資源簡(jiǎn)介

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：一元二次不等式（不含參）的求解
重點(diǎn)題型二：一元二次不等式（含參）的求解
角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)
角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參
重點(diǎn)題型三：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系
重點(diǎn)題型四：分式不等式的解法
重點(diǎn)題型五：不等式恒成立問題
重點(diǎn)題型六：一元二次不等式的實(shí)際問題
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的有關(guān)概念
1、一元二次不等式
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均為常數(shù)）
②（其中均為常數(shù)）
③（其中均為常數(shù)）
④（其中均為常數(shù)）
2、一元二次不等式的解與解集
使某一個(gè)一元二次不等式成立的的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集.
將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.
知識(shí)點(diǎn)二：四個(gè)二次的關(guān)系
2.1一元二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．
2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系
對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.
判別式
二次函數(shù)(的圖象
一元二次方程 ()的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，() 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 沒有實(shí)數(shù)根
()的解集
()的解集
知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解法
1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；
2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：
①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；
②時(shí)，求根；
③時(shí)，方程無解
3：根據(jù)不等式，寫出解集.
知識(shí)點(diǎn)四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定義：
與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：
②
③
④
⑤
1．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）的解集為（ ）
A． B．或 C． D．
2．（2022·吉林·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（ ）
A．R B． C． D．
4．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
5．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
重點(diǎn)題型一：一元二次不等式（不含參）的求解
典型例題
例題1．解下列不等式．
(1)；
(2)．
例題2．求下列不等式的解.
(1)
(2)
同類題型演練
1．解下列不等式:
(1)； (2)；
(3)； (4).
2．求下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)．
3．求下列方程或不等式的解集．
(1)解方程；
(2)解不等式．
4．解下列不等式:
(1)；
(2)
重點(diǎn)題型二：一元二次不等式（含參）的求解
角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：；
例題2．（2022·重慶市璧山來鳳中學(xué)校高二期末）在①，
②，
③
這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
已知，_________，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·山西運(yùn)城·高二期末）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
2．（2022·河南許昌·高二期末（理））已知函數(shù)．
(1)求關(guān)于x的不等式的解集；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
3．（2022·廣東茂名·高一期末）解關(guān)于的不等式.
角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參
典型例題
例題1．解下列關(guān)于的不等式：（）.
例題2．解關(guān)于的不等式．
同類題型演練
1．解關(guān)于x的不等式
2．設(shè)函數(shù).
(1)若，解不等式；
(2)若，解關(guān)于x的不等式
3．求關(guān)于x的不等式 （其中）的解集.
重點(diǎn)題型三：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·河南·鄭州市第七中學(xué)高二期末（理））已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A．或 B．
C．或 D．
例題2．（2022·重慶市涪陵第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則不等的解集是（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集是，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
3．（2022·全國(guó)·高一期末）若的解集是，則等于（ ）
A．-14 B．-6 C．6 D．14
4．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高一期末）已知關(guān)于x的不等式解集為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為
5．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期中）若關(guān)于x不等式的解集為，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
重點(diǎn)題型四：分式不等式的解法
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川三沙源上游學(xué)校高二期中（文））解下列不等式：
.
例題2．（2022·北京市第九中學(xué)高一期中）解下列關(guān)于的不等式：
；
同類題型演練
1．（2022·浙江·高一期中）求下列不等式的解集.
2．（2021·北京市第三中學(xué)高一期中）解下列關(guān)于x的不等式．
3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高一期中）解關(guān)于的不等式：
4．（2022·江蘇·常州市北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）解下列不等式：
．
重點(diǎn)題型五：不等式恒成立問題
典型例題
例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．或
例題2．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
同類題型演練
1．（2022·天津·耀華中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南·嘉積中學(xué)高一階段練習(xí)）對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北保定·高二期末）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍是_________.
4．（2022·江蘇南京·高二期末），則的取值范圍為__________．
5．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)高二期中）已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
重點(diǎn)題型六：一元二次不等式的實(shí)際問題
1．某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．
（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；
（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
2．某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1 000個(gè)，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本．若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x(0＜x＜1)，則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為0.8x，
（1）為使日利潤(rùn)有所增加，求x的取值范圍；
（2）當(dāng)每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為多少時(shí)，日利潤(rùn)最大，并求出最大日利潤(rùn).
