資源簡介

1.1.2空間向量的數量積運算（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求空間向量的數量積
重點題型二：利用數量積求夾角
重點題型三：向量投影
重點題型四：利用數量積證明垂直問題
重點題型五：利用數量積求距離或長度
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間兩個向量的夾角
1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）
2、范圍：．
特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．
(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．
(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯系與區別）
若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，
(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，
(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.
知識點二：空間向量的數量積
1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.
特別提醒：兩個空間向量的數量積是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;
2、空間向量數量積的應用
(1)利用公式可以解決空間中有關距離或長度的問題;
(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;
3、向量的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．
4、空間向量數量積的幾何意義：向量，的數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.
5、數量積的運算：
（1），.
（2）(交換律)．
（3）(分配律).
知識點三：空間向量數量積的性質
（1）
（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．
（3）.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）向量與的夾角等于向量與的夾角．( )
（2）若，則或．( )
（3）對于非零向量，，與相等．( )
（4）若，且，則．( )
（5）若，均為非零向量，則是與共線的充要條件．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為的是( )
A．與 B．與 C．與 D．與
3．（2022·山西·運城市景勝中學高一階段練習（理））已知均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
4．（2022·全國·高二期末）在正四面體中，，若，則________．
5．（2022·全國·高二課時練習）已知空間向量，，，，，則________．
重點題型一：求空間向量的數量積
典型例題
例題1．（2022·全國·高二）在棱長為1的正方體中，___________.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知棱長為1的正方體的上底面的中心為，則=_________.
例題3．（2022·浙江·樂清市第二中學高二階段練習）正方體的棱長為，正方體所在空間的動點滿足，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇宿遷·高二期中）三棱錐A BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于(　　)
A．－2 B．2 C． D．
2．（2022·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐中，，，，則（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022·福建省華安縣第一中學高二階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．（2022·安徽·高二開學考試）已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，則___________.
6．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
重點題型二：利用數量積求夾角
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·福建廈門·高二期末）在四面體中，，，，則與所成角的大小為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不對
2．（2021·全國·高二課時練習）已知，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
3．（2021·全國·高二課時練習）已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
重點題型三：向量投影
典型例題
例題1．（2022·江蘇連云港·高一期末）已知，，設，的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一）在中，，，，則在方向上的投影為__．
例題3．（2022·上海市虹口高級中學高一期末）已知，則向量在向量方向上的數量投影為___________.
同類題型歸類練
1．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，則向量在向量方向上的投影為（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·江蘇·南京師大附中高二期末）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
3．（2021·天津西青·高一期末）若，，與的夾角為，則向量在上的投影向量為（ ）
A． B．48 C． D．
4．（2021·河北滄州·高一期末）等腰梯形中，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山東濟寧·高一期中）已知向量，且，則向量在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海徐匯·高一期末）已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為___________
重點題型四：利用數量積證明垂直問題
例題1．已知四面體的各棱長均為1，是棱的中點，是棱的中點．設，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判斷與是否垂直；
例題2．已知平行六面體的各棱長均為1，且．
(1)求證：；
例題3．如圖，四面體各棱的棱長都是1，，分別是，的中點，記，，.
重點題型五：利用數量積求距離或長度
典型例題
例題1．（2022·江蘇省揚州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·福建寧德·高二期中）如下圖，在平行四邊形中，，，將沿對角線折起，使，則點，間的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
例題3．（2022·廣東汕頭·高二期末）如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·福建泉州·高二期末）在棱長均為1的平行六面體中，，則（ ）
A． B．3 C． D．6
2．（2022·安徽·合肥市第八中學高二開學考試）已知在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是，則的長為（ ）
A．6 B． C． D．
3．（2022·山西·康杰中學高二開學考試）已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點 滿足，，則（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·江西師大附中高二階段練習（理））在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇·南京市第五高級中學高二階段練行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
1．我國古代數學名著《九章算術》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．在塹堵中，，P為的中點，則（ ）．
A．6 B． C．2 D．
2．（多選）金剛石是天然存在的最硬的物質，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結構示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有，若正四面體的棱長為，則（ ）
A． B．
C． D．
3．給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算：.規定：
（i）為同時與，垂直的向量；
（ii），，三個向量構成右手系（如圖1）；
（iii）.
如圖2，在長方體中，，.給出下列四個結論：
①；
②；
③；
④.其中，正確結論的序號是______________.
4．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________.
1．（2021·黑龍江·哈師大附中三模（理））三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．與點位置有關系
2．（2021·陜西渭南·一模（理））設，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
1.1.2空間向量的數量積運算（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求空間向量的數量積
重點題型二：利用數量積求夾角
重點題型三：向量投影
重點題型四：利用數量積證明垂直問題
重點題型五：利用數量積求距離或長度
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間兩個向量的夾角
1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）
2、范圍：．
特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．
(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．
(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯系與區別）
若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，
(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，
(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.
