資源簡介

3.2.1單調性與最大（小）值（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用定義法判斷或證明函數的單調性
重點題型二：求函數的單調區間
角度1：利用圖象求函數的單調區間
角度2：求復合函數的單調區間
重點題型三：函數單調性的應用
角度1：利用函數的單調性比較大小
角度2：利用函數的單調性解不等式
角度3：利用函數的單調性求參數的取值范圍
重點題型四：求函數的最值
角度1：利用函數的單調性求最值
角度2：利用函數的圖象求最值
重點題型五：二次函數的最值問題
角度1：不含參數的二次函數最值問題
角度2：含參數的二次函數最值問題
重點題型六：恒成立與能成立問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的單調性
1、增函數與減函數
1.1增函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(increasing function).
1.2減函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(decreasing function).
2、函數的單調性與單調區間
如果函數在區間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間叫做的單調區間．
3、常見函數的單調性
函數 單調性
一次函數（） 當時，在上單調遞增
當時，在上單調遞減
反比例函數（） 當時，在和上單調遞減
當時，在和上單調遞增
二次函數（） 對稱軸為 當時，在上單調遞減； 在上單調遞增
當時，在上單調遞增； 在上單調遞減
知識點二：函數單調性的判斷與證明
1、定義法：一般用于證明，設函數，證明的單調區間為
①取值：任取，，且；
②作差：計算；
③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數；
④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數；
⑤下結論：指出函數在給定區間上的單調性
2、圖象法
一般通過已知條件作出函數的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數的單調性.
3、性質法
（1）函數在給定區間上的單調性與在給定區間上的單調性相反；
（2）函數在給定區間上的單調性與的單調性相同；
（3）和的公共定義區間，有如下結論；
增 增 增 不確定
增 減 不確定 增
減 減 減 不確定
減 增 不確定 減
知識點三：函數的最大（小）值
1、最大值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最大值；
2、最小值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最小值；
知識點四：復合函數的單調性（同增異減）
一般地，對于復合函數，單調性如下表示，簡記為“定義域優先，同增異減”，即內層函數與外層函數單調性相同時，復合函數為增函數；內層函數與外層函數單調性不同時，復合函數為減函數：
：令：和
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）所有函數在定義域上都具有單調性．( )
（2）因為，所以函數在上是增函數．( )
（3）若為R上的減函數，則．( )
（4）若函數在區間和上均為增函數，則函數在區間上為增函數．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）函數的遞減區間是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高一課時練習）函數，則的最大值為___________，最小值為___________．
4．（2022·全國·高一課時練習）設函數，則( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既無最大值又無最小值
5．（2022·全國·高一課時練習）函數在上的圖象如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是( )
A．，0 B．0，2
C．，2 D．，2
重點題型一：利用定義法判斷或證明函數的單調性
典型例題
例題1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知函數
判斷函數在上的單調性，并用定義法證明你的結論；
例題2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）已知函數．
試判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明；
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知函數.
(1)判斷在區間上的單調性，并用定義證明；
2．（2022·廣東·信宜市第二中學高一開學考試）已知.
(1)用定義證明在區間上是增函數；
重點題型二：求函數的單調區間
角度1：利用圖象求函數的單調區間
典型例題
例題．（2021·全國·高一專題練習）已知四個函數的圖象如圖所示，其中在定義域內具有單調性的函數是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高一）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）如果函數的圖象如圖所示，那么此函數的減區間為__________.
2．（2022·湖南·高一課時練習）如圖是函數的圖象．列出的若干區間，說明它在各區間上的增減性，并指出該函數的最大、最小值點及最值．
3．（2022·湖南邵陽·高一期末）已知函數．
(1)畫出的圖象，并根據圖象寫出的遞增區間和遞減區間；
4．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）已知函數.
（1）在平面直角坐標系中畫出函數的圖象；（不用列表，直接畫出草圖．
（2）根據圖象，直接寫出函數的單調區間；
角度2：求復合函數的單調區間
典型例題
例題1．（2022·山西·河津市第二中學高二階段練習）函數的單調減區間為__________．
例題2．（2022·河南安陽·高一期末（理））函數的單調遞增區間為___________.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）函數的單調遞增區間是________.
