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第二章 等式與不等式（知識清單+典型例題）-【滿分全攻略】（滬教版2020必修第一冊）
第二章 等式與不等式（知識清單+典型例題）
【知識導圖】
【知識清單】
【考點1：等式與不等式的性質】
1.等式的性質
（1）傳遞性 設、、均為實數，如果，，那么；、
（2）加法性質 設、、均為實數，如果，那么；
（3）乘法性質 設、、均為實數，如果，那么；
還可以“驗證”與“推廣”得性質與推論：
（4）如果，那么；
（5）如果，那么；
（6）如果，，那么；
【注意】等式性質成立的條件，特別是性質（6）中的“”；
2.不等式的性質
（1）傳遞性 設、、均為實數，如果，那么；
（2）加法性質 設、、均為實數，如果a>b，那么；
（3）乘法性質 設、、均為實數，
如果，那么；如果，那么；
（4）性質 設、均為實數，如果那么a；
（5）性質 設、、均為實數，如果，則a>c－b；
(不等式的移項法則)
（6）性質 設、、、均為實數，如果，，那么；
(同向可加性)
（7）性質 設均為實數，如果，，那么；
（8）性質 設、均為實數，如果，那么；
（9）性質 設、均為實數，如果，那么
【注意】（1）性質（5）表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊；
（2）性質（6）表明，兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向；
（3）性質（8）表明， n個兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向；
題型一：等式的性質
1．已知等式ax＝ay，下列變形不正確的是（ ）
A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay
2．下列式子中變形錯誤的是（ ）
A．，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
題型二：方程
（2022·上海·高一專題練習）
3．設，求關于的方程的解集．
（2022·上海·高一專題練習）
4．設，求方程組的解集．
（2022秋·上海徐匯·高一校考階段練習）
5．已知且，求關于，的方程組的解集．
（2023·上海·高一專題練習）
6．解關于，的方程組：．
7．用因式分解法求下列方程的解集．
（1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；
（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
（2022秋·上海浦東新·高一校考階段練習）
8．已知關于x的方程（m、）.
(1)求方程的解集A.
(2)若，關于上述方程僅有正整數解，求m的所有取值組成的集合B.
題型三：一元二次方程的解集及根與系數的關系
9．已知關于的一元二次方程，根據下列條件，分別求出的范圍：
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根；
（3）方程有實數根；
（4）方程無實數根．
10．若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的兩個根，試求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）(x1－5)(x2－5)；
（4）
11．已知關于的方程，根據下列條件，分別求出的值．
（1）方程兩實根的積為5；
（2）方程的兩實根，滿足．
（2022秋·上海浦東新·高一校考階段練習）
12．已知，是一元二次方程的兩個實數根.
(1)求的值；（用表示）
(2)是否存在實數，使成立？若存在，求出的值，若不存在，請你說明理由；
(3)求使的值為整數的實數的整數值.
題型四：不等式的性質
13．已知；
(1)求的取值范圍；
(2)求的取值范圍；
14．已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
15．（1）已知，求證：；
（2）已知，求證：
（3）已知，求證：
16．若，，，求證：
【考點2：不等式的求解】
一、 不等式的解集與不等式組的解集
1、在含有未知數的不等式中，能使此不等式成立的未知數的值稱為該不等式的解.
2、一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集；
3、一個不等式的解的全體所組成的集合稱為此不等式的解集；
4、求不等式解集的過程稱為不等式的求解，或解不等式；
5、將多個含有同樣的未知數的不等式聯立起來，即得到不等式組.
6、對于由若干個不等式聯立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集；
【注意】若不等式中所含不等式解集的交集為時，則不等式組的解集為；
二.一元二次不等式；形如
1、一元二次不等式的概念
一般地，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式；
【注意】一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式
（1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；
都是一元二次不等式；
2、用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；
3、用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變為(x－h)2>k或(x－h)2三.一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系.
