資源簡(jiǎn)介

6.1平面向量的概念
本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)目錄：
向量概念；
向量的幾何表示。
相等向量
零向量和單位向量
平行向量
向量的模
向量應(yīng)用題
一、向量概念
1.向量：有大小有方向。
2.區(qū)分標(biāo)量和矢量
3.向量表示，可以用有向線(xiàn)段
4.向量字母表示,注意的區(qū)別
【典型例題】
【例1】下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是
①身高是一個(gè)向量；②的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.下列說(shuō)法正確的是
A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量
C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量
【例3】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是(　　)
①時(shí)間、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；
③相等向量一定是平行向量；
④向量與b不共線(xiàn)，則與b都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】給出下列說(shuō)法：①和的模相等；②方向不同的兩個(gè)向量一定不平行；③向量就是有向線(xiàn)段；④；⑤.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】下列各命題中假命題的個(gè)數(shù)為(　　)
①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等．
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．
④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量．
⑤向量與向量是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上．
⑥有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．
A．2 B．3
C．4 D．5
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.以下選項(xiàng)中，都是向量的是（ ）
A．正弦線(xiàn)、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線(xiàn)、速度
2.下列各說(shuō)法:①有向線(xiàn)段就是向量,向量就是有向線(xiàn)段;②向量的大小與方向有關(guān);③任意兩個(gè)零向量方向相同;④模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量.其中正確的有
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
3.向量的兩個(gè)要素為_(kāi)_____和______.
4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數(shù)量（即標(biāo)量）？
（1）密度 （2）體積 （3）電阻 （4）推進(jìn)力 （5）長(zhǎng)度 （6）加速度
向量：__________；數(shù)量：____________.（填寫(xiě)相應(yīng)編號(hào)）.
5.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量
②零向量沒(méi)有方向
③向量的模一定是正數(shù)
④非零向量的單位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
二、向量的幾何表示
1.有向線(xiàn)段
2.線(xiàn)段可以自由平移（保持方向、長(zhǎng)度不變）
3.注意向量平移和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系。
【典型例題】
【例1】某人向正東方向行進(jìn)100米后，再向正南方向行進(jìn)100 米，則此人位移的方向是(　　)
A．南偏東60° B．南偏東45°
C．南偏東30° D．南偏東15°
【例2】分別以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線(xiàn)段能表示的不同向量有（ ）
A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．12個(gè)
【例3】設(shè)四邊形ABCD中，有，且，則這個(gè)四邊形是
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【例4】在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是（ ）
A．單位圓 B．一段弧
C．線(xiàn)段 D．直線(xiàn)
【例5】在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)
（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：
（1）與相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；
2.在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：
（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
3.某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了 米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
4.如圖，某人上午從A到達(dá)了B，下午從B到達(dá)了C，請(qǐng)?jiān)趫D上用有向線(xiàn)段表示出該人上午的位移、下午的位移以及這一天內(nèi)的位移.
三、相等向量
1.相等向量：長(zhǎng)度相等方向相同
2、因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭疲韵嗟认蛄坎皇芪恢孟拗啤?br/>【典型例題】
【例1】?jī)蓚€(gè)非零向量相等，則下列說(shuō)法中不一定成立的是（ ）
A．它們的方向相同 B．它們的大小相同 C．它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同 D．它們的負(fù)向量相等
【例2】命題“若，，則” 的真假性為（________）
【例3】如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：
（1）與相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；
【例4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分別為AB與CD的中點(diǎn)，則在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對(duì)數(shù)為（ ）
A．9 B．11
C．18 D．24
【例5】如圖，在中，點(diǎn)D E F分別是邊BC CA AB的中點(diǎn)，在以A B C D E F為端點(diǎn)的向量中，與向量的模相等的向量的個(gè)數(shù)是___________.
四、零向量和單位向量
1.零向量的長(zhǎng)度為0。
2.零向量方向是任意的，因而可以與任何向量平行（共線(xiàn)），
3.單位向量長(zhǎng)度是一個(gè)單位。
4.引入向量單位化計(jì)算公式：注意同向與方向
【典型例題】
【例1】已知向量，是單位向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【例4】下列命題中正確的個(gè)數(shù)是
①向量就是有向線(xiàn)段 ②零向量是沒(méi)有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】設(shè)是與向量同向的單位向量，是與向量反向的單位向量，則下列式子中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】下列命題：
①若是單位向量，也是單位向量，則與的方向相同或相反；
②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；
③以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)為起點(diǎn)，所有單位向量的終點(diǎn)的集合是以為圓心的單位圓其中正確的個(gè)數(shù)為
A．0 B．1 C．2 D．3
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線(xiàn)．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．零向量是沒(méi)有方向的
C．零向量與任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線(xiàn)向量
D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量
4.若向量和都是單位向量，并且?jiàn)A角大小為，則以和為鄰邊的平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為_(kāi)___________.