2．（2022·全國·高一）已知函數，則的單調遞增區間為______.
重點題型三：函數單調性的應用
角度1：利用函數的單調性比較大小
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）設偶函數的定義域為，當時，是減函數，試確定，，之間的大小關系．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）畫出函數的圖象，并根據圖象回答下列問題.
(1)比較，，的大小；
角度2：利用函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數在上單調遞增，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江蘇·高一）已知在定義域上是減函數，且，則的取值范圍為（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）已知是定義在上的增函數，且，則x的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南·高一階段練習）已知是定義在上的減函數，且，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇·高一）設是定義在區間上的嚴格增函數．若，則a的取值范圍是______．
角度3：利用函數的單調性求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知在為單調函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·河南·南陽中學高一階段練習）已知函數是上的增函數，則的取值范圍為（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
例題3．（2022·河南·高二期末（理））已知函數，若對任意的，且恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·四川省瀘縣第一中學高一開學考試）函數在區間上是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習）函數在上是減函數.則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·海淀實驗中學高一期中）已知函數，是R上的增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·陜西·西安市雁塔區第二中學高二階段練習（理））已知函數，若在上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
重點題型四：求函數的最值
角度1：利用函數的單調性求最值
典型例題
例題1．（2022·廣東·廣州市天河中學高一階段練習）函數在的值域為__________．
例題2．（2022·天津益中學校高一期中）函數在區間的最大值是______．
例題3．（2022·全國·高一期中）函數，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·陜西西安·高二期末（文））設函數在區間上的最大值和最小值分別為M，m則（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
2．（2022·河南·高一期中）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·懷仁市第一中學校高一階段練習）函數，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·漳州三中高一期中）函數在區間上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
角度2：利用函數的圖象求最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知函數
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)請在給定的坐標系中畫出此函數的圖象，并根據圖象說出函數的值域.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）在邊長為4的正方形上有一點，沿著折線由點(起點)向點(終點)移動，設點移動的路程為，的面積為．
(1)求的面積與移動的路程間的函數關系式；
(2)作出函數的圖象，并根據圖象求的最大值．
同類題型演練
1．（2022·廣西·容縣高級中學高二開學考試（文））已知函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．
(1)請補充完整函數y＝f(x)的圖象；
(2)根據圖象寫出函數y＝f(x)的單調遞增區間及值域；
2．（2022·河南·溫縣第一高級中學高一階段練習）已知函數f（x）=|x﹣1|+1
（1）用分段函數的形式表示該函數；
（2）在上邊所給的坐標系中畫出該函數的圖象；
（3）寫出該函數的單調區間及值域(不要求證明).
重點題型五：二次函數的最值問題
角度1：不含參數的二次函數最值問題
典型例題
例題1．（2022·上海市延安中學高一期末）函數的最大值為___________.
例題2．（2022·山東臨沂·高一期中）已知二次函數，且．
(1)求函數的解析式；
(2)求在區間上的值域．
同類題型演練
1．（2022·甘肅·天水市第一中學高二期中）函數
(1)當時，求函數的值域；
2．（2022·廣東·興寧市葉塘中學高一期中）求下列函數的最小值與最大值：
3．（2022·廣西·平桂高中高一階段練習）已知函數．
(1)求函數的定義域和值域；
(2)求函數在區間上的最大值和最小值．
4．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高一期中）已知函數．
(1)當時，求函數的最大值和最小值；
角度2：含參數的二次函數最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）已知函數．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
例題2．（2022·山西·高一期末）已知是二次函數，且滿足，，.
(1)求函數的解析式；
(2)當時，表示出函數的最小值，并求出的最小值.
例題3．（2022·陜西安康·高一期末）已知二次函數．
(1)當時，求的最大值和最小值，并指出此時的取值；
(2)求的最小值，并表示為關于的函數．
同類題型演練
1．（2022·江西贛州·高二期末（文））已知函數，且滿足.
(1)求函數在區間上的值域；
(2)設，若對于任意，都有，求的取值范圍.
2．（2022·上?！の挥袑W模擬預測）已知函數 ( 為實常數).
