資源簡介

3.3冪函數（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：冪函數的概念
重點題型二：冪函數的定義域
重點題型三：冪函數的值域
重點題型四：冪函數的圖象
重點題型五：冪函數的單調性
角度1:比較大小
角度2：解不等式
重點題型六：冪函數性質綜合應用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：冪函數的概念
1、定義：一般地，函數叫做冪函數，其中是自變量，是常數.
2、冪函數的特征
①中前的系數為“1”
②中的底數是單個的自變量“”
③中是常數
知識點二：冪函數的圖象與性質
1、五個冪函數的圖象(記憶五個冪函數的圖象）
當時，我們得到五個冪函數：
；；；；
2、五個冪函數的性質
定義域
值域
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶 奇函數
單調性 在上單調遞增 在上單調遞減 在單調遞增 在上單調遞增 在單調遞增 在上單調遞減 在上單調遞減
定點
3、拓展：
①，當時，在單調遞增；
②，當時，在單調遞減.
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）冪函數的圖象必過點和．( )
（2）冪函數的圖象都不過第二、四象限．( )
（3）當冪指數取1，3，時，冪函數是增函數．( )
（4）若冪函數的圖象關于原點對稱，則在定義域內y隨x的增大而增大．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）下列函數中不是冪函數的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）是冪函數．( )
（2）函數是冪函數．( )
4．（2022·全國·高一）冪函數在上單調遞減，則實數m的值為（ ）
A． B．3 C．或3 D．
5．（2022·全國·高一專題練習）冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是 （ ）
A． B． C． D．
重點題型一：冪函數的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高一階段練習）已知冪函數的圖象經過點，則的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知冪函數為偶函數，則實數的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）冪函數在上為增函數，則實數的值為（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
2．（2022·上海交大附中高二期末）冪函數的圖象與軸沒有交點，則___________.
3．（2022·吉林一中高二期中）冪函數在上單調遞增，則m的值為______．
4．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期中（文））若冪函數在上為增函數，則實數m的值為______.
重點題型二：冪函數的定義域
典型例題
例題．（2022·山西呂梁·高一期末）已知冪函數的圖象過點，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·上海·高三專題練習）函數的定義域為_______．
同類題型演練
1．（2022·浙江·高三專題練習）下列冪函數中，定義域為的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·高一）若有意義，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
重點題型三：冪函數的值域
典型例題
例題1．（2022·廣西玉林·高二期末（文））函數的值域為________.
例題2．（2021·河北·石家莊市第九中學高一期中）若冪函數的圖象過點，則的值域為____________．
例題3．（2021·全國·高一課時練習）已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為__________．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知冪函數的圖像過點，則 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·廣東·廣州六中高一期末）冪函數的圖象過點，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高一專題練習）函數在區間上的最大值是
A． B． C． D．
重點題型四：冪函數的圖象
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）任意兩個冪函數圖象的交點個數是（ ）
A．最少一個，最多三個 B．最少一個，最多二個
C．最少個，最多三個 D．最少個，最多二個
例題2．（2022·江蘇·高一）若冪函數在同一坐標系中的部分圖象如圖所示，則 的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在冪函數的圖象上，則冪函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習（文））若四個冪函數在同一坐標系中的部分圖象如圖，則的大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型五：冪函數的單調性
角度1:比較大小
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數，，對任意，，且，都有，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2021·全國·高一專題練習）已知冪函數的圖象過點，則與的大小關系是__．
同類題型演練
1．（2021·山東聊城一中高一期中）設冪函數的圖像經過點，若實數，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
2．（2022·湖南·高一課時練習）已知，，則m與n的大小關系為________．
角度2：解不等式
典型例題
例題1．（2022·吉林·梅河口市第五中學高一期中）已知冪函數在上單調遞增，不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2021·全國·高一課時練習）已知冪函數過定點，且滿足，則的范圍為___________.
同類題型演練
1．（2021·福建三明·高一期中）若，則實數a的取值范圍是（ ）
A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]
2．（2021·全國·高一課時練習）已知冪函數，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高一課時練習）若，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·河北·石家莊二中高一階段練習）已知冪函數過點，若，則實數的取值范圍是________.