五、平行向量（共線(xiàn)向量）
1.平行向量：方向相同或者相反
2.平行向量長(zhǎng)度之間沒(méi)有關(guān)系。
3.因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭疲云叫邢蛄浚部梢栽谝粭l直線(xiàn)上
【典型例題】
【例1】向量___________.
【例2】如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有_____個(gè).
【例3】下列命題中，正確的是（ ）
A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線(xiàn)
B．“”的充要條件是且
C．若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)
D．向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量
【例4】下面命題說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是
（1）向量，共線(xiàn)，向量、共線(xiàn)，則與也共線(xiàn)；
（2）任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；
（3）向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量；
（4）有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】為非零向量，“”為“共線(xiàn)”的
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件
【例6】設(shè)是任一向量，是單位向量，且，則下列表達(dá)式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例7】下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號(hào)為
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．平行向量也叫共線(xiàn)向量
B．兩非零向量平行，則它們所在的直線(xiàn)平行或重合
C．若為非零向量，則是一個(gè)與同向的單位向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且模相等的向量，其終點(diǎn)必相同
2.下列命題中，正確的是（ ）
A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線(xiàn)
B．“”的充要條件是且
C．若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)
D．向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量
3.給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的命題有
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
4.下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形
B．零向量與單位向量的模相等
C．若 和 都是單位向量，則或
D．零向量與任何向量都共線(xiàn)
5.如圖，在中，向量是（ ）
A．有相同起點(diǎn)的向量 B．共線(xiàn)向量 C．模相等的向量 D．相等向量
6.下列說(shuō)法正確的是
A．與向量共線(xiàn)的單位向量只有
B．向量與平行，則與的方向相同或相反
C．向量與向量是兩平行向量
D．單位向量都相等
向量的模
1.模：向量的長(zhǎng)度
2.記作：
3.向量的模是有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度。
【例1】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，，分別是的邊，的中點(diǎn)，則（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【例2】下列命題中正確的是
A．若，則 B．若，則
C．若，則與可能共線(xiàn) D．若，則一定不與共線(xiàn)
【例3】下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【例4】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
A．向量與的長(zhǎng)度相同 B．單位向量的長(zhǎng)度都相等
C．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) D．零向量是沒(méi)有方向的向量
【例5】將向量用具有同一起點(diǎn)M的有向線(xiàn)段表示，當(dāng)與是平行向量，且時(shí)，________.
【例6】若在一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正三角形中，一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線(xiàn)段為（其中D在邊上運(yùn)動(dòng)），則向量的模的最小值為_(kāi)________.
七、向量應(yīng)用題
【例1】一位模型賽車(chē)的賽車(chē)手遙控一輛賽車(chē)向正東方向前進(jìn)1m，然后將行駛方向按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，繼續(xù)按直線(xiàn)方向前進(jìn)1m，再將行駛方向按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，然后繼續(xù)按直線(xiàn)方向前進(jìn)1m，…，按此方法繼續(xù)操作下去.
（1）作圖說(shuō)明當(dāng)時(shí)，最少操作幾次可使賽車(chē)的位移為0？
（2）按此方法操作，試寫(xiě)出幾種賽車(chē)能回到出發(fā)點(diǎn)的操作.
【例2】某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
【例3】一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移.
