資源簡介

§1.1空間向量及其應用
1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算.
2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.
1．空間向量的有關概念
名稱 概念 表示
零向量 模為0的向量 0
單位向量 長度(模)為1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量為－a
共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一個平面的向量
2空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，
當〈a，b〉＝0時，a與b方向相同；
當〈a，b〉＝π時，a與b方向相反，
當〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積：已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
解讀：兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零.
③投影向量：
向量a向向量b投影，得到c=|a||b|=向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。
(2)空間向量數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3.空間向量中的有關定理
(1)共線向量定理
空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數(shù)組{x，y，z}，使得
p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
4．空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐標表示
數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角余弦 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
5.空間位置關系的向量表示
(1)直線的方向向量：直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個．
(2)平面的法向量：直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量．
(3)
位置關系 向量表示 圖 示
直線l，m的方向向量分別為a，b l∥m、 線線平行 a∥b a＝λb
l⊥m 線線垂直 a⊥b a·b＝0
直線l的方向向量為a， 平面α的法向量為n l∥α 線面平行 a⊥n a·n＝0
l⊥α 線面垂直 a∥n a＝λn
平面α，β的法向量分別為 n1，n2 α∥β 面面平行 n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β 面面垂直 n1⊥n2 n1·n2＝0
1．共線向量與共面向量相同嗎？
提示　不相同．平行于同一平面的向量就為共面向量．
2．零向量能作為基向量嗎？
提示不能．由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故零向量不能作為基向量
共線向量
(1) 如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量平行于記作.
(2) 共線向量定理：空間任意兩個向量，，存在實數(shù)使.
(3) 三點共線：三點共線(其中)
(4) 與共線的單位向量為.
共面向量
(1) 定義 ：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量.說明:空間任意的兩向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果兩個向量不共線與向量共面的充要條件是存在唯一實數(shù)對，使.
(3) 四點共面
方法1 若要證明四點共面，只需要證明
方法2 若要證明四點共面，只需要證明(其中)
證明 若，則
，
，，
即共面，即四點共面
題型一 空間向量概念
1、給出下列命題：
①向量的長度與向量的長度相等；
②向量與平行，則與的方向相同或相反；
③兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；
④若向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上；
⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．
其中假命題的個數(shù)為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等 B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小
C．如果，則 D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
名師點撥　
①在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致.
②由于向量是由其大小和方向兩方面確定的,因此解答空間向量有關概念問題時,要抓住這兩點；
③零向量是一個特殊向量,其方向是任意的且與任意向量都共線,這一點說明共線向量不具備傳遞性
【對點練習】
3．給出下列命題：
①零向量沒有方向；
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
③若空間向量滿足，則；
④若空間向量滿足，則；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列命題為真命題的是（ ）
A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量
B．若，則 的長度相等且方向相同
C．若向量 滿足，且與同向，則
D．若兩個非零向量與滿足，則
題型二 空間向量的線性運算
1．空間四邊形中， =（ ）
A． B． C． D．
2．若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，直三棱柱中，若，，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
名師點撥　 運用法則進行向量的線性運算時注意的關鍵要素
(1)向量加法的三角形法則：“首尾相接，指向終點”；
(2)向量減法的三角形法則：“起點重合，指向被減向量”；
(3)平行四邊形法則：“起點重合”；
(4)多邊形法則：“首尾相接，指向終點”．
【對點練習】
5．三棱錐中，點在棱上，且，則為（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖，在長方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在四面體中，是的中點，，設，則（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在平行六面體中，設，則（ ）
A． B．
C． D．
9．如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點為點M，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
10．如圖，在三棱錐中，E為OA的中點，點F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（ ）
B． C． D．
題型三 空間向量共線共面問題
1.設a,b是不共線的兩個向量,且λa+μb=0,λ,μ∈R,則 (　　)
A.λ=μ=0 B．a=b=0 C.λ=0,b=0 D.μ=0,a=0
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
3.已知空間任一點O和不共線的三點A,B,C,下列能得到P,A,B,C四點共面的是 (　　)
A.=++ B.=++ C.=-++ D.以上都不對
4.有下列說法:
①若p=xa+yb,則p與a,b共面； ②若p與a,b共面,則p=xa+yb；
③若=x+y,則P,M,A,B共面； ④若P,M,A,B共面,則=x+y.