5．（2021·全國·高一課時練習）已知冪函數過點，且，則實數k的取值范圍是_____．
重點題型六：冪函數性質綜合應用
典型例題
例題1．（2022·上海市第三女子中學高一期末）已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在區間上是嚴格增函數．
(1)求的值；
(2)求滿足不等式的實數的取值范圍．
例題2．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（文））已知冪函數的圖像關于軸對稱．
(1)求的解析式；
(2)求函數在上的值域．
同類題型演練
1．（2022·北京房山·高一期末）已知冪函數的圖象經過點．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數滿足條件 ，試求實數的取值范圍．
2．（2022·全國·高一）已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上是減函數.
（1）求和的值；
（2）求滿足的的取值范圍.
1．（2022·四川綿陽·一模（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2022·河南·模擬預測（文））若冪函數，且關于原點對稱，則（ ）
A． B．
C．或 D．
4．（2022·上海黃浦·二模）已知．若冪函數在區間上單調遞增，且其圖像不過坐標原點，則____________．
5．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））寫出一個同時具有下列性質①②③的函數______．
①；
②當時，；
③；
3.3冪函數（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：冪函數的概念
重點題型二：冪函數的定義域
重點題型三：冪函數的值域
重點題型四：冪函數的圖象
重點題型五：冪函數的單調性
角度1:比較大小
角度2：解不等式
重點題型六：冪函數性質綜合應用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：冪函數的概念
1、定義：一般地，函數叫做冪函數，其中是自變量，是常數.
2、冪函數的特征
①中前的系數為“1”
②中的底數是單個的自變量“”
③中是常數
知識點二：冪函數的圖象與性質
1、五個冪函數的圖象(記憶五個冪函數的圖象）
當時，我們得到五個冪函數：
；；；；
2、五個冪函數的性質
定義域
值域
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶 奇函數
單調性 在上單調遞增 在上單調遞減 在單調遞增 在上單調遞增 在單調遞增 在上單調遞減 在上單調遞減
定點
3、拓展：
①，當時，在單調遞增；
②，當時，在單調遞減.
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）冪函數的圖象必過點和．( )
（2）冪函數的圖象都不過第二、四象限．( )
（3）當冪指數取1，3，時，冪函數是增函數．( )
（4）若冪函數的圖象關于原點對稱，則在定義域內y隨x的增大而增大．( )
【答案】 × × √ ×
（1）例如：，不過，故錯誤；
（2）例如：，冪函數會過第二象限，故錯誤
（3）當冪指數取1，3，時，冪函數是增函數，正確；
（4）例如：，函數在遞減，故錯誤；
2．（2022·全國·高一課時練習）下列函數中不是冪函數的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
A選項中，，故它是冪函數．
B選項是冪函數．
C選項的系數為3，所以它不是冪函數．
D選項是冪函數．
3．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）是冪函數．( )
（2）函數是冪函數．( )
【答案】 錯誤 正確
（1）可以改寫成，其中的系數為，所以它不是冪函數．
（2）中，底數是自變量，指數位置為常數，所以它是冪函數．
4．（2022·全國·高一）冪函數在上單調遞減，則實數m的值為（ ）
A． B．3 C．或3 D．
【答案】A
因為是冪函數，
故，解得或，
又因為冪函數在上單調遞減，所以需要，
則
故選：A
5．（2022·全國·高一專題練習）冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根據冪函數的性質，
在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，
所以由圖像得：，
故選：D
重點題型一：冪函數的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高一階段練習）已知冪函數的圖象經過點，則的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
設冪函數，冪函數的圖象經過點，所以，
解得，所以，則．
故選：D.
例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知冪函數為偶函數，則實數的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
冪函數為偶函數，
，且為偶數，
則實數，
故選：C
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）冪函數在上為增函數，則實數的值為（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
因為是冪函數，所以，解得或，
當時，在上為減函數，不符合題意，
當時，在上為增函數，符合題意，
所以.
故選：D.
2．（2022·上海交大附中高二期末）冪函數的圖象與軸沒有交點，則___________.
【答案】0
根據冪函數的定義得，
解得或；
當時，，圖象與軸有交點，不滿足題意；
當時，，圖象與軸沒有交點，滿足題意；
綜上，，
故答案為：
3．（2022·吉林一中高二期中）冪函數在上單調遞增，則m的值為______．
【答案】
解：因為函數是冪函數，
則有，解得或，
當時，函數在上單調遞增，符合題意，
當時，函數在上單調遞減，不符合題意.
