資源簡介

2.1等式性質與不等式性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：比較兩個代數式的大小
重點題型二：利用不等式的性質證明不等式
重點題型三：利用不等式的性質求取值范圍
重點題型四：利用待定系數法求取值范圍
知識點一：不等式的概念
在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數學符號“”“”“”“”“”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.
自然語言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
符號語言
知識點二：實數大小的比較
1、如果是正數，那么；如果等于，那么；如果是負數，那么，反過來也對.
2、作差法比大?。孩伲虎?；③
3、不等式性質
性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變
性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變
性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變
知識點三：不等式的探究
一般地，，有，當且僅當時，等號成立.
知識點四：不等式的性質
性質 性質內容 特別提醒
對稱性 （等價于）
傳遞性 （推出）
可加性 （等價于
可乘性 注意c的符號（涉及分類討論的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同為正數
可開方性
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）若，則一定成立．( )
（2）若，則．( )
（3）若，則．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）下列命題正確的是( )
A． B．
C．且 D．
3．（2022·全國·高一課時練習）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工人工資預算2000元，設木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關系式是( )
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高一課時練習）設，則m，n的大小關系是___________．
重點題型一：比較兩個代數式的大小
典型例題
例題1．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高二階段練習（文））已知，，，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江蘇·高一）若，，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則_______．（用“>”或“<”填空）
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，為實數，則______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）
重點題型二：利用不等式的性質證明不等式
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）（1）比較與的大小；
（2）已知，求證：．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知下列三個不等式：
①； ②； ③，
以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可組成幾個正確命題？
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）證明不等式：
(1)若，，則；
(2)若，，則．
2．（2022·湖南·高一課時練習）利用不等式的性質證明下列不等式：
(1)若，，則；
(2)若，，則．
3．（2022·湖南·高一課時練習）求證：
(1)若，且，則；
(2)若，且，同號，，則；
(3)若，且，則．
4．（2022·全國·高一）（1）試比較與的大??；
（2）已知，，求證：．
重點題型三：利用不等式的性質求取值范圍
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江蘇·高一）設，，求，，的范圍.
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習（理））設實數、滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高一）已知，則的取值范圍為_______.
重點題型四：利用待定系數法求取值范圍
典型例題
例題1．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江西省銅鼓中學高二階段練習（理））已知實數，，滿足則的取值范圍是________．（用區間表示）
例題3．（2022·遼寧·高三期中）已知，則的取值范圍為______.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知實數滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山西太原·高一開學考試）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西·二模（文））已知，，則6x＋5y的取值范圍為______．
4．（2022·全國·江西科技學院附屬中學模擬預測（文））已知實數、滿足，，則的取值范圍為______．
5．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則的取值范圍是_____．
2.1等式性質與不等式性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：比較兩個代數式的大小
重點題型二：利用不等式的性質證明不等式
重點題型三：利用不等式的性質求取值范圍
重點題型四：利用待定系數法求取值范圍
知識點一：不等式的概念
在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數學符號“”“”“”“”“”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.
自然語言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
符號語言
知識點二：實數大小的比較
1、如果是正數，那么；如果等于，那么；如果是負數，那么，反過來也對.
2、作差法比大?。孩?；②；③
3、不等式性質
性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變
性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變
性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變
知識點三：不等式的探究
一般地，，有，當且僅當時，等號成立.
知識點四：不等式的性質
性質 性質內容 特別提醒
對稱性 （等價于）
傳遞性 （推出）
可加性 （等價于
可乘性 注意c的符號（涉及分類討論的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同為正數
可開方性
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）若，則一定成立．( )
（2）若，則．( )
（3）若，則．( )
【答案】 錯誤 正確 錯誤
（1）當時，若，則，故該結論錯誤；
（2）∵，∴，∴，故該結論正確；
（3）當時，滿足，但不滿足，故該結論錯誤．
2．（2022·全國·高一課時練習）下列命題正確的是( )
A． B．
C．且 D．
【答案】A
對于選項A，∵，∴，又，∴成立，故A選項正確；
對于選項B，當，時，結論明顯錯誤；
對于選項C，當時，，所以結論錯誤；
對于選項D，當時，，所以結論錯誤．
3．（2022·全國·高一課時練習）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工人工資預算2000元，設木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關系式是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
由題可得，
整理得
故選：D．
4．（2022·全國·高一課時練習）設，則m，n的大小關系是___________．
【答案】
∵
∴
故答案為：
重點題型一：比較兩個代數式的大小
典型例題
例題1．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高二階段練習（文））已知，，，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
對于A：，
因為，所以，，但的正負不確定，
所以不一定成立，即選項A錯誤；
對于B：，
因為，所以，，但的正負不確定，
所以不一定成立，即選項B錯誤；
對于C：，
因為，所以，，，
所以一定成立，即選項C正確；
對于D：，
因為，所以，，但的正負不確定，
所以不一定成立，即選項D錯誤.