(1)設 在區間 上的最小值為 ， 求 的表達式;
3．（2022·浙江·慈溪中學高二階段練習）已知函數.
求函數在上的最小值；
4．（2022·四川·寧南中學高一開學考試）已知函數，．
(1)當時，求函數的最大值和最小值．
(2)當時，求函數在區間上的最小值．
重點題型六：恒成立與能成立問題
典型例題
例題1．（2022·廣西北海·高二期末（文））已知二次函數滿足，且.
(1)求的解析式；
(2)當時，不等式恒成立；求實數的取值范圍；
例題2．（2022·上海徐匯·高一期末）已知函數.
(1)求函數的解析式；
(2)設，若存在使成立，求實數的取值范圍.
例題3．（2022·江蘇·高一）已知
(1)求二次函數的值域：
(2)當時，若二次函數的值恒大于0，求的取值范圍．
例題4．（2022·浙江·金華市曙光學校高一階段練習）已知函數．
(1)已知m=-3，求函數在區間上的最大值；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·河北武強中學高二期末）若二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實數m的取值范圍．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知二次函數．
(1)若在區間上單調遞增，求實數k的取值范圍；
(2)若在上恒成立，求實數k的取值范圍．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．
（Ⅰ）若函數在區間上單調遞減，求實數的取值范圍；
（Ⅱ），恒成立，求實數的取值范圍．
1．（2020·全國·高三階段練習（理））歷史上第一個給出函數一般定義的是19世紀德國數學家狄利克雷（Dirichlet），當時數學家們處理的大部分數學對象都沒有完全的嚴格的定義，數學家們習慣借助于直覺和想象來描述數學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數：（其中為有理數集，為無理數集），狄利克雷函數的出現表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來，這種思想也標志著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”.一般地，廣義的狄利克雷函數可定義為：（其中，且），以下對說法錯誤的是（ ）
A．任意非零有理數均是的周期，但任何無理數均不是的周期
B．當時，的值域為；當時，的值域為
C．為偶函數
D．在實數集的任何區間上都不具有單調性
2．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2022·山東濟南·二模）若二次函數，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.2.1單調性與最大（?。┲担ňv）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用定義法判斷或證明函數的單調性
重點題型二：求函數的單調區間
角度1：利用圖象求函數的單調區間
角度2：求復合函數的單調區間
重點題型三：函數單調性的應用
角度1：利用函數的單調性比較大小
角度2：利用函數的單調性解不等式
角度3：利用函數的單調性求參數的取值范圍
重點題型四：求函數的最值
角度1：利用函數的單調性求最值
角度2：利用函數的圖象求最值
重點題型五：二次函數的最值問題
角度1：不含參數的二次函數最值問題
角度2：含參數的二次函數最值問題
重點題型六：恒成立與能成立問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的單調性
1、增函數與減函數
1.1增函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(increasing function).
1.2減函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(decreasing function).
2、函數的單調性與單調區間
如果函數在區間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間叫做的單調區間．
3、常見函數的單調性
函數 單調性
一次函數（） 當時，在上單調遞增
當時，在上單調遞減
反比例函數（） 當時，在和上單調遞減
當時，在和上單調遞增
二次函數（） 對稱軸為 當時，在上單調遞減； 在上單調遞增
當時，在上單調遞增； 在上單調遞減
知識點二：函數單調性的判斷與證明
1、定義法：一般用于證明，設函數，證明的單調區間為
①取值：任取，，且；
②作差：計算；
③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數；
④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數；
⑤下結論：指出函數在給定區間上的單調性
2、圖象法
一般通過已知條件作出函數的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數的單調性.
