資源簡介

3.1.2函數的表示法（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：函數的三種表示法的應用
重點題型二：求函數的解析式
角度1：待定系數法：
角度2：換元法：
角度3：配湊法：
角度4：方程組（消去）法：
角度5：賦值法求抽象函數的解析式
重點題型三：分段函數的求值
重點題型四：根據函數的圖象求解析式
重點題型五：函數圖象的相關問題
重點題型六：分段函數的實際應用
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的表示法
1、解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.
2、列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.
3、圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.
優點 缺點 聯系
解析法 ①簡明、全面的概括了變量之間的關系； ②可以通過解析式求出在定義域內任意自變量所對應的函數值； ③便于利用解析式研究函數的性質； ①并不是所有的函數都有解析式； ②不能直觀地觀察到函數的變化規律； 解析法、圖象法、列表法各有各的優缺點，面對實際情境時，我們要根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．
圖象法 ①能直觀、形象地表示自變量的變化情況及相適應的函數值的變化趨勢； ②可以直接應用圖象來研究函數的性質； ①并不是所有的函數都能畫出圖象； ②不能精確地求出某一自變量相應的函數值；
列表法 ①不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應的函數值； ①不夠全面，只能表示自變量取較少的有限值的對應關系； ②不能明顯地展示出因變量隨自變量變化的規律；
知識點二：求函數解析式
1、待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數，反比例等），可用待定系數法．
2、換元法：主要用于解決已知這類復合函數的解析式，求函數的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.
3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，
4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。
知識點三：分段函數
對于函數，若自變量在定義域內的在不同范圍取值時，函數的對應關系也不相同，則稱函數叫分段函數．
注：(1)分段函數是一個函數，只是自變量在不同范圍取值時，函數的對應關系不相同；
（2）在書寫時要指明各段函數自變量的取值范圍；
（3）分段函數的定義域是所以自變量取值區間的并集．
知識點四：函數的圖象
1、函數圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.
2、函數圖象的對稱變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
3、函數圖象的翻折變換（絕對值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）分段函數由幾個函數構成．( )
（2）分段函數有多個定義域．( )
（3）函數是分段函數．( )
（4）函數可以用分段函數表示．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數由下表給出，則等于( )
x 2
1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．不存在
3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則的解析式是___________．
4．（2022·湖南·婁底市第四中學高一階段練習）已知，則=_________．
5．（2022·全國·高一）已知函數，那么的表達式是___________.
重點題型一：函數的三種表示法的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）某公共汽車，行進的站數與票價關系如下表：
行進的站數 1 2 3 4 5 6 7 8 9
票價 1 1 1 2 2 2 3 3 3
此函數的關系除了圖表之外，能否用其他方法表示？
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數，分別由下表給出
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
則的值為________________；滿足的的值是______________．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數的對應關系如下表，函數的圖象為如圖所示的曲線，其中，，，則（ ）．
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2022·江西省銅鼓中學高一期末）已和，對應值如表所示，則的值為
0 1 -1
1 0 -1
-1 0 1
A．-1 B．0 C．1 D．不存在
3．（2022·廣東廣州·高一期末）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示該人離單位的距離，x表示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（ ）.
A． B．
C． D．
重點題型二：求函數的解析式
角度1：待定系數法：
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習）（1）已知是一次函數，且，求的解析式；
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知為二次函數，，，求的解析式．
同類題型演練
1．（2022·貴州黔東南·高一期末）已知函數是二次函數，，．
求的解析式；
2．（2022·全國·高一）（1）已知f（x）是一次函數，且滿足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函數g（x）滿足g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點，求g（x）的解析式．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，且為一次函數，求_________
角度2：換元法：
典型例題
例題1．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知，則_________．
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）設，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·高一）若函數，則__________.
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的解析式為___________.
角度3：配湊法：
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知，則＝________.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知，則=_____.