3．某公司銷售一批新型削筆器，該削筆器原來每個(gè)售價(jià)15元，年銷售18萬個(gè).
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若一個(gè)削筆器的售價(jià)每提高1元，年銷售量將相應(yīng)減少2000個(gè)，要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器每件售價(jià)最多為多少元？
（2）為了提高年銷售量，公司立即對(duì)該削筆器進(jìn)行技術(shù)革新和銷售策略改革，并提高售價(jià)到元.公司計(jì)劃投入萬元作為技改費(fèi)用，投入30萬元作為固定宣傳費(fèi)用.試問：技術(shù)革新后，該削筆器的年銷售量至少達(dá)到多少萬個(gè)時(shí)，才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求此時(shí)每個(gè)削筆器售價(jià)？
4．為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．某大學(xué)畢業(yè)生按照相關(guān)政策投資銷售一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量y（單位：件）與銷售單價(jià)x（單位：元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：．
（1）設(shè)他每月獲得的利潤(rùn)為w（單位：元），寫出他每月獲得的利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系．
（2）相關(guān)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果他想要每月獲得的利潤(rùn)不少于3000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？
1．已知不等式有實(shí)數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)是的兩個(gè)解，則對(duì)于任意的，不等式和恒成立；結(jié)論（2）：設(shè)是的一個(gè)解，若總存在，使得，則，下列說法正確的是（ ）
A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立
C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立
2．已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知不等式的解集中恰有五個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.
2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：一元二次不等式（不含參）的求解
重點(diǎn)題型二：一元二次不等式（含參）的求解
角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)
角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參
重點(diǎn)題型三：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系
重點(diǎn)題型四：分式不等式的解法
重點(diǎn)題型五：不等式恒成立問題
重點(diǎn)題型六：一元二次不等式的實(shí)際問題
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的有關(guān)概念
1、一元二次不等式
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均為常數(shù)）
②（其中均為常數(shù)）
③（其中均為常數(shù)）
④（其中均為常數(shù)）
2、一元二次不等式的解與解集
使某一個(gè)一元二次不等式成立的的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集.
將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.
知識(shí)點(diǎn)二：四個(gè)二次的關(guān)系
2.1一元二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．
2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系
對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.
判別式
二次函數(shù)(的圖象
一元二次方程 ()的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，() 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 沒有實(shí)數(shù)根
()的解集
()的解集
知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解法
1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；
2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：
①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；
②時(shí)，求根；
③時(shí)，方程無解
3：根據(jù)不等式，寫出解集.
知識(shí)點(diǎn)四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定義：
與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：
②
③
④
⑤
1．（2022·湖南·懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二學(xué)業(yè)考試）的解集為（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
解：因?yàn)闀r(shí)，解得或，
所以的解集為或.
故選：B.
2．（2022·吉林·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意知，集合或，集合或，則.
故選：C.
3．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（ ）
A．R B． C． D．
【答案】B
由，得，
得，
所以不等式的解集為.
故選：B
4．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
解：原式化為，即，故不等式的解集為.
故選:D
5．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因?yàn)椋?br/>故選：D.
重點(diǎn)題型一：一元二次不等式（不含參）的求解
典型例題
例題1．解下列不等式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)或
(1)解：（1）∵，∴，解得，
故原不等式的解集為．
(2)∵，∴，解得或，
故原不等式的解集為或．
例題2．求下列不等式的解.
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
(1)由，得，解得，
所以不等式的解集為
(2)由，得，，
所以，且，解得
所以原不等式的解集為
同類題型演練
1．解下列不等式:
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)； (2)；
(3)； (4).
(1)，可得，
∴不等式解集為.
(2)原不等式等價(jià)于，
∴，可得.
∴不等式解集為.
(3)，可得，
∴不等式解集為.
(4)原不等式等價(jià)于，即，顯然無解，
∴不等式的解集為.
2．求下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)或(3)
(1)依題意：，解集為.
(2)依題意：或，或，解集為或.
(3)依題意：,,,,解集為.
