資源簡介

3.1.1函數(shù)的概念（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：函數(shù)關(guān)系的判斷
重點題型二：集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化
重點題型三：同一個函數(shù)
重點題型四：函數(shù)求值問題
重點題型五：求函數(shù)的定義域
角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域
角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域
重點題型五：函數(shù)的值域
角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域
角度2：根式型值域
角度3：分式型值域
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
角度5：根據(jù)值域求定義域
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數(shù)的概念
1、初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義
設(shè)在一個變化的過程中，有兩個變量和，如果給定了一個值，相應(yīng)地就有唯一確定的一個值與之對應(yīng)，那么我們就稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴關(guān)系.
2、函數(shù)的近代定義
一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.
函數(shù)的四個特征：
①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)（可以多對一，不能一對多）.
④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定
的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.
知識點二：函數(shù)的三要素
1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．
2、對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對自變量實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).
知識點三：函數(shù)相等
同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).
知識點四：區(qū)間的概念
1區(qū)間的概念
設(shè) ， 是實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的全體，叫做閉區(qū)間，
記作，即，。如圖：， 叫做區(qū)間的端點．在數(shù)軸上表示一個區(qū)間時，若區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示．
集合
區(qū)間
2含有無窮大的表示
全體實數(shù)也可用區(qū)間表示為，符號“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”，即。
集合
區(qū)間
1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）判斷正誤．
（1）任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系．( )
（2）函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合．( )
（3）根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y．( )
（4）在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域．( )
2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)符號表示( )
A．y等于f與x的乘積 B．一定是一個式子
C．y是x的函數(shù) D．對于不同的x，y也不同
3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）區(qū)間等于( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列區(qū)間與集合相對應(yīng)的是( )
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列三組函數(shù)，其中表示同一函數(shù)的是___________（填序號）．
①；
②；
③．
6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域是___________．
重點題型一：函數(shù)關(guān)系的判斷
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，下列從到的各對應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)的是________．(填序號)
①；②；③；④
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）函數(shù)與軸的交點個數(shù)為（ ）
A．至少1個 B．至多一個
C．有且只有一個 D．與有關(guān)，不能確定
2．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，給出如下四個圖形，其中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高一）若函數(shù)y＝f（x）的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是________．
重點題型二：集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：
(1)；
(2)且.
例題2．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：
；；；．
同類題型演練
1．（2022·遼寧大連·高一期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
重點題型三：同一個函數(shù)
典型例題
例題1．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一期末）已知四組函數(shù)：① ，；② ，；；④ .其中表示同一函數(shù)的是___________.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
2．（2022·全國·高一）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
重點題型四：函數(shù)求值問題
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，
(1)點在的圖象上嗎？
(2)當(dāng)時，求的值；
(3)當(dāng)時，求x的值；
(4)求的值.
同類題型演練
1．（2022·廣東湛江·高一期末）若，則_________.
2．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，那么=___________.
重點題型五：求函數(shù)的定義域
角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為 _________.
例題2．（2022·北京·北理工附中高二階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為___________.
例題3．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高二期末）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是___________.
例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為________.
同類題型演練
1．（2022·北京八中高二期末）函數(shù)的定義域為__________．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是__________．
3．（2022·江蘇鹽城·高一期末）函數(shù)的定義域為________．
4．（2022·福建·廈門一中高一期中）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．
角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.
同類題型演練
1．（2022·江西·臨川一中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為___________.（用區(qū)間或集合作答）
2．（2022·山東·高二期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為___________.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是___________．
重點題型五：函數(shù)的值域
角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2021·四川·棠湖中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)，的值域是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2021·江西·寧岡中學(xué)高一開學(xué)考試（理））函數(shù)，的值域是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的值域為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A．0，2，3 B． C． D．
4．（2021·全國·高一單元測試）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇·高一）畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
角度2：根式型值域
典型例題
例題1．（2022·江西省定南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））函數(shù)的值域為 （ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域和值域分別為、，則=（ ）
A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2]
角度3：分式型值域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù) 的值域為________________．
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）函數(shù)的值域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是____.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)在上的值域為___________.
