資源簡介

第13章
二次函數
13.1二次函數的有關概念
知識清單
1二次兩數女女
①二次函數女→自變童的最高次數是2.
2二次函敵的一般形式在在
1.概，念：一般地形如y=ax2+bx+c(ab、c是常數，a≠0)的函數
3二次西數的常見表達式音安
叫做三次函數，其中x是自變量，a、6、c分別是函數解析式的
二次函數圖象的頂點坐標
4
二次項系數、一次項系數和常數項，
及其意義安奇
2.舉例：函數y=x2-14x+8是二次函數，其中1、-14、8分別是二
次項系數、一次項系數和常數項！
。溫馨提示
2二次函數的一般形式女
當b=0時，y=ax2+c;當c
=0時，y=ax2+bx;當b=0,c=
1.任何一個二次函數的解析式都可以化成y=ax2+x+c(a、b、c
0時，y=ux2,它們都是特殊的
是常數，a≠0)的形式.等號右邊是關于自變量x的二次三項式
二次函數.a≠0是隱含條件，
2.結構特征：1)函數關系式是整式：2)自變量的最高次數是2：
不能忽視
3)二次項系數不等于零
·溫等提示
3二次函數的常見表達式
1.頂點式、交點式化為一般
式，主羅運用去括號、合并
1.二次函數的頂點式：y=a(x-h)2+(a≠0)，可以從表達式看
同類項等方法
出拋物線的頂點坐標為(h,),對稱軸為直線x=h.
2.一般式化為頂點式、交點
2.二次函數的交點式：y=a(x-,)(x-x2)(a≠0)，可以從表達
式，主要運用配方法、因式
分解等方法
式看出拋物線與x軸的兩個交點的坐標為(x1,0),(2,0)
搖出4而不
4二次函數圖象的頂點坐標及其意義放，是除以“
加上一次項系數一半的平
1頂點式的推導過程：y=a+c*c=2++=e[+2
-(a≠0)
保代數式的值不變
2.特點：y=ax+
b2.4ac-b2
(4≠0)的圖象的頂點坐標為
2a
Aa
b Aac-bi
解析
2a’4a
對稱軸為直線=-6
例將二次函數y=2x2-8x-1化成y=a(-)2+你的形式，結
果為
第
()
=2[-2]2(-2
A.y=2(x-2)2-1
B.y=2(x-4)2+32
章
C.y=2(x-2)2-9
Dy=2(常-4)2-33
答案C
一次函數
135
方法清單
(1,0),(x2,0),則設所求二次函數為y=
】二次函數的識別方法安安
a(x-x1)(x-2)(a≠0)，將第三個點的坐標
2用特定系敵法求二次函數解析或的方法☆☆身
(m,)(其中m,n為已知數)或其他已知條
3列二次函數關系或的一服步驟奇☆
件代入，求出待定系數a,最后將解析式化為
利用二次兩敵圖象的頂驚坐杭的意義解決實際
般形式
間砸的方法起
例2根據下列條件，分別求出對應的二
1二次函數的識別方法☆女
次函數的表達式
(1)二次函數的圖象經過點(0，-1)，（1，
判斷一個函數是不是二次函數的步驟
1)看它是不是整式，若不是整式，則不是二次
0),(-1,2)；
函數；
(2)拋物線的頂點坐標為(L,一3)具與y
2)當它是整式時，再看它是不是一個二次的
軸交于點(0)：
整式；已知拋物絨的項京坐標與名一扁的
(3)拋物線與x軸交于點(-3,0)、（5,0)，
3)考慮其二次項的系數是不是0.·
坐械，設頂
且與y軸交于點(0，-3)
例1下列函數哪些是二次函數？點式求解，
解析（1)設二次函數的表達式為y=ax2+
x+c.因為這個函數的圖象過點(0，-1)，所以c
1y=2-,2y(3)y=2(1+
=-1,又因為其圖象過點(1,0)、(-1,2)，
4x);(4)y=mx2+x+p(m、n、p均為常數).
a+b=1
所以有
解得2，
所以所求二
解析(1)是二次函數；(2)函數是用含月
a-b=3
(6=-1.
變量的分式表示的，不符合二次函數的定義
次函數的表達式是y=2x2-x-1
不是二次函數；(3)y=2x(1+4x)可整理為y=
(2)因為拋物線的頂點為(1，-3)，所以設
8x2+2x,是二次函數；(4)函數y=mx2++p
二次函數的表達式為y=a(x-1)2-3
中，沒有給定m的范圍，當m=0時，y=mx2+nx
又因為拋物線經過點(0,1)，所以1=a(0-
+p不是二次函數
1)2-3,解得a=4.
所以所求二次函數的表達式是y=4(x
②用待定系數法求二次函數解析式的方
1)2-3=4x2-8x+1.
法☆★☆
(3)因為拋物線與x軸交于點(-3,0)、
1.設一般式：y=ux2+bx+c(a≠0).若已知條件
(5,0),所以設二次函數的表達式為y=a(x+
是圖象上的三個點，則設所求二次函數為y=
3)(x-5).又因為拋物線經過點(0，-3)，所以
a2+x+c(a≠0)，將已知條件代入解析式，得
到關于a,6,c的三元一次方程組，解方程組
-3=a(0+3)x(0-5),解得a=5
求出a,b,c的值，即可得到解析式
1
2.設頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0).若已知二次
所以所求二次函數的表達式是y=5（x+
初
函數圖象的頂，點坐標或對稱軸方程與最大值
122
知
(或最小值)，則設所求二次函數為y=a(x
3)(x-5)=5-53,
識清
h)2+k(a≠0)，將已知條件代人，求出待定系
3列二次函數關系式的一般步驟☆
數，最后將解析式化為一般形式
1.理解題意：審清題意，分清實際問題中的已知
3.設交，點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).若已知
量（常量）和未知量（變量），并分析它們之間
136
二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為
的關系，找出等量關系

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