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函數的圖像與性質
1．【答案】．
【解析】設，則
．
所以為奇函數，的圖像關于原點對稱．
所以的圖像關于點對稱．
2．【答案】．
【解析】（用排除法）令，則得．
若，則，與矛盾；
若，則，與“在區間上單調遞增”矛盾；
若，則，也與“在區間上單調遞增”矛盾．
3．【答案】．
【解析】畫出圖像．當時，顯然在區間上不可能有兩個解．
當時，若，即時，只需要在區間內有且只有一個根，即，故，此時得到；
當時兩個根相等且都是1，不合題意；當-時，在區間內無解，則要求在區間內有兩個不等實根，但此時不合題意．
4．【答案】．
【解析1】由題設條件知
因此有，故
．
【解析2】令，則
，
，
即，，
故，
得是周期為2的周期函數，所以
．
5．【答案】．
【解析】若為有理數，且．設，由知，，．
當時，不存在；
當時，存在唯一的，此時，；
當時，設，其中，且，此時．
因為，所以若為有理數，則當時，取最大值．
又為無理數，且當時，．
綜上所述，在區間上的最大值為
6．【答案】．
【解析】若，即或，則由恒成立，得，，由解得，從而或．
若，則符合題意．
若，即，則由恒成立，得，
由，解得或，從而．綜上所述，的取
值范圍是．
7．【答案】．
【解析】函數的定義為．
當時，有，，所以；
當時，有，，所以．
所以，原函數的定義域為．
8．【答案】．
【解析】由題設知則．因此，原不等式等價于．
因為在上是增函數，所以，即．又，所以當時，取得最大值．因此，，解得．故的取值范圍是．
9．【解析】運用單調性的定義．
（1）當時，，當且僅當時不等式成立，所以；又時，，故的值域為．
（2）任取，，
，
由于在定義域內為增函數，故，，從而有，所以，該不等式對恒成立，故．
10．【解析】構造函數令，則
，
所以是上以1為周期的周期函數；又由條件當時有可得，當時，，所以周期函數在上有，據此知，
在上，．
11．【解析】由題意，函數圖像為開口向上的拋物線，且在區間上的最大值只能在閉區間的端點處取得，故有，從而且．
若有實根，則，在區間上有
，即，消去，解出，
即，這時，且．
若無實根，則，將代入，解得．
綜上所述，，所以，在區間上，關于的二次函數單調遞減，故．
12．【解析】（1），顯然，當時，
（與無關），故定點為．
（2）的頂點的坐標為消去，得，這就是的頂點所在的那條拋物線方程，即．
（3）解法設，即的兩個整數根為和，且，則消去，得，
，
，
所以（41是素數），從而
或或．
以上僅是必要條件，下面來逐一檢驗：
當時，方程為，即，解方程，得，合乎題目要求．當時，方程為，即，解方程，得，合乎題目要求．
綜上所述，所求的整數或23．
解法2：（利用判別式）設，即的兩個整數根為和，且，則，而
，
于是是非負整數．
所以（41是素數），從而或或．
檢驗如下：
當時，或，合乎題目要求．
當時，或，合乎題目要求．
綜上所述，所求的整數或23．
13．【解析】，令，可知是奇函數，且嚴格單調，所以，當時，，所以，以，即圖像和軸交點的坐標為．
14．【解析】先作出的圖像（答圖中實線部分，然后將圖像上所有點的縱坐標擴大2倍而橫坐標不變，再將所得圖像向下平移1單位，并保留軸上方的部分，將軸下方的部分對稱地翻折到軸上方，便得的圖像，如答圖所示．
同樣的方法，可作函數的圖像，如答圖所示，它與直線在上有8個交點．因此，原方程有8個實數解．
15．【解析】（1）若函數有奇偶性，則無論奇偶，由有，又，令，則，這與在閉區間上，只有矛盾，故函數無奇偶性．
又，故在閉區間和上均有兩個解，從而可知函數在閉區間上有402個解，在閉區間上有400個解，所以函數在閉區間上共有802個解．
16．【解析】解法的定義域為，當時，；，當時，，從而當時有最大值．
解法2：的定義域為，令，，，
因為，所以，即．①
因為，所以，代入式①，得，易知，即
②
所以，．
當時，式①、式②同時取等號，故有最大值．
解法3：的定義域為，，因為后在上都是減函數，所以當時有最大值．