3、性質法
（1）函數在給定區間上的單調性與在給定區間上的單調性相反；
（2）函數在給定區間上的單調性與的單調性相同；
（3）和的公共定義區間，有如下結論；
增 增 增 不確定
增 減 不確定 增
減 減 減 不確定
減 增 不確定 減
知識點三：函數的最大（?。┲?br/>1、最大值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最大值；
2、最小值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最小值；
知識點四：復合函數的單調性（同增異減）
一般地，對于復合函數，單調性如下表示，簡記為“定義域優先，同增異減”，即內層函數與外層函數單調性相同時，復合函數為增函數；內層函數與外層函數單調性不同時，復合函數為減函數：
：令：和
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）所有函數在定義域上都具有單調性．( )
（2）因為，所以函數在上是增函數．( )
（3）若為R上的減函數，則．( )
（4）若函數在區間和上均為增函數，則函數在區間上為增函數．( )
【答案】 錯誤 錯誤 正確 錯誤
（1）不是所有函數在定義域上都具有單調性，如不具有單調性，故錯誤；
（2）因為，所以函數在上是增函數是不正確的，兩個數的比較不能代表區間內任意的變量都成立，故錯誤；
（3）由為R上的減函數，又因為，則，故正確；
（4）若函數在區間和上均為增函數，此時可能有分段函數情況，但函數在區間上為增函數不成立，故錯誤.
2．（2022·全國·高一課時練習）函數的遞減區間是( )
A． B． C． D．
【答案】A
作出函數圖象的圖象，
由圖象可知圖象的減區間為
故選：A
3．（2022·全國·高一課時練習）函數，則的最大值為___________，最小值為___________．
【答案】 1
因為函數在區間上為減函數，
則
即
故最大值為1，最小值為
故答案為：1；
4．（2022·全國·高一課時練習）設函數，則( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既無最大值又無最小值
【答案】D
由題意可知函數單調遞增，但定義域為，取不到最大值，也沒有最小值；
故選：D
5．（2022·全國·高一課時練習）函數在上的圖象如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是( )
A．，0 B．0，2
C．，2 D．，2
【答案】C
由圖可得，函數在處取得最小值，在處取得最大值，
故選：C
重點題型一：利用定義法判斷或證明函數的單調性
典型例題
例題1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知函數
判斷函數在上的單調性，并用定義法證明你的結論；
【答案】(1)減函數，證明見解析
任取，， 且
則 -
因為，所以，
所以，即，
所以在區間上是減函數．
例題2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）已知函數．
試判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明；
【答案】（1）在上單調遞減，證明見解析；
（1）函數在區間上單調遞減，以下證明：設，
∵，
∴，，，
∴，
∴在區間上單調遞減；
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）已知函數.
(1)判斷在區間上的單調性，并用定義證明；
【答案】(1)函數在區間上單調遞增，證明見解析
在區間上單調遞增，證明如下：
，，且，
有.
因為，，且，所以，.
于是，即.
故在區間上單調遞增.
2．（2022·廣東·信宜市第二中學高一開學考試）已知.
(1)用定義證明在區間上是增函數；
【答案】(1)見解析
證明：任取，，，且，
則．
，，而，，
，即，
在區間，上是增函數；
重點題型二：求函數的單調區間
角度1：利用圖象求函數的單調區間
典型例題
例題．（2021·全國·高一專題練習）已知四個函數的圖象如圖所示，其中在定義域內具有單調性的函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
對于A，函數分別在及上單調遞增，
但存在，使，故A不符合題意；
對于C，函數分別在及上單調遞增，
但存在，使，故C不符合題意；
對于D，函數分別在及上單調遞減，
但存在，，使，故D不符合題意；
只有B完全符合增函數的定義，具有單調性.
故選:B.
例題2．（2022·全國·高一）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函數，
畫出函數的圖象，如圖所示：
函數的單調遞減區間是，，
故選：B
同類題型演練
1．（2022·全國·高一）如果函數的圖象如圖所示，那么此函數的減區間為__________.
【答案】
解：由函數的圖象得此函數的減區間為：，
故答案為：.
2．（2022·湖南·高一課時練習）如圖是函數的圖象．列出的若干區間，說明它在各區間上的增減性，并指出該函數的最大、最小值點及最值．
【答案】答案見解析.
觀察圖象知，函數的遞減區間是：，，，單調遞增區間是，，
函數的最大值點是，最小值點是，
函數的最大值是，最小值是.
3．（2022·湖南邵陽·高一期末）已知函數．
(1)畫出的圖象，并根據圖象寫出的遞增區間和遞減區間；
【答案】(1)作圖見解析，遞增區間為，遞減區間為；
(1)
由函數，圖象如圖：
遞增區間為，遞減區間為；（注：寫成也可以）
4．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）已知函數.