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根 x1，x2(不妨設x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖像
四.一元二次不等式在求解時應當注意事項
（1）化標準：通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數為正；
（2）①因式分解；②判別式：對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式；
（3）求實根：求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根；
（4）畫草圖：根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖；
（5）寫解集：根據圖象寫出不等式的解集.
五、分式不等式的解法
1、分式不等式的定義：
分母中含有未知數字母的有理不等式叫做分式不等式.
只含有一個未知數的分式不等式叫做一元分式不等式.
即：型如或（其中、為整式且）的不等式稱為分式不等式.
分式方程：將所求分式方程轉化為整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解來解決即可，注意求解后根的檢驗，要使得方程是有意義的.
2、分式不等式的解法：
基本思路：應用同號相乘（除）得正，異號同號相乘（除）得負，將其轉化為同解整式不等式.在此過程中，變形的等價性尤為重要.
基本方法：①通過移項，將分式不等式右邊化為零；②左邊進行通分，化為形如的形式；
③同解變形：；；
；；
六、簡單絕對值不等式的解法
1、絕對值不等式
（1）絕對值不等式的概念：一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式；
（2）數軸上兩點之間的距離公式及中點坐標公式：一般地，如果實數a，b在數軸上對應的點分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為|AB|＝|a－b|，線段AB的中點M對應的數x＝．
【注意】（1）求線段AB的長|AB|時，不要忽視絕對值；（2）線段AB的中點坐標與A、B兩點的順序無關.
2、含絕對值不等式的解法
（1）通法：根據絕對值的代數意義，對絕對值內的數（式）的符號分類討論去絕對值；
關鍵在于去掉絕對值符號，一般有三種方法：①幾何含義；②兩邊平方；③分段討論.
（2）根據絕對值的幾何意義，將絕對值轉化為數軸上的距離，進而去絕對值或求最值；
（3）不等式兩邊均恒為非負數時，可以通過平方法去絕對值.
【注意】去絕對值符號，化絕對值不等式為整式不等式時要保持同解性.
3、常見絕對值不等式的解法與結論：
①幾個基本不等式的解集
（1）|x|0) x2a(a>0) x2>a2 x>a,或x<-a；
（3）|x-m|0) -aa(a>0) x-m>a,或x-m<-a x>m+a,或x②幾種主要的基本類型
（1）|f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0) f(x)>g(x),或f(x)<-g(x)；
（3）|f(x)|0) -g(x)（4）含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區間討論”的方法脫去絕對值符號求解.
題型五：一元一次不等式（組）的求解
17．解下列不等式組：
(1)
(2)
18．（1）設為實數，求一元一次不等式的解集；
（2）設為實數，解一元一次不等式組；
19．已知關于x的不等式組無解，求a的取值范圍；
題型六：一元二次不等式的求解
20．若00的解集是 ．
21．設，則關于的不等式的解集為 .
22．解不等式：－223．利用函數求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
24．解關于的不等式．
25．解關于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
題型七：分式不等式的求解
26．若不等式ax2＋bx＋c > 0的解集為{x|－1 < x < 2}，則不等式＋c > bx的解集為
27．若實數a，b滿足a＋b<0，則不等式的解集為 ．
28．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
29．若不等式的解為，求的值
題型八：含絕對值不等式的求解
30．解下列不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
31．解不等式：
32．解不等式：.
【考點3：基本不等式及其應用】
1.算術平均值與幾何平均值
給定兩個正數a、b，數稱為a、b，的算術平均值；數稱為a、b的幾何平均值；
2.平均值不等式
定理（平均值不等式）：兩個正數的算術平均值大于等于它們的幾何平均值，即對于任意的正數a、b，有，且等號當且僅當a＝b時成立；
定理：對于任意的實數a、b，有，且等號當且僅當a＝b時成立；
【注意】（1）兩個不等式與成立的條件是不同的；前者要求a、b，是實數即可，而后者要求a，b都是正實數（實際上后者只要a≥0，b≥0即可）；
（2）兩個不等式a2＋b2≥2ab和≥都是帶有等號的不等式，都是“當且僅當a＝b時，等號成立”；
3.幾個重要的不等式的變形
①(a、b∈R)．；②(a、b同號)；③(a、b∈R)．
4.平均值不等式與最值
已知x＞0，y＞0，則
（1）若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y時，積xy取得最大值；
（2）若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得最小值2；
即：兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；
兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值.