【例4】飛機(jī)從A地按北偏西15°的方向飛行到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東75°的方向飛行到達(dá)C地，那么C地在A(yíng)地什么方向上？C地距A地多遠(yuǎn)？
6.1平面向量的概念
本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)目錄：
向量概念；
向量的幾何表示。
相等向量
零向量和單位向量
平行向量
向量的模
向量應(yīng)用題
一、向量概念
1.向量：有大小有方向。
2.區(qū)分標(biāo)量和矢量
3.向量表示，可以用有向線(xiàn)段
4.向量字母表示,注意的區(qū)別
【典型例題】
【例1】下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是
①身高是一個(gè)向量；②的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
本題首先可根據(jù)是否有方向判斷出①③是否正確，然后根據(jù)有沒(méi)有大小來(lái)判斷②是否正確，最后即可得出結(jié)果．
【詳解】
身高只有大小，沒(méi)有方向，故不是向量，①錯(cuò)誤；
同理③中溫度不是向量，③錯(cuò)誤；
對(duì)于②，的兩條邊只有方向，沒(méi)有大小，不是向量，②錯(cuò)誤；
④中加速度是向量，④正確，故選B．
【例2】給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.下列說(shuō)法正確的是
A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量
C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的定義，既有大小，又有方向的量，即可選出結(jié)果．
【詳解】
由物理知識(shí)可知，密度，路程，質(zhì)量，功只有大小，沒(méi)有方向，因此是數(shù)量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故選：D
【例3】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是(　　)
①時(shí)間、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；
③相等向量一定是平行向量；
④向量與b不共線(xiàn)，則與b都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)向量的定義，以及相等相等向量和向量的模的概念，逐項(xiàng)判定，即可得到答案．
【詳解】
對(duì)于①，時(shí)間沒(méi)有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，零向量的模為0，故②錯(cuò)誤；③正確，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④顯然正確．
故選B.
【例4】給出下列說(shuō)法：①和的模相等；②方向不同的兩個(gè)向量一定不平行；③向量就是有向線(xiàn)段；④；⑤.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面向量的基本概念，逐一判定每個(gè)命題是否正確，從而得出答案．
【詳解】
①正確，與是方向相反、模相等的兩個(gè)向量;
②錯(cuò)誤，方向不同包括共線(xiàn)反向的向量；
③錯(cuò)誤，向量用有向線(xiàn)段表示，但二者并不等同；
④錯(cuò)誤，是一個(gè)向量，而0為一個(gè)數(shù)，應(yīng)為；
⑤錯(cuò)誤，向量不能比較大小.
只有①正確，故選B.
【例5】下列各命題中假命題的個(gè)數(shù)為(　　)
①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等．
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．
④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量．
⑤向量與向量是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上．
⑥有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】
①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等，真命題；
②向量與向量平行，則與的方向相同或相反，假命題，因?yàn)橄蛄坑煽赡転榱阆蛄浚?br/>③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，，真命題；
④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量，假命題；
⑤向量與向量是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上．假命題；
⑥有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段．假命題
故選C.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.以下選項(xiàng)中，都是向量的是（ ）
A．正弦線(xiàn)、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線(xiàn)、速度
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的定義判斷．
【詳解】
表示三角函數(shù)值的正切線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正弦線(xiàn)既有大小，又有方向，都是向量．海拔、質(zhì)量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒(méi)有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故選：D．
2.下列各說(shuō)法:①有向線(xiàn)段就是向量,向量就是有向線(xiàn)段;②向量的大小與方向有關(guān);③任意兩個(gè)零向量方向相同;④模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量.其中正確的有
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量的基本概念分析即可.
【詳解】
有向線(xiàn)段是向量的幾何表示,二者并不相同,故①錯(cuò)誤;②向量不能比較大小,故②錯(cuò)誤;③由零向量方向的任意性知③錯(cuò)誤;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④錯(cuò)誤.
故選：A.
3.向量的兩個(gè)要素為_(kāi)_____和______.
【答案】大小 方向
【分析】
根據(jù)平面向量的定義可知兩個(gè)要素為大小和方向.
【詳解】
根據(jù)平面向量的定義可知，向量的兩個(gè)要素為大小和方向.
故答案為大小；方向
4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數(shù)量（即標(biāo)量）？
（1）密度 （2）體積 （3）電阻 （4）推進(jìn)力 （5）長(zhǎng)度 （6）加速度
向量：__________；數(shù)量：____________.（填寫(xiě)相應(yīng)編號(hào)）.
【答案】（4）（6） （1）（2）（3）（5）
【分析】
根據(jù)向量的概念進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
密度、體積、電阻、長(zhǎng)度都是只有大小沒(méi)有方向的量，是數(shù)量；推進(jìn)力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.
故答案為：（4）（6）；（1）（2）（3）（5）.
5.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量
②零向量沒(méi)有方向
③向量的模一定是正數(shù)
④非零向量的單位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】
①錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量．
②錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的．
③錯(cuò)誤，
④錯(cuò)誤，非零向量的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)與反向．
故選：A.
二、向量的幾何表示
1.有向線(xiàn)段
2.線(xiàn)段可以自由平移（保持方向、長(zhǎng)度不變）
3.注意向量平移和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系。
【典型例題】
【例1】某人向正東方向行進(jìn)100米后，再向正南方向行進(jìn)100 米，則此人位移的方向是(　　)
A．南偏東60° B．南偏東45°
C．南偏東30° D．南偏東15°
【答案】C
【分析】
由題意，此人從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)由點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)C，求得∠BAC＝60°，即可得到答案．
【詳解】
如圖所示，此人從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)由點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)C，則tan∠BAC＝ ，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是東偏南60°，即南偏東30°.
