資源簡介

6.2.4向量的數量積運算
本節課知識點目錄：
向量的數量積運算：給模求數量積；
向量的數量積運算：給模或者數量積求模。
向量的數量積運算：給夾角求模或者數量積
向量的數量積運算：給數量積或模求夾角
向量的數量積運算：垂直
投影向量
向量的數量積運算：圖形中確定基底
數量積之求最值（難點）
聯賽、聯考與自主招生題選
一、向量的數量積運算：給模求數量積
1.已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數量|a|·|b|cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2.對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【典型例題】
【例1】若向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【例2】已知，，均為單位向量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，則____________.
【例4】已知平面上三點、、滿足，，，則值等于（ ）
A． B． C．25 D．
【對點實戰】
1.平面向量，滿足，，，則___________．
2.若非零向量，，滿足，且，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
二、向量的數量積運算：給模或者數量積求模
【典型例題】
【例1】已知平面向量，的夾角為45°，且，，則（ ）
A．3 B．1 C． D．2
【例2】已知非零向滿足，且，則向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．3
【例3】向量的夾角為，，則_________ .
【例4】已知向量滿足，則（ ）
A．2 B． C．8 D．
【例5】已知非零向量滿足，且，則向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．3
【例6】已知，為非零向量，則成立的條件是____________；成立的條件是____________.
【對點實戰】
1.已知是半徑為的圓的內接正方形，是圓上的任意一點，則的值為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．與的位置有關
2.已知向量滿足，則___________.
3.已知向量、滿足，，，求.
4.若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則（ ）
A． B．2 C． D．5
三、向量數量積運算：給夾角求模或數量積
1.夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示)．
當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向．
2.設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量．則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a∥b時，a·b＝
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
【典型例題】
【例1】已知，，，則可等于（ ）
A． B．7 C． D．6
【例2】已知平面向量的夾角為，且，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【例3】設向量滿足，則___________.
【例4】已知菱形中，，，則______．
【例5】若向量，滿足||=1，||=2，且與的夾角為，則|2|=___________.
【對點實戰】
1.已知，為單位向量，，的夾角為60°，向量滿足，且，則實數______．
2.已知，是夾角為的兩個單位向量，，，若，則實數k的值為______．
3.已知且與的夾角為，則___________
4.若的夾角為，則___________.
5.在長方形ABCD中，，，且，則___________，___________.
四、向量數量積運算：給數量積或模求夾角
【典型例題】
【例1】已知，均為單位向量，，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【例2】在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，，若，的夾角為120°，則（ ）
A．-12 B．12 C．8 D．-8
【例5】若向量，的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于
A． B． C． D．
【例7】已知非零向量，，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則與共線且反向
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則的最大值為
【對點實戰】
1.已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為__________.
2.在中，，，，D是AC的中點，則與的夾角為______．
3.若單位向量，滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
4.已知向量，且，，，則與的夾角__________．
5.任意兩個非零向量和，，定義：，若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則的值可能為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6.已知、是兩個單位向量，它們的夾角是，設，則向量與的夾角大小是__________．
五、向量數量積運算：垂直
垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.，
【典型例題】
【例1】已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】設，均為單位向量，則“”是“⊥”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【例3】如圖所示，已知正六邊形，下列給出的向量的數量積中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知、是非零向量且滿足，，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知，，且與相互垂直，則與的夾角為（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【例6】若向量，滿足，，，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【對點實戰】
1.已知，，且與互相垂直，則（ ）
A．0 B． C． D．2
2.已知非零向量，滿足，則是，均為單位向量的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
4,已知、、為三個非零平面向量，甲：，乙：，則甲是乙的（ ）．
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
5.已知，對，恒有，且點滿足N為OA的中點，則的值為__________，的值為__________.
