資源簡(jiǎn)介

2.2基本不等式（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：對(duì)基本不等式的理解
重點(diǎn)題型二：利用基本不等式證明不等式
重點(diǎn)題型三：利用基本不等式求最值
角度1：和為定值求積的最值
角度2：積為定值求和的最值
角度3：常數(shù)代換法
角度4：消元法
角度5：二次與二次（或一次）商式
重點(diǎn)題型四：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型五：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
基本不等式:,,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．
如果，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”號(hào)成立.
知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值
①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；
②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；
知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈
（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式
如果，，，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤．
（1）對(duì)于任意均成立．( )
（2）若a，b同號(hào)，則．( )
（3）若，則恒成立．( )
（4）若，且，則．( )
2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)x，y滿足，且x，y都是正數(shù)，則的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一開學(xué)考試）下列說法正確的為（ ）
A．
B．函數(shù)的最小值為4
C．若則最大值為1
D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8
重點(diǎn)題型一：對(duì)基本不等式的理解
典型例題
例題1．（多選）下列說法正確的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
同類題型演練
1．（多選）已知正數(shù)a，b，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為2 B．
C． D．
2．（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
重點(diǎn)題型二：利用基本不等式證明不等式
典型例題
例題1．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期中（文））設(shè)，，且．求證：
(1)；
(2)與不可能同時(shí)成立．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，求證：.
重點(diǎn)題型三：利用基本不等式求最值
角度1：和為定值求積的最值
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·鶴崗一中高一期末）若，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的最大值為______________
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足條件2a+b=1，則ab的最大值為（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2022·江蘇·高一）已知正數(shù)x、y滿足x+=4，則xy的最大值為_______.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值是 _______
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則取最大值時(shí)的x的值為______.
角度2：積為定值求和的最值
典型例題
例題1．（2022·北京市第十一中學(xué)高二期末）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·重慶八中高一期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是___________.
同類題型演練
1．（2022·山東濱州·高二期中）若，則函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．2.5
2．（2022·天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
3．（2022·廣東汕頭·高一期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．
4．（2022·河北·深州長江中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值為___________.
角度3：常數(shù)代換法
典型例題
例題1．（2022·湖北·安陸第一高中高一階段練習(xí)）若、是兩正實(shí)數(shù)，，則的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測(cè)（文））若，其中，則的最小值為______．
例題3．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知 為正實(shí)數(shù)， 且， 則 的最小值為___________．
同類題型演練
1．（2022·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的取值可能為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·金華市曙光學(xué)校高一階段練習(xí)）已知 x，y＞0，當(dāng)x+y＝2時(shí)，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）若，，且，則的最小值是______．
角度4：消元法
典型例題
例題1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．10
同類題型演練
1．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））已知，，則的最小值為_______．
2．（2022·湖北·石首市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則的最小值為_________．
角度5：二次與二次（或一次）商式
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是________．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若 ，則有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則（ ）
A． B．2 C．4 D．6
重點(diǎn)題型四：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時(shí)間段內(nèi)車流量（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（單位：千米/小時(shí)）、平均車長（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時(shí)時(shí)，車流量為1萬輛/小時(shí)．
(1)求該車型的平均車長；
(2)該車型的汽車在該時(shí)間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量達(dá)到最大值？
例題2．（2022·江蘇·高一）為宣傳2022年北京冬奧會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.
(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；
(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？
重點(diǎn)題型五：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題
典型例題
例題1．(多選）（2022·河北保定·高二期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
3．（2021·河南·高一階段練習(xí)）已知x、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
4．（2021·安徽·高一期中）不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
1．（2022·江蘇·高一）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陜西·大荔縣教學(xué)研究室高二期末（文））在中國，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長等于則這個(gè)直角三角形周長的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2022·山西·榆次一中高一開學(xué)考試）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為
C．若，則
D．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為2
4．（2022·山西·臨汾第一中學(xué)校高一期末）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長分別為、、，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為___________.
1．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若、，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·上海黃浦·二模）若、均為非零實(shí)數(shù)，則不等式成立的一個(gè)充要條件為（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．
4．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．
5．（2022·上海松江·二模）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_______．
2.2基本不等式（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：對(duì)基本不等式的理解
重點(diǎn)題型二：利用基本不等式證明不等式
重點(diǎn)題型三：利用基本不等式求最值
角度1：和為定值求積的最值
角度2：積為定值求和的最值
角度3：常數(shù)代換法
角度4：消元法
角度5：二次與二次（或一次）商式
重點(diǎn)題型四：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型五：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
基本不等式:,,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．
如果，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”號(hào)成立.