3．求下列方程或不等式的解集．
(1)解方程；
(2)解不等式．
【答案】(1)；
(2)或.
(1)，
∴或，即或，解得，，，．
∴方程的解集為．
(2)，即，
∴或，故不等式的解集為或．
4．解下列不等式:
(1)；
(2)
【答案】(1){或}(2)
(1)解：由得：，
解得：或，
所以不等式的解集為：{或}；
(2)解：由，得，
令，可知，
則對(duì)應(yīng)拋物線開口向上，
所以的解集為：.
重點(diǎn)題型二：一元二次不等式（含參）的求解
角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：；
（不等式可化為.
①當(dāng)時(shí)，，解集為，或；
②當(dāng)時(shí)，，解集為；
③當(dāng)時(shí)，，解集為，或.
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，或；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，或.
例題2．（2022·重慶市璧山來鳳中學(xué)校高二期末）在①，
②，
③
這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
已知，_________，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】答案見解析.
由命題，得到，規(guī)定集合.設(shè)q對(duì)應(yīng)的x的范圍即為集合B.
因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以BA.
選條件①.
由可解得：.
因?yàn)锽A，只需解得：，
當(dāng)時(shí)，，有BA；
當(dāng)時(shí)，，有BA；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
選條件②，
由可解得：.
因?yàn)锽A，只需解得：，
當(dāng)時(shí)，，有BA；
當(dāng)時(shí)，，有BA；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
選條件③.
由可解得：.
因?yàn)锽A，只需解得：，
當(dāng)時(shí)，，有BA；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為
同類題型演練
1．（2022·山西運(yùn)城·高二期末）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)(2)答案見解析
(1)當(dāng)時(shí)，，
解得為，所以解集為
(2)由可得，
①當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；
②當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，此時(shí)解集為；
③當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為
綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為.
2．（2022·河南許昌·高二期末（理））已知函數(shù)．
(1)求關(guān)于x的不等式的解集；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析(2)
(1)解：由已知易得即為：，
令可得與，
所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
(2)解：由可得，
由，得，
所以可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以的取值范圍是.
3．（2022·廣東茂名·高一期末）解關(guān)于的不等式.
原不等式可化為，即，
①當(dāng)，即時(shí)，；
②當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；
③當(dāng)，即時(shí)，.
綜上知：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)原不等式的解集為.
角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參
典型例題
例題1．解下列關(guān)于的不等式：（）.
【答案】當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為
當(dāng)時(shí)，原不等式，解的；
當(dāng)時(shí)，原不等式，又
所以解集為；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?br/>所以解集為.
綜上有，時(shí)，解集為；
時(shí)，解集為；
時(shí)，解集為.
例題2．解關(guān)于的不等式．
解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式，解得，
不等式解集為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
開口向上，由圖象得：
若時(shí)，，
的兩個(gè)零點(diǎn)為，，
不等式的解集為；
若時(shí)，，不等式解集為；
（3）當(dāng)時(shí)，，
的兩個(gè)零點(diǎn)為，
開口向下，
由圖象得不等式解集為
綜上可知，當(dāng)時(shí)不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為．
同類題型演練
1．解關(guān)于x的不等式
解：關(guān)于x的不等式
可化為
（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
（2）當(dāng)，所以
所以方程的兩根為-1和，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，．
（3）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榉匠痰膬筛鶠椤?和，
又因?yàn)椋裕?br/>即不等式的解集是，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或}，
2．設(shè)函數(shù).
(1)若，解不等式；
(2)若，解關(guān)于x的不等式
【答案】(1)或；(2)詳見解析.
(1)當(dāng)時(shí)，由，解得或，
故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.
(2)由可得，
當(dāng)時(shí)，方程的兩根分別為，.
當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得；
當(dāng)時(shí)，原不等式即為，該不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
3．求關(guān)于x的不等式 （其中）的解集.
【答案】時(shí)，不等式的解集為，時(shí)，解集為．
不等式可化為，
時(shí)，或，
時(shí)，，
時(shí)，或．
綜上，時(shí)，不等式的解集為，時(shí)，解集為．
重點(diǎn)題型三：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·河南·鄭州市第七中學(xué)高二期末（理））已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
由題意知：且，得，
從而可化為，等價(jià)于，解得或.