故選C．
【例2】分別以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線(xiàn)段能表示的不同向量有（ ）
A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．12個(gè)
【答案】C
【分析】
由圖形一一列出可得答案.
【詳解】
如圖，以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線(xiàn)段能表示的不同向量為：
，共8個(gè)．故選：C．
【例3】設(shè)四邊形ABCD中，有，且，則這個(gè)四邊形是
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【答案】D
【分析】
由向量的關(guān)系得出線(xiàn)段的平行和相等關(guān)系，從而可判斷四邊形的形狀.
【詳解】
由，可知且，所以四邊形是平行四邊形.
又，所以平行四邊形是菱形.
【例4】在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是（ ）
A．單位圓 B．一段弧
C．線(xiàn)段 D．直線(xiàn)
【答案】A
【分析】
根據(jù)單位向量的概念，以及圓的定義，即可得出結(jié)果.
【詳解】
平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，所以將所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是單位圓．
故選：A.
【例5】在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)
（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；
（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.
【答案】見(jiàn)解析
【分析】
利用向量的定義直接求解即可
【詳解】
如圖所示.
（1）終點(diǎn)坐標(biāo)為
（2）終點(diǎn)坐標(biāo)為
（3）終點(diǎn)坐標(biāo)為
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：
（1）與相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】
根據(jù)共線(xiàn)向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線(xiàn)即可.
【詳解】
解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，
每個(gè)小正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為且都與平行，
則，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，
則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；
（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，如圖2.
2.在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：
（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【分析】
（1）由點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處和||＝，可得出點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，可作出向量；
（2）由點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，得出在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，可作出向量；
（3）由點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，再由勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，作出向量．
【詳解】
（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫(huà)出向量如下圖所示．
（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫(huà)出向量如下圖所示．
（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫(huà)出向量如下圖所示．
3.某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了 米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）米
【分析】
（1）利用方位根據(jù)向量的定義作出向量.
（2）根據(jù)（1）作出的平面圖形，利用平面幾何知識(shí)求解.
【詳解】
（1）作出向量，，；如圖所示：
（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
4.如圖，某人上午從A到達(dá)了B，下午從B到達(dá)了C，請(qǐng)?jiān)趫D上用有向線(xiàn)段表示出該人上午的位移、下午的位移以及這一天內(nèi)的位移.
【答案】見(jiàn)解析
【分析】
位移即起點(diǎn)位置指向終點(diǎn)位置的有向線(xiàn)段.
【詳解】
解：如圖，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人這一天內(nèi)的位移.
三、相等向量
1.相等向量：長(zhǎng)度相等方向相同
2、因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭疲韵嗟认蛄坎皇芪恢孟拗啤?br/>【典型例題】
【例1】?jī)蓚€(gè)非零向量相等，則下列說(shuō)法中不一定成立的是（ ）
A．它們的方向相同 B．它們的大小相同 C．它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同 D．它們的負(fù)向量相等
【答案】C
【分析】
利用兩個(gè)非零向量相等的概念對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.
【詳解】
由兩個(gè)非零向量相等的概念，可以推出兩個(gè)向量的大小相等，方向相同，故選項(xiàng)A，B正確；
它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，當(dāng)起點(diǎn)相同時(shí)，則終點(diǎn)也相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
則兩個(gè)非零向量相等的負(fù)向量也相等，故選項(xiàng)D正確；
故選C．
【例2】命題“若，，則” 的真假性為（________）
【答案】√
【分析】
向量的相等具有傳遞性，即可判斷.
【詳解】
向量的相等具有傳遞性，故此命題是真命題
故答案為：√
【例3】如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：
（1）與相等的向量共有幾個(gè)；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】
根據(jù)共線(xiàn)向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線(xiàn)即可.
【詳解】
解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，
每個(gè)小正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為且都與平行，
則，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，
則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；
（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，如圖2.
【例4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分別為AB與CD的中點(diǎn)，則在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對(duì)數(shù)為（ ）
A．9 B．11
C．18 D．24
【答案】D
【分析】
由圖形，根據(jù)共線(xiàn)和平行關(guān)系，先求所有方向上的相等向量，再改變方向，即可得到所有情形.
【詳解】
如圖，
由已知可得，
，，，，
有12對(duì)相等的向量，
改變其方向，又有12對(duì)相等的向量，共24對(duì)，
故選：D.
