資源簡介

第三章 冪、指數與對數-【滿分全攻略】（滬教版2020必修第一冊）
第三章 冪、指數與對數（知識清單+典型例題+提升訓練）
【知識導圖】
【知識清單】
考點1：冪與指數
1．根式及相關概念
（1）a的n次方根定義
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
（2）a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符號 a的取值范圍
n為奇數 R
n為偶數 ± [0，＋∞）
（3）根式
式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
2．根式的性質（n>1，且n∈N*）
（1）n為奇數時，＝a.
（2）n為偶數時，＝|a|＝
（3）＝0.
（4）負數沒有偶次方根．
3．分數指數冪的意義
分數指數冪 正分數指數冪 規定：a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）
負分數指數冪 規定：a－＝＝ （a>0，m，n∈N*，且n>1）
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于0， 0的負分數指數冪沒有意義
提示：①若a＝0，0的正分數指數冪恒等于0，即＝a＝0，無研究價值．
②若a<0，a＝不一定成立，如（－2）＝無意義，故為了避免上述情況規定了a>0.
4．有理數指數冪的運算性質
（1）aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）．
（2）（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）．
（3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．
5．無理數指數冪
一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．
題型一：n次方根的概念問題
【例1】　
1．（1）27的立方根是 ．
（2）已知，則x＝ ．
（3）若有意義，則實數x的取值范圍為 ．
【規律方法】n次方根的個數及符號的確定
（1）n的奇偶性決定了n次方根的個數；
（2）n為奇數時，a的正負決定著n次方根的符號.
【變式】
2．已知，，給出下列4個式子：①；②；③；④，其中無意義的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
題型二：利用根式的性質化簡求值
【例2】　
3．化簡下列各式：
（1）；
（2）；
（3）.
【規律方法】正確區分與（）n
（1）（）n已暗含了有意義，據n的奇偶性可知a的范圍；
（2）中的a可以是全體實數，的值取決于n的奇偶性．
【變式】
4．若，求的取值范圍．
題型三：有限制條件的根式的運算
【例3】　
5．若，則＝ .
6．若－3【規律方法】帶條件根式的化簡
（1）有條件根式的化簡問題，是指被開方數或被開方的表達式可以通過配方、拆分等方式進行化簡.
（2）有條件根式的化簡經常用到配方的方法.當根指數為偶數時，在利用公式化簡時，要考慮被開方數或被開方的表達式的正負.
題型四：根式與分數指數冪的互化
【例4】．（2023春·上海金山·高一統考階段練習）
7．將化為有理數指數冪的形式為 ．
【規律方法】根式與分數指數冪互化的規律
（1）根指數分數指數的分母，被開方數（式）的指數分數指數的分子．
（2）在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性質解題．
【變式1】（2022秋·上海浦東新·高一統考期末）
8．用有理數指數冪的形式表示（其中） .
【變式】（2022秋·上海徐匯·高一上海中學校考期中）
9．化簡 .
題型五：利用分數指數冪的運算性質化簡求解
【例5】（2023·全國·高一專題練習）
10． .
【規律方法】指數冪運算的常用技巧
1有括號先算括號里的，無括號先進行指數運算.
2負指數冪化為正指數冪的倒數.
3底數是小數，先要化成分數；底數是帶分數，要先化成假分數，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數冪的運算性質.
提醒：化簡的結果不能同時含有根式和分數指數，也不能既含有分母又含有負指數.
題型六：指數冪運算中的條件求值
【例6】　
11．已知，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
（2）a2＋a－2.
【規律方法】解決條件求值的思路
1在利用條件等式求值時，往往先將所求式子進行有目的的變形，或先對條件式加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯系，以便用整體代入法求值.
2在利用整體代入的方法求值時，要注意完全平方公式的應用.
題型七：無理數指數冪運算
【例7】（2022秋·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習）
12．已知，則化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式】．（2022春 寶山區校級期末）
13．已知，化簡 .