評注 解法1運用知識點“若，，同時在處取得最大值”，則在處取得最大值；解法2運用不等式的放縮法求解；解法3運用知識點“若在閉區間上為單調函數，則在端點處取得最值”．函數的圖像與性質
知識方法掃描
一、映射
對于任意兩個集合與，依對應法則，若對巾的任意一個元素，在中都有唯一一個元素與之對應，則稱為一個映射．若：是一個映射，對任意，且，都有則稱之為單射．若是映射且對任意，都存在一個，使得，則稱是到上的滿射．若既是單射又是滿射，則叫作一一映射．一一映射存在逆映射，即從到由相反的對應法則構成的映射，記作．
二、函數的基本性質
1．單調性：設函數在區間上滿足對任意的，并且，總有，則稱在區間上是增（減）函數，區問稱為單調增（減）區間．
2．奇偶性：設函數的定義域為，且是關于原點對稱的數集，若對于任意的，都有，則稱是奇函數；若對任意的，都有，則稱是偶函數．奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于軸對稱．
3．周期性：對于函數，如果存在一個不為零的常數，使得當取定義域內每一個數時，總成立，則稱為周期函數，稱為這個函數的周期，如果周期中存在最小的正數，則這個正數叫作函數的最小正周期．
4．點集稱為函數的圖像，其中為的定義域．函數的圖像與其他函數圖像之間的關系為
（1）向右平移個單位得到的圖像；
（2）向左平移個單位得到的圖像；
（3）向下平移個單位得到的圖像；
（4）與函數的圖像關于軸對稱；
（5）與函數的圖像關于原點成中心對稱；
（6）與函數的圖像關于直線對稱；
（7）與函數的圖像關于軸對稱．
5．對勾函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間為和．（請讀者自己用定義證明）
6．連續函數的性質：若，在上連續，且，則在區間內至少有一個實根．
處理函數問題時考生要注意運用數形結合思想．經常要將函數與方程結合起來一起考慮．要求熟練掌握常用的基本初等函數（二次函數、指數、對數、三角函數）的圖像與性質．還要注意函數中的應用性、開放性和探索性問題．
典型例題剖析
【例1】已知實數，滿足，求．
【分析】利用函數的單調性和奇偶性．
【解】由已知有．
令，可知該函數是奇函數，且嚴格單調遞增，故，即．所以，即．
評注 這類問題一般是利用函數的特殊性質來解決．
【例２】設是一個給定的實數，試求所有的函數：為全體實數的集合），使得對于任何的，都有及．
【分析】由可得，，又由，于是可考慮從，的最小公倍數12入手將兩者聯系起來．
【解】由知，，則．
由知，，
則所以，
所以．于是由，所以．綜上可知，當時，；當時，不存在．
評注 這類問題對函數的周期性進行挖掘和延伸，值得留意．
【例3】已知，求的最小值
【分析】本題結構較為復雜，頗難處理，但若將條件變形為并自然聯想起函數的單調性，則問題迎刃而解．
【解】已知條件可以變形為．
構造函數，則以上不等式即為．由于，易知在與上均單調遞增，于是在上單調遞增．所以由知，，又因為，所以，所以，當且僅當時等號成立．
評注 靈活利用函數的性質解題，往往可以事半功倍．
【例4】求的最小值．
【分析】絕對值型函數的最值問題，可以考慮絕對值的幾何意義，也可以首先分析最值點可能在哪些地方取得進行突破．
【解法1】由絕對值的幾何意義，想到將整理為
，
共項，則表示數軸上點到，
，這個點距離之和，由于，
所以的最小值在第和第個點之間取得，又由于，則，所以第和第個點均
為，所以．
【解法2】當與時，均有，且為連續函數，
由圖像知， 的最小值只可能在轉折點處取
得，則
又由于，所以的最小值一定在，兩者中取得，而．
所以，當時，．
評注 解法1從絕對值的幾何意義出發求最值，解法2從函數圖像的角度分析求最值．
【例5】求函數的值域．
【分析】要求函數的最值或值域，首先考慮函數在定義域內的單調性．
【解法1】函數的定義域為．
（1）當時，易知函數，，于是，，當時等號取得．
（2）當時，．因為
，則，則，所以．
所以，原函數的值域為．
【解法2】由得，
（1）當時，易知函數是增函數，故，從而．
當時，易知函數是減函數，
故，從而，即．