其中正確的是 (　　)
A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④
5.已知點P和不共線的三點A,B,C四點共面且對于空間任意一點O,都有=2++λ,則λ=　　　　.
6.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三個向量共面,則實數(shù)λ等于　　　　.
7.如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E,F分別是B1C1,C1D1的中點,求證:E,F,B,D四點共面.
題型五 基底的判斷
1．已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標形式可表示為 ．
2．已知為空間的一個基底，則下列各選項能構成基底的是（ ）
A． B． C． D．
名師點撥　 判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．
②假設a＝λb＋μc，運用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．
【對點練習】
3．若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．已知是空間的一個基底，若，則下列可以為空間一個基底的是（ ）
A． B． C． D．
題型六 用基底表示向量
1．在平行六面體中，設，，，則以為基底表示（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別是棱和的中點，以為基底表示．
3．如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，用向量，，表示，則（ ）
A． B．
C． D．
名師點撥　 用基底表示向量時，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運算律；若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求
【對點練習】
4．在平行六面體中，，記向量，，，則向量（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，在三棱柱中，為的中點，若，，，則下列向量與相等的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如圖，三棱柱中，、分別是、的中點，設，，，則 .
題型七 空間向量的坐標運算
1．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知則（ ）
A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23
4．已知，若，則實數(shù)m的值分別是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知向量，向量，若，則實數(shù)
A． B． C． D．
6．已知，，若，則常數(shù)（ ）
A．-6 B．6 C．-9 D．9
7．已知向量，，若，則的值為（ ）
A．0 B． C．2 D．
8．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
10．在空間直角坐標系中，點，則向量在上的投影向量的坐標為 .
11．(多選題)已知向量，則與共線的單位向量為（ ）
A． B． C． D．
12．已知空間三點，，，設，．
(1)求；
(2)與互相垂直，求實數(shù)的值．
13．已知空間中三點，，.設，.
(1)求和；
(2)若與互相垂直，求實數(shù)的值
名師點撥　
1、空間向量的坐標運算注意以下幾點
(1)一個向量的坐標等于這個向量的終點的坐標減去起點的坐標．
(2)空間向量的坐標運算法則類似于平面向量的坐標運算，牢記運算公式是應用的關鍵.
2、利用空間向量坐標形式證明兩直線平行或垂直的步驟
①建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求出相應點的坐標;
②求出有關直線的方向向量;
③證明兩直線平行即證明方向向量共線（特別注意：證明兩直線平行要說明兩條直線不重合）;證明兩直線垂直即計算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；
④還原到幾何問題，得出結論。
題型八 求平面的法向量
1．如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別求平面與平面的一個法向量．

名師點撥　 求平面法向量的步驟
1.設法向量n＝(x，y，z)；
2.在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
3.建立方程組
4.解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．
【對點練習】
2．如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，試建立適當?shù)淖鴺讼?
（1）求平面ABCD的一個法向量；
（2）求平面SAB的一個法向量；
（3）求平面SCD的一個法向量.
題型九 證明線線、線面、面面平行
1、在正方體中，若為中點，為中點.
求證：
(1)；
(2)平面；
(3)平面平面．
名師點撥　
1、證明兩直線平行的方法
法一：平行直線的傳遞性；
法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量m，n，證明m∥n，即m＝λn.
法三：坐標法，建立空間直角坐標系，把直線的方向向量用坐標表示，如m1＝(x1，y1，z1)，
m2＝(x2，y2，z2)，即證明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
2、向量法證明線面平行的思路
(1)設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u,即a·u＝0.
(2)根據(jù)線面平行的判定定理，要證明一條直線和一個平面平行，在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．
3、證明面面平行的方法
設平面α的法向量為μ，平面β的法向量為v，則α∥β μ∥v.