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，，則的取值范圍是_____
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則的值為__________.
同類題型演練
1．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域與值域均為，則（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是
A． B． C． D．
角度5：根據(jù)值域求定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則其定義域為_________．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，那么函數(shù)的定義域是___________.
2．（2022·上海·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則其定義域是________．
1．(多選）（2021·廣東·金山中學(xué)高一期中）中國清朝數(shù)學(xué)學(xué)李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合，，給出下列四個對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2021·浙江湖州·高一期中）在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點后面200位，更神奇的是，當(dāng)主持人說出小數(shù)點后面的位數(shù)時，這位少年都能準(zhǔn)確地說出該數(shù)位上的數(shù)字.如果記圓周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小數(shù)點后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域為A，值域為,則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．值域
3．（2021·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高一階段練習(xí)）解析式相同，定義域不同的兩個函數(shù)稱為“同族函數(shù)”．對于函數(shù)，值域為{1，2，4}的“同族函數(shù)”的個數(shù)為______個．
1．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．
3．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））函數(shù)的定義域是___________.
3.1.1函數(shù)的概念（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：函數(shù)關(guān)系的判斷
重點題型二：集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化
重點題型三：同一個函數(shù)
重點題型四：函數(shù)求值問題
重點題型五：求函數(shù)的定義域
角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域
角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域
重點題型五：函數(shù)的值域
角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域
角度2：根式型值域
角度3：分式型值域
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
角度5：根據(jù)值域求定義域
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數(shù)的概念
1、初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義
設(shè)在一個變化的過程中，有兩個變量和，如果給定了一個值，相應(yīng)地就有唯一確定的一個值與之對應(yīng)，那么我們就稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴關(guān)系.
2、函數(shù)的近代定義
一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.
函數(shù)的四個特征：
①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)（可以多對一，不能一對多）.
④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定
的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.
知識點二：函數(shù)的三要素
1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．
2、對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對自變量實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).
知識點三：函數(shù)相等
同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).
知識點四：區(qū)間的概念
1區(qū)間的概念
設(shè) ， 是實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的全體，叫做閉區(qū)間，
記作，即，。如圖：， 叫做區(qū)間的端點．在數(shù)軸上表示一個區(qū)間時，若區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示．
集合
區(qū)間
2含有無窮大的表示
全體實數(shù)也可用區(qū)間表示為，符號“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”，即。
集合
區(qū)間
1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）判斷正誤．
（1）任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系．( )
（2）函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合．( )
（3）根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y．( )
（4）在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域．( )
【答案】 錯誤 錯誤 錯誤 錯誤
（1）根據(jù)函數(shù)的定義，需要是非空數(shù)集，而不是任何集合都可以，所以錯誤；
（2）函數(shù)的定義域和值域都是非空數(shù)集，而不是任何集合都可以，所以錯誤；
（3）根據(jù)函數(shù)定義，對于每一個數(shù)，在集合B中都有唯一的和它對應(yīng)，所以錯誤；
（4）值域是集合B的子集，所以錯誤.
2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)符號表示( )
A．y等于f與x的乘積 B．一定是一個式子
C．y是x的函數(shù) D．對于不同的x，y也不同
【答案】C
解：對函數(shù)的理解為：
（1）表示一個含有的式子，故錯誤；
（2）表示由按法則f求出的結(jié)果，故錯誤；
（3）表示y是x的函數(shù)，故正確；
（4）不同的輸入值x，對應(yīng)的y可以相同
故選：C
3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）區(qū)間等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
區(qū)間表示由的實數(shù)組成的集合
故答案為：C
4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列區(qū)間與集合相對應(yīng)的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
集合中的可以表示為區(qū)間，
集合中的可以表示為區(qū)間，
或是并集關(guān)系，
所以集合表示為
故選：C
5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列三組函數(shù)，其中表示同一函數(shù)的是___________（填序號）．
①；
②；
③．
【答案】③
對于①，與的定義域不同；
對于②，的對應(yīng)關(guān)系不同；
對于③，其定義域相同，解析式化簡后也相同，值域也相同，故是同一函數(shù).