【解法3】由得，
平方后即，解得，由，解得．
所以，原函數的值域為．
評注 隨著學習的進一步深入，處理手段的增多，該題還會有一些其他解法（如求導、三角代換等）．
【例6】試構造函數、，其定義域為，值域為，并且對任意的，只有一解，而則有無窮多解．
【分析】構造函數的主要難點在于定義域為開區間而值域為閉區間．
【解】事實上，題目要求構造的函數是一個單射，為了使定義域為，值域為，我們構造這樣的：
易驗證， 滿足題設的條件．而題目要求構造的函數不是一個單射，在我們所接觸的函數中，最常見的非單射的函數是三角函數．設，易知，滿足題設的條件．
評注 本題有大學數學的風格．
【例7】討論關于的方程的根的個數．
【分析】要求方程的根的個數，我們可考慮畫出函數和的圖像，前者可采用零點分段法去掉絕對值符號變為分段函數，后者是經過定點的直線．
【解】原方程的根的個數即函數與的圖像
的交點個數（圖2-1），
利用絕對值函數的零點分段討論法，不難得到．
另一方面，一次函數恒過定點，經計算，可得的分界點為，所以，可以得到方程根的個數為
評注 利用數形結合的方法，將代數問題幾何化避免了復雜的計算，正如華羅庚教授的名言：數缺形時少直觀，形缺數時難入微．
【例8】已知函數．
（1）是否存在實數和，使得函數的定義域和值域都是 若存在，請求出和的值；若不存在，請說明理由．
（2）若存在實數和，使得函數的定義域是，值域是，求實數的取值范圍．
【分析】需要利用函數的單調性、不等式關系，以及代數方程來討論．
【解】（1）不存在滿足題目條件的實數和．事實上，若存在滿足題目條件的實數和，則有．故．
（i）當，時，在區間上為減函數，所以即．
由此推得，與已知矛盾，故此時不存在滿足題目條件的實數和
（ii）當時，在區間上為增函數，
所以
即，于是和為方程的實根．
而此時這個方程無實根，故此時也不存在滿足題目條件的實數和
（iii）當，時，顯然，而，所以，這與中的無法取0矛盾．綜上可知，不存在滿足題目條件的實數和．
（2）若存在實數和滿足的定義域是，值域是，易得．仿（1）知，當或，時，滿足題目條件的實數和不存在．
只有當時，在上為增函數，有
即，
于是和為方程的兩個大于1的實根．
所以要滿足解得．
所以的取值范圍為．
評注 解決此類探索性問題時需要充分利用題設條件．
同步訓練
一、選擇題
1．函數的圖像的對稱中心是（ ）．
A． B． C． D．
2．函數是區間上的單調遞增函數，當時，，且，則的值等于（ ）．
A． B． C． D．
二、填空題
3．已知，若關于的方程在區間內有兩個不同的解，則的取值范圍是 ．
4．設是定義在上的函數，若，且對任意，滿足， ，則 ．
5．已知函數，
則函數在區間上的最大值為 ．
6．若對滿足的一切，恒成立，則的取值范圍是 ．
7．已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
8．設是定義在上的奇函數，且當時，．若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
三、解答題
9．已知函數的定義域為．
（1）當時，求函數的值域；
（2）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍．
10．設函數滿足：，且當時有，證明：當時，有．
11．設．當時，，在區間上的最大值為1，求的最大值和最小值．
12．設是實數，．
（1）求證：所有這樣的拋物線都經過同一個定點，并求出點的坐標；
（2）求證：所有這樣的拋物線的頂點都在同一條拋物線上，并求出的解析式；
（3）求出所有的，使得與軸的兩個交點皆為整數點（即的根均是整數）．
13．求的圖像與軸交點的坐標．
14．已知，，求方程的實數解的個數．
15．設函數在上滿足，且在閉區間上，只有．
（1）試判斷函數的奇偶性；
（2）試求方程在閉區間上根的個數，并證明你的結論．
16．對實數，求函數的最大值．

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