【對點練習】2．如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點．證明：
(1)平面；
(2)平面平面．
題型十 證明線線、線面、面面垂直
1、如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點．
(1)求證：；
(2)求證：平面
2、如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點，已知，．
(1)求證：；
(2)求證：平面平面．
名師點撥　
1、證明線線垂直
點撥：用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，只需證明兩條直線的方向向量a·b＝0即可，具體方法如下：
1.坐標法：根據(jù)圖形的特征，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，準確地寫出相關點的坐標，表示出兩條直線的方向向量，計算出其數(shù)量積為0即可．
2.基向量法：利用向量的加減運算，結合圖形，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，利用數(shù)量積運算說明兩向量的數(shù)量積為0.
2、用向量法證明線面垂直的方法及步驟
(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標表示；②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直；
(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
3、利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個方法
一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；
二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直
3．如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，M為CE的中點.請用空間向量知識解決下列問題：
(1)求證：；
(2)求證：平面
4.如圖，在四棱錐中，平面，，，，點為棱的中點．證明：
(1)平面；
(2)平面⊥平面．
5．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點.
(1)求證：.
(2)已知點在平面內，且平面，試確定點的位置.
§1.1空間向量及其線性運算（答案）
題型一 空間向量概念
1．C 【分析】②可舉出反例，①③④⑤可用向量的概念進行判斷
【詳解】對于①，，故①為真命題；
對于②，若與中有一個為零向量時，其方向不確定，故②為假命題；
對于③，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反，所以③為假命題；
對于④，共線向量所在直線可以重合，也可以平行，不能得到點A，B，C，D必在同一條直線上，故④為假命題；
對于⑤，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故⑤為假命題．故假命題的個數(shù)為4.故選：C
2．A 【分析】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質可判斷BD.
【詳解】對于A，零向量的相反向量是它本身，A錯誤；
對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；
對于C，如果，則，C正確；
對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.故選：A.
3．D 【分析】根據(jù)空間向量的有關定義判斷可得答案.
【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；
當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；
根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；
對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．
4．D 【分析】由空間向量的模長、共線、共面等相關概念依次判斷4個選項即可.
【詳解】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；
若，則 的長度相等但方向不確定，B錯誤；向量不能比較大小，C錯誤；
由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.
題型二 空間向量的線性運算
1．C 【分析】根據(jù)空間向量的加減運算即可求解.
【詳解】,故選：C
2．A 【分析】根據(jù)空間向量的線性運算逐一分析各個選項即可得出答案.
【詳解】對于A，；
對于B，；
對于C，；
對于D，.故選：A.
3．A 【分析】利用空間向量加法法則直接求解．
【詳解】連接BD，如圖，
則
故選：A．
4．C 【分析】利用向量的平行四邊形法則求解即可.
【詳解】因為直三棱柱中，若，，，
所以，故選：C
5．D 【分析】利用向量加減運算及數(shù)乘運算求解即可．
【詳解】由題得：===
6．B 【分析】由空間向量的線性運算結合長方體的結構特征進行運算.
【詳解】由長方體的結構特征，有，則.故選：B
7．B 【分析】由空間向量的線性運算求解.
【詳解】故選：B
8．B 【分析】根據(jù)空間向量線性運算求解即可.
【詳解】連接，如圖所示：
.
故選：B
9．A 【分析】根據(jù)空間向量的線性運算用表示出即可得．
【詳解】-＝，
.故選：A．
10．A 【分析】根據(jù)空間向量的加減法進行求解.
【詳解】解：在三棱錐中，E為OA的中點
，，
所以故選：A
題型三 空間向量共線共面問題
1.A　若λ≠0,則a=-b,與已知a,b不共線矛盾,故λ=0,同理μ=0,故選A.
2.A　因為+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三點共線.
3..B　若點P,A,B,C共面,設=x+y+z,則x+y+z=1,滿足條件的只有B,故選B.
4.C　若a,b共線,由p=xa+yb知p一定與a,b共面,若a,b不共線,則滿足共面定理,p與a,b共面,①對；同理③對；若p與a,b共面,且a,b共線,則不一定有p=xa+yb,故②不對；同理④不對,故選C.