6.已知、是夾角為的兩個單位向量，若和垂直，則實數_______．
六、投影向量
如圖，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．|a|cos θ
【典型例題】
【例1】已知向量，均為非零向量，且在方向上的投影是2，則下列說法正確的是（ ）
A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4
【例2】已知向量與的夾角為，且，，設，，則向量在方向上的投影向量的模為________．
【例3】已知，與的夾角為，則在上的數量投影為______．
【例4】已知，，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【例5】在等腰三角形ABC中，，，D為BC的中點．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
七、向量數量積運算：圖形中確定基底求數量積
引入基底即“坐標軸”這個思維
【典型例題】
【例1】．已知在中，為的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】在我國勾股定理最早的證明是東漢末數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的．如圖就是著名的趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形拼成了內、外都是正方形的美麗圖案．若，則（ ）
A．9 B．13 C．18 D．24
【例3】已知為邊長為2的正方形的邊DC上任一點，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【例4】已知在中，，，其外接圓的圓心為，則的值為________.
【例5】如圖在邊長為的菱形中，，為的中點，，與交于點，則___________.
【例6】已知是腰長為的等腰直角三角形，點是斜邊的中點，點在上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【例7】如圖的弦圖中，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，四邊形EFGH是邊長為1的正方形，四個三角形均為直角三角形，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【對點實戰】
1.已知O為所在平面內一點，且滿足，，則________．
2.在菱形中，，，，則___________.
3.已知菱形ABCD的邊長為1，，則___________.
4.已知正方形的邊長為2，點滿足，則的值是_________．
5.已知向量，，滿足，，，，分別是線段，的中點，若，則向量與的夾角為
A． B． C． D．
6.如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
八、數量積之求最值（難點）
【典型例題】
【例1】已知正方形的邊長為1，點是邊上的動點．的最大值為______．
【例2】已知單位向量，的夾角為，則的最小值為________．
【例3】已知四邊形中，，，，點在四邊形上運動，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例4】設，，為非零不共線向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知平面向量滿足，，且的最小值，則的最小值為（ ）
【例6】已知是兩個非零向量，且，，則的最大值為
A． B． C．4 D．
【例7】．已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是
A． B． C．2 D．
【例8】如圖，在中，是的中點，、是上的兩個三等分點，，，則的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
九、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】對任意兩個非零的平面向量和，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=（ ）
A． B．1 C． D．
【例3】已知單位向量不共線，且向量滿足若對任意實數λ都成立，則向量夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6.2.4向量的數量積運算
本節課知識點目錄：
向量的數量積運算：給模求數量積；
向量的數量積運算：給模或者數量積求模。
向量的數量積運算：給夾角求模或者數量積
向量的數量積運算：給數量積或模求夾角
向量的數量積運算：垂直
投影向量
向量的數量積運算：圖形中確定基底
數量積之求最值（難點）
聯賽、聯考與自主招生題選
一、向量的數量積運算：給模求數量積
1.已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數量|a|·|b|cos θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2.對于向量a，b，c和實數λ，有
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【典型例題】
【例1】若向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
已知向量的模，結合向量數量積的運算可得，即可求.
【詳解】
由題設，，又，
∴，可得.
故選：B.
【例2】已知，，均為單位向量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
將原等式轉化為，平方后化簡即可求解.
【詳解】
,,,，
，，均為單位向量，，.
故選：C
【例3】已知，則____________.
【答案】
【分析】
已知，可借助兩邊平方帶入、即可完成求解.
【詳解】
將兩邊平方，得，得.
故答案為：.
【例4】已知平面上三點、、滿足，，，則值等于（ ）
A． B． C．25 D．
【答案】A
【分析】
根據勾股定理逆定理可得，再由三角函數求出和的值，由數量積的定義即可求解.
【詳解】
由已知，，，所以，
所以，并且，，
所以
；故選：A．
【對點實戰】
1.平面向量，滿足，，，則___________．
【答案】
【分析】
將兩邊同時平方，再將，代入即可求解.
【詳解】
因為，所以，
因為，，所以，可得，
故答案為：.
2.若非零向量，，滿足，且，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
【分析】
由平面向量共線定理可知存在實數使得，再進行向量數量積運算即可求解.