【例5】如圖，在中，點(diǎn)D E F分別是邊BC CA AB的中點(diǎn)，在以A B C D E F為端點(diǎn)的向量中，與向量的模相等的向量的個(gè)數(shù)是___________.
【答案】5
【分析】
由向量的概念，結(jié)合幾何圖形寫(xiě)出與模相等的向量，即知個(gè)數(shù).
【詳解】
由圖知：與向量的模相等的向量有，
∴共有5個(gè).
故答案為：5.
四、零向量和單位向量
1.零向量的長(zhǎng)度為0。
2.零向量方向是任意的，因而可以與任何向量平行（共線(xiàn)），
3.單位向量長(zhǎng)度是一個(gè)單位。
4.引入向量單位化計(jì)算公式：注意同向與方向
【典型例題】
【例1】已知向量，是單位向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)單位向量的概念進(jìn)行分析即可.
【詳解】
單位向量的模長(zhǎng)都為，方向不一定相同，所以正確，
故選：C．
【例2】設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
本題可根據(jù)與的方向不一定相同判斷出①是假命題，然后根據(jù)當(dāng)與的方向相反時(shí)得出②③也是假命題，即可得出結(jié)果。
【詳解】
向量是既有大小又有方向的量，與的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題，
若與平行，則與的方向相同或相反，反向時(shí)，故②③也是假命題，
綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3，故選D。
【例3】若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量模的概念可判斷①；利用向量共線(xiàn)的定義可判斷②；利用向量模的概念可判斷③、④；根據(jù)單位向量的概念可判斷⑤.
【詳解】
①｜｜＞｜｜不正確，是任一非零向量，模長(zhǎng)是任意的，故不正確；
②∥，則與為共線(xiàn)向量，故不正確；
③，向量的模長(zhǎng)是非負(fù)數(shù)，故正確；
④｜｜=1，故正確；
⑤是單位向量，是單位向量，兩向量方向不一定相同，故不正確.
故選：D.
【例4】下列命題中正確的個(gè)數(shù)是
①向量就是有向線(xiàn)段 ②零向量是沒(méi)有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析、判斷即可．
【詳解】
有向線(xiàn)段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來(lái)，故①錯(cuò)；
零向量有方向，其方向是任意的，故②錯(cuò)，③正確；
零向量的模等于0，故④錯(cuò).
故選：B.
【例5】設(shè)是與向量同向的單位向量，是與向量反向的單位向量，則下列式子中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)單位向量的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得到答案.
【詳解】
因?yàn)槭桥c向量同向的單位向量，是與向量反向的單位向量
所以與以及都共線(xiàn)，得到，所以A選項(xiàng)正確；
因?yàn)槭堑哪ｉL(zhǎng)，且是與向量同向的單位向量，所以有，所以B選項(xiàng)正確；
因?yàn)楹褪欠较蛳喾吹膯挝幌蛄浚裕訡選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)橐驗(yàn)槭堑哪ｉL(zhǎng)，且是與向量反向的單位向量，所以有，整理得到，所以D選項(xiàng)正確；
故選：C.
【例6】下列命題：
①若是單位向量，也是單位向量，則與的方向相同或相反；
②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；
③以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)為起點(diǎn)，所有單位向量的終點(diǎn)的集合是以為圓心的單位圓其中正確的個(gè)數(shù)為
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用單位向量概念判斷即可；
【詳解】
由單位向量的定義知，凡長(zhǎng)度為1的向量均稱(chēng)為單位向量，對(duì)方向沒(méi)有任何要求，故①不正確.因?yàn)椋援?dāng)是單位向量時(shí)，也是單位向量，故②正確.因?yàn)橄蛄渴菃挝幌蛄浚剩渣c(diǎn)是以為圓心的單位圓上的一點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若點(diǎn)是以為圓心的單位圓上的任意一點(diǎn)，則因?yàn)椋韵蛄渴菃挝幌蛄浚盛壅_.
故選C
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線(xiàn)．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】
根據(jù)零向量、單位向量的性質(zhì)即可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】
①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量，正確；
②零向量的方向任意，故錯(cuò)誤；
③單位向量只是模長(zhǎng)都為1的向量，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；
④任意向量與零向量都共線(xiàn)，正確；
故選：D
2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．零向量是沒(méi)有方向的
C．零向量與任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
【答案】B
【分析】
由零向量的性質(zhì)：長(zhǎng)度為0，方向是任意的，與任何向量都平行，即可判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】
A：由零向量的模為0，故正確；而由零向量的長(zhǎng)度為0，方向是任意的，與任何向量都平行，故B錯(cuò)誤，C、D正確；
故選：B
3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線(xiàn)向量
D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量
【答案】B
【分析】
由平面向量的相關(guān)概念判斷.