（1）在平面直角坐標系中畫出函數的圖象；（不用列表，直接畫出草圖．
（2）根據圖象，直接寫出函數的單調區間；
【答案】（1）作圖見解析 ；（2）增區間為和；減區間為和；
（1）由題意，函數，
所以的圖象如右圖所示：
（2）由（1）中的函數圖象，
可得函數的單調增區間為和，單調減區間為和．
角度2：求復合函數的單調區間
典型例題
例題1．（2022·山西·河津市第二中學高二階段練習）函數的單調減區間為__________．
【答案】##
解：函數的定義域為，
令，，，
因為函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的單調減區間為，單調增區間為.
故答案為：.
例題2．（2022·河南安陽·高一期末（理））函數的單調遞增區間為___________.
【答案】
由可得，解得：，
所以函數的定義域為，
因為是由和復合而成，
對稱軸為，開口向下，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因為單調遞增，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的單調遞增區間為，
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）函數的單調遞增區間是________.
【答案】
令，解得或，所以函數的定義域為，
而函數的對稱軸是，
故函數的單調遞增區間是.
故答案為：.
2．（2022·全國·高一）已知函數，則的單調遞增區間為______.
【答案】
，
解得.
函數的對稱軸為，開口向下，
根據復合函數單調性同增異減可知，的單調遞增區間為.
故答案為：
重點題型三：函數單調性的應用
角度1：利用函數的單調性比較大小
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）設偶函數的定義域為，當時，是減函數，試確定，，之間的大小關系．
【答案】
因為當時，是減函數，故，
而為偶函數，故，
故.
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）畫出函數的圖象，并根據圖象回答下列問題.
(1)比較，，的大??；
【答案】(1)
(1)函數的定義域為R，
列表：
x －1 0 1 3
y 0 3 4 0
描點，連線，得函數圖象如圖.
根據圖象，容易發現，，
所以.
角度2：利用函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數在上單調遞增，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在上單調遞增，，，解得：，
實數的取值范圍為.
故選：C.
例題2．（2022·江蘇·高一）已知在定義域上是減函數，且，則的取值范圍為（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
因為在定義域上是減函數，
所以由，
故選：A
同類題型演練
1．（2022·江蘇·高一）已知是定義在上的增函數，且，則x的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為是定義在上的增函數，且，
所以，即，解得，
所以x的取值范圍為，
故選：B
2．（2022·云南·高一階段練習）已知是定義在上的減函數，且，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵是定義在上的減函數，且，
則，解得.
故選：A.
3．（2022·江蘇·高一）設是定義在區間上的嚴格增函數．若，則a的取值范圍是______．
【答案】.
由題意，函數是定義在區間上的嚴格增函數，
因為，可得，解得，
所以實數a的取值范圍是.
故答案為：.
角度3：利用函數的單調性求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知在為單調函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在上單調遞減，在上單調遞增，故要想在為單調函數，需滿足，
故選：D
例題2．（2022·河南·南陽中學高一階段練習）已知函數是上的增函數，則的取值范圍為（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【答案】B
解：因為且在上單調遞增，
所以，解得，即
故選：B
例題3．（2022·河南·高二期末（理））已知函數，若對任意的，且恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
不妨設，則，根據題意，可得恒成立，即恒成立.令，
則恒成立，所以函數在上單調遞減.
當時，在上單調遞減，符合題意；
當時，要使在上單調遞減，
則解得.
綜上所述，實數a的取值范圍是.
故選：D.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：函數的圖像的對稱軸為，
因為函數在區間上單調遞增，
所以，解得，
所以的取值范圍為，
故選：D
2．（2022·四川省瀘縣第一中學高一開學考試）函數在區間上是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因為函數，對稱軸為，開口向上，要使函數在區間上是減函數，所以，解得
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習）函數在上是減函數.則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，函數在上是減函數，
根據一次函數的性質，則滿足，解得.
故選：B.
4．（2022·北京·海淀實驗中學高一期中）已知函數，是R上的增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：若是上的增函數，則應滿足，解得，即.