【詳解】
因為非零向量，所以存在實數使得，
又因為，所以，故選：D．
二、向量的數量積運算：給模或者數量積求模
【典型例題】
【例1】已知平面向量，的夾角為45°，且，，則（ ）
A．3 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】給兩邊平方化簡可求得答案
【詳解】因為，所以，因為，平面向量，的夾角為45°，
所以，化簡得，
解得或（舍去）.故選：B
【例2】已知非零向滿足，且，則向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
設，由向量數量積的運算律計算可得選項.
【詳解】
解：設，因為，所以，
又，所以，解得.
故選：B.
【例3】向量的夾角為，，則_________ .
【答案】
【分析】
利于向量的運算法則求，進而求解
【詳解】
， 所以
故答案為：
【例4】已知向量滿足，則（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
利用向量的數量積運算和模的運算法則可得，由此根據已知條件可求得答案.
【詳解】
∵,
又∵
∴，∴，∴，
故選：B.
【例5】已知非零向量滿足，且，則向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
將兩邊平方并化簡，進而結合即可求得答案.
【詳解】
設的夾角為，因為，所以，
所以．
故選：B.
【例6】已知，為非零向量，則成立的條件是____________；成立的條件是____________.
【答案】向量與方向相同 向量與方向相反
【分析】
設與的夾角為，由，兩邊平方化簡可得，求得，即向量與方向相同；由，兩邊平方化簡可得，求得，即向量與方向相反.
【詳解】
設與的夾角為，
，兩邊平方可得：，
即，，
又，為非零向量，
，，即向量與方向相同.
所以成立的條件是向量與方向相同
，兩邊平方可得：
即，，
又，為非零向量，
，，即向量與方向相反.
所以成立的條件是向量與方向相反
故答案為：向量與方向相同，向量與方向相反
【對點實戰】
1.已知是半徑為的圓的內接正方形，是圓上的任意一點，則的值為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．與的位置有關
【答案】B
【分析】
首先根據題意得到，再化簡求解即可.
【詳解】
如圖所示：
.
故選：B
2.已知向量滿足，則___________.
【答案】
【分析】
根據向量模的數量積表示計算即可得答案.
【詳解】
解：因為，
所以.故答案為：
3.已知向量、滿足，，，求.
【答案】
【分析】
根據平面向量數量積運算律計算可得.
【詳解】
因為，，
所以，
故答案為：
4.若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】BD
【分析】
由題意可知：，，兩兩的夾角為或，再根據平面向量數量積的運算計算的值即可求解.
【詳解】
，
因為平面向量，，兩兩的夾角相等，所以夾角有兩種情況，
即，，兩兩的夾角為或，
當夾角為時，
，，，
，
當夾角為時，
，，
，
，
所以或
故選：BD．
三、向量數量積運算：給夾角求模或數量積
1.夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示)．
當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向．
2.設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量．則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a∥b時，a·b＝
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
【典型例題】
【例1】已知，，，則可等于（ ）
A． B．7 C． D．6
【答案】A
【分析】
先求出，即可得出答案.
【詳解】因為，，，所以，
所以.故選：A.
【例2】已知平面向量的夾角為，且，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】
先求解的平方，因為，利用平面向量相關的運算法則求解出結果，開方后求得
【詳解】
因為向量的夾角為，且，
所以，故選：B
【例3】設向量滿足，則___________.
【答案】
【分析】
直接利用向量的模以及數量積的運算法則求解即可.
解：向量，滿足，，，則，
則.故答案為：.
【例4】已知菱形中，，，則______．
【答案】2
【分析】
由題意可得，然后結合平面向量數量積的定義即可求出結果.
【詳解】
由，得，，故為等邊三角形，所以．
故答案為：2.
【例5】若向量，滿足||=1，||=2，且與的夾角為，則|2|=___________.
【答案】2
【分析】
利用平面向量的數量積的運算律求出，從而求出模長.
【詳解】
∵||=1，||=2，且與的夾角為，
∴44=4×12+4×1×2×cos22=4+4+4=12；
∴|2|2；故答案為：2.
【對點實戰】
1.已知，為單位向量，，的夾角為60°，向量滿足，且，則實數______．
【答案】
【分析】
由題可得，即，即求.
【詳解】
∵，為單位向量，，的夾角為60°，向量滿足，且，
∴，即，
∴，即.故答案為：.
