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7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念
知識點：
復數(shù)的定義：設為方程的根，稱為虛數(shù)單位，形如的數(shù)，稱為復數(shù).所有復數(shù)構成的集合稱復數(shù)集,通常用來表示.
a為實部，b為虛部
2．復數(shù)集
3.兩個復數(shù)相等的定義：
考點01：虛數(shù)單位i及其性質
1．復數(shù)（ ）
A．i B． C．1 D．
2．若復數(shù)滿足方程（i是虛數(shù)單位），則（ ）
A．1 B．i C． D．
3．已知為虛數(shù)單位，則（ ）
A． B． C．1 D．
考點02：復數(shù)的基本概念
4．已知，“”是“復數(shù)為虛數(shù)”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．0 B．2 C．3 D．0或2
6．已知復數(shù)，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
考點03：求復數(shù)的實部與虛部
7．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
8．的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（多選）下列說法不正確的是（ ）
A．復數(shù)的虛部是 B．形如的數(shù)一定是虛數(shù)
C．若，，則是純虛數(shù) D．若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)
考點04：復數(shù)的相等
10．若，，則復數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
11．（多選）已知復數(shù)，則下列結論正確的是（　　）
A．的實部是
B．的虛部是
C．若，則
D．當且時，是純虛數(shù)
12．（多選）若，且，則等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
考點05：復數(shù)的分類及辨析
13．已知，．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
14．（多選）對于復數(shù)，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則為純虛數(shù)
B．若，則
C．若，則為實數(shù)
D．
15．（多選）下列命題不正確的是（ ）
A．復數(shù)不可能是純虛數(shù)
B．若，則復數(shù)為純虛數(shù)
C．若是純虛數(shù)，則實數(shù)
D．若復數(shù)，則當且僅當時，為虛數(shù)
考點06：已知復數(shù)的類型求參數(shù)
16．若，則“”是復數(shù)“為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17．已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
18．已知，則
考點07：根據(jù)相等條件求參數(shù)
19．已知，其中，i為虛數(shù)單位，則以為根的一個一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
20．已知復數(shù)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知復數(shù).
(1)若z為實數(shù)，求m的值.
(2)若z為純虛數(shù)，求m的值.7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念
知識點：
復數(shù)的定義：設為方程的根，稱為虛數(shù)單位，形如的數(shù)，稱為復數(shù).所有復數(shù)構成的集合稱復數(shù)集,通常用來表示.
a為實部，b為虛部
2．復數(shù)集
3.兩個復數(shù)相等的定義：
考點01：虛數(shù)單位i及其性質
1．復數(shù)（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)復數(shù)的運算得答案.
【詳解】.
故選：D.
2．若復數(shù)滿足方程（i是虛數(shù)單位），則（ ）
A．1 B．i C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意結合虛數(shù)單位的概念運算求解
【詳解】因為，即，所以.
故選：C.
3．已知為虛數(shù)單位，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)的次方運算的周期性可得答案.
【詳解】，
故選：A
考點02：復數(shù)的基本概念
4．已知，“”是“復數(shù)為虛數(shù)”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的定義以及充要條件的定義，可得答案.
【詳解】充分性：當時，顯然為虛數(shù)，則“”是“復數(shù)為虛數(shù)”的充分條件；
必要性：復數(shù)為虛數(shù)，則必定，則“”是“復數(shù)為虛數(shù)”的必要條件，
綜上所述，“”是“復數(shù)為虛數(shù)”的充分必要條件.
故選：C.
5．若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．0 B．2 C．3 D．0或2
【答案】B
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念列方程求解即可得實數(shù)的值.
【詳解】因為復數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.
故選：B.
6．已知復數(shù)，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數(shù)虛部的概念即可得解.
【詳解】由題意復數(shù)的虛部為.
故選：C.
考點03：求復數(shù)的實部與虛部
7．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)相等求得，然后利用共軛復數(shù)的概念求虛部，即可求解．
【詳解】由，可得，所以，所以的虛部是．
故選：A．
8．的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由實部和虛部互為相反數(shù)，結合二倍角公式可構造關于的一元二次方程，解方程求得，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值和的范圍可求得結果.
【詳解】由題意得：，，
解得：或，，或或，
故選：ACD.
