一元二次方程，因此要求與一元二次
3估算一元二次方程的解的一般步驟☆
方程有關(guān)的字母參數(shù)，只要先根據(jù)指數(shù)條件列
1.列表，利用未知數(shù)的取值分別計(jì)算方程2+
方程，即指數(shù)等于2，通過解方程求得字母參數(shù)
bx+c=0(a≠0)中ax2+bx+c的值，
的值，再通過二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的條件排除
2.在表中找出使ax2+x+c的值可能等于0的
不合題意的值即可
未知數(shù)符合要水的范圍
例1已知(m-1)xm+1+mx-1=0是關(guān)于x
3.進(jìn)一步在上述范圍內(nèi)例表、計(jì)算、縮小估計(jì)范
的一元二次方程，則m=
圍，直到符合題中精確度要求為止
解析(m-1)x++mx-1=0是關(guān)于x的
例3根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+px+
一元二次方程，則二次項(xiàng)是(m-1)xm",
g=0,可列表如下：
所以1m+11=2,必1≠Q(mào),
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
第
由1m+11=2得m=1或-3，
x2+px+q
-15-8.75-2
-0.59
0.84
2.29
章
由m-1≠0，得m≠1，所以m=-3.
則方程x2+px+g=0的正數(shù)解是
答案一3心須保證二次項(xiàng)系數(shù)不等于0
A.整數(shù)部分是1，十分位是1
元
2一元二次方程的根的應(yīng)用方法☆
B.整數(shù)部分是1，十分位是2
與一元二次方程的根相關(guān)的題日多以填
C.整數(shù)部分是0，十分位是5
次方程
空題、選擇題的形式出現(xiàn).利用方程根的概念，
D.整數(shù)部分是0，十分位是8
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