2.已知，是夾角為的兩個單位向量，，，若，則實數k的值為______．
【答案】
【分析】
由，結合數量積公式轉化，即可求解值.
【詳解】
因為，所以，即，又因為，是夾角為的兩個單位向量，所以，所以.
故答案為：
3.已知且與的夾角為，則___________
【答案】
【分析】
根據數量積的定義先求出的值，再將變形為，便可求解.
【詳解】
由題意可知，且與的夾角為，
所以，
所以.
故答案為：
4.若的夾角為，則___________.
【答案】
【分析】
先求出，進而由求出答案.
【詳解】
因為的夾角為，所以，于是.
故答案為：.
5.在長方形ABCD中，，，且，則___________，___________.
【答案】
【分析】
由題可得，結合條件及數量積的運算可得，，即求.
【詳解】
由題可知，，
，，
∵，∴，可得，
∴，∴.
故答案為：；2.
四、向量數量積運算：給數量積或模求夾角
【典型例題】
【例1】已知，均為單位向量，，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【答案】A
【分析】
設單位向量，的夾角為，利用平面向量的數量積的定義及運算法則進行求解.
【詳解】
設單位向量，的夾角為，，則，||=1，；因為，
所以，即，即，所以，即與的夾角為30°.
故選：A.
【例2】在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量數量積的定義即可求解，需要注意向量的夾角是兩個非零向量起點相同時的夾角﹒
【詳解】
∵
﹒故選：C
【例3】若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知條件結合數量積公式化簡即可求解.
【詳解】
因為，，即，，求得，所以向量與的夾角為.
故選：B
【例4】已知，，若，的夾角為120°，則（ ）
A．-12 B．12 C．8 D．-8
【答案】A
【分析】
對兩邊平方，根據已知條件，求得，再求數量積即可.
【詳解】
依題意，，
故，解得（負值舍），
故.
故選：.
【例5】若向量，的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用向量的數量積公式求出，，再代入向量夾角公式進行求解
【詳解】
因為向量，的夾角為，且，，
所以，
，
因為，所以故選：A
【例6】已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據條件即可求出，從而可求出，，，然后可設與的夾角為，從而可求出，根據向量夾角的范圍即可求出夾角．
【詳解】
，；
，，；
設與的夾角為，則；
又，，故選．
【例7】已知非零向量，，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則與共線且反向
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則的最大值為
【答案】ABD
【分析】
由等號成立的條件，可判斷A；將兩邊平方可得，可判斷B；如圖構造以線段，為鄰邊的菱形，分析菱形的結構可判斷C；將兩邊平方可得，可判斷D
【詳解】
對于：對非零向量，，由，當且僅當與共線且反向時取等號，可知正確；
對于：∵，∴，化簡得，故正確；
對于：如圖所示，，，且，以線段，為鄰邊作菱形，則，，又因為，即，所以，，所以與的夾角為，故C錯誤；
對于：∵，∴，解得或（舍），所以，當時，取得最大值，故正確
故選：ABD
【對點實戰】
1.已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為__________.
【答案】
【分析】
直接利用平面向量的夾角公式求解即可.
【詳解】
解：設與的夾角為，因為，，，所以，
所以與的夾角的余弦值為．
故答案為：.
2.在中，，，，D是AC的中點，則與的夾角為______．
【答案】
【分析】
根據向量的夾角的定義求解．
【詳解】
如圖， 中，，所以，而，，，所以，是的中點，則，，所以與的夾角等于．
故答案為：．
3.若單位向量，滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知條件可求出，從而求出的模，結合向量夾角的計算公式及數量積的運算律即可求出向量的夾角.
【詳解】
因為，，所以，即，
所以，所以，
又，所以.故選:.
4.已知向量，且，，，則與的夾角__________．
【答案】##
【分析】
將兩邊平方可得的值，然后可得答案.
【詳解】
由兩邊平方得，得，則與的夾角為．
故答案為：
5.任意兩個非零向量和，，定義：，若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則的值可能為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】CD
【分析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范圍，再由定義計算后，可得答案.