5.三角不等式
定理（三角不等式）：如果、是實數，那么；當且僅當時，等號成立.
證明：定理 對任意的實數、；有，且等號當且僅當時成立；
【證明】（方法1：分析法）為證明，只需證明，
即，也就是，所以，等號當且僅當時成立；
（方法2）
由①與②兩式相加就有③，
將（）看作一個整體時，上面的③式逆用，即可證明；
證明：對任意的實數、；證明：，并指出等號成立的條件；
方法1：分|或或三種可能.
當 時，顯然成立；
當 時，，即，等號成立的條件；
方法2：將取成代入定理.
證明：對任意的實數、；證明：，并指出等號成立的條件；
方法1：分|或或三種可能.
當 時，顯然成立；
當 時，，即；
方法2：將取成代入定理.
題型九：平均值不等式及其應用
33．下列不等式中，正確的是（ ）
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
34．已知，且，則下列不等式中，恒成立的序號是 .
①；②；③；④.
35．已知，，則m，n之間的大小關系是
36．已知a，，求證：．
37．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求證：.
38．（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知正實數滿足，求的最小值；
（3）已知實數滿足，求的最大值.
39．是否存在正實數a和b，同時滿足下列條件：①；②(x>0，y>0)且的最小值為18，若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．
40．已知、為正實數，且，求的最小值.
41．運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規限制50≤x≤100(單位：千米/時).假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元.
(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；
(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.
題型十：三角不等式
42．對于實數，若，，則的最大值為 .
43．若對任意，存在實數，使得成立，則實數的最小值是 .
44．[選修4—5：不等式選講]
設a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求證：|2x+y-4|＜a.
45．設，，求證：．
46．（1）證明：對所有實數恒成立，并求等號成立時的范圍.
（2）設不等式的解集為A，且，；
①求a的值；
②求函數的最小值，
47．已知函數.
(1)時，解不等式；
(2)若不等式對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據等式的性質可判斷.
【詳解】A.∵ax＝ay，∴當a≠0時，x＝y，故此選項錯誤，符合題意；
B.∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此選項正確，不合題意；
C.∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此選項正確，不合題意；
D.∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此選項正確，不合題意.
故選：A.
【點睛】本題考查等式的性質，屬于基礎題.
2．B
【分析】根據等式的性質，逐項驗證即可.
【詳解】對于選項，兩邊同時減，得到，故正確；
對于選項，沒有說明，故不正確；
對于選項，在等式兩邊同時乘以，得到，故正確；
對于選項，在等式兩邊同時乘以5得到，故正確；
故選：.
3．當時，解集為；當時，解集為．
【分析】移項得，再分，兩種情況討論求解即可.
【詳解】解:移項，得，
當時，，故解集為；
當時，方程有無數個解，全體實數均可以，所以解集為．
綜上，當時，解集為；當時，解集為．
4．當時，解集為；當時，解集為．
【分析】兩式作差得到，再對與分兩種情況討論，即可得解；
【詳解】解：因為
兩式相減，得到，
當時，，代入方程組中的第一式，得到，此時，原方程組的解集為．
當時，方程，無解，從而原方程組無解，其解集為．
5．
【分析】直接解方程組即可.
【詳解】由，
得（），得，
所以，
即
所以方程組的解集為
6．見解析
【分析】分別討論、、時的解即可.
【詳解】（1）當時，，方程組解為；
（2）當時，，方程組無解；
（3）當時，兩式相加得，兩式相減得，方程組解為.