角度4：方程組（消去）法：
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數滿足，則___________.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知，求.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）若函數，滿足，且，則________．
2．（2022·全國·高三專題練習）根據下列條件，求函數f(x)的解析式．
已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函數解析式．
角度5：賦值法求抽象函數的解析式
典型例題
例題1．（2022·遼寧·營口市第二高級中學高二階段練習）對任意實數，，都有，求函數的解析式．
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知，對于任意實數，等式，求的解析式.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，對，都有恒成立，且．
求的解析式；
2．（2022·全國·高一期末）已知函數對一切實數都有成立，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
重點題型三：分段函數的求值
典型例題
例題1．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測（理））已知函數，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
例題2．（2022·山東濰坊·模擬預測）設函數，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一專題練習）設函數，若，則實數的值為_____．
例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知實數，函數，若，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·陜西·長安一中高一期末）若，則________.
2．（2022·江西撫州·高一期末）設函數，若，則______.
3．（2022·浙江·高三專題練習）已知，函數若，則___________.
4．（2022·全國·高三專題練習（文））設函數，若，則實數___________.
重點題型四：根據函數的圖象求解析式
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）某農場種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系可用如圖所示的一條折線表示，寫出市場售價與時間的函數解析式．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，函數的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標分別為(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函數的解析式．
2．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知函數的圖象是由射線、拋物線的一部分及線段拼接而成的，寫出函數的解析式．
重點題型五：函數圖象的相關問題
典型例題
例題1．（2022·海南華僑中學高二期末）李華在參加一次同學聚會時，用如圖所示的圓口杯喝飲料，他想：如果向杯子中倒飲料的速度一定（即單位時間內倒入的飲料量相同），那么抔子中飲料的高度h是關于時間t的函數，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高一）已知正方形的邊長為4，動點從點開始沿折線向點運動．設點運動的路程為，的面積為，則函數的圖象是（ ）．
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南平頂山·高一期末）定義運算，則函數的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型七：分段函數的實際應用
典型例題
例題1．（2022·廣東茂名·高一期中）新冠肺炎期間，呼吸機成為緊缺設備，某企業在國家科技的支持下，進行設備升級，生產了一批新型的呼吸機.已知該種設備年固定研發成本為60萬元，每生產一臺需另投入100元，設該公司一年內生產該設備萬臺，且全部售完，由于產能原因，該設備產能最多為32萬臺，且每萬臺的銷售收入（單位：萬元）與年產量（單位：萬臺）的函數關系式近似滿足：
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬臺）的函數解析式.（年利潤=年銷售收入-總成本）；
(2)當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？
例題2．（2022·湖南省臨湘市教研室高一期末）十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業的計劃，年某企業計劃引進新能源汽車生產設備看，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產（百輛）需另投入成本（萬元），且.由市場調研知，每輛車售價萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出年的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額—成本）
(2)當年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.
同類題型演練
1．（2022·江蘇南通·高一期末）某農民專業合作社在原有線下門店銷售的基礎上，不斷拓展營銷渠道，成立線上營銷隊伍，大力發展直播電商等網絡銷售模式通過調查，線下門店每人每月銷售額為10千元：線上每月銷售額y（單位：千元）與銷售人數n（n∈N）之間滿足．已知該農民專業合作社共有銷售人員50人，設線上銷售人數為x，每月線下門店和線上銷售總額為w（單位：千元），
(1)求w關于x的函數關系式；
(2)線上銷售安排多少人時，該合作社每月銷售總額最大，最大是多少千元？
2．（2022·山西運城·高一期末）王先生發現他的幾位朋友從事電子產品的配件批發，生意相當火爆.因此，王先生將自己的工廠轉型生產小型電子產品的配件.經過市場調研，生產小型電子產品的配件.需投入固定成本為2萬元，每生產萬件，還需另投入萬元，在年產量不足8萬件時，（萬元）；在年產量不低于8萬件時，（萬元）.每件產品售價為4元.通過市場分析，王先生生產的電子產品的配件都能在當年全部售完.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；
(2)求年產量為多少萬件時，王先生在電子產品的配件的生產中所獲得的年利潤最大 并求出年利潤的最大值
1．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數”.設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數.例如：，，已知函數，則下列選項中，正確的是（ ）
A．的最大值為1，沒有最小值
B．的最小值為0，沒有最大值
C．沒有最大值，沒有最小值
D．的最大值為1，最小值為0
2．十九世紀德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就卓著，函數被稱為狄利克雷函數.狄利克雷函數是無法畫出圖象的，但它的圖象卻客觀存在，若點在其圖象上，則____________．
1．（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2022·新疆喀什·一模（文））已知函數，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·浙江湖州·模擬預測）若函數，則_____________，不等式的解集是_____________．
4．（2022·上海崇明·二模）設是定義在R上且周期為2的函數，當時，其中．若，則________．
5．（2022·全國·模擬預測（理））已知函數，若，則實數______．
3.1.2函數的表示法（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：函數的三種表示法的應用
重點題型二：求函數的解析式
角度1：待定系數法：
角度2：換元法：
角度3：配湊法：
角度4：方程組（消去）法：
角度5：賦值法求抽象函數的解析式
重點題型三：分段函數的求值
重點題型四：根據函數的圖象求解析式
重點題型五：函數圖象的相關問題
重點題型六：分段函數的實際應用
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的表示法
1、解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.
