資源簡介

7.2復數的四則運算
知識點：1.復數的四則運算
設，
（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；
（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；
（3）乘法： ， 特別；
（4）除法（是均不為0的實數）的化簡就是通過分母實數化的方法將分母化為實數，即分子分母同時乘以分母的共軛復數，然后再化簡：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合于復數的情況。即對有:
, ,
2. 共軛復數
若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；特別地，虛部不為的兩個共軛復數也叫做共軛虛數；【注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]】
若z=a+bi，則的共軛復數記作；
為實數，為純虛數(b≠0).
共軛復數的性質：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，則.
3. 復數的摸
若向量表示復數，則稱的模為復數的模，
4.一些常用的結論
1兩個復數不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等（兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.）。
⑴若為復數
：當時，則（×）[為復數，而不是實數]；
：當時，則.（√）
⑵若，則是的必要不充分條件.（當， 時，上式成立）
2 性質：T=4；；
3復數相等的充要條件：兩個復數實部和虛部分別對應相等。
4復數z是實數的充要條件是z=;z是純虛數的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
考點01：復數加減法的代數運算
1．已知復數，，則的實部與虛部分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．計算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
考點02：復數加減法幾何意義的運用
3．復數與分別表示向量與，則表示向量的復數為（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
考點03：根據復數的加減運算結果求參數
5．設z1=2+b，z2=a+，當z1+z2=0時，復數a+b為（ ）
A．1+ B．2+
C．3 D．
6．已知，，其中為實數，為虛數單位，若，則的值為 ．
考點04：根據復數加減運算結果求復數特征.
7．復數對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若復數（其中）為“等部復數”，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考點05：復數代數形式的乘法運算
9．（多選）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
10．（多選）已知是虛數單位，是復數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面上對應的點位于第一象限 B．在復平面上對應的點位于第二象限
C． D．
考點06：復數的乘方
11．（多選）若復數，下列說法正確的是（ ）
A．若z在復平面內對應點位于第二象限，則
B．若z為純虛數，則
C．若，則
D．若，則
12．（多選）設n是正整數，當一個數的n次乘方等于1時，稱此數為n次“單位根”；在復數范圍內，n次單位根有n個，例如，是的四個根；1，，是的三個根，則下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
考點07：復數范圍內分解因式
13．已知是關于的方程的一個根，則實數的值為（ ）
A．8 B． C．4 D．
14．已知復數z滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
考點08：復數范圍內方程的根
15．在復數范圍內分解因式= .
16．在復數范圍內因式分解： ．
考點09：共軛復數的概念及計算
17．已知為虛數單位，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
18．已知復數滿足，其中為的共軛復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．1
考點10：復數的除法運算
19．已知為虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
20．計算復數（ ）
A． B．
C． D．
考點11：復數的平方根與立方根
21．（多選）在代數史上，代數基本定理是數學中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復系數多項式 在復數集中有個復數根（重根按重數計）.在復數集范圍內，若是的一個根，則=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22．的平方根為
考點12：根據復數乘法運算結果求復數的特征
23．復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
24．已知復數，則的虛部為（ ）
A．2 B． C． D．
考點13：根據復數乘法運算結果求參數
25．若，其中，則（　　）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
26．設，其中，是實數，是虛數單位，則（ ）
A．1 B． C． D．2
考點14：根據除法運算結果求參數
27．已知（，為虛數單位），則（ ）
A． B．3 C．1 D．2
28．已知為虛數單位，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
考點15：根據除法運算結果求復數特征
29．若復數z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數單位），則在復平面內復數z對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
30．復數滿足，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．實軸 B．虛軸 C．第一象限 D．第四象限
考點16：求共軛復數的復數特征
31．設復數，則的共軛復數在復平面內對應的點在第（ ）
A．一象限 B．二象限
C．三象限 D．四象限
32．若復數滿足，則復數的虛部是（ ）
A． B． C． D．7.2復數的四則運算
知識點：1.復數的四則運算
設，
（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；
（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；
（3）乘法： ， 特別；
（4）除法（是均不為0的實數）的化簡就是通過分母實數化的方法將分母化為實數，即分子分母同時乘以分母的共軛復數，然后再化簡：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合于復數的情況。即對有:
, ,
2. 共軛復數
若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；特別地，虛部不為的兩個共軛復數也叫做共軛虛數；【注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]】
若z=a+bi，則的共軛復數記作；
為實數，為純虛數(b≠0).