9．（多選）下列說法不正確的是（ ）
A．復數(shù)的虛部是 B．形如的數(shù)一定是虛數(shù)
C．若，，則是純虛數(shù) D．若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)
【答案】AB
【分析】根據(jù)復數(shù)的相關概念逐一判斷即可.
【詳解】復數(shù)的虛部是3，故A中說法不正確；
形如的數(shù)不一定是虛數(shù)，例如，當，時，不是虛數(shù)，故B中說法不正確；
只有當，，即時，是純虛數(shù)，故C中說法正確；
因為虛數(shù)不能比較大小，所以若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)，故D中說法正確.
故選：AB.
考點04：復數(shù)的相等
10．若，，則復數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數(shù)相等的條件即可得解.
【詳解】由，得，則，
根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得，解得，
故．
故選：B．
11．（多選）已知復數(shù)，則下列結論正確的是（　　）
A．的實部是
B．的虛部是
C．若，則
D．當且時，是純虛數(shù)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)復數(shù)實部和虛部的定義即可判斷AB；根據(jù)復數(shù)相等的定義即可判斷C；根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判斷D.
【詳解】復數(shù)，
則的實部是，虛部為，故A正確，B錯誤；
若，則，故C正確；
當且時，是純虛數(shù)，故D正確.
故選：ACD.
12．（多選）若，且，則等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】AD
【分析】根據(jù)，列方程組求解即可.
【詳解】因為，且，
所以，解得或，
所以或0．
故選：AD
考點05：復數(shù)的分類及辨析
13．已知，．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【分析】根據(jù)兩個實數(shù)才能比較大小進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，解得或．
故選：C
14．（多選）對于復數(shù)，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則為純虛數(shù)
B．若，則
C．若，則為實數(shù)
D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念判斷AC，根據(jù)復數(shù)相等判斷B，根據(jù)虛數(shù)單位的定義判斷D.
【詳解】對于A：當，，當時為實數(shù)，A錯誤；
對于B：若，則，B錯誤；
對于C：若，則為實數(shù)，C正確；
對于D：，D正確.
故選：AB.
15．（多選）下列命題不正確的是（ ）
A．復數(shù)不可能是純虛數(shù)
B．若，則復數(shù)為純虛數(shù)
C．若是純虛數(shù)，則實數(shù)
D．若復數(shù)，則當且僅當時，為虛數(shù)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念逐項判斷即可.
【詳解】選項A中，當，時，復數(shù)是純虛數(shù)，錯誤；
選項B中，時，為純虛數(shù)，正確；
選項C中，若是純虛數(shù)，則，即，
所以，錯誤；
選項D中，沒有給出是實數(shù)，當時，
也是虛數(shù)，錯誤.
故選：ACD
考點06：已知復數(shù)的類型求參數(shù)
16．若，則“”是復數(shù)“為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由復數(shù)為純虛數(shù)求出參數(shù)的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由“”為純虛數(shù)，得，解得，
故“”是復數(shù)“為純虛數(shù)”的充要條件.
故選：C.
17．已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)實部為零，虛部不為零列式計算.
【詳解】由題意可得：且，則.
故選：D.
18．已知，則
【答案】3
【分析】由復數(shù)分類的定義可知，實部和虛部都為0，則復數(shù)為0，聯(lián)立方程求解即可
【詳解】因為，，
所以 解得.
所以.
故答案為：3.
考點07：根據(jù)相等條件求參數(shù)
19．已知，其中，i為虛數(shù)單位，則以為根的一個一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)復數(shù)相等求解出，然后再判斷出能滿足條件的方程即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
因此所選方程的兩根為，僅有符合要求，
故選：A.
20．已知復數(shù)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用復數(shù)相等可得和三角函數(shù)的平方關系可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍與二次函數(shù)的性質可得的取值范圍.
【詳解】復數(shù)，且，
所以，則
因為，所以，當時，，當時，
所以的取值范圍是.
故選：B.
21．已知復數(shù).
(1)若z為實數(shù)，求m的值.
(2)若z為純虛數(shù)，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)復數(shù)表示實數(shù)的條件列方程求參數(shù)m即可.
（2）根據(jù)復數(shù)表示純虛數(shù)的條件列方程或不等式求參數(shù)m即可.
【詳解】（1）由題意得，得，即.
（2）由題意得，得，即.

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