2、列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.
3、圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.
優點 缺點 聯系
解析法 ①簡明、全面的概括了變量之間的關系； ②可以通過解析式求出在定義域內任意自變量所對應的函數值； ③便于利用解析式研究函數的性質； ①并不是所有的函數都有解析式； ②不能直觀地觀察到函數的變化規律； 解析法、圖象法、列表法各有各的優缺點，面對實際情境時，我們要根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．
圖象法 ①能直觀、形象地表示自變量的變化情況及相適應的函數值的變化趨勢； ②可以直接應用圖象來研究函數的性質； ①并不是所有的函數都能畫出圖象； ②不能精確地求出某一自變量相應的函數值；
列表法 ①不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應的函數值； ①不夠全面，只能表示自變量取較少的有限值的對應關系； ②不能明顯地展示出因變量隨自變量變化的規律；
知識點二：求函數解析式
1、待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數，反比例等），可用待定系數法．
2、換元法：主要用于解決已知這類復合函數的解析式，求函數的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.
3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，
4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。
知識點三：分段函數
對于函數，若自變量在定義域內的在不同范圍取值時，函數的對應關系也不相同，則稱函數叫分段函數．
注：(1)分段函數是一個函數，只是自變量在不同范圍取值時，函數的對應關系不相同；
（2）在書寫時要指明各段函數自變量的取值范圍；
（3）分段函數的定義域是所以自變量取值區間的并集．
知識點四：函數的圖象
1、函數圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.
2、函數圖象的對稱變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
3、函數圖象的翻折變換（絕對值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）分段函數由幾個函數構成．( )
（2）分段函數有多個定義域．( )
（3）函數是分段函數．( )
（4）函數可以用分段函數表示．( )
【答案】 錯誤 錯誤 錯誤 正確
如果一個函數在定義域內不同部分上有不同的解析式表達式，那么這樣的函數是分段函數，所以分段函數是一個函數，而不是幾個函數；定義域是各部分定義域的并集，故（1）（2）（3）錯誤，（4）正確.
2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數由下表給出，則等于( )
x 2
1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【答案】C
∵3
∴
故選：C．
3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則的解析式是___________．
【答案】
令，則，
將它代入可得，
∴
故答案為：
4．（2022·湖南·婁底市第四中學高一階段練習）已知，則=_________．
【答案】4
.
故答案為：4.
5．（2022·全國·高一）已知函數，那么的表達式是___________.
【答案】
，令，則，故，故，
故答案為：
重點題型一：函數的三種表示法的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）某公共汽車，行進的站數與票價關系如下表：
行進的站數 1 2 3 4 5 6 7 8 9
票價 1 1 1 2 2 2 3 3 3
此函數的關系除了圖表之外，能否用其他方法表示？
【答案】能，具體見詳解.
解：根據題意，可知除了圖表法之外，還可以用解析式法和圖象法表示，
解析式法：設票價為元，站點的個位為，
則.
圖象法：
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數，分別由下表給出
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
則的值為________________；滿足的的值是______________．
【答案】1，2
=；
當x=1時，，不滿足條件，
當x=2時，，滿足條件，
當x=3時，，不滿足條件，
∴ 只有x=2時，符合條件．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數的對應關系如下表，函數的圖象為如圖所示的曲線，其中，，，則（ ）．
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
觀察函數的圖象得：，由表格知：，
所以.