故選：C.
2．（2022·江蘇·高一）若，，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】B
因為
，
所以，
故選：B
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
對于A：因為，所以.
所以，所以.故A錯誤；
對于B、C：
因為，所以.
所以，所以.故B正確，C錯誤；
對于D：因為，
所以，所以.故 D正確.
故選：BD
2．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則_______．（用“>”或“<”填空）
【答案】>
因為,
又，，所以，所以，
故答案為：>.
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，為實數，則______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）
【答案】≥
，
當且僅當，取等號．
故答案為：≥
重點題型二：利用不等式的性質證明不等式
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）（1）比較與的大?。?br/>（2）已知，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知下列三個不等式：
①； ②； ③，
以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可組成幾個正確命題？
【答案】可組成3個正確命題．
【詳解】
（1）對②變形得，
由得②成立，即①③②．
（2）若，則，即①②③．
（3）若，則，即②③①．
綜上所述，可組成3個正確命題．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）證明不等式：
(1)若，，則；
(2)若，，則．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；
(1)，兩邊同乘以，則
又，兩邊同乘以，則
即
(2)，兩邊同乘以，得；
兩邊同乘以，得，所以
又，則，又，則，
即
2．（2022·湖南·高一課時練習）利用不等式的性質證明下列不等式：
(1)若，，則；
(2)若，，則．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(1)證明： ，
，
又，
；
(2)證明：，
，
又，
．
3．（2022·湖南·高一課時練習）求證：
(1)若，且，則；
(2)若，且，同號，，則；
(3)若，且，則．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析
(1)證明：因為，所以，
又，故，
即；
(2)證明：因為，，所以 ，
因為，同號，所以 ，，
故，即 ，所以；
(3)證明：因為，所以 ，
又，所以 ，
故.
4．（2022·全國·高一）（1）試比較與的大小；
（2）已知，，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
（1）由題意，
，
所以．
（2）證明：因為，所以，即，
而，所以，則．得證．
重點題型三：利用不等式的性質求取值范圍
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因為，，
所以，，
所以，
所以的取值范圍是，
故選：D.
例題2．（2022·江蘇·高一）設，，求，，的范圍.
【答案】，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
故，，得
故選：C
2．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因為，所以，
由，得.
故選：A.
3．（2022·全國·高三專題練習（理））設實數、滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由已知得，，，故，
故選：B.
4．（2022·全國·高一）已知，則的取值范圍為_______.
【答案】
因為，所以，
所以，.
將不等式,同乘以,
則，即.
故答案為.
重點題型四：利用待定系數法求取值范圍
典型例題
例題1．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設，可得，
解得，，
因為可得，
所以.
故選：C.
例題2．（2022·江西省銅鼓中學高二階段練習（理））已知實數，，滿足則的取值范圍是________．（用區間表示）
【答案】
,
則解得，則，
又，
∴，
即，
故答案為：．
例題3．（2022·遼寧·高三期中）已知，則的取值范圍為______.
【答案】
令，令，解得，所以，由得，
由得，所以，所以，所以的取值范圍為.
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知實數滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：令，，則，
則，
，
，
又，
，
∴，
故選：B．
2．（2022·山西太原·高一開學考試）已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設，，解得，
，
，，，
由不等式的性質可得，即，
因此，的取值范圍是，故選D.
3．（2022·江西·二模（文））已知，，則6x＋5y的取值范圍為______．
【答案】
解：，即
故6x＋5y的取值范圍為．
故答案為：
4．（2022·全國·江西科技學院附屬中學模擬預測（文））已知實數、滿足，，則的取值范圍為______．
【答案】
解：設，則，解得，
所以，
因為，，
所以，，
所以，
故答案為：.
5．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則的取值范圍是_____．
【答案】
設，因此得：，，
，
因為，所以，因此，
所以.
故答案為：

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