7．（1）；（2）{0，2}；（3）{1}．
【分析】（1）移項后提取公因式后易得解；
（2）用平方差公式分解因式后易得解；
（3）移項后把方程左邊化為二次式，再由完全平方公式因式分解后可得解．
【詳解】（1）分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，
所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1.
所以方程的解集為.
（2）分解因式，得
[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，
所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.
所以方程的解集為{0，2}．
（3）整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1.
所以方程的解集為{1}．
【點睛】本題考查解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的基本方法．注意寫成解集時相同的解只能作為一個元素．
8．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）分；，；，三種情況討論即可求解；
（2）由題意及（1）問結論知，，且，從而即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，可得，
①當時，解集為；
②當，時，解集為；
③當，時，解集為.
（2）解：由題意及（1）問結論知，，且，
所以或2或4或8，所以.
9．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】由條件利用一元二次方程根的判別式，求得相應的取值范圍．
【詳解】解：關于的一元二次方程，
（1）若方程有兩個不相等的實數根，則，．
（2）方程有兩個相等的實數根，則，．
（3）方程有實數根，則，．
（4）方程無實數根，則，．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．
10．（1）4018；（2）；（3）－1972；（4）.
【分析】由一元二次方程根與系數的關系可得，
（1）將變形為，再代入計算即可求得結果；
（2）將變形為，再代入計算即可求得結果；
（3）將變形為，再代入計算即可求得結果；
（4）將變形為，再代入計算即可求得結果．
【詳解】是方程的兩個根，
．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【點睛】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
11．（1）；（2）.
【分析】（1）根據二次函數的性質和根的判別式即可求出的值，
（2）分兩種情況討論，①當時，②當時，求出的值．
【詳解】解：（1）方程兩實根的積為5，
，．
當時，方程兩實根的積為5．
（2）由得知：
①當時，，故方程有兩相等的實數根，故，
②當時，，即，則，解得，由于時，，
故不合題意，舍去，
故方程有兩相等的實數根，故△，
綜上可得，時，方程的兩實根，滿足．
【點睛】本題考查了二次函數的性質和方程根的情況，屬于基礎題．
12．(1)
(2)不存在，理由見詳解
(3)
【分析】（1）通分后，利用韋達定理代入可得；
（2）利用韋達定理代入后解方程可得k，然后可判斷；
（3）利用韋達定理化簡，然后根據k和分式都為整數值驗證可得.
【詳解】（1）因為一元二次方程，
所以，解得
由韋達定理可得
當時，，無意義；
當時，
綜上，的值為
（2）由韋達定理可知
，
令，整理得，，
由（1）可知，
所以不存在實數，使成立.
（3）
因為為整數，所以必為整數，所以，即
又，所以，
因為為整數，所以，經檢驗時，為整數，
所以使的值為整數的實數的整數值為.
13．(1)；
(2)；
【分析】由不等式的基本性質求解即可.
【詳解】（1）因為，得，所以；
（2）因為，得，所以.
14．（1）；（2）-1【分析】(1)利用絕對值的意義求解即得；
(2)利用不等式加法法則求解即得；
(3)先由不等式性質求出-b的范圍，再用不等式加法法則求解即得；
(4)先由不等式性質求出2a和-3b的范圍，再用不等式加法法則求解即得.
【詳解】（1）因-2所以|a|∈[0，3]；
（2）因-2所以-1（3）因1≤b<2，則-2<-b≤-1，又-2所以-4（4）由-2所以-10<2a-3b≤3.
15．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】根據不等式的基本性質，逐項推理、運算，即可求解.
【詳解】（1）因為，可得，所以，
又因為，可得.
（2）因為，所以，
又因為，所以，可得，
因為，根據不等式的性質，可得，即以.
（3）因為，要證，只需證明，
展開得，即，即，
又因為，所以.
16．證明見解析
【分析】先根據不等式性質判斷的大小關系，然后結合不等式性質可判斷的大小關系，由此即可證明的大小關系.
