資源簡介

4.1指數(shù)（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：根式的概念
重點題型二：根式的化簡(求值)
重點題型三：分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算
重點題型四：條件求值
知識點一：整數(shù)指數(shù)冪
1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，
2、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知識點二：根式
1、次根式定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特別的：
①當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.
②當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().
③負數(shù)沒有偶次方根；
④的任何次方根都是，記作
2、根式：
式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
在根式符號中，注意：
①，
②當為奇數(shù)時，對任意都有意義
③當為偶數(shù)時，只有當時才有意義.
3、與的區(qū)別：
①當為奇數(shù)時，（）
②當為偶數(shù)時，（）
③當為奇數(shù)時，且，
④為偶數(shù)時，且，
知識點三：分式指數(shù)冪
1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.
2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.
3、的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.
知識點四：有理數(shù)指數(shù)冪
①（，）
②（，）
③（，）
知識點五：無理數(shù)指數(shù)冪
①（，）
②（，）
③（，）
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
（4）．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）若a是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一課時練習）可化為( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高一課時練習（理））化簡為( )
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高一課時練習）當時，___________．
重點題型一：根式的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，那么等于（ ）
A．3 B． C．或3 D．不存在
例題2．（2022·全國·高一專題練習）下列等式中成立的個數(shù)是（ ）
①（且）；②（為大于的奇數(shù)）；③（為大于零的偶數(shù)）.
A．個 B．個
C．個 D．個
同類題型演練
1．（2022·江蘇·泰州中學高一階段練習）已知，則x的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一課時練習）若xn＝a（x≠0），則下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
①當n為奇數(shù)時，x的n次方根為a；
②當n為奇數(shù)時，a的n次方根為x；
③當n為偶數(shù)時，x的n次方根為±a；
④當n為偶數(shù)時，a的n次方根為±x.
A．1 B．2
C．3 D．4
重點題型二：根式的化簡(求值)
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）若，，則的值為（ ）
A．1 B．5 C． D．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）化簡下列各式：
（1）；（2）；（3）.
同類題型演練
1．（2022·青海西寧·高一期末）若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學高一期中）______．
重點題型三：分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））化簡.
例題2．（2022·湖南·高一課時練習（理））化簡（式中字母都是正數(shù)）：
(1)；
(2)．
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）計算下列各式：
(1).
(2).
2．（2022·全國·高三專題練習（文））化簡.
重點題型四：條件求值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）已知,，則的值為______.
例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知，則____________________.
例題3．（2022·江蘇·高一單元測試）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知，則____________.
2．（2022·江西省銅鼓中學高一期末）（1）已知，求的值；
3．（2022·湖南·高一課時練習）若，求的值．
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室高一期末）（1）已知，求、的值；
4.1指數(shù)（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：根式的概念
重點題型二：根式的化簡(求值)
重點題型三：分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算
重點題型四：條件求值
知識點一：整數(shù)指數(shù)冪
1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，
2、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知識點二：根式
1、次根式定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特別的：
①當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.
②當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().
③負數(shù)沒有偶次方根；
④的任何次方根都是，記作
2、根式：
式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
在根式符號中，注意：
①，
②當為奇數(shù)時，對任意都有意義
③當為偶數(shù)時，只有當時才有意義.
3、與的區(qū)別：
①當為奇數(shù)時，（）
②當為偶數(shù)時，（）
③當為奇數(shù)時，且，
④為偶數(shù)時，且，
知識點三：分式指數(shù)冪
1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.
2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.
3、的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.
知識點四：有理數(shù)指數(shù)冪
①（，）
②（，）
③（，）
知識點五：無理數(shù)指數(shù)冪
①（，）
②（，）
③（，）
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
（4）．( )
【答案】 正確 正確 錯誤 正確
對于A：，故正確；
對于B，
，故正確；
對于C，，故錯誤；
對于D：，故正確；
故答案為：正確，正確，錯誤，正確
2．（2022·全國·高一課時練習）若a是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
對于根式，當a為奇數(shù)時，，有意義；
當a為偶數(shù)時，，有意義；
因此，當時，無意義
故選：D
3．（2022·全國·高一課時練習）可化為( )
A． B． C． D．
【答案】C
解：
故選：C
4．（2022·全國·高一課時練習（理））化簡為( )
A． B． C． D．
【答案】B
，故B正確，A、C、D錯誤
故選：B
5．（2022·全國·高一課時練習）當時，___________．
【答案】1
解：當時，
，
又，
故原式=
故答案為：1
重點題型一：根式的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，那么等于（ ）
A．3 B． C．或3 D．不存在
【答案】C
∵，∴．
故選：C．
例題2．（2022·全國·高一專題練習）下列等式中成立的個數(shù)是（ ）
①（且）；②（為大于的奇數(shù)）；③（為大于零的偶數(shù)）.
A．個 B．個
C．個 D．個
【答案】D
對于①，當且時，，①對；
對于②，當為大于的奇數(shù)時，，②對；
對于③，當為大于零的偶數(shù)時，，③對.
故選：D.
同類題型演練
1．（2022·江蘇·泰州中學高一階段練習）已知，則x的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由根式的定義知，則.
故選：B.
2．（2022·全國·高一課時練習）若xn＝a（x≠0），則下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
①當n為奇數(shù)時，x的n次方根為a；
②當n為奇數(shù)時，a的n次方根為x；
③當n為偶數(shù)時，x的n次方根為±a；
④當n為偶數(shù)時，a的n次方根為±x.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
n為奇數(shù)時，a的n次方根只有1個，為x；當n為偶數(shù)時，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2個，為±x.所以說法②④是正確的，
故選：B.
重點題型二：根式的化簡(求值)
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高一）若，，則的值為（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
依題意，，，
則，
所以的值為1.
故選：A
例題2．（2022·全國·高一課時練習）化簡下列各式：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）（2）（3）
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
同類題型演練
1．（2022·青海西寧·高一期末）若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，，
所以.
故選：D
2．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學高一期中）______．
【答案】
故答案為：
重點題型三：分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））化簡.
【答案】
原式．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習（理））化簡（式中字母都是正數(shù)）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
(1)
(2)
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）計算下列各式：
(1).
(2).
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)原式.
(2)原式.
2．（2022·全國·高三專題練習（文））化簡.
【答案】
.
重點題型四：條件求值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）已知,，則的值為______.
【答案】47
由，得，即，
所以，則.
故答案為：.
例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知，則____________________.
【答案】7
因為，
所以,兩邊平方可得，
所以，故答案為7.
例題3．（2022·江蘇·高一單元測試）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3） 或.
，即 .
（1）;
（2）；
（3），故
或，
或.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知，則____________.
【答案】14
，兩邊平方得：，即，即
故答案為：14
2．（2022·江西省銅鼓中學高一期末）（1）已知，求的值；
【答案】（1）11；
解：（1），，
，.
3．（2022·湖南·高一課時練習）若，求的值．
【答案】23.
因為，則有，
所以的值23.
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室高一期末）（1）已知，求、的值；
【答案】（1）， ；
（1）∵，
兩邊平方得，∴，，
∴．

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