故選：C
5．（2022·陜西·西安市雁塔區第二中學高二階段練習（理））已知函數，若在上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為函數，在上是增函數，
所以，
解得，
故選：D
重點題型四：求函數的最值
角度1：利用函數的單調性求最值
典型例題
例題1．（2022·廣東·廣州市天河中學高一階段練習）函數在的值域為__________．
【答案】
因為的對稱軸為
所以在上單調遞增，
因為，所以值域為
故答案為：
例題2．（2022·天津益中學校高一期中）函數在區間的最大值是______．
【答案】1
∵函數，
∴函數在區間上為單調增函數
∴當時，函數取得最大值，為.
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高一期中）函數，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
任取，且，則
，
當，且時，，，所以，即，
當，且時，，，所以，即，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
因為，所以，
所以在上的值域為
故選：A
同類題型演練
1．（2022·陜西西安·高二期末（文））設函數在區間上的最大值和最小值分別為M，m則（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【答案】C
因為f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是減函數.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故選：C.
2．（2022·河南·高一期中）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為函數、在區間上均為增函數，故函數在上為增函數，
當時，.
故選：B.
3．（2022·山西·懷仁市第一中學校高一階段練習）函數，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題意得，，
顯然函數在上為減函數，
所以，當時，函數取得最大值，且最大值為，當接近時，接近，
所以的值域為.
故選：D.
4．（2022·福建·漳州三中高一期中）函數在區間上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
∵函數在上為減函數，
∴.
故選：A.
角度2：利用函數的圖象求最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）已知函數
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)請在給定的坐標系中畫出此函數的圖象，并根據圖象說出函數的值域.
【答案】(1)(2)或(3)圖象見解析，
(1)因為，所以
(2)當時，，不合題意，應舍去
當時，
解得或（舍）
當時，，則
綜上，或
(3)值域為
例題2．（2022·全國·高三專題練習）在邊長為4的正方形上有一點，沿著折線由點(起點)向點(終點)移動，設點移動的路程為，的面積為．
(1)求的面積與移動的路程間的函數關系式；
(2)作出函數的圖象，并根據圖象求的最大值．
【答案】（1）；（2）8.
(1)這個函數的定義域為(0,12)，
當0＜x≤4時，S＝f(x)＝2x；
當4＜x≤8時，S＝f(x)＝8；
當8＜x＜12時，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x.
∴這個函數的解析式為
(2)其圖形如下，由圖知，
[f(x)]max＝8.
同類題型演練
1．（2022·廣西·容縣高級中學高二開學考試（文））已知函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．
(1)請補充完整函數y＝f(x)的圖象；
(2)根據圖象寫出函數y＝f(x)的單調遞增區間及值域；
【答案】(1)作圖見解析；
(2)單調遞增區間為(－1,1)，值域R；
(1)由題圖及y＝f(x)是定義在R上的奇函數，可得左側圖象如下：
(2)由（1）所得函數圖象知：單調遞增區間為(－1,1)，值域R.
2．（2022·河南·溫縣第一高級中學高一階段練習）已知函數f（x）=|x﹣1|+1
（1）用分段函數的形式表示該函數；
（2）在上邊所給的坐標系中畫出該函數的圖象；
（3）寫出該函數的單調區間及值域(不要求證明).
【答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）單調減區間為，單調增區間為，值域為.
解：（1）當時，f（x）=|x﹣1|+1，當時，f（x）=|x﹣1|+1，；
（2）由（1）中解析式，作圖如下：
（3）由（2）中f（x）圖像可知，單調減區間為，單調增區間為，值域為.
重點題型五：二次函數的最值問題
角度1：不含參數的二次函數最值問題
典型例題
例題1．（2022·上海市延安中學高一期末）函數的最大值為___________.
【答案】
由，則開口向上且對稱軸為，又，
∴，，故函數最大值為.
故答案為：.