【詳解】
A. 規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，故正確；
B.規(guī)定零向量與任意向量都平行，故錯(cuò)誤；
C.平行向量就是共線(xiàn)向量，故正確；
D.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，故正確；
故選：B
4.若向量和都是單位向量，并且?jiàn)A角大小為，則以和為鄰邊的平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】以和為鄰邊的平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度即是，利用 可求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度．
【詳解】
以和為鄰邊的平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度即是，
而．
故答案為：．
五、平行向量（共線(xiàn)向量）
1.平行向量：方向相同或者相反
2.平行向量長(zhǎng)度之間沒(méi)有關(guān)系。
3.因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭疲云叫邢蛄浚部梢栽谝粭l直線(xiàn)上
【典型例題】
【例1】向量___________.
【答案】-
【分析】
根據(jù)相等向量和相反向量的概念即可寫(xiě)出答案.
【詳解】
和是相反向量，故填-
故答案為：-
【例2】如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有_____個(gè).
【答案】24
【分析】
每個(gè)小正方中有兩個(gè)符合條件，找到正方形個(gè)數(shù)即可.
【詳解】
由題意知，的格點(diǎn)圖中包含12個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為
與平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個(gè)向量滿(mǎn)足.
故答案為：24.
【例3】下列命題中，正確的是（ ）
A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線(xiàn)
B．“”的充要條件是且
C．若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)
D．向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量
【答案】D
【分析】
由平面向量的定義及零向量的應(yīng)用可依次對(duì)選項(xiàng)判斷
【詳解】
解：對(duì)于A(yíng)，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量可能共線(xiàn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，“”的充要條件是且與方向相同，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則與不一定共線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若與中有一個(gè)是零向量，則與共線(xiàn)，故D正確，
故選：.
【例4】下面命題說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是
（1）向量，共線(xiàn)，向量、共線(xiàn)，則與也共線(xiàn)；
（2）任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；
（3）向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量；
（4）有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【詳解】
對(duì)于（1），由于零向量與任意向量共線(xiàn)，當(dāng)向量為零向量時(shí)，（1）不正確；對(duì)于（2），任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或四點(diǎn)共線(xiàn)，故（2）不正確；對(duì)于（4），向量的平行只與方向有關(guān)，而與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，故（4）不正確；向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量，否則，不妨設(shè)為零向量，則//，與、不共線(xiàn)矛盾，從而（3）正確．故選A．
【例5】為非零向量，“”為“共線(xiàn)”的
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】
共線(xiàn)，方向相同或相反，共線(xiàn)的單位向量不一定相等，結(jié)合充分必要條件的判斷，即可得出結(jié)論.
【詳解】
分別表示與同方向的單位向量，
，則有共線(xiàn)，
而共線(xiàn)，則是相等向量或相反向量，
“”為“共線(xiàn)”的充分不必要條件.
故選:B.
【例6】設(shè)是任一向量，是單位向量，且，則下列表達(dá)式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題中所給條件，逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分析即可.
【詳解】
對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，錯(cuò)誤．對(duì)于B，C，D，當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)B，C，D都正確；當(dāng)時(shí)，由可知，與同向或反向，且，故B，C不全面.
故選：D
【例7】下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號(hào)為
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的概念逐一判斷即可.
【詳解】
解：零向量與它的相反向量相等，故（1）錯(cuò)誤；
當(dāng)向量為零向量時(shí)，其方向是任意的，不能說(shuō)與的方向相同或相反，故（2）錯(cuò)誤；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正確；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比較大小，故（4）錯(cuò)誤.
故選：D.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．平行向量也叫共線(xiàn)向量
B．兩非零向量平行，則它們所在的直線(xiàn)平行或重合
C．若為非零向量，則是一個(gè)與同向的單位向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且模相等的向量，其終點(diǎn)必相同
【答案】D
【分析】
根據(jù)共線(xiàn)向量的定義判斷AB；由的模長(zhǎng)為，得出是一個(gè)與同向的單位向量；舉例排除D.