故答案為：③
6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域是___________．
【答案】
由解得
則函數(shù)的定義域是
故答案為：
重點題型一：函數(shù)關(guān)系的判斷
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
B中，當(dāng)時，有兩個值和對應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，
A，C，D滿足函數(shù)的定義，
故選：B
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，下列從到的各對應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)的是________．(填序號)
①；②；③；④
【答案】③
①②④滿足函數(shù)的定義，所以是函數(shù)，
對于③，因為當(dāng)x＝4時，，所以③不是函數(shù)．
故答案為：③
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）函數(shù)與軸的交點個數(shù)為（ ）
A．至少1個 B．至多一個
C．有且只有一個 D．與有關(guān)，不能確定
【答案】B
由函數(shù)定義可知，定義域包含時，則與軸有1個交點，當(dāng)定義域不包含時，則與軸無交點，所以函數(shù)與軸的交點個數(shù)為0個.
故選：B
2．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，給出如下四個圖形，其中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是
A． B．
C． D．
【答案】D
由函數(shù)的定義，集合中的每一個x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一確定的一個y值與之對應(yīng)，結(jié)合圖象得出結(jié)論．
從集合M到集合能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系時，對于集合中的每一個x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一確定的一個y值與之對應(yīng)．
圖象A不滿足條件，因為當(dāng)時，N中沒有y值與之對應(yīng)．
圖象B不滿足條件，因為當(dāng)x=2時，N中沒有y值與之對應(yīng)．
圖象C不滿足條件，因為對于集合中的每一個x值，在集合N中有2個y值與之對應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義．
只有D中的圖象滿足對于集合中的每一個x值，在中都有唯一確定的一個y值與之對應(yīng)．
3．（2022·全國·高一）若函數(shù)y＝f（x）的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是________．
【答案】②
根據(jù)定義域和值域可排除①④，
對于函數(shù)來說，對定義域內(nèi)任意，都有唯一確定的與其對應(yīng)，所以③錯誤.
故答案為：②
重點題型二：集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：
(1)；
(2)且.
【答案】(1)(2)
(1)由題意，
(2)由題意，且且
例題2．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：
；；；．
【答案】；；；.
用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：.
同類題型演練
1．（2022·遼寧大連·高一期末）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為，，
所以，
故選：A
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
(1)解：用區(qū)間表示為；
(2)解：用區(qū)間表示為；
(3)解：用區(qū)間表示為；
(4)解：或用區(qū)間表示為.
3．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）在什么條件下，有？
【答案】
根據(jù)并集的概念，只有當(dāng)時，滿足.
重點題型三：同一個函數(shù)
典型例題
例題1．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
選項A. 函數(shù)的定義域為，和y＝x定義域,對應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)．
選項B.．函數(shù)的定義域為，和y＝x的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)．
選項C.．函數(shù)的定義域為 ，和y＝x的定義域不相同，不是同一函數(shù)．
選項D.．函數(shù)的定義域，和y＝x的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)．
故選: A．
例題2．（2022·全國·高一期末）已知四組函數(shù)：① ，；② ，；；④ .其中表示同一函數(shù)的是___________.
【答案】②③④
對于①：定義域為，的定義域為，定義域不相同，所以不是同一函數(shù)；
對于② ：定義域為，定義域為；定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一函數(shù)；
對于③ 定義域為，定義域為，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一函數(shù)；
對于④ ：定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一函數(shù)；
故答案為：②③④.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
【答案】C
A．函數(shù)的定義域為，，
兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，
B．，定義域為，函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)
C．兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)
D．由得得，由得或，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
故選：C．
2．（2022·全國·高一）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
解：由題意得：
對于選項A：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯誤；
對于選項B：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯誤；
對于選項C：的定義域為，的定義域為，這兩函數(shù)的定義域相同，且對應(yīng)關(guān)系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；
對于選項D：的定義域為，的定義域為或，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯誤.
故選：C
重點題型四：函數(shù)求值問題
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，
(1)點在的圖象上嗎？
(2)當(dāng)時，求的值；
(3)當(dāng)時，求x的值；
(4)求的值.
