資源簡介

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：空間向量及相關(guān)概念的理解
重點題型二：空間向量的線性運(yùn)算
重點題型三：空間共線向量定理及其應(yīng)用
重點題型四：空間共面向量定理及其應(yīng)用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間向量的有關(guān)概念
1、空間向量的有關(guān)概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.
知識點二：空間向量的加法、減法運(yùn)算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點為起點，作向量，
2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運(yùn)算律
（1）加法交換律：
（2）加法結(jié)合律：
知識點三：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．
2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系
的范圍 的方向 的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反
3、對數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的進(jìn)一步理解：
（1）可以把向量模擴(kuò)大（當(dāng)時），也可縮小（當(dāng)時）；可以不改變向量的方向（當(dāng)時），也可以改變向量的方向（當(dāng)時）．
（2）實數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則．
（3）實數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，，沒有意義，無法運(yùn)算．
知識點四：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因為當(dāng)時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．
或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)（四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
1．判斷正誤
（1）若，則存在唯一的實數(shù)，使．( )
（2）空間中任意三個向量一定是共面向量．( )
2．如果與不平行，那么與、共面的充要條件是______．
3．已知，則下列命題正確的是( )
A． B． C． D．
5．空間兩個向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論不正確的是( )
A． B． C．與方向相反 D．
5．已知，且，則_____________．
重點題型一：空間向量及相關(guān)概念的理解
典型例題
例題1．（2022·山西大附中高一期中）下列說法正確的是（ ）
A．經(jīng)過空間中任意三點的平面有且僅有一個
B．如果一條直線垂直于平面中的無數(shù)條直線，那么該直線垂直于該平面
C．兩個單位向量的長度相等
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中：
（1）模為的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共線向量（平行向量）為______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的個數(shù)是（ ）
①在同一條直線上的單位向量都相等；
②只有零向量的模等于0；
③在正方體中，與是相等向量；
④在空間四邊形中，與是相反向量；
⑤在三棱柱中，與的模一定相等的向量一共有3個
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·江西·奉新縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)是_____________.
重點題型二：空間向量的線性運(yùn)算
典型例題
例題1．（2022·全國·高二期末）直三棱柱中，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））在正方體中，底面的對角線交于點，且，，則等于（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）在平行六面體中，用向量，，表示______．
同類題型歸類練
1．（2022·重慶·高二期末）在長方體中，（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京大興·高二期末）如圖，在平行六面體中，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海黃浦·二模）在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．
重點題型三：空間共線向量定理及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，為的中點，在上，且，為的中點.求證：，，三點共線.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)______．．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若與平行，則______．
2．（2022·全國·高二期末）已知，，若與為共線向量，則x＝_________．
3．（2022·浙江麗水·高二期末）已知，若，則_____________
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）A是所在平面外一點，G是的重心，M、E分別是BD、AG的中點，點F在線段AM上，，判斷三點C、E、F是否共線．
重點題型四：空間共面向量定理及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四邊形，從平面外一點引向量，，，.
求證：四點共面；
例題2．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知，，三點不共線，對空間任意一點，當(dāng)（其中）時，點是否與，，共面？
例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量不共面，并且，判斷向量是否共面，并說明理由．
例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知、、是空間中不共線的三點，是空間中任意一點，求證：在平面內(nèi)的充要條件是：存在滿足的實數(shù)、、，使得.
同類題型歸類練
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，為空間中四點，任意三點不共線，且，若，，，四點共面，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·全國·高二）已知，，三點不共線，為平面外一點，下列條件中能確定，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江蘇常州·高二期中）對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．與點位置有關(guān)
4．（2022·全國·高二）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)為空間中任意一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建廈門·高二期末）已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任意一點O，有，則A，B，C，M四點__________（填“共面”或“不共面”）．
7．（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高二期末）已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.
1．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.
4．在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，并要求同學(xué)們將該四棱錐切割成三個小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案：第一步，過點作一個平面分別交，，于點，，，得到四棱錐；第二步，將剩下的幾何體沿平面切開，得到另外兩個小四棱錐.在實施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形，若，，則的值為___________.
1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：空間向量及相關(guān)概念的理解
重點題型二：空間向量的線性運(yùn)算
重點題型三：空間共線向量定理及其應(yīng)用
重點題型四：空間共面向量定理及其應(yīng)用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間向量的有關(guān)概念
1、空間向量的有關(guān)概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.