知識點二：空間向量的數量積
1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.
特別提醒：兩個空間向量的數量積是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;
2、空間向量數量積的應用
(1)利用公式可以解決空間中有關距離或長度的問題;
(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;
3、向量的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．
4、空間向量數量積的幾何意義：向量，的數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.
5、數量積的運算：
（1），.
（2）(交換律)．
（3）(分配律).
知識點三：空間向量數量積的性質
（1）
（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．
（3）.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）向量與的夾角等于向量與的夾角．( )
（2）若，則或．( )
（3）對于非零向量，，與相等．( )
（4）若，且，則．( )
（5）若，均為非零向量，則是與共線的充要條件．( )
【答案】 × × × × ×
(1)向量與的夾角與向量與的夾角互補，錯誤；
(2)比如，錯誤；
(3)由非零向量，，與互補，錯誤；
(4)不一定相等，錯誤；
(5)若，均為非零向量，，則，
若與共線，則或，錯誤.
2．（2022·全國·高二課時練習）在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為的是( )
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】A
對A，夾角為，正確；對B，夾角為，錯誤；
對C，夾角為，對D，夾角為，錯誤.
故選：A
3．（2022·山西·運城市景勝中學高一階段練習（理））已知均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
．
故選：C.
4．（2022·全國·高二期末）在正四面體中，，若，則________．
【答案】6
.
故答案為：6.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知空間向量，，，，，則________．
【答案】
∵，∴．
故答案為：.
重點題型一：求空間向量的數量積
典型例題
例題1．（2022·全國·高二）在棱長為1的正方體中，___________.
【答案】1
如圖，在正方體中，
，
故答案為：1
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知棱長為1的正方體的上底面的中心為，則=_________.
【答案】1
如圖，正方體中，與平行且相等，則是平行四邊形，，且，，即，
平面，平面，則，
．
故答案為：1．
例題3．（2022·浙江·樂清市第二中學高二階段練習）正方體的棱長為，正方體所在空間的動點滿足，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
解：因為正方體的棱長為，所以，則由得點在以的中點為球心，為半徑的球面上．當點與點重合時，點在直線上的射影為點，當點與點重合時，點在直線上的射影為點，則，
故選：A．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇宿遷·高二期中）三棱錐A BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于(　　)
A．－2 B．2 C． D．
【答案】A
2．（2022·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因為，所以；
故選：C
3．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐中，，，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
解：因為三棱錐中，，，，
所以，
故選：A.
4．（2022·福建省華安縣第一中學高二階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
故選：B
5．（2022·安徽·高二開學考試）已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，則___________.
【答案】
由題意，平行六面體中，底面是邊長為的正方形，且，，
由，，
所以
.
故答案為：
6．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：設中點為,連接,設中點為,則
,
當與重合時，取最小值0.此時有最小值，
故選：A
重點題型二：利用數量積求夾角
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，
所以，解得，又，所以，
故選：C．
例題2．（2022·福建廈門·高二期末）在四面體中，，，，則與所成角的大小為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
在四面體OABC中，不共面，則，令，
依題意，，
設與AC所成角的大小為，則，而，解得，
所以與AC所成角的大小為.
故選：B
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不對
【答案】D
設與的夾角為θ，
由，得，
兩邊平方，得，
因為，
所以，解得，
故選：D.
2．（2021·全國·高二課時練習）已知，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
【答案】D
因為與垂直，所以即，
所以，而，
故，
故選：D.
3．（2021·全國·高二課時練習）已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵與垂直，∴，
∴
，
∴．∵，∴．
故選：D
重點題型三：向量投影
典型例題
例題1．（2022·江蘇連云港·高一期末）已知，，設，的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在上的投影向量是：
.
故選：A
例題2．（2022·全國·高一）在中，，，，則在方向上的投影為__．
【答案】
在中，，，，
由正弦定理得：，
又根據題意：向量與的夾角為，向量與的夾角為，
則在方向上的投影為．
故答案為：．
例題3．（2022·上海市虹口高級中學高一期末）已知，則向量在向量方向上的數量投影為___________.
【答案】
解：設向量與的夾角是，則向量在方向上的數量投影為：．
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，則向量在向量方向上的投影為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
易得，則向量在向量方向上的投影為.
故選：A.
