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第20章
勾股定理
20.1直角三角形與勾股定理
知識清單
可以用待號“Bt△”
1
直角三角形的性質☆女女
①直角三角形的性質這，表床
2勾股定理☆食☆
性質1：真角三角形的兩個銳角互余.如右圖所
3勾股定理的驗證食
示，在△ABC中，∠C=90°，則∠A+∠B=90
4勾股定理的實際應用女☆
性質2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如
右圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的
中線，則c0=方ia
由矩形的性質推出」
解析∠ACB=90°，∠A=
性質3：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊
30°，.AB=2BC,∠B=60°，
又CD是△ABC的高，
的半.如右圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30
.∠BCD=30°
BD=2 cm,
則BC=8
∴BC=2BD=4cm,
例1如圖，已知RL△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=
.AB=8cm,故選C.
30°，BD=2cm,則AB的長為
(
章
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案C
2勾股定理☆☆女
1.文字語言：真角三角形兩條直角邊的平方和等
解析(1)∠C=90°，a=b=
于斜邊的平方，勾股定理的前提森件
6,.由勾股定理得c=/a+b
2符號語言：如果直角三角形的兩直角邊長分別
=√6+6=62
為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2
(2):∠C=90°，c=3,b=2,
3.變式：a2=62-b2,b2=e2-a2.
.由勾股定理得a=√c2-b=
√32-2=5
例2在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的對邊分別
(3)a:b=2:1,.a=2b.
是a,b,c
又…∠C=90°，c=5,
(1)已知a=b=6,求c;
.由勾股定理得(2b)2+
(2)已知c=3,6=2,求a;
=52,
章
(3)已知a:6=2:1,c=5,求b.
.b=5.
勾股定理
229
3勾股定理的驗證☆☆
我國古代的數學家們不僅很早就發現并應用了
勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理進行證明.最
早對勾股定理進行證明的是漢代數學家趙爽，他以
“弦圖”為基本圖形，后人稱之為“趙爽弦圖”，利用出入相補原
的餐
理證明了勾股定理
運用拼圖的方式，即利用兩種不同的方法計算同一個圖形
說碳合按
的面積來驗證勾股定理！
驗證過程：圖②是由4個全等的直角三角形（如圖①）和1
個以直角三角形的斜邊c為邊長的小正方形拼成的一個以(a+
解析(1)用所給三角形可拼
b)為邊長的大正方形，則大正方形的面積可表示為(“+6)2，又可
成如圖所示的圖形，它是一個
直角梯形
表示為25·4+e,所以(a+6)=6·4+d,整理得d+=2.
除安
用4個與圖①完全相同的直角三角形，還可以拼成圖③所
示的圖形，與上面的方法類似，也能證明勾股定理
(2)證明：S形=2(a+b)(a
1
+b)=
（a+6)2,且S6=
2a6·2+
1
1
圖⑦
圖②勿
圖③
2
例3圖①是用硬紙板做成的兩個全等的直三角形，兩直
六2(a+b)2=ab+
1
12,整理。
2
角邊的長分別為“和b,斜邊長為c.圖②是以c為直角邊的等腰
得a2+b2-c2
直角三角形.請你將它們拼成一個能證明勾股定理的形
(3)拼圖方案較多，現給出兩
種，如圖所示
(1)畫出拼成的圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；
(2)用這個圖形證明勾股定理；
(3)假設圖①中的直角三角形有若干個，你能運用圖①中所
給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出
示意圖（無需證明）
底依度核游0
圖①
圖②
初中知識清單
4勾股定理的實際應用☆
1利用勾股定理解決實際問題的一般步驟
警
1)從實際問題中抽象出兒何圖形；只有在同一直角三角形
2)確定與問題相關的真角三角形；中才能利用勾般定理.
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