資源簡介

3.2.2奇偶性（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：用定義法判斷函數的奇偶性
重點題型二：分段函數奇偶性的判斷
重點題型三：抽象函數的奇偶性
重點題型四：函數奇偶性的應用
角度1：求函數值
角度2：求函數解析式
角度3：求參數的值或取值范圍
角度4：求函數的值域或最值
角度5：解不等式
重點題型五：奇、偶函數的圖象特征的應用
重點題型六：函數性質的綜合應用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的奇偶性
1、定義：
1.1偶函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
1.2奇函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
2、函數奇偶性的判斷
2.1定義法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）求，根據與的關系，判斷的奇偶性：
①若是奇函數
②若是偶函數
③若既是奇函數又是偶函數
④若既不是奇函數也不是偶函數
2.2圖象法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）若的圖象關于軸對稱是偶函數
（3）若的圖象關于原點對稱是奇函數
2.3性質法：
，在它們的公共定義域上有下面的結論：
偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 偶函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 奇函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
知識點二：奇函數，偶函數的性質
1、奇函數，偶函數的圖象特征
設函數的定義域為
（1）是偶函數的圖象關于軸對稱；
（2）是奇函數的圖象關于原點對稱；
（3）若是奇函數且，則
2、函數的奇偶性與單調性的關系
（1）是偶函數在關于原點對稱區間上具有相反的單調性；
（2）是奇函數在關于原點對稱區間上具有相同的單調性；
3、函數的奇偶性與函數值及最值的關系
設函數的定義域為（其中）
（1）是偶函數，且在上單調，則在上有相反的單調性，此時函數的最大（小）值相同；
（2）是奇函數，且在上單調，則在上有相同的單調性，此時函數的最值互為相反數；
知識點三：對稱性
1、軸對稱：
設函數的定義域為，且是的對稱軸，則有：
①；
②
③
2、點對稱
設函數的定義域為，且是的對稱中心，則有：
①；
②
③
3、拓展：
①若，則關于對稱；
②若，則關于對稱；
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）是定義在R上的函數，若，則一定是偶函數．( )
（2）對于函數，若存在x，使，則函數一定是奇函數．( )
（3）不存在既是奇函數，又是偶函數的函數．( )
（4）若函數的定義域關于原點對稱，則這個函數不是奇函數就是偶函數．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）下列函數是偶函數的是( )
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高一課時練習）若為R上的偶函數，且，則___________．
4．（2022·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．若一個函數的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數為奇函數
B．若一個函數為偶函數，則它的定義域關于坐標原點對稱
C．若一個函數的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數為偶函數
D．若函數f(x)的定義域為，且，則是奇函數
5．（2022·北京·高三學業考試）已知函數，則（ ）
A．是奇函數 B．是偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數
重點題型一：用定義法判斷函數的奇偶性
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）判斷下列函數的奇偶性：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
例題．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數為偶函數，求的值．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）下列函數中，既是奇函數又是增函數的有哪些？
①；②；③；④．
2．（2022·湖南·高一課時練習）判斷下列函數的奇偶性
(1)； (2)；
(3)； (4)．
重點題型二：分段函數奇偶性的判斷
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）判斷下列函數的奇偶性：
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝是奇函數.
求實數m的值；
2．（2022·北京平谷·高一期末）已知函數
(1)求，的值；
(2)作出函數的簡圖；
(3)由簡圖指出函數的值域；
(4)由簡圖得出函數的奇偶性，并證明.
重點題型三：抽象函數的奇偶性
典型例題
例題1．（2022·河南·襄城高中高二階段練習（文））已知函數的定義域為，對于任意的，都有，且．
(1)求．
(2)證明：．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數滿足．
(1)求的值；
(2)求證：；
2．（2022·全國·高三專題練習）定義在上的函數對任意的，都有，且當時，.
（1）若，證明：是奇函數.
重點題型四：函數奇偶性的應用
角度1：求函數值
典型例題
例題1．（2022·山西·懷仁市第一中學校二模（理））已知函數為上的奇函數，當時，，則等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
例題2．（2022·四川涼山·高一期末）已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則______.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，且函數是偶函數，函數是奇函數，則（ ）
A． B． C．1 D．3
同類題型演練
1．（2022·云南普洱·高三期末（理））已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則（ ）
A．8 B． C．16 D．
2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數是奇函數，當時，，則
A． B．
C． D．
3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）已知是R上的奇函數，且當時，，則的值為___________.
角度2：求函數解析式
典型例題
例題1．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高二階段練習（文））已知是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求時，函數的解析式；
(2)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍．
例題2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期中（文））已知函數是上的偶函數，當時，
(1)當時，求解析式；
(2)畫出函數的圖象，并寫出的值域.
同類題型演練
1．（2022·河南安陽·高一期末（理））已知是定義在R上的奇函數，當時，，則當時，______．
2．（2022·山西太原·高一開學考試）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．則函數的解析式為_________．
3．（2022·全國·高三專題練習）若是奇函數，當時的解析式是，則當時，的最大值是______．
4．（2022·云南昆明·高一期中）定義在R上的函數滿足.當時，，則______.