【詳解】
由于任一組平行向量都可以平移到一條直線(xiàn)上，則平行向量也叫共線(xiàn)向量，A正確；
兩非零向量平行，則它們所在的直線(xiàn)平行或重合，由共線(xiàn)向量的定義可知，B正確；
的模長(zhǎng)為，，則是一個(gè)與同向的單位向量，C正確；
從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)相反向量，有共同的起點(diǎn)且模長(zhǎng)相等，但終點(diǎn)不同，D錯(cuò)誤；
故選：D
2.下列命題中，正確的是（ ）
A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線(xiàn)
B．“”的充要條件是且
C．若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)
D．向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量
【答案】D
【分析】
由平面向量的定義及零向量的應(yīng)用可依次對(duì)選項(xiàng)判斷
【詳解】
解：對(duì)于A(yíng)，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量可能共線(xiàn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，“”的充要條件是且與方向相同，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則與不一定共線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若與中有一個(gè)是零向量，則與共線(xiàn)，故D正確，
故選：.
3.給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的命題有
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】A
【分析】
利用零向量定義判斷①，利用共線(xiàn)向量判斷②③④
【詳解】
①忽略了0與的區(qū)別，；②混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，兩個(gè)向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等；④當(dāng)時(shí)，可以為任意向量，故不一定平行于.
故選：A
4.下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形
B．零向量與單位向量的模相等
C．若 和 都是單位向量，則或
D．零向量與任何向量都共線(xiàn)
【答案】D
【分析】
根據(jù)共線(xiàn)向量,零向量,單位向量的概念逐一分析可得.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，A，B，C，D四點(diǎn)可能共線(xiàn)，故A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，零向量的模為0，單位向量的模為1，不相等，故B不正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)楹投际菃挝幌蛄浚裕鼈兊姆较蚴侨我獾模蔆不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，零向量與任何向量都共線(xiàn)，故D正確，
故選:D.
5.如圖，在中，向量是（ ）
A．有相同起點(diǎn)的向量 B．共線(xiàn)向量 C．模相等的向量 D．相等向量
【答案】C
【分析】
向量是既有大小又有方向的量，通過(guò)大小和方向兩個(gè)方面逐一判斷即可.
【詳解】
解：起點(diǎn)并不全相同，故A錯(cuò)誤；
的方向均不相同，也不相反，故BD 錯(cuò)誤；
圓的半徑，故C正確，
故選C．
6.下列說(shuō)法正確的是
A．與向量共線(xiàn)的單位向量只有
B．向量與平行，則與的方向相同或相反
C．向量與向量是兩平行向量
D．單位向量都相等
【答案】C
【分析】
由單位向量的概念判斷A,D;利用平行向量判斷B,C
【詳解】
與向量共線(xiàn)的單位向量有，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，因此，若與中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)橄蛄颗c方向相反，所以二者是平行向量，故C項(xiàng)正確;單位向量的長(zhǎng)度都相等，方向任意，而向量相等不僅需要長(zhǎng)度相等，還要求方向相同，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
向量的模
1.模：向量的長(zhǎng)度
2.記作：
3.向量的模是有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度。
【例1】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，，分別是的邊，的中點(diǎn)，則（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
根據(jù)方格中的點(diǎn)線(xiàn)位置關(guān)系判定是的中位線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)關(guān)系，結(jié)合勾股定理求解.
【詳解】
因?yàn)槭堑闹形痪€(xiàn)，所以，即.
根據(jù)勾股定理可求得.
故選：B
【例2】下列命題中正確的是
A．若，則 B．若，則
C．若，則與可能共線(xiàn) D．若，則一定不與共線(xiàn)
【答案】C
【分析】
利用共線(xiàn)向量、模的計(jì)算公式，即可得出.
【詳解】
因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较颍灾挥蟹较蛳嗤?大小(長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等，因此A錯(cuò)誤；
兩個(gè)向量不相等，但它們的模可以相等，故B錯(cuò)誤；
無(wú)論兩個(gè)向量的模是否相等，這兩個(gè)向量都可能共線(xiàn)，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：C
【例3】下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A
【分析】
根據(jù)零向量的定義，可判斷A項(xiàng)正確；根據(jù)共線(xiàn)向量和相等向量的定義，可判斷B，C，D項(xiàng)均錯(cuò).
【詳解】
模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；
時(shí)，只說(shuō)明向的長(zhǎng)度相等，無(wú)法確定方向，
所以B，C均錯(cuò)；
時(shí)，只說(shuō)明方向相同或相反，沒(méi)有長(zhǎng)度關(guān)系，
不能確定相等，所以D錯(cuò).
故選：A.
【例4】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
A．向量與的長(zhǎng)度相同 B．單位向量的長(zhǎng)度都相等
C．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) D．零向量是沒(méi)有方向的向量
【答案】D
【分析】
根據(jù)零向量、向量的模，以及單位向量的概念，即可判定得到答案.