知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值
①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；
②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；
知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈
（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式
如果，，，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）
1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤．
（1）對(duì)于任意均成立．( )
（2）若a，b同號(hào)，則．( )
（3）若，則恒成立．( )
（4）若，且，則．( )
【答案】 錯(cuò)誤 正確 錯(cuò)誤 正確
（1）當(dāng)，時(shí)，式子中的無意義，故該結(jié)論錯(cuò)誤．
（2）∵，同號(hào)，
∴
∴，故該結(jié)論正確．
（3）當(dāng)，時(shí)，明顯不成立，故該結(jié)論錯(cuò)誤．
（4）∵
∴時(shí)，，則成立，
故該結(jié)論正確．
2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)x，y滿足，且x，y都是正數(shù)，則的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
【答案】A
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最大值為400
故選：A．
3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
∵，，
∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴．
故選：D．
4．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一開學(xué)考試）下列說法正確的為（ ）
A．
B．函數(shù)的最小值為4
C．若則最大值為1
D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8
【答案】C
對(duì)于選項(xiàng),只有當(dāng)時(shí)，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；
對(duì)于選項(xiàng),，令，
即在上單調(diào)遞增，則最小值為,
則不正確；
對(duì)于選項(xiàng),，則正確；
對(duì)于選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，即，等號(hào)成立，則不正確.
故選：.
重點(diǎn)題型一：對(duì)基本不等式的理解
典型例題
例題1．（多選）下列說法正確的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】AB
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），A正確；
，因?yàn)椋裕珺正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.
故選:AB.
同類題型演練
1．（多選）已知正數(shù)a，b，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為2 B．
C． D．
【答案】BC
解：A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故“等號(hào)”不成立，A不正確；
B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D不正確；
故選：BC
2．（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ABCD
A中，因?yàn)椋苫静坏仁娇芍闪ⅲ?br/>B中，因?yàn)椋裕裕猿闪ⅲ?br/>C中，因?yàn)椋苫静坏仁娇芍闪ⅲ?br/>D中，因?yàn)椋苫静坏仁娇傻贸闪?
故選：ABCD
重點(diǎn)題型二：利用基本不等式證明不等式
典型例題
例題1．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期中（文））設(shè)，，且．求證：
(1)；
(2)與不可能同時(shí)成立．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
(1)因?yàn)椋遥?br/>所以，
所以，即，
因?yàn)椋瑒t，
所以，得證．
(2)假設(shè)與同時(shí)成立，
由及得：；
由及得：，
從而，與相矛盾，故假設(shè)不成立．
故與不可能同時(shí)成立．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，求證：.
【答案】證明見解析
因?yàn)椋?br/>.
所以.
重點(diǎn)題型三：利用基本不等式求最值
角度1：和為定值求積的最值
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·鶴崗一中高一期末）若，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因?yàn)椋紴檎龑?shí)數(shù)，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.
故選：D
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的最大值為______________
【答案】
因?yàn)椋?，
由均值不等式可得： ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足條件2a+b=1，則ab的最大值為（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b，滿足2a+b=1，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以ab的最大值為.
故選：C
2．（2022·江蘇·高一）已知正數(shù)x、y滿足x+=4，則xy的最大值為_______.
【答案】8
解：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以xy的最大值為8.
故答案為：8.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值是 _______
【答案】
，故，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，
故答案為：.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則取最大值時(shí)的x的值為______.
【答案】
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
角度2：積為定值求和的最值
典型例題
例題1．（2022·北京市第十一中學(xué)高二期末）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．
故選：D．
例題2．（2022·重慶八中高一期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是___________.
【答案】4
正實(shí)數(shù)，滿足，則,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)，
故答案為：4
同類題型演練
1．（2022·山東濱州·高二期中）若，則函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．2.5
【答案】D
解：因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以函數(shù)的最小值為，
故選：D.
2．（2022·天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
【答案】
解：因?yàn)椤⑶遥?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)；
故答案為：
3．（2022·廣東汕頭·高一期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．
【答案】3
由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：3
4．（2022·河北·深州長江中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值為___________.
【答案】
因?yàn)椋裕?
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，
取最大值，即.
故答案為：3.
角度3：常數(shù)代換法
典型例題
例題1．（2022·湖北·安陸第一高中高一階段練習(xí)）若、是兩正實(shí)數(shù)，，則的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因?yàn)椤⑹莾烧龑?shí)數(shù)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.
故選：C.
例題2．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測(cè)（文））若，其中，則的最小值為______．
【答案】9
因，其中，即有，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取“=”，
所以的最小值為9.