【提升訓練】
（2022秋·上海浦東新·高一上海市進才中學校考期中）
14．設，表示不超過的最大整數，若存在實數，使得，，…，同時成立，則正整數的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2022秋 奉賢區校級期末）
15．化簡∶= .
（2022秋 浦東新區校級期中）
16．對于，， ．
（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學校考期中）
17．已知，且，則 ．
（2023春·上海嘉定·高一統考階段練習）
18．當時，化簡 .
（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習）
19．已知，化簡： .
（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學校考期中）
20．已知，且，則的最小值是 ．
（2022秋·上海長寧·高一上海市延安中學校考期末）
21．用有理數指數冪的形式表示 ．
（2023秋·上海普陀·高一校考期末）
22．將化成有理數指數冪的形式為 ．
（2022秋·上海寶山·高一上海市行知中學校考期中）
23．化簡 .
（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中校考期中）
24．方程的兩根、，滿足，則
（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）
25．已知，且，若，則m的值為 ．
（2022秋·上海浦東新·高一上海市進才中學校考期中）
26．對于，， ．
考點2：對數
1．對數
（1）指數式與對數式的互化及有關概念：
（2）底數a的范圍是a>0，且a≠1.
2．常用對數與自然對數
3．對數的基本性質
（1）負數和零沒有對數．
（2）loga 1＝0（a>0，且a≠1）．
（3）logaa＝1（a>0，且a≠1）．
4．對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
（1）loga（MN）＝logaM＋logaN；
（2）loga＝logaM－logaN；
（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．
題型8：指數式與對數式的互化
【例8】
27．將下列對數形式化為指數形式或將指數形式化為對數形式：
(1)2－7＝；
(2)；
(3)lg1000＝3；
(4)
【規律方法】指數式與對數式互化的方法
（1）將指數式化為對數式，只需要將冪作為真數，指數當成對數值，底數不變，寫出對數式；
（2）將對數式化為指數式，只需將真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式.
【變式】
28．將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
題型9：利用指數式與對數式的關系求值
【例9】
29．求下列各式中x的值.
①；②logx8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
【規律方法】求對數式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步驟
（1）設logaN＝m；
（2）將logaN＝m寫成指數式am＝N；
（3）將N寫成以a為底的指數冪N＝ab，則m＝b，即logaN＝b.
【變式】
30．計算：
(1)log927；
(2)；
(3)
題型10：應用對數的基本性質求值
【例10】
31．設，則x的值等于（ ）
A．10 B．13
C．100 D．
32．若，則x的值等于 ．
【規律方法】1．利用對數性質求解的兩類問題的解法
（1）求多重對數式的值解題方法是由內到外，如求loga（logbc）的值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值．
（2）已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log”后再求解．
2．性質alogaN＝N與logaab＝b的作用
（1）alogaN＝N的作用在于能把任意一個正實數轉化為以a為底的指數形式．
（2）logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數轉化為一個實數．
題型11：對數運算性質的應用
【例11】
33．計算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【規律方法】1．利用對數性質求值的解題關鍵是化異為同，先使各項底數相同，再找真數間的聯系．
2．對于復雜的運算式，可先化簡再計算．化簡問題的常用方法：
（1）“拆”：將積（商）的對數拆成兩對數之和（差）；
（2）“收”：將同底對數的和（差）收成積（商）的對數．
【變式】
34．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
題型12：對數的換底公式
【例12】
35．（1）計算：；
（2）已知log189＝a，18b＝5，求log3645（用a，b表示）.
【規律方法】1．在化簡帶有對數的表達式時，若對數的底不同，需利用換底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．
【變式】
36．求值：（1）log23·log35·log516；
（2）(log32＋log92)(log43＋log83).
題型13：對數運算性質的綜合應用
【例13】
37．已知，且，求實數的值
【規律方法】應用換底公式應注意的兩個方面
（1）化成同底的對數時，要注意換底公式的正用、逆用以及變形應用.
（2）題目中有指數式和對數式時，要注意將指數式與對數式統一成一種形式.