共軛復數的性質：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，則.
3. 復數的摸
若向量表示復數，則稱的模為復數的模，
4.一些常用的結論
1兩個復數不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等（兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.）。
⑴若為復數
：當時，則（×）[為復數，而不是實數]；
：當時，則.（√）
⑵若，則是的必要不充分條件.（當， 時，上式成立）
2 性質：T=4；；
3復數相等的充要條件：兩個復數實部和虛部分別對應相等。
4復數z是實數的充要條件是z=;z是純虛數的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
考點01：復數加減法的代數運算
1．已知復數，，則的實部與虛部分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】應用復數加法求，根據實部、虛部定義得答案.
【詳解】因為，，所以，其實部與虛部分別為，.
故選：A
2．計算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
考點02：復數加減法幾何意義的運用
3．復數與分別表示向量與，則表示向量的復數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據及向量的復數表示，運算得到答案.
【詳解】復數與分別表示向量與，
因為，所以表示向量的復數為.
故選：D.
4．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數加減運算的幾何意義運算求解.
【詳解】在復平面中，設分別與向量對應，
由題意可得，，
因為，
即，解得，即.
故選：B.
考點03：根據復數的加減運算結果求參數
5．設z1=2+b，z2=a+，當z1+z2=0時，復數a+b為（ ）
A．1+ B．2+
C．3 D．
【答案】D
【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，寫出復數a＋b即可.
【詳解】因為z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，
所以于是
故.
故選：D.
6．已知，，其中為實數，為虛數單位，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據復數相等的充要條件列出方程組解出即可.
【詳解】由題意可得，即，
根據兩個復數相等的充要條件可得，解得，
故答案為：.
考點04：根據復數加減運算結果求復數特征.
7．復數對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的運算法則，求得復數為，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】由復數，可得復數在復平面內對應的點位于第二象限.
故選：B.
8．如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若復數（其中）為“等部復數”，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據題意求得，得到，化簡，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】因為復數（其中）為“等部復數，可得，
即，可得，
則在復平面內對應的點為位于第一象限.
故選：A.
考點05：復數代數形式的乘法運算
9．（多選）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據復數的乘法運算和復數相等的定義計算即可.
【詳解】因為，
所以.
故選：AD.
10．（多選）已知是虛數單位，是復數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面上對應的點位于第一象限 B．在復平面上對應的點位于第二象限
C． D．
【答案】BD
【分析】根據復數的乘除運算求出，利用復數的幾何意義可判斷A、B；利用復數模的求法可判斷C、D.
【詳解】由，
則，
所以在復平面上對應的點為，
即在復平面上對應的點位于第二象限.
所以.
故選：BD
考點06：復數的乘方
11．（多選）若復數，下列說法正確的是（ ）
A．若z在復平面內對應點位于第二象限，則
B．若z為純虛數，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABC
【分析】求出a，b正負判斷A；利用純虛數判斷B；利用復數的乘法結合復數是實數的條件判斷C；計算復數的乘方判斷D作答.
【詳解】對于A，z在復平面內對應點位于第二象限，則，有，A正確；
對于B，z為純虛數，則且，B正確；
對于C，，而，則，C正確；
對于D，，則，D錯誤.
故選：ABC
12．（多選）設n是正整數，當一個數的n次乘方等于1時，稱此數為n次“單位根”；在復數范圍內，n次單位根有n個，例如，是的四個根；1，，是的三個根，則下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據復數模運算法則計算判斷A；根據通過因式分解進而判斷B；通過復數的計算即可判斷C和D.
【詳解】對于A選項，，故A正確；
對于B選項，因為，而是的一個根，則，故B正確；
對于C選項，，，故C錯誤；
對于D選項，，故D正確.
故選：ABD
考點07：復數范圍內分解因式
13．已知是關于的方程的一個根，則實數的值為（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用復數的四則運算即可得解.