例題2．（2022·山東臨沂·高一期中）已知二次函數，且．
(1)求函數的解析式；
(2)求在區間上的值域．
【答案】(1)(2)
(1)因為二次函數，
所以，
，
又，∴，
解得，，，
故；
(2)由（1）的結論知，，所以在上單減，在上單增；所以當時，取得最小值，且其最小值；
而3到對稱軸的距離比0到對稱軸的距離遠，所以當時，取得最大值，且其最大值；
故在上的值域為．
同類題型演練
1．（2022·甘肅·天水市第一中學高二期中）函數
(1)當時，求函數的值域；
【答案】(1)
解：由題意，函數，
可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在區間上的最大值為，最小值為，
綜上函數在上的值域為.
2．（2022·廣東·興寧市葉塘中學高一期中）求下列函數的最小值與最大值：
【答案】最小值為f()=，最大值為f(-3)=7；
由，對稱軸為且開口向上，
∴在上有，.
3．（2022·廣西·平桂高中高一階段練習）已知函數．
(1)求函數的定義域和值域；
(2)求函數在區間上的最大值和最小值．
【答案】(1)定義域為，值域為
(2)，
(1)定義域為，值域為；
(2)因為圖象開口向上，對稱軸為，
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，
又，，所以．
4．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高一期中）已知函數．
(1)當時，求函數的最大值和最小值；
【答案】(1)最小值是1，最大值是37
當時,
此時函數的對稱軸為；
在上單調遞減，上單調遞增
當時，取最小值，且最小值為，
當時，取最大值，且最大值為．
角度2：含參數的二次函數最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）已知函數．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
【答案】(1)最大值是，最小值是
(2)當時，最小值為；
當時，最小值為；
當時，最小值為.
(3)或
(1)時，，結合函數圖像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)的對稱軸是，
①當，即時，函數在上遞增，
當時，取到最小值；
②當，即時，函數在上先遞減后遞增，
當時，取到最小值；
③當，即時，函數在上遞減，
當時，取到最小值，
綜上所得，當時，最小值；
當時，取到最小值；
當時，取到最小值.
例題2．（2022·山西·高一期末）已知是二次函數，且滿足，，.
(1)求函數的解析式；
(2)當時，表示出函數的最小值，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)；.
(1)解：設，
因為，所以函數關于對稱，
所以，
又，，
所以，解得，
所以；
(2)解：由（1）得，函數關于對稱，
當時，函數在上遞增，
所以，
所以當時，，，
當，即時，函數在上遞減，
所以，
所以當時，，，
當時，函數在上遞減，在上遞增，
所以，
所以當時，，
綜上所述，，.
例題3．（2022·陜西安康·高一期末）已知二次函數．
(1)當時，求的最大值和最小值，并指出此時的取值；
(2)求的最小值，并表示為關于的函數．
【答案】(1)當時，的最小值為，當時的最大值為.
(2).
(1)當時，，對稱軸為，開口向上，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
，.
所以當時，的最小值為，當時的最大值為.
(2)的對稱軸為，開口向上，
當即時，在上單調遞增，
，
當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時，
當即時，在上單調遞減，
，
所以.
同類題型演練
1．（2022·江西贛州·高二期末（文））已知函數，且滿足.
(1)求函數在區間上的值域；
(2)設，若對于任意，都有，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)由題意知函數是二次函數，對稱軸為，
因為，知其對稱軸為，
所以，解得，則，
可知函數在上單調遞減，在上單調遞增.
則，，
所以函數的值域為.
(2)因為且，所以，
因為，
所以的最大值可能是或.
因為
，
所以，
要對任意，都有，只需，即，
則，解得，
又因為，所以，
所以的取值范圍是.
2．（2022·上?！の挥袑W模擬預測）已知函數 ( 為實常數).
(1)設 在區間 上的最小值為 ， 求 的表達式;
【答案】
若，則，該函數在上為減函數，故，
若，則的圖象為開口向下的拋物線，且其對稱軸為，
故在上為減函數，故，
若，則，故在上為減函數，
故，
若，則在上為減函數，在為增函數，
故，
若，則，故在上為增函數，
故，
綜上，.
3．（2022·浙江·慈溪中學高二階段練習）已知函數.
求函數在上的最小值；
【答案】(1)
由題意得，
當即時，，
當即時，，
當即時，，
故；
4．（2022·四川·寧南中學高一開學考試）已知函數，．
(1)當時，求函數的最大值和最小值．
(2)當時，求函數在區間上的最小值．
【答案】(1)，；(2)答案見解析.