【提升訓練】
（2023春·上海嘉定·高一統考階段練習）
38．若與互為相反數，則（ ）
A． B． C． D．以上答案均不對
（2023秋·上海松江·高一校考期末）
39．已知，則 .（用表示）
（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學校考期中）
40．已知則（用含的式子表示）
（2022秋·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習）
41．方程的實數解為 .
（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考期末）
42．已知，，用a及b表示 ．
（2023秋·上海徐匯·高一統考期末）
43．已知（a為常數，且，），則 ．（用a表示）
（2023春·上海金山·高一統考階段練習）
44．已知，用m表示為 ．
（2023春·上海寶山·高一統考期末）
45．若，則 （用含的式子表示）.
（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）
46．若代數式有意義，則實數的取值范圍是 .
（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習）
47．已知，求出方程組的所有解 .
（2022秋·上海長寧·高一上海市延安中學校考期末）
48．已知，用表示 ．
（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）
49．已知，，則的值為
（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學校考期末）
50．已知，則 （用m表示）．
（2023秋·上海閔行·高一統考期末）
51．已知，且，則實數m的值為 ．
（2022秋·上海寶山·高一校考期末）
52．已知，試用表示為 .
（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學校考期末）
53．已知，則的值為 ．
（2022秋·上海徐匯·高一校考期末）
54．已知，則的值等于 （用表示）.
（2023秋·上海徐匯·高一位育中學校考期末）
55．若，則 （用a、b表示）
（2023秋·上海松江·高一校考期末）
56．若，則 （用字母表示）.
（2022秋·上海楊浦·高一復旦附中校考期末）
57．已知，，則 .
（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學校考階段練習）
58．已知，，用及表示及．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 3
【分析】（1）根據立方根的定義可直接求得；（2）方程兩邊開次方，即可求得；（3）根據分式有意義列出不等式，求解即可.
【詳解】（1）根據題意，27的立方根是3；
（2）因為，
所以；
（3）要使有意義，則需要，即，
所以實數x的取值范圍是．
故答案為：（1）；（2）；（3）.
2．A
【分析】根據題意，由根式的定義，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】①中，所以有意義；
②中5為奇數，所以有意義；
③中，因此無意義；
④9為奇數，所以有意義．
故選：A．
3．（1）-4；（2）4；（3）當x≥-2時，原式=x+2，當x<-2時，原式=-x-2.
【分析】（1）利用有理數指數冪的運算性質以及有理數指數冪與根式的互化對各個關系式化簡即可求解；（2利用有理數指數冪的運算性質以及有理數指數冪與根式的互化對各個關系式化簡即可求解；（3）利用有理數指數冪的運算性質以及有理數指數冪與根式的互化分情況化簡即可求解.
【詳解】（1）原式=（-2）+（-2）=-4.
（2）原式=|-2|+2=2+2=4.
（3）原式=|x+2|=
4．
【分析】化簡方程左邊根式，解絕對值方程，即可求出的取值范圍.
【詳解】由題意，
∵，
由可知，∴．
故a的取值范圍為．
5．-1
【解析】利用絕對值和開偶次方根的運算法則化簡即可.
【詳解】∵，∴ ，，∴＝x－x－1＝－1.
故答案為：-1
【點睛】本題考查了絕對值和開偶次方根的運算法則，屬于基礎題.
6．原式＝
【解析】利用開偶次方根和絕對值的運算法則，分類討論計算即可.
【詳解】－＝－＝|x－1|－|x＋3|，－3當－3當1所以，原式＝
【點睛】本題考查了絕對值和開偶次方根的運算法則，分類討論的思想，屬于基礎題.
7．
【分析】根據分數指數冪的定義與運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故答案為：.
8．
【分析】根據冪指數和根式之間的互化即可求解.
【詳解】，
故答案為：
9．##
【分析】根據根式與分數冪之間的互化以及立方和公式即可求解.
【詳解】，
故答案為：
10．1
【分析】根據指數冪的運算法則與性質求解.
【詳解】
.