【詳解】
A中，向量與相反向量，則，所以是正確的；
B中，單位向量的長(zhǎng)度都是1，所以是正確的；
C中，根據(jù)向量的模的定義，可知向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，所以是正確的；
D中，零向量方向是任意的，所以“零向量是沒(méi)有方向的向量”是錯(cuò)誤的，故選D.
【例5】將向量用具有同一起點(diǎn)M的有向線(xiàn)段表示，當(dāng)與是平行向量，且時(shí)，________.
【答案】3或1
【分析】
利用向量共線(xiàn)的定義，按與的方向相同或相反分類(lèi)討論，計(jì)算即可.
【詳解】
與是平行向量，且，，，
當(dāng)與同向時(shí)，；
當(dāng)與反向時(shí),.
故答案為：3或1
【例6】若在一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正三角形中，一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線(xiàn)段為（其中D在邊上運(yùn)動(dòng)），則向量的模的最小值為_(kāi)________.
【答案】
【分析】
由題意可得，當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)向量長(zhǎng)度最小，問(wèn)題得以解決．
【詳解】
根據(jù)題意，在正三角形中，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小時(shí)，應(yīng)與邊垂直，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為正三角形的高，
即向量的模的最小值為.
故答案為：
七、向量應(yīng)用題
【例1】一位模型賽車(chē)的賽車(chē)手遙控一輛賽車(chē)向正東方向前進(jìn)1m，然后將行駛方向按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，繼續(xù)按直線(xiàn)方向前進(jìn)1m，再將行駛方向按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，然后繼續(xù)按直線(xiàn)方向前進(jìn)1m，…，按此方法繼續(xù)操作下去.
（1）作圖說(shuō)明當(dāng)時(shí)，最少操作幾次可使賽車(chē)的位移為0？
（2）按此方法操作，試寫(xiě)出幾種賽車(chē)能回到出發(fā)點(diǎn)的操作.
【答案】（1）8次（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析
【分析】
（1）位移為0表明賽車(chē)最后回到了出發(fā)點(diǎn)，作圖時(shí)要弄清題意；
（2）討論不同的的值求解即可.
【詳解】
解：記出發(fā)點(diǎn)A.
（1）當(dāng)時(shí)，如圖①，賽車(chē)行進(jìn)路線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)正八邊形，最少操作8次可使賽車(chē)的位移為0，賽車(chē)所行路程是8m.
（2）當(dāng)時(shí)，如圖②，賽車(chē)行進(jìn)路線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，最少操作3次可使賽車(chē)回到出發(fā)點(diǎn)，賽車(chē)所行路程為3m；
當(dāng)時(shí)，如圖③，賽車(chē)行進(jìn)路程構(gòu)成一個(gè)正方形，最少操作4次可使賽車(chē)回到出發(fā)點(diǎn)，賽車(chē)所行路程為4m；
當(dāng)時(shí)，如圖④，賽車(chē)行進(jìn)路線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)正六邊形，最少操作6次可使賽車(chē)回到出發(fā)點(diǎn)，賽車(chē)所行路程為6m.
【例2】某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）450m
【分析】
（1）利用具體方位，用有向線(xiàn)段表示向量；
（2）借助相反向量模相等，得到.
【詳解】
（1）根據(jù)題意，如圖所示.
（2）由題意及（1）可得，四邊形為平行四邊形,所以.
【例3】一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移.
【答案】（1）（2）；約為北偏東53°
【分析】
（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，根據(jù)路程的定義求出巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；
（2）根據(jù)位移的定義，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，求出位移的大小及方向.
【詳解】
解：（1）畫(huà)出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即.
（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為.
由于，故方向約為北偏東53°.
【例4】飛機(jī)從A地按北偏西15°的方向飛行到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東75°的方向飛行到達(dá)C地，那么C地在A(yíng)地什么方向上？C地距A地多遠(yuǎn)？
【答案】C地在A(yíng)地北偏東方向上，距A地
【分析】
根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，根據(jù)方位角的定義、結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，最后求出問(wèn)題.
【詳解】
解：由題圖所示，表示飛機(jī)從A地按北偏西15°方向飛行到B地的位移，則.
表示飛機(jī)從B地按南偏東75°方向飛行到C地的位移，則.
所以為飛機(jī)從A地到C地的位移.
在中，，且，
故為等邊三角形，所以，.
所以C地在A(yíng)地北偏東方向上，距A地.

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