故選：A.
例題2．（2022·重慶市涪陵第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則不等的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因?yàn)椴坏仁降慕饧?
故且2,3為的兩根.
根據(jù)韋達(dá)定理有 ,故,
故可寫成,
因?yàn)椋?br/>解得，即
故選：C.
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集是，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因?yàn)椴坏仁降慕饧牵?br/>所以方程的兩根為，
所以由韋達(dá)定理得，，即，
所以，解不等式得解集為
故選：C
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
【答案】B
解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為或，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由題得，所以為.所以選項(xiàng)B正確；
設(shè)，則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
不等式為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B
3．（2022·全國(guó)·高一期末）若的解集是，則等于（ ）
A．-14 B．-6 C．6 D．14
【答案】A
∵的解集為，
∴-5和2為方程的兩根，
∴有，解得，
∴.
故選：A.
4．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高一期末）已知關(guān)于x的不等式解集為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為
【答案】D
由已知可得－2，3是方程的兩根，
則由根與系數(shù)的關(guān)系可得且，解得，所以A正確；
對(duì)于B，化簡(jiǎn)為，解得，B正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，化簡(jiǎn)為：，解得，D錯(cuò)誤．
故選：D.
5．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期中）若關(guān)于x不等式的解集為，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
解：化為，
因?yàn)槠浣鉃椋?br/>所以a＜0，且－1和是方程的兩根，
根據(jù)韋達(dá)定理得，
①，
②，
∴①÷②得，
∵a＜0，，
∴b＞0，c＞0，
∴化為，即，解得x＞4或x＜－1．
故選：D
重點(diǎn)題型四：分式不等式的解法
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川三沙源上游學(xué)校高二期中（文））解下列不等式：
.
【答案】
，
解得，解集為
例題2．（2022·北京市第九中學(xué)高一期中）解下列關(guān)于的不等式：
；
【答案】(1)；
由得：，解得：，不等式的解集為；
同類題型演練
1．（2022·浙江·高一期中）求下列不等式的解集.
【答案】
原不等式轉(zhuǎn)化為：
且
所以，
所以，原不等式的解集為.
2．（2021·北京市第三中學(xué)高一期中）解下列關(guān)于x的不等式．
【答案】；
由題意，，不等式的解集為.
3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高一期中）解關(guān)于的不等式：
【答案】.
由得：，，解得：，
不等式的解集為.
4．（2022·江蘇·常州市北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）解下列不等式：
．
【答案】
將不等式變形為，
即且，
解得，
所以不等式的解集為．
重點(diǎn)題型五：不等式恒成立問題
典型例題
例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
等價(jià)于．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：B．
例題2．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
當(dāng)時(shí)顯然恒成立，
當(dāng)時(shí)要使命題為真，則：
可得；而時(shí)不可能恒成立，
綜上，k的取值范圍是.
故選：B
同類題型演練
1．（2022·天津·耀華中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，故滿足要求；
當(dāng)時(shí)，要滿足：
，解得：，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
2．（2022·海南·嘉積中學(xué)高一階段練習(xí)）對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
當(dāng)時(shí)，由得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，解得：，
即的取值范圍為.
故選：D.
3．（2022·河北保定·高二期末）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍是_________.
【答案】
由題意可知命題“，”是真命題，即，.因?yàn)椋裕瑒t.
故答案為：.
4．（2022·江蘇南京·高二期末），則的取值范圍為__________．
【答案】
由題設(shè)，可得.
故答案為：
5．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)高二期中）已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
由題意得，“，”是真命題，
則對(duì)恒成立，
在區(qū)間上，的最小值為，
所以，
即a的取值范圍是.