11．（1）14；（2）194
【解析】（1）利用平方關系，求解即可；
（2）利用（1）的結果，再平方計算即可.
【詳解】（1）將兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
（2）由（1）將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
【點睛】本題考查有理指數冪的運算法則的應用，化簡求值計算能力，屬于基礎題.
12．D
【分析】根據指數冪的運算公式化簡計算即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
故選：D.
13．
【分析】由冪的運算法則即可求解.
【詳解】解：因為，
所以由冪的運算法則得，
故答案為：.
14．A
【分析】根據取整函數的定義，分別求出滿足條件，， ，，的的范圍，研究它們的交集即可確定的最大值.
【詳解】，，，，
當時，，，
因為，所以，即
當時，，，，
因為，所以，
當時，，，，，
因為，所以，所以若則，此時，，故不存在滿足，， ，，同時成立，
正整數的最大值為4，
故選：A．
15．
【分析】利用指數冪的運算性質及平方差公式即可求解.
【詳解】.
故答案為:.
16．##
【分析】根據指數冪的運算性質，即可得出結果.
【詳解】∵，，
故答案為：
17．1
【分析】根據根式和指數冪的運算化簡即可求解.
【詳解】因為，，
所以，
所以，，
所以．
故答案為：1．
18．
【分析】利用根式的性質化簡可得結果.
【詳解】因為，則.
故答案為：.
19．
【分析】根據的運算性質，結合即可求解.
【詳解】因為，，
所以，.
故答案為：.
20．
【分析】利用均值不等式結合取等條件可得出答案.
【詳解】解：，且，
，當且僅當，即，時，等號成立，
即的最小值是．
故答案為：．
21．
【分析】直接根據分數指數冪與根式的互化以及其運算法則即可得到答案.
【詳解】，
故答案為：.
22．
【分析】根據根式與指數冪的關系直接轉化
【詳解】
故答案為：
23．1
【分析】利用指數冪的運算性質即可得出．
【詳解】
故答案為：1．
24．
【分析】由題意，結合韋達定理代入運算即可.
【詳解】由題意，，
由韋達定理，，
，
即，即，
故，即.
故答案為：.
25．
【分析】將兩邊平方后可求m的值.
【詳解】因為，則且，
故，故，
故答案為：
26．##
【分析】根據指數冪的運算性質，即可得出結果.
【詳解】∵，，
故答案為：
27．(1)log2
(2)
(3)103＝1 000
(4)
【分析】根據對數和指數互化公式得到相應結果即可.
【詳解】（1）由2－7＝，可得log2＝－7.
（2）由，可得＝32.
（3）由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
（4）由，可得e2＝x.
28．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）根據指數式與對數式的關系化簡可得；
（2）根據指數式與對數式的關系化簡可得；
（3）根據對數式與指數式的關系化簡可得；
（4）根據對數式與指數式的關系化簡可得.
【詳解】（1）由，可得；
（2）由，可得；
（3）由，可得；
（4）由，可得.
29．①x＝；②x＝；；③x＝2；④x＝－2.
【分析】根據對數式與指數式的轉化，即可求解.
【詳解】①由log64x＝得x＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.
【點睛】本題主要考查了對數式與指數式的互化，對數的定義，屬于容易題.
30．(1)
(2)16
(3)3
【分析】根據對數運算法則依次進行運算即可.
【詳解】（1）設x＝log9 27，則9x＝27，32x＝33，∴x＝
（2）設x＝
（3）令
31．B
【分析】由公式指數性質和對數的性質即即得.
【詳解】由得，所以.
故選：B.
32．
【分析】通過指對互化即可求解．
【詳解】因為，所以，
所以
故答案為：.
33．（1）；（2）3；（3）.
【分析】（1）本小題運用對數的運算直接計算即可；
（2）本小題運用對數的運算直接計算即可；
（3）本小題運用對數的運算直接計算即可.
【詳解】解：（1）
（2）
（3）
【點睛】本題考查對數的運算，是基礎題.
34．(1)1
(2)3
【分析】根據對數運算法則分別化簡求值即可.