所以的值為
故答案為：
4．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期中（文））若冪函數在上為增函數，則實數m的值為______.
【答案】1
由題設，即，可得或，
當時，在上為增函數，符合；
當時，在上為減函數，不符合.
所以.
故答案為：1
重點題型二：冪函數的定義域
典型例題
例題．（2022·山西呂梁·高一期末）已知冪函數的圖象過點，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
設，因為的圖象過點，
所以，解得，則，
故的定義域為．
故選：C
例題2．（2022·上海·高三專題練習）函數的定義域為_______．
【答案】
，所以，.
因此，函數的定義域為.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·浙江·高三專題練習）下列冪函數中，定義域為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
對選項，則有：
對選項，則有：
對選項，定義域為：
對選項，則有：
故答案選：
2．（2022·江蘇·高一）若有意義，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由負分數指數冪的意義可知，，
所以，即，因此的取值范圍是．
故選：C.
重點題型三：冪函數的值域
典型例題
例題1．（2022·廣西玉林·高二期末（文））函數的值域為________.
【答案】
時，，
時，，
所以的值域為.
故答案為：
例題2．（2021·河北·石家莊市第九中學高一期中）若冪函數的圖象過點，則的值域為____________．
【答案】
設，因為冪函數的圖象過點，所以
所以，所以
故答案為：
例題3．（2021·全國·高一課時練習）已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為__________．
【答案】
由函數單調遞增，
①當時，若，有，
而，此時函數的值域不是；
②當時，若，有，而，
若函數的值域為，必有，可得．
則實數的取值范圍為．
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知冪函數的圖像過點，則 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
冪函數的圖像過點，
，解得，
，
的值域是.
故選：D.
2．（2022·廣東·廣州六中高一期末）冪函數的圖象過點，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設，
代入點得
，
則，令，
函數的值域是.
故選：C.
3．（2021·全國·高一專題練習）函數在區間上的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
由冪函數的性質,可知當時, 在上是減函數,
故在區間上是減函數,故.
故選C
重點題型四：冪函數的圖象
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）任意兩個冪函數圖象的交點個數是（ ）
A．最少一個，最多三個 B．最少一個，最多二個
C．最少個，最多三個 D．最少個，最多二個
【答案】A
解：因為所有冪函數的圖象都過，
所以最少有個交點，
如圖所示：
當函數為和時，它們有個交點，
故選：．
例題2．（2022·江蘇·高一）若冪函數在同一坐標系中的部分圖象如圖所示，則 的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
和在上單調遞增，所以，，
當時，圖象在上方，所以，
當時，圖象在下方，所以，
所以，
故選：A.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在冪函數的圖象上，則冪函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由得，，即定點為，
設，則，，所以，圖象為B．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習（文））若四個冪函數在同一坐標系中的部分圖象如圖，則的大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由冪函數的圖象與性質，在第一象限內，在的右側部分的圖象，圖象由下至上，冪指數依次增大，可得
故選：B
重點題型五：冪函數的單調性
角度1:比較大小
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數，，對任意，，且，都有，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
對任意，，且，都有，即在上單調減，又是冪函數，知：
，解得或（舍去），
∴，是偶函數，
∴，，而，即，
故選：A
例題2．（2021·全國·高一專題練習）已知冪函數的圖象過點，則與的大小關系是__．
【答案】
設冪函數為，
因為冪函數的圖象過點，可得，解得，
所以冪函數為，
此時函數的偶函數，且當時，函數是減函數，
則，所以.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2021·山東聊城一中高一期中）設冪函數的圖像經過點，若實數，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
由題可設，代入點，則，解得，
則在單調遞減，
因為，所以可得，則.
故選：A.
2．（2022·湖南·高一課時練習）已知，，則m與n的大小關系為________．
【答案】
設，已知，則，
因為f(x)在(0，＋∞)上是減函數，
則，即，
故答案為：.
角度2：解不等式
典型例題
例題1．（2022·吉林·梅河口市第五中學高一期中）已知冪函數在上單調遞增，不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為函數為冪函數，所以，解得或，
又冪函數在上單調遞增，
所以，此時在R上單調遞增，
因為，所以，解得或，
所以不等式的解集為，
故選：B.