【詳解】證明：，．
又，．
則，即．
又，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式組可得答案；
（2）解不等式組可得答案.
【詳解】（1）解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
由圖可知，解集沒有公共部分，不等式組無解，即不等式組的解集為；
（2）解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
由圖可知不等式組的解集為.
18．（1）答案見解析；（2）答案見解析
【分析】（1）分類討論，，三種情況，從而求解；
（2）先利用不等式性質求出關于的解值，然后再分類對討論，從而求解.
【詳解】（1）由題意知，的取值與的取值有關且有，，三種情況：
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為.
（2）根據不等式的性質，原不等式組等價于：
；整理得：；
當時，解集為；
當時，解集為.
19．
【分析】分別求出兩個不等式的解，結合數軸圖分析即可求解.
【詳解】解得x≤3，解得，
因為該不等式組無解，
所以兩不等式的解集在數軸上的表示如圖所示：
所以滿足，
當a＝3時，代入不等式組，得x≤3，且，
此時，不等式組也無解，滿足題意，所以a的取值范圍為.
20．
【分析】將原不等式化為，再根據的取值范圍，得到與的關系，從而得解；
【詳解】解:原不等式即，
由，得，所以．
所以不等式的解集為．
故答案為：．
【點睛】本題考查含參的一元二次不等式的解法，屬于基礎題.
21．或
【分析】將原不等式變形為，比較與的大小關系，由此可得出原不等式的解集.
【詳解】因為，由，可得，
，，
所以，原不等式的解集為或.
故答案為：或.
【點睛】本題考查一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.
22．{x|－2≤x<1或2【分析】原不等式等價于不等式組，分別解各個不等式，再取交集；
【詳解】解：原不等式等價于不等式組
不等式①可化為x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化為x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集為{x|－2≤x<1或2【點睛】本題考查一元二次不等式組的解法，屬于基礎題.
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（2）根據一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（3）根據一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（4）根據一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
【詳解】（1）設，令，得，解得或．
從而的圖象與x軸相交于點和，并且的圖象開口向上，
根據函數的圖象，可知所求不等式的解集為．
（2）設，令，得，解得或，
從而的圖象與x軸相交于點和，并且的圖象開口向下，
所以根據函數的圖象，可知所求不等式的解集為．
（3）設．令，得，解得，
從而的圖象與x軸相交于點，函數的圖象開口向上，
所以根據函數的圖象，可知所求不等式的解集為．
（4）設，令，得，即，該方程無解，
從而函數的圖象與x軸沒有公共點，又函數的圖象開口向下，
所以根據函數的圖象，可知所求不等式的解集為．
24．答案見解析.
【分析】將原不等式化為，再對與分類討論，分別求出不等式的解集；
【詳解】解：原不等式可化為： ，令 可得：
當或時，， ；
當或時， ，不等式無解；
當或 時，，
綜上所述，當或時，不等式解集為；
當或時，不等式的解集為；
當或時，不等式解集為．
25．答案見解析.
【分析】由a＞0，把不等式化為，求出不等式對應方程的實數根，討論兩根的大小，寫出對應不等式的解集．
【詳解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；
∵a＞0，∴不等式化為，
令，
解得；
∴當0＜a＜1時，即，原不等式的解集為{x|1＜x}；
當a＝1時，即，原不等式的解集為；
當a＞1時，即，原不等式的解集為．
26．{x| x < 0}
【分析】由不等式的解集知其對應方程ax2＋bx＋c＝0的根為-1和2且a < 0，由解的性質得到系數間的等量關系，進而帶入分式不等式化簡求解即可
【詳解】由不等式的解集可知：－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a < 0
因此，即
于是，不等式＋c > bx可化為－2a > －ax.
又a < 0，故－2 < －x，即
解得：x < 0
故答案為：{x| x < 0}
【點睛】本題考查了一元二次不等式的應用，由一元二次不等式的解集確定對應一元二次方程的根及系數間的關系，進而求解分式不等式
27．
【分析】原不等式等價于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0，即可得解.