5.　-2 解析　對于空間不共線的三點A,B,C和點P,若四點共面,則對空間任意一點O,都有=x+y+z,其中x+y+z=1,所以λ=-2.
6.　解析　若向量a,b,c共面,則存在x,y∈R,使得a=xb+yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),∴解得λ=.
7.證明　設=a,=b.則=+=b+a,=+=b+a=,
所以∥,而E,F,B,D四點不共線,
因此DB∥FE,故E,F,B,D四點共面
題型五 基底的判斷
1． 【分析】由向量坐標的定義求解.
【詳解】由向量坐標的定義可知，是空間的一個單位正交基底，．
故答案為：
2．B 【分析】利用基底的性質進行求解.
【詳解】因為，所以是共面向量，不能構成基底，A不正確；
因為不是共面向量，所以可以構成基底，B正確；
因為與平行，所以不能構成基底，C不正確；
因為，所以共面，不能構成基底，D不正確.故選：B.
3．D 【分析】根據(jù)空間向量共面定理逐一驗證即可得出結果.
【詳解】根據(jù)題意可知，對于選項A，假設存在一組實數(shù)對滿足，可知無解，即向量，，不共面；
選項B假設存在一組實數(shù)對滿足可知無解即向量，，不共面；
選項C，假設存在一組實數(shù)對滿足，可知無解，即向量，，不共面；
只有D選項存在一組實數(shù)對滿足，即，，是共面向量.
4．D 【分析】根據(jù)空間向量共面定理和基底的概念，逐項檢驗，即可得到正確結果.
【詳解】由于，可知共面，所以選項A不能作為空間的一個基底；
由于，可知共面，所以選項B不能作為空間的一個基底；
由于，可知共面，所以選項C不能作為空間的一個基底；
假設不是空間的一組基底，即向量共面，則存在實數(shù)使得，即，所以,因為是空間的一組基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空間的一組基底，所以選項D正確；
題型六 用基底表示向量
1．A
【分析】由向量的加法法則可得，再將已知條件代入即可得答案.
【詳解】因為.故選：A.
2． 【詳解】利用空間向量基本定理以及平行六面體的圖形性質得出結果.
【分析】利用平行六面體的性質，空間向量的線性運算即得.在平行六面體中，
，又點E，F(xiàn)分別是棱和的中點，∴，
∴.
3．A 【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.
【詳解】
.故選：A
4．C 【分析】先得到是的中點，利用空間向量基本定理求出答案.
【詳解】因為平行六面體鐘，，所以是的中點，
故.故選：C
5．A 【分析】利用空間向量基本定理求解即可
【詳解】由于M是的中點，所以
．
6． 【分析】由空間向量的線性運算即可求解.
【詳解】，故答案為：
題型七 空間向量的坐標運算
1．B 【分析】利用平面向量的坐標計算可得答案．
【詳解】故選：B
2．A 【解析】求出向量的坐標，利用空間向量的減法運算可得答案．
【詳解】，故選：A
3．C 【分析】應用向量的坐標運算及數(shù)量積的坐標運算即可.
【詳解】，.
4．A 【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示列方程組，由此求得m的值.
【詳解】因為，則，則，解得.故選：A
5．D 【解析】由得出，結合空間向量數(shù)量積的坐標運算可得出關于的等式，解出即可.
【詳解】，，，，解得.故選：D.
6．A 【分析】等價轉化為,利用空間向量的坐標運算得到關于的方程，解之即可.
【詳解】解：由得，又∵，，,
解得,故選：A.
7．B 【解析】首先求得，，根據(jù)兩個向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.
【詳解】因為，，所以由有：
所以.故選：B
8．C 【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算性質和定義，結合投影向量進行求解即可.
【詳解】因為空間向量，，所以向量在向量上的投影向量為：
，故選：C
9．A 【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解即得.
【詳解】向量，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A
10．
【詳解】根據(jù)題意可得，所以，
則；因此向量在上的投影向量為，因此投影向量的坐標為.
11．AD 【分析】與共線的單位向量為或，從而求出答案.