2．（2022·江蘇·南京師大附中高二期末）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
在上的投影為，即，
在上的投影為，
故選：C
3．（2021·天津西青·高一期末）若，，與的夾角為，則向量在上的投影向量為（ ）
A． B．48 C． D．
【答案】C
解：，，與的夾角為，
則向量在上的投影向量為：．
故選：C．
4．（2021·河北滄州·高一期末）等腰梯形中，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由，可知，且，過點作，垂足為，則，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：C.
5．（2022·山東濟寧·高一期中）已知向量，且，則向量在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題設，，
則向量在上的投影向量.
故選：D
6．（2022·上海徐匯·高一期末）已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為___________
【答案】
解：在方向上的投影向量為，
故答案為：.
重點題型四：利用數量積證明垂直問題
例題1．已知四面體的各棱長均為1，是棱的中點，是棱的中點．設，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判斷與是否垂直；
【答案】(1)，；(2)與不垂直；
(1)，
；
(2)
，
∴與不垂直；
例題2．已知平行六面體的各棱長均為1，且．
(1)求證：；
【答案】(1)證明見解析
(1)證明： 由題意，平行六面體的各棱長均為1，，
因為，
所以 ，
所以；
例題3．如圖，四面體各棱的棱長都是1，，分別是，的中點，記，，.
(1)用向量表示向量；(2)求證.
【答案】(1)(2)證明見解析.
(1)根據題意，
.
(2)根據題意，相互之間的夾角為，且模均為1，由（1）
，
所以.
重點題型五：利用數量積求距離或長度
典型例題
例題1．（2022·江蘇省揚州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，
，
，
，
所以，
故選：B
例題2．（2022·福建寧德·高二期中）如下圖，在平行四邊形中，，，將沿對角線折起，使，則點，間的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
由圖可知， ，
向量 與向量 的夾角為 ，向量 與向量 的夾角為 ，
，
；
故選：D.
例題3．（2022·廣東汕頭·高二期末）如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為四邊形為平行四邊形，且，則為的中點，
，
則
.
故選：D.
同類題型歸類練
1．（2022·福建泉州·高二期末）在棱長均為1的平行六面體中，，則（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
設，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故選：C
2．（2022·安徽·合肥市第八中學高二開學考試）已知在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是，則的長為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
由題設可得如下示意圖，
∴，又為端點的三條棱長均為1，且彼此的夾角都是，
∴，即.
故選：B.
3．（2022·山西·康杰中學高二開學考試）已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點 滿足，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
以向量為基底向量，
所以
所以
故選：D
4．（2022·江西師大附中高二階段練習（理））在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題知，，
則
故選：D
5．（2022·江蘇·南京市第五高級中學高二階段練行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，作圖如下：
令，，，
則，，，設，即，
由，得，
即，
解得：或（舍去），即.
故選：C.
1．我國古代數學名著《九章算術》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．在塹堵中，，P為的中點，則（ ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】A
根據塹堵的幾何性質知：，，．
因為，，
所以.
故選：A．
2．（多選）金剛石是天然存在的最硬的物質，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結構示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有，若正四面體的棱長為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
如下圖所示，O是頂點A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面體的高，OB是下底面的外接圓半徑，OM是下底面內切圓的半徑，則
， ，，
對于A：
由于 ，所以，故A錯誤；
對于B：
因為 ，所以 ，
所以，故B正確；
對于C：
因為 底面BCD， 底面BCD，所以，所以，故C正確；
對于D：
，故D正確.
故選：BCD
3．給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算：.規定：
（i）為同時與，垂直的向量；
（ii），，三個向量構成右手系（如圖1）；
（iii）.
如圖2，在長方體中，，.給出下列四個結論：
①；
②；
③；
④.其中，正確結論的序號是______________.
【答案】①③④
解：，且分別與垂直，，故①正確；
由題意，，，故②錯誤；
，，且與共線同向，
，與共線同向，，與共線同向，
，且與共線同向，故③正確；
，故④成立．
故答案為：①③④．
4．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________.
【答案】 6 -42
如圖，延長MG，交的延長線于K，連接KN，顯然平面，平面，
因此，平面MNG與AB的交點H，即為KN與AB交點，
在塹堵中，，則，即，
又，則，而，于是得，所以，
因，，所以.
故答案為：6；-42
1．（2021·黑龍江·哈師大附中三模（理））三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．與點位置有關系
【答案】A
如圖所示，
取的中點，連接，
和都是等邊三角形，
，
，
面，面，
，在中，
，，
由余弦定理，
.
故選：A
2．（2021·陜西渭南·一模（理））設，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
，由已知得，即，.而當時，還可能是，此時，故“”是“”的充分而不必要條件，故選A.
3．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分別取BC，AD的中點E，F，則，
所以，
故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范圍為．
故選：D．

展開更多......

收起↑