故答案為：
重點(diǎn)題型六：一元二次不等式的實(shí)際問題
1．某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．
（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；
（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
【答案】（1），；（2）．
（1）利用年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量列出表達(dá)式即可，要注意根據(jù)實(shí)際意義注明函數(shù)的定義域；（2）通過解一元二次不等式得到所求增加比例的范圍．
試題解析：（1）由題意得：，，
整理得：，
（2）要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須，
即，．
解得，所以投入成本增加的比例應(yīng)在范圍內(nèi)．
2．某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1 000個(gè)，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本．若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x(0＜x＜1)，則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為0.8x，
（1）為使日利潤(rùn)有所增加，求x的取值范圍；
（2）當(dāng)每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為多少時(shí)，日利潤(rùn)最大，并求出最大日利潤(rùn).
【答案】（1）；（2）當(dāng)，最大日利潤(rùn)是元.
（1）由題意得：日利潤(rùn)為： ，
，
若日利潤(rùn)有所增加，則 ，
即 ，
解得 ，
所以x的取值范圍是；
（2）由（1）知日利潤(rùn)為，
，
當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)是元.
3．某公司銷售一批新型削筆器，該削筆器原來每個(gè)售價(jià)15元，年銷售18萬個(gè).
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若一個(gè)削筆器的售價(jià)每提高1元，年銷售量將相應(yīng)減少2000個(gè)，要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器每件售價(jià)最多為多少元？
（2）為了提高年銷售量，公司立即對(duì)該削筆器進(jìn)行技術(shù)革新和銷售策略改革，并提高售價(jià)到元.公司計(jì)劃投入萬元作為技改費(fèi)用，投入30萬元作為固定宣傳費(fèi)用.試問：技術(shù)革新后，該削筆器的年銷售量至少達(dá)到多少萬個(gè)時(shí)，才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求此時(shí)每個(gè)削筆器售價(jià)？
【答案】（1）90元；（2）20萬，30元.
（1）設(shè)每件零售價(jià)為元，由題意可得即，
，∴.
故要使年銷售總收入不低于原收入，該削筆器每件售價(jià)最多為90元.
（2）當(dāng)時(shí)，有解，
當(dāng)時(shí)，有解，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
∴，因此，該削筆器的年銷售量至少達(dá)到20萬個(gè)時(shí)，才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)每個(gè)削筆器售價(jià)30元.
4．為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．某大學(xué)畢業(yè)生按照相關(guān)政策投資銷售一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量y（單位：件）與銷售單價(jià)x（單位：元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：．
（1）設(shè)他每月獲得的利潤(rùn)為w（單位：元），寫出他每月獲得的利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系．
（2）相關(guān)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果他想要每月獲得的利潤(rùn)不少于3000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？
【答案】（1）；（2）元
（1）依題意可知每件的銷售利潤(rùn)為元，每月的銷售量為件，
所以每月獲得的利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系為．
（2）由每月獲得的利潤(rùn)不小于3000元，得．
化簡(jiǎn)，得．解得．又因?yàn)檫@種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，所以．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為元，則．
由，得．故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍為元．
1．已知不等式有實(shí)數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)是的兩個(gè)解，則對(duì)于任意的，不等式和恒成立；結(jié)論（2）：設(shè)是的一個(gè)解，若總存在，使得，則，下列說法正確的是（ ）
A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立
C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立
【答案】B
當(dāng)且 時(shí)，
的解為全體實(shí)數(shù)，故對(duì)任意的，與 的關(guān)系不確定，例如：取而，所以 ，故結(jié)論①不成立.
當(dāng)且 時(shí)，的解為 ，其中 是的兩個(gè)根.當(dāng) 此時(shí) ，但 值不確定，比如：，取 ，則，但 ，故結(jié)論②不成立.
故選：B
2．已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因?yàn)榧希?br/>所以，
故選：D.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
，則要滿足，解得：，
因?yàn)椋?br/>故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
解：由題知，
因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，或，解得，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或
故選：D
5．已知不等式的解集中恰有五個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.
【答案】或
，
當(dāng)時(shí)，原不等式化為，顯然，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，其中解集中必有元素，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，可得，此時(shí)解集為空集，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，此時(shí)解集為空集，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，此時(shí)解集為空集，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，此時(shí)解集為空集；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，其中解集中必有元素，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，可得，此時(shí)解集為空集，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，此時(shí)解集為空集，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，
若五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，此時(shí)解集為空集，
五個(gè)整數(shù)是時(shí)，，此時(shí)解集為空集，
故答案為：或

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