【詳解】原不等式等價于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0.
因為a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集為．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先將原不等式等價轉化為，再結合一元二次不等式的解法即可求解；
（2）先將原不等式等價轉化為，再等價轉化為，再結合一元二次不等式的解法即可求解；
（3）先判斷分母大于0，再將原不等式等價轉化為，再結合一元二次不等式的解法即可求解．
【詳解】（1）原不等式，解得，
所以原不等式的解集為．
（2）原不等式
，
解得，
所以原不等式的解集為．
（3）由，
則原不等式，
解得或，
所以原不等式的解集為．
29．.
【分析】分析可得兩個分式的分母都大于0，化簡可得，又方程解集為，根據一元二次不等式解法，即可得答案.
【詳解】因為，，
所以原不等式可化簡為：，
整理得，
又方程的解為，
所以為方程的兩個根，
所以，解得，
故答案為.
【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，韋達定理的應用，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.
30．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由絕對值定義去絕對值，再根據分式不等式求解即可；
（2）將不等式化為或，分別求解一元二次不等式即可；
（3）將原不等式化為，因式分解得，求解即可；
（4）將原不等式化為，根據絕對值不等式的解法，兩邊平方，即可求解．
【詳解】（1）由絕對值定義得，，
所以，原不等式的解集為．
（2）或或
不存在或或，
所以，原不等式的解集為．
（3）或或或，
所以，原不等式的解集為．
（4）
解得或且，
所以，原不等式的解集為．
31．
【分析】解法1：根據絕對值的幾何意義，去掉絕對值符合，即可得到結果；解法2：兩邊同時平方，代入計算，即可得到結果.
【詳解】解法1：等價于：，兩邊同時加上3：，同時乘以有：，
所以原不等式的解集為；
解法2：兩邊同時平方：，化簡得：
這里可以因式分解：， ，
從而原不等式的解集為；
32．{x|x}
【分析】通過對x≤﹣2、﹣2＜x＜1、x≥1的分類討論，去掉絕對值符號，可求得對應情況下的解集，最后取其并集即可．
【詳解】解：①x≤﹣2時，|x+2|+|x﹣1|＜4
﹣2﹣x+1﹣x＜4 ﹣2x＜5 x．
所以不等式組的解集為{x|x≤﹣2}．
②﹣2＜x＜1時，|x+2|+|x﹣1|＜4
x+2+1﹣x＜4 3＜4．所以不等式組的解集為{x|﹣2＜x＜1}．
③x≥1時，|x+2|+|x﹣1|＜4 x+2+x﹣1＜4 2x＜3 x．
所以不等式組的解集為{x|1≤x}．
因此原不等式的解集為①②③的并集：
{x|x}．
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，通過對x≤﹣2、﹣2＜x＜1、x≥1的分類討論，去掉絕對值符號是關鍵，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題
33．D
【分析】舉例說明ABC錯誤，利用基本不等式證明D成立.
【詳解】a＜0，則a＋≥4不成立，故A錯；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯，
a＝4，b＝16，則＜，故C錯；
由基本不等式得x2＋≥2可知D項正確.
故選：D.
【點睛】本題考查基本不等式應用及其使用條件，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
34．④
【分析】由重要不等式可得，當時，等號成立，所以①錯誤；顯然若時，②和③均錯誤；利用基本不等式可知④正確.
【詳解】易知因為對于恒成立，當且僅當時，等號成立，所以①錯誤；
對于②，③，顯然時，不等式均不成立，即②和③錯誤；
對于④，因為，所以，由基本不等式可得，當且僅當a=b成立即④正確；
故答案為：④
35．##
【分析】根據給定條件，利用基本不等式及指數函數性質，借助媒介數比較大小即可.
【詳解】當時，，當且僅當，即時取等號，
而當時，，又在上單調遞增，因此，
所以.