【詳解】
首先觀察集合，從而分析和的范圍如下：
因為，∴，而，且，
可得，
又∵中，∴，從而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有或．故選：CD.
6.已知、是兩個單位向量，它們的夾角是，設，則向量與的夾角大小是__________．
【答案】
【分析】
根據題意，得出，，根據向量的數量積的定義求出和，根據向量模的求法，分別求出和，最后利用平面向量的數量的應用，求出，即可得出與的夾角大小.
【詳解】已知、是兩個單位向量，它們的夾角是，，，則，
因為，，則，
即：，則，
，，
所以向量與的夾角為.故答案為：.
五、向量數量積運算：垂直
垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.，
【典型例題】
【例1】已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由，求得，利用向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】
因為，所以，所以，
所以，所以與的夾角為.故選：B．
【例2】設，均為單位向量，則“”是“⊥”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】將化簡，求出，結合充分、必要條件判斷即可.
【詳解】
由，
又，均為單位向量，所以，
所以，
所以“”是“⊥”的充分必要條件.
故選：C
【例3】如圖所示，已知正六邊形，下列給出的向量的數量積中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據正六邊形的性質及數量積的定義計算可得；
解：根據正六邊形的幾何性質，可知，，，．
，，，
．比較得最大，故選：A.
【例4】已知、是非零向量且滿足，，則與的夾角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依題意可得，，根據平面向量數量積的運算律即可得到，，再根據夾角公式計算可得；
解：，，，，，，
，．設與的夾角為，，因為，．
故選：D．
【例5】已知，，且與相互垂直，則與的夾角為（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】
利用向量垂直列方程，化簡求得與的夾角.
【詳解】
設與的夾角為，，由于與相互垂直，所以，
所以.故選：C
【例6】若向量，滿足，，，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
由題意可得，，進而可得，即可求解.
【詳解】
向量，滿足，，，
所以，可
【對點實戰】
1.已知，，且與互相垂直，則（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根據向量垂直數量積為0，即可得到答案；
【詳解】
與互相垂直，
，
，故選：B.
2.已知非零向量，滿足，則是，均為單位向量的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先對式子兩邊平方化簡，分別討論當時，能否說明，均為單位向量，或者當，均為單位向量時，與是否垂直即可.
解：因為，所以，
則，即，
若，則，即，
則，不能說明，均為單位向量.
當，均為單位向量，即，則，
所以，
又因為，為非零向量，所以能說明.
綜上所述，是，均為單位向量的必要不充分條件.
故選：B.
3.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據已知，由可得，然后利用向量夾角公式即可求解.
【詳解】
解：因為，且，
所以，即，
所以，又，
所以與的夾角為，故選：D.
4,已知、、為三個非零平面向量，甲：，乙：，則甲是乙的（ ）．
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】B
【分析】
根據題意，結合數量積的運算律，以及充分、必要條件的判斷方法，即可求解.
【詳解】
根據題意，由，得，因為、、都為非零向量，所以或，因此甲是乙的必要非充分條件.故選：B.
5.已知，對，恒有，且點滿足N為OA的中點，則的值為__________，的值為__________.
【答案】
【分析】
先根據得到，進而得到；將表示為，然后由模的定義求出答案.
【詳解】
對，恒有，如示意圖：
可得，所以
則
故答案為：
6.已知、是夾角為的兩個單位向量，若和垂直，則實數_______．
【答案】
【分析】
由向量垂直的數量積表示列方程求解．
【詳解】
由題意，
因為和垂直，
則，解得，
故答案為：．
六、投影向量
如圖，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．|a|cos θ
【典型例題】
【例1】已知向量，均為非零向量，且在方向上的投影是2，則下列說法正確的是（ ）
A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4
【答案】C
【分析】
根據向量的投影的概念可得結果.
【詳解】
因為向量，均為非零向量，且在方向上的投影是2，
所以，而，，
所以在方向上的投影為，
在方向上的投影是.
故選：C.
【例2】已知向量與的夾角為，且，，設，，則向量在方向上的投影向量的模為________．
【答案】
【分析】
根據向量數量積公式的變形公式代入計算在方向上的投影向量的模長.