故選：B
2．（2022·江西省銅鼓中學高一期末）已和，對應值如表所示，則的值為
0 1 -1
1 0 -1
-1 0 1
A．-1 B．0 C．1 D．不存在
【答案】C
根據表格的對應關系可得，，所以，
故選C.
3．（2022·廣東廣州·高一期末）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示該人離單位的距離，x表示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
解：由題意可知：時所走的路程為0，離單位的距離為最大值，排除A、C，
隨著時間的增加，先跑步，開始時隨的變化快，后步行，則隨的變化慢，
所以適合的圖象為D；
故選：D
重點題型二：求函數的解析式
角度1：待定系數法：
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習）（1）已知是一次函數，且，求的解析式；
【答案】（1）；
解：（1）因為是一次函數，所以可設
則，
所以，解得 ，
所以．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知為二次函數，，，求的解析式．
【答案】
解：因為為二次函數，所以設，因為，所以，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，，，所以，，所以．
同類題型演練
1．（2022·貴州黔東南·高一期末）已知函數是二次函數，，．
求的解析式；
【答案】(1)
(1)由，知此二次函數圖象的對稱軸為，
又因為，所以是的頂點，
所以設
因為，即
所以得
所以
2．（2022·全國·高一）（1）已知f（x）是一次函數，且滿足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函數g（x）滿足g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點，求g（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
（1）設f（x）＝kx＋b（k≠0），
則f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不論x為何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 設g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，且為一次函數，求_________
【答案】或.
因為為一次函數，所以設，
所以，
因為，所以恒成立，
所以，解得：或，
所以或，
故答案為：或.
角度2：換元法：
典型例題
例題1．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
令，則，；
所以.
故選：D.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知，則_________．
【答案】
令，，則，
，
.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）設，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為，所以
又因為，所以，
令，則，
，
所以.
故選：B.
2．（2022·江蘇·高一）若函數，則__________.
【答案】
令，則，，函數的解析式為.
故答案為：.
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的解析式為___________.
【答案】
設，則，，
，
∴．
故答案為：．
角度3：配湊法：
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知，則＝________.
【答案】
因為f(x－)＝x2＋，
所以，
所以f（x+），
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知，則=_____.
【答案】或
解：
，
或．
故答案為：或．
角度4：方程組（消去）法：
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數滿足，則___________.
【答案】
因為，
所以，
同除以2得，
兩式相加可得，即.
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知，求.
【答案】.
∵，①，
∴f（）+2f（x），②
①-②×2得：﹣3f（x）＝x，
∴
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）若函數，滿足，且，則________．
【答案】
由，可知，聯立可得，所以，又因為，所以，所以.
故答案為：
2．（2022·全國·高三專題練習）根據下列條件，求函數f(x)的解析式．
已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函數解析式．
【答案】.
將代入，得，因此，解得.
角度5：賦值法求抽象函數的解析式
典型例題
例題1．（2022·遼寧·營口市第二高級中學高二階段練習）對任意實數，，都有，求函數的解析式．
【答案】
方法一：對任意實數,都成立,
令,得,
再令,
得,
方法二：在已知式子中,令,
得,
,
,
令,得
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知，對于任意實數，等式，求的解析式.
【答案】
對于任意實數等式恒成立，
不妨令則有
再令得函數解析式為：
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，對，都有恒成立，且．
求的解析式；
【答案】；
令，，則，
又因為，所以，
令，則，所以.
2．（2022·全國·高一期末）已知函數對一切實數都有成立，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
【答案】（1）；（2）；
（1）令，，
則由已知，
有
（2）令，則，
又∵，
∴
重點題型三：分段函數的求值
典型例題
例題1．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測（理））已知函數，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
，
，
故選：B
例題2．（2022·山東濰坊·模擬預測）設函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為，則.
故選：C.
例題3．（2022·全國·高一專題練習）設函數，若，則實數的值為_____．
【答案】
由題意知，；
當時，有，解得(舍去)；
當時，有，解得(舍去)或．
所以實數的值是：．
故答案為：.