故選：
36．見解析
【分析】展開并運用基本不等式即可得證.
【詳解】，當且僅當即時等號成立.
【點睛】本題考查基本不等式的應用，屬于基礎題.
37．證明見解析
【分析】根據基本不等式可得，，，然后根據不等式的性質相乘可證不等式成立
【詳解】因為a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以，
同理，.
上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，
得.
當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立.
【點睛】本題考查了利用基本不等式和不等式的性質證明不等式，屬于基礎題.
38．（1）16；（2）18；（3）
【分析】應用基本不等式即可.
【詳解】（1），
，
當且僅當，即時，上式取等號．
故當時，.
（2），，
當且僅當時，等號成立，∴的最小值為18.
（3）因為，
所以，即，
當且僅當，且，即時，等號成立，
∴的最大值為.
39．存在，a＝2，b＝8或a＝8，b＝2
【分析】利用進行轉化，利用基本不等式求最值，并求得取最值的條件，即得到結論
【詳解】因為(x>0，y>0),
所以，
又的最小值為18，所以.
由得或,
故存在實數a＝2，b＝8或a＝8，b＝2滿足條件．
【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，關鍵是運用“乘1”法轉化為利用基本不等式求最值，屬中檔題.
40．
【分析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因為、為正實數，且，則，
.
當且僅當時，等號成立，
因此，的最小值為.
【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于基礎題.
41．(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 當x＝18千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元.
【分析】（1）先確定所用時間，再乘以每小時耗油與每小時工資的和得到總費用表達式，（2）利用基本不等式求最值即得結果.
【詳解】(1)設所用時間為t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，這次行車總費用y關于x的表達式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
當且僅當＝x，
即x＝18時等號成立.
故當x＝18千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元.
【點睛】本題考查函數解析式以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
42．5
【分析】根據幾何概型的方法，作出可行域，先分析的范圍，再求解即可.
【詳解】由題意，，，故，作出可行域，設目標函數，則.易得過時取得最大值，過時取得最小值.故，，故 .
故的最大值為5.
故答案為：5
43．
【分析】根據題意得對任意，存在實數，使得成立，再結合將問題轉化為對任意恒成立，進而利用基本不等式求解即可.
【詳解】解：因為對任意，存在實數，使得成立，
所以對任意，存在實數，使得成立，
因為，當且僅當時等號成立，
所以有對任意恒成立，
即對任意恒成立，
由于，當且僅當，即時等號成立；
所以，即.
所以實數的最小值是
故答案為：
【點睛】本題考查不等式恒恒成立問題與存在性問題的解法，考查運算求解能力，化歸轉化思想，是中檔題.本題解題的關鍵在于注意運用絕對值三角不等式的性質和基本不等式求最值.
44．詳見解析
【詳解】試題分析：利用含絕對值的不等式進行放縮證明
試題解析：證明：因為
所以
考點：含絕對值的不等式證明
45．證明見解析
【分析】確定，利用絕對值不等式計算得到證明.
【詳解】證明：，
故|
；
故．
46．（1）證明見解析，的范圍是；（2）①1；②3.
【分析】（1）根據已知條件，結合絕對值三角不等式的公式，即可求解.
（2）①根據屬于關系得到關于的不等式，解出即可.
②根據絕對值不等式的性質求出函數的最小值即可.
【詳解】（1）因為，由三角不等式，有，
所以，且等號當且僅當，即時成立.
因此，對所有實數恒成立，當且僅當時，等號成立.
（2）①因為，且，所以，且，解得，
又因為，所以.
②因為；
當且僅當即時取到等號，
所以的最小值為3.
47．(1)
(2)
【分析】（1）利用分段函數求不等式即可；
（2）利用絕對值不等式先求得，再解一元二次不等式即可.
【詳解】（1）當時，求得，
當時，由，
當時，由，
所以不等式的解集是；
（2）因為，所以，
要使對一切實數x恒成立，
只要即可，
解之得，所以實數a的取值范圍為；
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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