【答案】(1)不在(2)(3)14(4)
(1)將x=3代入解析式得，故點（3,4）不在函數(shù)圖像上；
(2)將x=4代入函數(shù)解析式得 ；
(3)若，則 ，解得x=14；
(4) ， .
同類題型演練
1．（2022·廣東湛江·高一期末）若，則_________.
【答案】##-1.5
由題意得.
故答案為：
2．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，那么=___________.
【答案】
因為，所以.
故答案為：.
重點題型五：求函數(shù)的定義域
角度1：求常規(guī)函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為 _________.
【答案】
解：由題可得，解得，，且；
的定義域為：．
故答案為：.
例題2．（2022·北京·北理工附中高二階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為___________.
【答案】
由題意得：，解得：或，
所以定義域為.
故答案為：
例題3．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高二期末）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
因為函數(shù)的定義域為 R，所以的解為R，
即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，
（1）當(dāng)時，函數(shù)與x軸沒有交點，故成立；
（2）當(dāng)時，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則，解得.
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為________.
【答案】.
的定義域為R，則恒成立，所以，所以實數(shù)a的取值范圍為.
同類題型演練
1．（2022·北京八中高二期末）函數(shù)的定義域為__________．
【答案】
由題意，解得且，所以定義域為．
故答案為：．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是__________．
【答案】##
要使函數(shù)有意義，需滿足，解得，
即函數(shù)的定義域為，
故答案為：.
3．（2022·江蘇鹽城·高一期末）函數(shù)的定義域為________．
【答案】
由，得，，
解得，
所以函數(shù)的定義域為
故答案為：
4．（2022·福建·廈門一中高一期中）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
解：因為函數(shù)的定義域是.
所以不等式恒成立．
所以，當(dāng)時，不等式等價于，顯然恒成立；
當(dāng)時，則有，即，解得.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為:
角度2：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為函數(shù)的定義域是，
所以.
故選：D.
例題2．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.
【答案】
函數(shù)的定義域為，即，所以，
所以，即，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·江西·臨川一中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為___________.（用區(qū)間或集合作答）
【答案】##
由題設(shè)，，可得，
∴的定義域為.
故答案為：
2．（2022·山東·高二期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為___________.
【答案】
因為，所以，所以的定義域為，
要使有意義，需滿足，解得.
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是___________．
【答案】
因為函數(shù)的定義域是，所以，
可得，解得，
所以函數(shù)的定義域是．
故答案為：
重點題型五：函數(shù)的值域
角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2021·四川·棠湖中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：是定義域上的增函數(shù)
所以時，
，
所以值域為：
故選：A.
例題2．（2022·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
,對稱軸,當(dāng),又因為,
所以函數(shù)的值域為.
故選:D
例題3．（2021·江西·寧岡中學(xué)高一開學(xué)考試（理））函數(shù)，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意，令，由于，故，
故，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，在單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故函數(shù)在的值域為：.
故選：A.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為，故作出其函數(shù)圖象如下所示：
由圖，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可知：
，，
故其值域為.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函數(shù)的對稱軸為，
由于二次函數(shù)的開口向上，
故函數(shù)在處取到最小值，
最大值為，
故所求值域為.
故選：D.
3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A．0，2，3 B． C． D．
【答案】C
由題意，，．
∴值域為．
故選：C．
4．（2021·全國·高一單元測試）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為為減函數(shù)，
所以，
故函數(shù)值域為.
故選：A
5．（2022·江蘇·高一）畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】
(1)一次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為R，值域為R.
(2)反比例函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為，值域為.
(3)一次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為R，值域為R.
(4)二次函數(shù)的圖形如圖所示，定義域為R，值域為.
角度2：根式型值域
典型例題
例題1．（2022·江西省定南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））函數(shù)的值域為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函數(shù)的定義域是，令，則， ，所以，
因為，所以，所以原函數(shù)的值域為．
故選：D.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
，即函數(shù)的值域為.
故選：A.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由得，得，
設(shè)，則，
所以，即函數(shù)的值域是.