故答案為：9
例題3．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知 為正實(shí)數(shù)， 且， 則 的最小值為___________．
【答案】
由題意
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·湖北·高二學(xué)業(yè)考試）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的取值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故選：D
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因?yàn)椋遥?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，的最小值為.
故選：B
3．（2022·浙江·金華市曙光學(xué)校高一階段練習(xí)）已知 x，y＞0，當(dāng)x+y＝2時(shí)，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)
故選：C
4．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）若，，且，則的最小值是______．
【答案】16
因?yàn)椋遥?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
角度4：消元法
典型例題
例題1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
因?yàn)椋瑒t，
于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值14.
故選：A
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
整理為：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，從而的最小值是10
故選：D
同類題型演練
1．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））已知，，則的最小值為_______．
【答案】####
∵，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“等號(hào)”，
∴的最小值為,
故答案為：.
2．（2022·湖北·石首市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則的最小值為_________．
【答案】3
因?yàn)椋裕?br/>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
故答案為：3．
角度5：二次與二次（或一次）商式
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
∵，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即有最小值2.
故選：D.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是________．
【答案】
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，函數(shù)的最小值為.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若 ，則有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
因，則，
于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值.
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
由題意，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以.
故選：C.
重點(diǎn)題型四：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時(shí)間段內(nèi)車流量（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（單位：千米/小時(shí)）、平均車長（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時(shí)時(shí)，車流量為1萬輛/小時(shí)．
(1)求該車型的平均車長；
(2)該車型的汽車在該時(shí)間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量達(dá)到最大值？
【答案】(1)5(2)80千米/小時(shí)
(1)解：由題意：當(dāng)時(shí)，，
，．
該車型的平均車長為5米．
(2)解：由（1）知，函數(shù)的表達(dá)式為（）．
，．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故當(dāng)汽車的平均速度為千米/小時(shí)時(shí)車流量達(dá)到最大值．
例題2．（2022·江蘇·高一）為宣傳2022年北京冬奧會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.
(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；
(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？
【答案】(1)
(2)當(dāng)海報(bào)紙寬為，長為，可使用紙量最少．
(1)宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，直角梯形的高為，
則梯形長的底邊，
海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，
，，
故海報(bào)面積為．
(2)直角梯形的高為，宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，
，
海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，
海報(bào)寬，海報(bào)長，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
故當(dāng)海報(bào)紙寬為，長為，可使用紙量最少．
重點(diǎn)題型五：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題
典型例題
例題1．(多選）（2022·河北保定·高二期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】BCD
由，得，因?yàn)椋裕裕瑒t，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，
因?yàn)楹愠闪ⅲ裕獾?故A錯(cuò).
故選：BCD.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．
【答案】
由得．
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴，∴的最大值為．
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】或
不等式有解，
，
，，且，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“”，
，
故，即，
解得或，
故答案為：或．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，只需滿足，
因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
3．（2021·河南·高一階段練習(xí)）已知x、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
因?yàn)閤、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，由可得，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,
故答案為：
4．（2021·安徽·高一期中）不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
解：∵對(duì)一切恒成立，
∴對(duì)一切恒成立，
∵，∴
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào).
∵不等式對(duì)一切恒成立，
∴.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：
1．（2022·江蘇·高一）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
設(shè)，可得圓的半徑為，
又由，
在直角中，可得，
因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故選：D.
2．（2022·陜西·大荔縣教學(xué)研究室高二期末（文））在中國，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長等于則這個(gè)直角三角形周長的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.
因?yàn)椋?br/>所以， 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故這個(gè)直角三角形周長的最大值為
故選：C
3．（多選）（2022·山西·榆次一中高一開學(xué)考試）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為
C．若，則
D．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為2
【答案】CD
對(duì)于A，若，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵，∴，，
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為4，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵，∴，，又，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），C正確；
對(duì)于D，令，則，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最小值是2．D正確．
故選：CD
4．（2022·山西·臨汾第一中學(xué)校高一期末）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長分別為、、，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為___________.
【答案】
由已知可得，所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故該三角形面積的最大值為.
故答案為：.
1．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若、，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
因?yàn)椤ⅲ裕矗裕矗?dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A.
2．（2022·上海黃浦·二模）若、均為非零實(shí)數(shù)，則不等式成立的一個(gè)充要條件為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
解：因?yàn)椤⒕鶠榉橇銓?shí)數(shù)且，所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>由，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以不等式成立的一個(gè)充要條件為；
故選：A
3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．
【答案】
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
4．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．
【答案】4
，,
，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，
結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
5．（2022·上海松江·二模）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_______．
【答案】
因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，
解得或（舍去），
即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：4

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