例題2．（2021·全國·高一課時練習）已知冪函數過定點，且滿足，則的范圍為___________.
【答案】
設，則，解得，
所以，此時為上的遞增函數，且為奇函數，
所以等價于，
所以 ，即，所以或.
故答案為：
同類題型演練
1．（2021·福建三明·高一期中）若，則實數a的取值范圍是（ ）
A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]
【答案】D
不等式可化為：
，解得：.
故選：D
2．（2021·全國·高一課時練習）已知冪函數，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為冪函數的定義域為，且是定義域上的減函數，
所以若，則解得.
故選：D.
3．（2021·全國·高一課時練習）若，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因為冪函數在和上都是單調遞減的，
所以，由可得或或
解得或，
即實數m的取值范圍為.
故選：C.
4．（2021·河北·石家莊二中高一階段練習）已知冪函數過點，若，則實數的取值范圍是________.
【答案】
因為冪函數過點，
所以 ，
解得，
所以在 上遞增，
又，
所以，即，
解得 ，
所以實數的取值范圍是
故答案為：
5．（2021·全國·高一課時練習）已知冪函數過點，且，則實數k的取值范圍是_____．
【答案】
由題設可得，故，所以，
所以為上的奇函數且為增函數，
而等價于，
所以，故.
故答案為：.
重點題型六：冪函數性質綜合應用
典型例題
例題1．（2022·上海市第三女子中學高一期末）已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在區間上是嚴格增函數．
(1)求的值；
(2)求滿足不等式的實數的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：因為冪函數在區間上是嚴格增函數，
所以，解得，
又因為，所以或或，
當或時，為奇函數，圖象關于原點對稱（舍）；
當時，為偶函數，圖象關于軸對稱，符合題意；
綜上所述，.
(2)解：由（1）得為偶函數，且在區間上是嚴格增函數，
則由得，
即，即，解得，
所以滿足的實數的取值范圍為.
例題2．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（文））已知冪函數的圖像關于軸對稱．
(1)求的解析式；
(2)求函數在上的值域．
【答案】(1)(2)
(1)因為是冪函數，
所以，解得或．
又的圖像關于y軸對稱，所以，
故．
(2)由（1）可知，．
因為，所以，
又函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．
故在上的值域為．
同類題型演練
1．（2022·北京房山·高一期末）已知冪函數的圖象經過點．
(1)求函數的解析式；
(2)若函數滿足條件 ，試求實數的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：因為冪函數的圖象經過點，則有，
所以，
所以；
(2)解：因為，所以函數為偶函數，
又函數在上遞增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以滿足條件 的實數 的取值范圍為 .
2．（2022·全國·高一）已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上是減函數.
（1）求和的值；
（2）求滿足的的取值范圍.
【答案】（1）或；；（2）
（1）函數為冪函數，，
即，解得或，
函數在上是減函數
，解得，
又函數圖象關于軸對稱，所以函數為偶函數，
，當時，，函數不是偶函數，舍去；
當時，，函數為偶函數，滿足條件；
當時，，函數不是偶函數，舍去；
綜上所述，.
（2）由（1）可知，
因為在，上單調遞減，
所以等價于
或或，
解得或.
故的取值范圍為
1．（2022·四川綿陽·一模（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
因為定義域為，且為增函數，又，所以，解得：，因為，而，故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
解：因為是定義在上的增函數，又，
所以，解得，
因為由可推出，而由無法推出，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2022·河南·模擬預測（文））若冪函數，且關于原點對稱，則（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
根據冪函數的概念，得，解得或，
①若，則，
令，其定義域為，且，
顯然冪函數為偶函數，不是奇函數，圖象不關于原點對稱，不符合題意，舍去；
②若，則，
令，其定義域為，且，即冪函數為奇函數，圖象關于原點對稱，符合題意.
所以.
故選：A.
4．（2022·上海黃浦·二模）已知．若冪函數在區間上單調遞增，且其圖像不過坐標原點，則____________．
【答案】
因為冪函數圖像不過坐標原點，故，又在區間上單調遞增，故
故答案為：
5．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））寫出一個同時具有下列性質①②③的函數______．
①；
②當時，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
由所給性質：在上恒正的偶函數，且，
結合偶數次冪函數的性質，如：滿足條件.
故答案為：（答案不唯一）

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