故選：C
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：設(shè)，則，則，
則函數(shù)等價為，
對稱軸為，
則當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，
即，即函數(shù)的值域為，，
故選：．
3．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
令，則，
設(shè)，
，所以，
即的值域是.
故選：B.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為
A． B． C． D．
【答案】A
解：設(shè)，
則原函數(shù)可化為.
又∵，
∴，故，
∴的值域為.
故選：A.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域和值域分別為、，則=（ ）
A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2]
【答案】D
解:要使函數(shù)有意義,
則解得，
故；
由，
所以.故.
則選:D
角度3：分式型值域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
【答案】
解：因為，又，
所以，
所以函數(shù)的值域為.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù) 的值域為________________．
【答案】
定義域為，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設(shè)，則有，
當(dāng)時，代入原式，解得．
當(dāng)時，，
由，解得，于是的最大值為，最小值為，
所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）函數(shù)的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，從而可知函數(shù)的值域為.
故選：C
2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是____.
【答案】
， ，函數(shù)的值域是：.
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)在上的值域為___________.
【答案】
，
因為，所以，
所以，則，
所以，所以，即，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，，則的取值范圍是_____
【答案】，
當(dāng)時，對任意實數(shù)恒成立，不合題意；
要使函數(shù)的值域為，，
則，解得.
的取值范圍是，.
故答案為：，
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則的值為__________.
【答案】
設(shè)，可得，
由題意可知，關(guān)于的方程在上有解，
若，可得，則；
若，則，即，
由題意可知，關(guān)于的二次方程的兩根為、，
由韋達定理可得，解得.
綜上所述，.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域與值域均為，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
解：∵的解集為，
∴方程的解為或4，
則，，，
∴，
又因函數(shù)的值域為，
∴，∴.
故選：A.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)
令，解得：，
即實數(shù)的取值范圍為
故選：
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
m＝0時，f（x）＝1，不合題意；
m≠0時，令g（x）＝mx2+mx+1，
只需，
解得：m≥4，
故選D．
角度5：根據(jù)值域求定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則其定義域為_________．
【答案】
因為函數(shù)的值域為，
所以，化簡得：，
當(dāng)時，即當(dāng)時，不等式成立；
當(dāng)時，即當(dāng)時，
由，
綜上所述：函數(shù)的定義域為：.
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，那么函數(shù)的定義域是___________.
【答案】.
，由得，即，解得，所以的定義域是.
故答案為：.
2．（2022·上海·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則其定義域是________．
【答案】
∵，且的值域為，
∴，解得，
∴函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
1．(多選）（2021·廣東·金山中學(xué)高一期中）中國清朝數(shù)學(xué)學(xué)李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合，，給出下列四個對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
A.，當(dāng)，但，A不是；
B.，任意，都有，B是；
C.，當(dāng)，但，C不是；
D.，任意，都有，D是；
故選：BD.
2．（多選）（2021·浙江湖州·高一期中）在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點后面200位，更神奇的是，當(dāng)主持人說出小數(shù)點后面的位數(shù)時，這位少年都能準(zhǔn)確地說出該數(shù)位上的數(shù)字.如果記圓周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小數(shù)點后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域為A，值域為,則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．值域
【答案】ACD
根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域，則，故A正確；
函數(shù)的值域，故B錯誤，D正確；
，故C正確.
故選：ACD.
3．（2021·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高一階段練習(xí)）解析式相同，定義域不同的兩個函數(shù)稱為“同族函數(shù)”．對于函數(shù)，值域為{1，2，4}的“同族函數(shù)”的個數(shù)為______個．
【答案】9
由題意知，問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個數(shù)，函數(shù)解析式為，值域為{1，2，4}，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則定義域可以為：，因此“同族函數(shù)"共有9個.
故答案為：9.
1．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
故選：C
2．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
解：因為，所以，解得且，
故函數(shù)的定義域為；
故答案為：
3．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））函數(shù)的定義域是___________.
【答案】
的定義域需滿足，
所以函數(shù)的定義域．
故答案為：

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