【詳解】
在方向上的投影向量的模為．
故答案為：
【例3】已知，與的夾角為，則在上的數量投影為______．
【答案】
【分析】
利用平面向量的幾何意義可得出結果.
【詳解】
由題意可得，
所以，在上的數量投影為.
故答案為：.
【例4】已知，，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由先求出，先表示出在上的投影，再結合投影向量概念即可求解.
【詳解】
因為，所以，即，又因為，設的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.
故選：C
【例5】在等腰三角形ABC中，，，D為BC的中點．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
【答案】
（1）（或）
（2）
【分析】
（1）先求出在上的投影，然后乘以與同向的單位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以與同向的單位向量即得．
（1）
如圖，，，D為BC的中點．則，，，
所以，
，
在上的投影為，
在上的投影向量為；
（2）
在上的投影為，
在上的投影向量為．
七、向量數量積運算：圖形中確定基底求數量積
引入基底即“坐標軸”這個思維
【典型例題】
【例1】．已知在中，為的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依題意，再根據平面向量數量積的運算律計算可得；
【詳解】
解：
，故選：D
【例2】在我國勾股定理最早的證明是東漢末數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的．如圖就是著名的趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形拼成了內、外都是正方形的美麗圖案．若，則（ ）
A．9 B．13 C．18 D．24
【答案】B
【分析】
根據向量數量積運算法則得即可求解．
【詳解】
由題意知，，所以，
．
故選：B．
【例3】已知為邊長為2的正方形的邊DC上任一點，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
選擇向量為基底向量，根據平面向量定理及向量的數乘，化簡 ，再求解其最大值即可.
【詳解】如圖，選向量為基底向量，則可設
， 的最大值為8，選項C正確.故選：C.
【例4】已知在中，，，其外接圓的圓心為，則的值為________.
【答案】8
【分析】
如圖，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根據向量數量積的幾何意義即可得到答案．
【詳解】如圖，過O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
可得D，E為AB，AC的中點，
則＝
＝×（25﹣9）＝8．故答案為：8
【例5】如圖在邊長為的菱形中，，為的中點，，與交于點，則___________.
【答案】##
【分析】
根據圖形轉化可得即可求解.
【詳解】
如圖所示，連接與交于點，連接，
則，則，
又，所以，
則，得，解得.
在中，，，，
由余弦定理得，
解得，又，則，
在中，，，，
由余弦定理得，
.
故答案為：.
【例6】已知是腰長為的等腰直角三角形，點是斜邊的中點，點在上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量的減法及數乘運算表示出，由向量的數量積運算法則化簡轉化為關于的表達式，再利用直角三角形性質求出即可得解.
【詳解】由題意可知，,
，由點是斜邊的中點，可知
故選：C
【例7】如圖的弦圖中，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，四邊形EFGH是邊長為1的正方形，四個三角形均為直角三角形，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】
根據題意四個三角形均為全等的直角三角形，根據勾股定理可得，再利用和其夾角的余弦可以表示為進行化簡即可得到答案.
【詳解】
根據題意四個三角形均為全等的直角三角形，設，則，在直角三角形中，，即，
.
故選：D.
【對點實戰】
1.已知O為所在平面內一點，且滿足，，則________．
【答案】8
【分析】
根據題意可知O為的外心，再利用外心的概念，可知，再根據平面向量數量積的定義，即可求出結果.
【詳解】
因為O為所在平面內一點，且滿足，
所以O為的外心，
作，垂足為，則，
又，所以．故答案為：.
2.在菱形中，，，，則___________.
【答案】
【分析】
利用向量加減法的幾何意義可得，，再應用向量數量積的運算律及已知條件求即可.
【詳解】由題意知，，
故答案為：
3.已知菱形ABCD的邊長為1，，則___________.
【答案】
【分析】
化簡得到，結合向量的數量積的運算公式，即可求解.
【詳解】
因為，所以，，
所以.故答案為：.
4.已知正方形的邊長為2，點滿足，則的值是_________．
【答案】
【分析】
根據題意轉化為可求出.
【詳解】，
.故答案為：.