知識點二：空間向量的加法、減法運(yùn)算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點為起點，作向量，
2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運(yùn)算律
（1）加法交換律：
（2）加法結(jié)合律：
知識點三：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．
2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系
的范圍 的方向 的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反
3、對數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的進(jìn)一步理解：
（1）可以把向量模擴(kuò)大（當(dāng)時），也可縮小（當(dāng)時）；可以不改變向量的方向（當(dāng)時），也可以改變向量的方向（當(dāng)時）．
（2）實數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則．
（3）實數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，，沒有意義，無法運(yùn)算．
知識點四：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因為當(dāng)時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．
或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)（四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
1．判斷正誤
（1）若，則存在唯一的實數(shù)，使．( )
（2）空間中任意三個向量一定是共面向量．( )
【答案】 × ×
（1）當(dāng)時，不成立；
（2）空間中任意三個向量不一定是共面向量，錯誤.
2．如果與不平行，那么與、共面的充要條件是______．
【答案】存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使.
根據(jù)共面向量定理，如果與不平行，
那么與、共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使.
故答案為：存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使.
3．已知，則下列命題正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
由題可知：對A，當(dāng)時，不成立，對B，左邊是實數(shù)，右邊為向量，錯誤；
對C，正確；對D，，不成立
故選：C
5．空間兩個向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論不正確的是( )
A． B． C．與方向相反 D．
【答案】B
由題可知：向量，互為相反向量且，所以ACD正確， ，所以B錯誤，故選：B
5．已知，且，則_____________．
【答案】2
因為，所以，解得.
故答案為：2
重點題型一：空間向量及相關(guān)概念的理解
典型例題
例題1．（2022·山西大附中高一期中）下列說法正確的是（ ）
A．經(jīng)過空間中任意三點的平面有且僅有一個
B．如果一條直線垂直于平面中的無數(shù)條直線，那么該直線垂直于該平面
C．兩個單位向量的長度相等
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
【答案】C
對于A，若三點共線，則過這三點的平面有無數(shù)個，A錯誤；
對于B，若一條直線垂直于平面中的無數(shù)條互相平行的直線，則該直線未必垂直于該平面，B錯誤；
對于C，所有單位向量的模長均為，C正確；
對于D，兩個單位向量平行，則兩個單位向量可能同向或反向，則可能兩個向量為相等向量或相反向量，D錯誤.
故選：C.
例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中：
（1）模為的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共線向量（平行向量）為______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
【答案】 ，，，，，，， ，， ，，， ，，，，，， 不共面
【解析】
(1)由于長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，．
(2)與相等的向量有，，．
(3)的相反向量為，，，．
(4)的共線向量（平行向量）為，，，，，，．
(5)因為，向量，，有一個公共點，而點，，都在平面內(nèi)，點在平面外，所以向量，，不共面．
故(1)答案為：，，，，，，，；
(2)答案為：，，；
(3)答案為：，，，；
(4)答案為：，，，，，，；
(5)答案為：不共面.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的個數(shù)是（ ）
①在同一條直線上的單位向量都相等；
②只有零向量的模等于0；
③在正方體中，與是相等向量；
④在空間四邊形中，與是相反向量；
⑤在三棱柱中，與的模一定相等的向量一共有3個
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
①錯誤，在同一條直線上的單位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；
②正確，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
③正確，由正方體的性質(zhì)知：與的模相等，方向相同；
④錯誤，空間四邊形中，與的模不一定相等，方向也不一定相同；
⑤錯誤，三棱柱中與的模一定相等的向量是共5個.故選：A
2．（2022·江西·奉新縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)是_____________.
【答案】
由已知，所以與同方向的單位向量的坐標(biāo)是．
故答案為：．
重點題型二：空間向量的線性運(yùn)算
典型例題
例題1．（2022·全國·高二期末）直三棱柱中，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知得，
故選：A.
例題2．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））在正方體中，底面的對角線交于點，且，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如下圖所示：
.
故選：A.
例題3．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）在平行六面體中，用向量，，表示______．
【答案】
解：，
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·重慶·高二期末）在長方體中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在長方體中，易知，
所以.
故選：D.
2．（2022·北京大興·高二期末）如圖，在平行六面體中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
故選：C
3．（2022·上海黃浦·二模）在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．
【答案】
由題意，
故答案為：
重點題型三：空間共線向量定理及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，為的中點，在上，且，為的中點.求證：，，三點共線.
【答案】證明過程見解析.
由圖作出如圖所示長方體
由題可得，，
，
所以，所以，E，N三點共線.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)______．．
【答案】
，，
，
三點共線，存在實數(shù)，使得，即，
，解得：．
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若與平行，則______．
【答案】3
與平行，則，所以，
所以，解得：，所以.