【詳解】因為是關于的方程的一個根，
所以，則.
故選：A.
14．已知復數z滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據原式求出再求模即可.
【詳解】由，得，
則，
所以，則.
故選：A
考點08：復數范圍內方程的根
15．在復數范圍內分解因式= .
【答案】
【分析】先求得的根，然后進行因式分解.
【詳解】由得，
解得，
所以.
故答案為：
16．在復數范圍內因式分解： ．
【答案】或
【分析】將式子變形，構造出平方差形式在因式分解.
【詳解】因為，
所以
①，
②，
故答案為：或.
考點09：共軛復數的概念及計算
17．已知為虛數單位，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根據復數的乘法運算可得，結合共軛復數的概念可得，相乘即可求解.
【詳解】由題意知，，即，
所以，所以.
故選：D
18．已知復數滿足，其中為的共軛復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先設出復數；再利用復數的運算法則得出；最后根據復數相等的充要條件即可求解.
【詳解】設.
所以
因為,
所以，
所以，解得.
故選A．
考點10：復數的除法運算
19．已知為虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用復數的除法運算，得到復數的代數形式，由此求得復數的虛部.
【詳解】因為，所以虛部為1.
故選：D．
20．計算復數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的除法運算法則求解即可.
【詳解】，
故選：A.
考點11：復數的平方根與立方根
21．（多選）在代數史上，代數基本定理是數學中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復系數多項式 在復數集中有個復數根（重根按重數計）.在復數集范圍內，若是的一個根，則=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AD
【分析】分解因式，求解的值，分別代入計算.
【詳解】解：因為，所以，即，所以或.即或.
當時，；
當時，.
故選：AD
22．的平方根為
【答案】或
【分析】設的平方根為(為實數)，根據平方根的定義得到，然后根據復數相等的條件求出的值，即可求出平方根.
【詳解】設的平方根為(為實數)，則
，即，
所以，解得 或 ，
所以的平方根為或.
故答案為：或.
考點12：根據復數乘法運算結果求復數的特征
23．復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據復數的乘法運算求得z，然后根據復數與對應點的關系，可得結果.
【詳解】因為，
所以復數z在復平面內對應的點位于第四象限.
故選：D.
24．已知復數，則的虛部為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數乘除法運算法則得到，再結合虛部的定義判斷即可.
【詳解】，則的虛部為-2.
故選：C.
考點13：根據復數乘法運算結果求參數
25．若，其中，則（　　）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】D
【分析】等式左側展開，應用兩個復數相等（實部等于實部且虛部等于虛部）列方程組求解即可.
【詳解】∵
∴ 解得
故選：D.
26．設，其中，是實數，是虛數單位，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用復數的乘法運算法則化簡后，根據復數相等的條件即可得解.
【詳解】,
為實數，所以,
故選：D.
考點14：根據除法運算結果求參數
27．已知（，為虛數單位），則（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據復數的四則運算、復數相等的概念即可求得的值，可得結果.
【詳解】由，
可得，，
因此．
故選：B．
28．已知為虛數單位，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由復數的除法運算公式將其化為可求得a，b的值，再由分數指數冪與根式互化公式 可求得結果.
【詳解】∵
∴
∴
故選：B.
考點15：根據除法運算結果求復數特征
29．若復數z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數單位），則在復平面內復數z對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據復數的乘除法運算，求得，再求其對應點即可判斷.
【詳解】∵，∴，
∴在復平面內復數z對應的點位于第四象限．
故選：D．
30．復數滿足，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．實軸 B．虛軸 C．第一象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用復數的乘除運算可解.
【詳解】解：由題意得：
所以復平面內對應的點位于虛軸上
故選：B
考點16：求共軛復數的復數特征
31．設復數，則的共軛復數在復平面內對應的點在第（ ）
A．一象限 B．二象限
C．三象限 D．四象限
【答案】A
【分析】利用共軛復數的定義結合復數的幾何意義可得出結論.
【詳解】由題意可知，復數的共軛復數為，
則復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限.
故選：A.
32．若復數滿足，則復數的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數模和四則運算，即可得到答案；
【詳解】
，
復數的虛部是，
故選：C.

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