【詳解】，則與共線的單位向量為或，其中，.故選：AD
12．(1) (2)或
【分析】（1）應用向量線性關系坐標運算得，，根據(jù)向量夾角的坐標公式求夾角余弦值；
（2）首先求出，的坐標，再根據(jù)向量垂直列方程求參數(shù)．
【詳解】（1）由題設，，
所以．
（2）由，，而，
所以，
可得或
題型八 求平面的法向量
1．【詳解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且，∴兩兩垂直．
以A點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
則，易知向量是平面的一個法向量．
設為平面的法向量，
則即，
取，則，所以平面的一個法向量為.
2．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】以點A為原點，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系：
（1）由法向量的定義可知，是平面ABCD的一個法向量；
（2）可證AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一個法向量；
（3）設平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根據(jù)⊥，⊥，計算可得結果.
【詳解】以點A為原點，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一個法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一個法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
設平面SCD的法向量是=(x，y，z)，則⊥，⊥，∴
得方程組令，則，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一個法向量.
題型九 證明線線、線面、面面平行
1．【分析】（1）以D為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出的坐標，利用，即可證明；
（2）求出平面ACD1的法向量，及直線的方向向量，從而得到，即可證明；
（3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理證明，也可以求出兩個平面的法向量，利用法向量平行來證明面面平行.
【詳解】（1）以D為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1．
依題意知：，，，，
∴，，∴，
∴，即.
（2）設平面ACD1的法向量為，∵，，，
∴，，由可得，，即，
令，則，∴，又，
∴，∴，
又平面，∴平面．
（3）證法一 ∵，∴，又，
∴，∴，又平面，平面，
∴平面，又由（2）知平面，而，
且平面，平面,∴平面平面.
證法二 設平面的法向量為則即∴
令，得，∴，由（2）知平面ACD1的一個法向量，
∴，∴，∴平面平面.
2．【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)正方體性質可知為平面的一個法向量，然后證明即可得證；
（2）證明也是平面MNP的一個法向量即可.
【詳解】（1）證明：以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為2，則，，，，，．
由正方體的性質，知平面，所以為平面的一個法向量．由于，則，
所以．又平面，所以平面．
（2）證明：因為為平面的一個法向量，
由于，，則，即也是平面MNP的一個法向量，
所以平面平面．
題型十 證明線線、線面、面面垂直
1．【分析】建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量研究空間位置關系即可.
【詳解】（1）
如圖所示，以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體邊長為2，
則，所以，
有；
（2）由（1）知，設平面的一個法向量為，則，令，即，又，顯然，故平面.
2．【分析】（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明．
（2）運用線面垂直的性質定理可證得，進而運用線面垂直的判定定理可證得平面PAC，進而可證得面面垂直.
【詳解】（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
所以，，
所以，所以．
（2）連接，，如圖所示，
因為面，面，所以，
又因為四邊形為正方形，所以，
又因為，、面，所以面，
又因為面，所以平面平面．
3．【分析】（1）先由面面垂直的性質定理及正方形的性質推得兩兩垂直，從而建立空間直角坐標系，求得，，由此利用空間向量垂直的坐標表示即可得證；
（2）結合（1）中結論得到，，，從而利用空間向量垂直的坐標表示證得，，由此利用線面垂直的判定定理證得平面.
【詳解】（1）因為面面，面面，，面，
所以面，又面，所以，又因為在正方形中，，所以兩兩垂直，以D為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為M為EC的中點，所以，
故，，所以，故即.
（2）由（1）得，，，
所以，則即，
又，故即，又，平面，
所以平面.
4．【詳解】（1）因為平面，且平面，所以，
又因為，且平面，所以平面，
依題意，以點為原點，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，由為棱的中點，得，則，所以為平面的一個法向量，又，所以，又平面，所以平面．
（2）由（1）知平面的法向量，，，
設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，所以，
又，所以，所以平面⊥平面．
5．【詳解】（1）以D為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系（如圖），設，則，，，，，，
所以，，所以，所以.
（2）因為平面PAD，設，所以.
由（1），知，.因為平面PCB，
所以，
，所以，，
所以點G的坐標為，即點G為AD的中點

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