例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知實數，函數，若，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
因為，
當時，，
此時等價于，
所以，解得：，不滿足，舍去；
當時，，
此時等價于，
所以，解得：，符合題意，
綜上可得：，
故選：A．
同類題型演練
1．（2022·陜西·長安一中高一期末）若，則________.
【答案】16
因為，所以，
故答案為：16
2．（2022·江西撫州·高一期末）設函數，若，則______.
【答案】或2##2或-1
因為函數，由，
所以或
解得：或2.
故答案為：或2
3．（2022·浙江·高三專題練習）已知，函數若，則___________.
【答案】
由解析式可得：，
∴，可得.
故答案為：.
4．（2022·全國·高三專題練習（文））設函數，若，則實數___________.
【答案】1或16
由題意得：，
若，則，即，解得，滿足題意；
若，則，即，解得，滿足題意，
綜上，m的值為1或16.
故答案為：1或16
重點題型四：根據函數的圖象求解析式
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）某農場種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系可用如圖所示的一條折線表示，寫出市場售價與時間的函數解析式．
【答案】
解：當時，設，
將點代入得，
，解得，
所以，，
當時，設，
將點代入得，
，解得，
所以，，
綜上可得.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，函數的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標分別為(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函數的解析式．
【答案】
設線段所對應的函數解析式為，
將與代入，
得，得，
所以，
同理，線段所對應的函數解析式為，
所以.
2．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知函數的圖象是由射線、拋物線的一部分及線段拼接而成的，寫出函數的解析式．
【答案】
解：當時，設函數的解析式為，
將，的坐標代入，得，解得，
此時函數的解析式為；
當時，設函數的解析式為，
將，的坐標代入，得，解得，
此時函數的解析式為；
當時，設函數的解析式為，
結合圖象，可將的坐標代入解析式，得，即，
此時函數的解析式為，
綜上，函數的解析式為．
重點題型五：函數圖象的相關問題
典型例題
例題1．（2022·海南華僑中學高二期末）李華在參加一次同學聚會時，用如圖所示的圓口杯喝飲料，他想：如果向杯子中倒飲料的速度一定（即單位時間內倒入的飲料量相同），那么抔子中飲料的高度h是關于時間t的函數，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由于杯子的形狀是下面稍窄上面稍寬,所以剛開始飲料的高度增長相對較快,后面飲料的高度增加就越來越慢,所以B的圖象的增長趨勢與飲料高度增長的情形較一致，
故選：B
例題2．（2022·全國·高一）已知正方形的邊長為4，動點從點開始沿折線向點運動．設點運動的路程為，的面積為，則函數的圖象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
依據題意，有
則函數的圖象是由三段折線段構成，故排除選項ABC.
故選：D
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：A是函數圖象，其值域為，與已知函數的值域為不符，故不符合題意；
B是函數的圖象，定義域為，值域為，故符合題意；
C是函數圖象，值域為，與已知函數的值域為不符，故不符合題意；
D是函數圖象，值域為，故不符合題意.
故選：B
2．（2022·河南平頂山·高一期末）定義運算，則函數的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
，
其圖象如圖所示：
故選：B
重點題型七：分段函數的實際應用
典型例題
例題1．（2022·廣東茂名·高一期中）新冠肺炎期間，呼吸機成為緊缺設備，某企業在國家科技的支持下，進行設備升級，生產了一批新型的呼吸機.已知該種設備年固定研發成本為60萬元，每生產一臺需另投入100元，設該公司一年內生產該設備萬臺，且全部售完，由于產能原因，該設備產能最多為32萬臺，且每萬臺的銷售收入（單位：萬元）與年產量（單位：萬臺）的函數關系式近似滿足：
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬臺）的函數解析式.（年利潤=年銷售收入-總成本）；
(2)當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？
【答案】(1)；
(2)年產量為30萬臺，利潤最大.
(1)，
∴.
(2)當時，，故在上單調遞增，
∴時，取最大值，
當時，，當且僅當時等號成立，
∴當時，，
綜上，當年產量為30萬臺時，該公司獲得最大利潤，最大利潤為790萬元.