故答案為：3.
2．（2022·全國·高二期末）已知，，若與為共線向量，則x＝_________．
【答案】
解：因為，且與共線，
所以存在，使得，即，所以，解得；
故答案為：
3．（2022·浙江麗水·高二期末）已知，若，則_____________
【答案】##-0.5
由，可知存在實數(shù)使得，
即，
有，解得.
當(dāng)時，，符合題意.
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）A是所在平面外一點，G是的重心，M、E分別是BD、AG的中點，點F在線段AM上，，判斷三點C、E、F是否共線．
【答案】C、E、F三點共線
解：設(shè)，，，
，
，
，
，
因為，
所以，
又因為、有公共點C，
所以C、E、F三點共線．
重點題型四：空間共面向量定理及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四邊形，從平面外一點引向量，，，.
求證：四點共面；
【答案】(1)證明見解析
∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，
∴、、、四點共面；
例題2．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知，，三點不共線，對空間任意一點，當(dāng)（其中）時，點是否與，，共面？
【答案】點P與A，B，C共面，理由見解析
因為，所以
，則，即，因為A，B，C三點不共線，所以向量不共線，由平面向量基本定理可知：共面，因為三個向量有公共點C，所以直線AP在兩相交直線AB，AC所確定的平面內(nèi)，故P與A，B，C共面.
例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量不共面，并且，判斷向量是否共面，并說明理由．
【答案】向量共面，理由見解析.
設(shè)，則，故，解得：，故，由空間向量共面定理得：向量共面.
例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知、、是空間中不共線的三點，是空間中任意一點，求證：在平面內(nèi)的充要條件是：存在滿足的實數(shù)、、，使得.
【答案】證明見解析
證明：若在平面內(nèi)，則存在實數(shù)、，使得，
對于空間中的任意一點，則，
可得，
因為，則，
所以，在平面內(nèi)存在滿足的實數(shù)、、，使得；
若存在滿足的實數(shù)、、，使得，
則，即，
所以，，即、、共面，故在平面內(nèi)，
即在平面內(nèi)存在滿足的實數(shù)、、，使得.
因此，在平面內(nèi)的充要條件是：存在滿足的實數(shù)、、，使得.
同類題型歸類練
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，為空間中四點，任意三點不共線，且，若，，，四點共面，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
若，，，四點共面，則，則
故選：D．
2．（2022·全國·高二）已知，，三點不共線，為平面外一點，下列條件中能確定，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
設(shè)，
若點與點共面，
則，
對于選項A：，不滿足題意；
對于選項B：，不滿足題意；
對于選項C：，不滿足題意；
對于選項D：，滿足題意.
故選：D.
3．（2022·江蘇常州·高二期中）對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．與點位置有關(guān)
【答案】B
由
，
所以A，B，C，P四點共面，
故選：B
4．（2022·全國·高二）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)為空間中任意一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線
可得，解之得
故選：D
5．（2022·福建廈門·高二期末）已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為四點共面，設(shè)存在有序數(shù)對使得，則，即，所以得.
故選：A
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任意一點O，有，則A，B，C，M四點__________（填“共面”或“不共面”）．
【答案】共面
，
因為A，B，C三點不共線
則不共線，
則共面
則A，B，C，M四點共面.
故答案為：共面.
7．（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高二期末）已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.
【答案】
P，A，B，C四點共面,則存在實數(shù)，使得
所以
即
所以 ，解得
故答案為：
1．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題意可得
.
故選：D
2．（多選）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
選項A，因為，所以共面；
選項B，因為，所以共面；
選項C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個平面內(nèi)，不符合.
選項D，因為共線，所以共面.
故選：ABD
3．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.
【答案】2
解：因為
，
又，
所以，，
則.
故答案為：2.
4．在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，并要求同學(xué)們將該四棱錐切割成三個小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案：第一步，過點作一個平面分別交，，于點，，，得到四棱錐；第二步，將剩下的幾何體沿平面切開，得到另外兩個小四棱錐.在實施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形，若，，則的值為___________.
【答案】
連接AC,BD交于點O，則O是底面的中心，連接PO，PO垂直于底面ABCD，
連接AF，交PO于H，可得H為PO的三等分點（靠近O）,連接EH并延長，與PD的交點即為G，
在平面內(nèi)作出三角形PBD，作,垂足分別為S，T，如圖，
由題意，,所以，，
設(shè)，則，
又由三角形相似得，,
所以，解得：.
解得：故答案為：.

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