(1)當時，，又，
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，．
(2)由題意得：，
∴函數圖像開口向上，對稱軸方程為，
①若，即，則在上單調遞增，
∴；
②若，則在上單調遞減，在上單調遞增，；
③若，即，則在上單調遞減，
∴．
重點題型六：恒成立與能成立問題
典型例題
例題1．（2022·廣西北?！じ叨谀ㄎ模┮阎魏瘮禎M足，且.
(1)求的解析式；
(2)當時，不等式恒成立；求實數的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
(1)由于是二次函數，可設，恒成立，
恒成立，
，
又，

；
(2)當時，恒成立，
即恒成立，
令，當時，單調遞減，.
所以；
例題2．（2022·上海徐匯·高一期末）已知函數.
(1)求函數的解析式；
(2)設，若存在使成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
(1)，則，又，則；
(2)，又存在使成立，即在上有解，
令，設，易得在單減，則，
即，故實數的取值范圍為.
例題3．（2022·江蘇·高一）已知
(1)求二次函數的值域：
(2)當時，若二次函數的值恒大于0，求的取值范圍．
【答案】(1)[0，](2)
(1)等價于，．
解得
所以．
∴二次函數，
函數在區間單調遞增，所以當時，y取最大值為，
當時，y取最小值為0，
所以二次函數．的值域是[0，]．
(2)由（1）知
∵恒成立．
即恒成立．
∴恒成立． ．
∵．∴
∵，∴．
當且僅當且時，即時，等號成立，．
∴，故a的取值范圍為
例題4．（2022·浙江·金華市曙光學校高一階段練習）已知函數．
(1)已知m=-3，求函數在區間上的最大值；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)8(2)
(1)當時，函數的圖象開口向上，對稱軸為，區間的中心為，故當時取得
(2)恒成立，只需在區間上的最大值即可，所以，得，所以實數的取值范圍是，即
同類題型演練
1．（2022·河北武強中學高二期末）若二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2
(2)(－∞，－2)
(1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．
(2)因為存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范圍為(－∞，－2)．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知二次函數．
(1)若在區間上單調遞增，求實數k的取值范圍；
(2)若在上恒成立，求實數k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因為在單調遞增，
所以，
解得；
(2)因為在上恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立．
令，則，
當且僅當時等號成立．
所以．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．
（Ⅰ）若函數在區間上單調遞減，求實數的取值范圍；
（Ⅱ），恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅰ）當時，，在區間上單調遞減，符合題意；當時，對稱軸為，因為在區間上單調遞減，所以，得，所以；當時，函數在區間上單調遞減，符合題意，綜上，的取值范圍為.
（Ⅱ），恒成立，即，恒成立，令，可知函數在上單調遞增，所以，所以，所以，故的取值范圍為
1．（2020·全國·高三階段練習（理））歷史上第一個給出函數一般定義的是19世紀德國數學家狄利克雷（Dirichlet），當時數學家們處理的大部分數學對象都沒有完全的嚴格的定義，數學家們習慣借助于直覺和想象來描述數學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數：（其中為有理數集，為無理數集），狄利克雷函數的出現表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來，這種思想也標志著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”.一般地，廣義的狄利克雷函數可定義為：（其中，且），以下對說法錯誤的是（ ）
A．任意非零有理數均是的周期，但任何無理數均不是的周期
B．當時，的值域為；當時，的值域為
C．為偶函數
D．在實數集的任何區間上都不具有單調性
【答案】B
解：設任意，，
則，，A選項正確；
易知的值域為，B選項錯誤；
若，則，所以，
若，則，所以，C選項正確；
由于實數的稠密性，任意兩個有理數之間都有無理數，兩個無理數之間也有有理數，
其函數值在和之間無間隙轉換，所以無單調性；綜上，
故選：B.
2．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
若函數在上單調遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數，在為增函數，
故在上的最大值為推不出在上單調遞增，
故“函數在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，
故選：A.
3．（2022·山東濟南·二模）若二次函數，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為，所以二次函數的對稱軸為，
又因為，所以，
又，所以.
故選：B.

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