例題2．（2022·湖南省臨湘市教研室高一期末）十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業的計劃，年某企業計劃引進新能源汽車生產設備看，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產（百輛）需另投入成本（萬元），且.由市場調研知，每輛車售價萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出年的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額—成本）
(2)當年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】(1)
(2)百輛，最大利潤為萬
(1)由題意得當時，，
當時，，
所以,
(2)由（1）得當時，，
當時，，
當時，
，當且僅當，即時等號成立，
，時，，，
時，即年產量為百輛時，企業所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.
同類題型演練
1．（2022·江蘇南通·高一期末）某農民專業合作社在原有線下門店銷售的基礎上，不斷拓展營銷渠道，成立線上營銷隊伍，大力發展直播電商等網絡銷售模式通過調查，線下門店每人每月銷售額為10千元：線上每月銷售額y（單位：千元）與銷售人數n（n∈N）之間滿足．已知該農民專業合作社共有銷售人員50人，設線上銷售人數為x，每月線下門店和線上銷售總額為w（單位：千元），
(1)求w關于x的函數關系式；
(2)線上銷售安排多少人時，該合作社每月銷售總額最大，最大是多少千元？
【答案】(1)；
(2)線上安排40人時，合作社月銷售額最大，最大值為1100千元.
(1)由題意，當時，；
當時，，
所以；
(2)由（1）知：當時，單調遞增，則當x＝20時w取最大值900；
當時，，當且僅當，即x＝40時取等號，
綜上，線上安排40人時合作社月銷售額最大，最大值為1100千元．
2．（2022·山西運城·高一期末）王先生發現他的幾位朋友從事電子產品的配件批發，生意相當火爆.因此，王先生將自己的工廠轉型生產小型電子產品的配件.經過市場調研，生產小型電子產品的配件.需投入固定成本為2萬元，每生產萬件，還需另投入萬元，在年產量不足8萬件時，（萬元）；在年產量不低于8萬件時，（萬元）.每件產品售價為4元.通過市場分析，王先生生產的電子產品的配件都能在當年全部售完.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；
(2)求年產量為多少萬件時，王先生在電子產品的配件的生產中所獲得的年利潤最大 并求出年利潤的最大值
【答案】(1)；
(2)當年產量為13萬件時，王先生在電子產品的配件的生產中所獲得的年利潤最大，年利潤的最大值為6萬元.
(1)∵每件商品售價為4元，則萬件商品銷售收入為萬元，
當時，；
當時，.
∴；
(2)若，則.
當時，取得最大值萬元.
若，則，
當且僅當，即時，取得最大值6萬元.
∵，
∴當年產量為13萬件時，王先生在電子產品的配件的生產中所獲得的年利潤最大.年利潤的最大值為6萬元.
1．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數”.設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數.例如：，，已知函數，則下列選項中，正確的是（ ）
A．的最大值為1，沒有最小值
B．的最小值為0，沒有最大值
C．沒有最大值，沒有最小值
D．的最大值為1，最小值為0
【答案】B
由高斯函數的定義可得：
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
易見該函數具有周期性，繪制函數圖象如圖所示，
觀察可得函數有最小值0，沒有最大值.
故選：B.
2．十九世紀德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就卓著，函數被稱為狄利克雷函數.狄利克雷函數是無法畫出圖象的，但它的圖象卻客觀存在，若點在其圖象上，則____________．
【答案】0.
∵，又，
∴，
故答案為：0
1．（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
故選：C
2．（2022·新疆喀什·一模（文））已知函數，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
.
故選：D
3．（2022·浙江湖州·模擬預測）若函數，則_____________，不等式的解集是_____________．
【答案】 3 ．
因為，
所以，所以.
當時，，得，得；
當時，恒成立，
所以不等式的解集是.
故答案為：3；.
4．（2022·上海崇明·二模）設是定義在R上且周期為2的函數，當時，其中．若，則________．
【答案】##0.2
∵是周期為2的函數
∴，
又∵，即，則
∴
故答案為：．
5．（2022·全國·模擬預測（理））已知函數，若，則實數______．
【答案】
當時，由得，此方程無實數解；
當時，由得，解得．
故答案為：.

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