5.已知向量，，滿足，，，，分別是線段，的中點，若，則向量與的夾角為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
依題意，四邊形為平行四邊形，因此，因此，，因此，可得，又，因此，故選B.
6.如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據題意可得出，然后根據向量的運算得出，從而可求出答案.
【詳解】
因為點C為的中點，，所以，
所以
，
因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，
所以的取值范圍是,故選：D.
八、數量積之求最值（難點）
【典型例題】
【例1】已知正方形的邊長為1，點是邊上的動點．的最大值為______．
【答案】1
【分析】
設，將用和表示，根據數量積的定義即可得結果.
【詳解】設，所以，
所以，
所以的最大值為1.故答案為：1.
【例2】已知單位向量，的夾角為，則的最小值為________．
【答案】##
【分析】
根據已知條件求出，求，對其平方后研究即可.
【詳解】
根據題意，單位向量的夾角為，則，則，
則，即的最小值為；故答案為：.
【例3】已知四邊形中，，，，點在四邊形上運動，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由題意分析可知四線性關于直線對稱，且，只需考慮點在邊上的運動情況即可，然后分類討論求出的最小值.
【詳解】
如圖所示，因為，且，所以垂直且平分，則△為等腰三角形，又，所以△為等邊三角形.
則四邊形關于直線對稱，故點在四邊形上運動時，只需考慮點在邊上的運動情況即可，
因為，易知，即，則，
①當點在邊上運動時，設，則，
∴，當時，的最小值為；
②當點在邊上運動時，設，則，
∴，當時，的最小值為；
綜上，的最小值為；故選：C .
【例4】設，，為非零不共線向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
因為對任意的實數，不等式恒成立，所以把不等式整理成關于t一元二次不等式，根據二次不等式恒成立，等價轉化即可求得結果.
【詳解】
因為，，為非零不共線向量，若，則，
∴，化簡得，，
即，
∴，
∴.故選：D.
【例5】已知平面向量滿足，，且的最小值，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【分析】設，，則，由的最小值為，得，且，解得或，然后分2種情況考慮的最小值，即可得到本題答案.
【詳解】設，，則
因為的最小值，
所以的最小值為，則，且，解得或，
當，即時，，所以的最小值為2；
當，即時，，
所以的最小值為1，
【例6】已知是兩個非零向量，且，，則的最大值為
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先根據向量的模將轉化為關于的函數，再利用導數求極值，研究單調性，進而得最大值.
【詳解】
,,,，
令,則，令，得當時， ，當時， ， 當時， 取得最大值，故選B.
【例7】．已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
先確定向量、所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據直線與圓的位置關系求最小值.
【詳解】
設，
則由得，
由得
因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.
【例8】如圖，在中，是的中點，、是上的兩個三等分點，，，則的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
根據平面向量的線性運算將，，，，，都用向量和表示，由向量數量積的運算可求出，的值，再進行數量積運算即可求出的值.
【詳解】
因為是的中點，，是上的兩個三等分點，
所以，，
，，
所以，
，
可得，，
又因為，
所以，
故選：C．
九、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依題意可得，，
令，則，
通過換元可得，所以，當時，可得的 最小值.【詳解】
依題意可得，，則，
，
，則，
所以，，
令，則，
令，由得，
則，所以，故
所以，當時，有最小值.
故選：A.
【例2】對任意兩個非零的平面向量和，定義．若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范圍，由定義得， ，可得選項.
【詳解】
首先觀察集合，從而分析和的范圍如下：
因為，∴，而，且，可得，
又∵中，∴，從而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有．故選：C.
【例3】已知單位向量不共線，且向量滿足若對任意實數λ都成立，則向量夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
對兩邊平方化簡可得，再平方化簡整理得恒成立，然后由可求出的范圍，從而可求出的最大值
【詳解】設向量夾角為，設向量與的夾角為，
，
由，得，
所以，所以，
所以所以，所以對任意實數λ都成立，
即恒成立，當，即，得，上式恒成立，
當時，即，，
，所以得，因為，所以
綜上，，
所以向量夾角的最大值是，故選：B

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