【詳解】（1）原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
（2）lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
35．（1）13；（2）
【解析】（1）根據對數的運算性質和運算法則求解即可；
（2）使用換底公式和對數運算性質得出.
【詳解】（1）
=
=
=
=
=13
（2）∵18b＝5，∴b＝log185，又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝.
【點睛】本題考查了對數的運算性質和運算法則，以及換底公式的運用，屬于中檔題.
36．（1）4；（2）
【解析】利用對數的換底公式和運算法則求解即可.
【詳解】（1）原式＝··＝＝＝4.
（2）原式＝＝＝·＝.
【點睛】本題考查對數的換底公式和運算法則的求值，注意指數式和對數式的運算法則的合理運用，屬于基礎題．
37．
【分析】由指數與對數互化得，進而結合換底公式與對數運算性質求解即可.
【詳解】解：∵，
∴，.
∵，∴，
∴.
∴，∴（舍去）.
即實數的值為
38．C
【分析】利用對數運算的基本性質可得出結論.
【詳解】因為與互為相反數，則，因此，.
故選：C.
39．
【分析】利用換底公式求解即可.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：
40．
【分析】指數式化為對數式，再利用換底公式進行求解.
【詳解】因為，所以，
故
故答案為：
41．
【分析】分、兩種情況化簡方程，求出的值，解之即可.
【詳解】當時，則，由可得，可得（舍）；
當時，則，由可得，可得，解得.
故答案為：.
42．
【分析】先把轉化為，再利用對數的運算性質即可求解．
【詳解】因為，所以，所以．
故答案為：．
43．
【分析】先利用指數式和對數式互化得到所以，再利用換底公式得到，然后利用對數運算求解.
【詳解】因為，
所以，
則，
所以，
故答案為：
44．##
【分析】先根據指對互化可得，再結合對數運算求解.
【詳解】∵，則，
∴.
故答案為：.
45．
【分析】利用對數的換底公式，結合對數運算性質求解作答.
【詳解】由，得，即，
所以.
故答案為：
46．
【分析】由題得，解出即可.
【詳解】根據真數大于0得，解得，
故答案為：.
47．，或，
【分析】利用取對數法，結合對數的運算性質、換底公式進行求解即可.
【詳解】當時，因為，所以由，顯然滿足，
同理當時，得，
當且時，
由，
由，
于是有，
當時，得，代入中，得
，或舍去，所以；
當時，得，代入中，得
，因為，所以，所以方程無實數根，
綜上所述：方程組的所有解 ，或，
故答案為：，或，
48．##
【分析】根據換底公式，結合對數的運算性質進行求解即可.
【詳解】，
故答案為：
49．##
【分析】利用對數運算和指對數互換可化簡，，即可求得答案
【詳解】由可得，
由可得，
所以
故答案為：
50．
【分析】由對數的換底公式及運算法則求解．
【詳解】由題意．
故答案為：．
51．45
【分析】根據已知結合換底公式可得，，代入整理可得，即可得出結果.
【詳解】由可知，，顯然.
則，，
所以，，則由
可得，，所以.
故答案為：45.
52．
【分析】指對互化可得，由換底公式可得，由可得答案.
【詳解】因為，所以，可得，
.
故答案為：.
53．
【分析】由對數的運算法則可得，進而可得.
【詳解】解：因為，
所以，
所以.
故答案為：
54．
【分析】由指數式與對數式的互化，結合對數的運算求解即可.
【詳解】因為，所以，所以.
故答案為：
55．##
【分析】根據指數式與對數式的互化公式，結合對數的運算性質進行求解即可.
【詳解】，
，
故答案為：
56．
【分析】根據指對數互化可得，進而結合對數的運算求解.
【詳解】因為，可得，
所以.
故答案為：.
57．
【分析】由題知，，再根據換底公式計算即可；
【詳解】解：因為，，所以，，
所以.
故答案為：
58．，
【分析】根據換底公式求解即可.
【詳解】由換底公式，，.
即，
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