5．（2022·全國·高一專題練習）已知，分別是上的奇函數和偶函數，且，試求和的表達式．
6．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）已知函數的圖象關于原點對稱，且當時，
(1)試求在R上的解析式；
角度3：求參數的值或取值范圍
典型例題
例題1．（2022·河南新鄉·高一期中）若函數在上為奇函數，則___________.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數是奇函數，則_____．
同類題型演練
1．（2022·北京海淀·二模）若是奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·遼寧·高一階段練習）已知定義在上的奇函數，當時，，則的值為（ ）
A．-8 B．8 C．-24 D．24
3．（2022·山西·河津市第二中學高二階段練習）若函數是偶函數，定義域為，則等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·海南·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，則______.
角度4：求函數的值域或最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）若函數的圖像關于直線對稱，則的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
例題2．（2022·湖南·長郡中學高二期中）已知是定義在上的偶函數，當時，．
(1)求的解析式；
(2)求在區間上的值域．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知是定義在R上的奇函數，且時，，則在上的最大值為_____.
2．（2022·安徽·高一期中）已知函數是定義在上的奇函數，且
(1)求的值
(2)用定義法證明在上的單調性，并求出在上的最大值和最小值．
角度5：解不等式
典型例題
例題1．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·寧夏六盤山高級中學二模（文））定義在R上的偶函數在上單調遞減，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·北京市第五中學高一期末）已知上的奇函數是增函數，若，則的取值范圍是________．
同類題型演練
1．（2022·貴州遵義·三模（文））若奇函數在單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·金華市曙光學校高二階段練習）已知偶函數f (x)在區間 單調遞增，則滿足的 x 取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·廣西南寧·高一期末）若函數是定義在上的偶函數，在上單調遞減，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）已知偶函數在區間上單調遞增，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南平頂山·高一期末）若偶函數在上單調遞減，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·廣西玉林·高二期末（文））已知奇函數在區間上單調遞減，且，則不等式的解集是___________.
重點題型五：奇、偶函數的圖象特征的應用
典型例題
例題1．（2021·北京市第四十三中學高一階段練習）已知是定義在上的奇函數，當時，的圖像如圖所示，那么不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·河南商丘·三模（理））已知定義在上的奇函數在上的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期中）已知奇函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全國·高一專題練習）已知偶函數與奇函數的定義域都是，它們在，上的圖象如圖所示，則使關于的不等式成立的的取值范圍為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
重點題型六：函數性質的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·重慶巴蜀中學高二期末）已知定義在上的函數，滿足為偶函數，若對于任意不等實數，，不等式恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·湖南·高二階段練習）已知偶函數在上單調遞減，若，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·北京市第十一中學高二期末）已知函數是奇函數，且.
(1)求實數的值；
(2)用函數單調性的定義證明：在上單調遞增；
(3)當時，解關于的不等式：.
例題4．（2022·安徽·高一期中）已知函數滿足，當時，成立，且．
(1)求，并證明函數的奇偶性；
(2)當，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
同類題型演練
1．（2022·陜西·西安市雁塔區第二中學高二階段練習（文））函數是定義在上的奇函數，且．
(1)確定的解析式
(2)證明在上的單調性；
(3)解關于的不等式．
2．（2022·山西·河津市第二中學高二階段練習）已知函數是定義在上的奇函數，且.
(1)求，的值；
(2)判斷在上的單調性，并用定義證明；
(3)設，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.
3．（2022·黑龍江雙鴨山·高一期末）設函數是增函數，對于任意都有．
(1)寫一個滿足條件的；
(2)證明是奇函數；
(3)解不等式．
1．（2021·全國·高考真題（文））設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國·高考真題（理））設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京海淀·二模）若是奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海·模擬預測）若函數為奇函數，求參數a的值為___________；
5．（2022·貴州·模擬預測（理））已知函數的定義域為R，為奇函數，則___________.
3.2.2奇偶性（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：用定義法判斷函數的奇偶性
重點題型二：分段函數奇偶性的判斷
重點題型三：抽象函數的奇偶性
重點題型四：函數奇偶性的應用
角度1：求函數值
角度2：求函數解析式
角度3：求參數的值或取值范圍
角度4：求函數的值域或最值
角度5：解不等式
重點題型五：奇、偶函數的圖象特征的應用
重點題型六：函數性質的綜合應用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的奇偶性
1、定義：
1.1偶函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
1.2奇函數：一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
2、函數奇偶性的判斷
2.1定義法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）求，根據與的關系，判斷的奇偶性：
①若是奇函數
②若是偶函數
③若既是奇函數又是偶函數
④若既不是奇函數也不是偶函數
2.2圖象法：
（1）先求函數的定義域，判斷定義域是否關于原點對稱.
（2）若的圖象關于軸對稱是偶函數
（3）若的圖象關于原點對稱是奇函數
2.3性質法：
，在它們的公共定義域上有下面的結論：
偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 偶函數 不能確定 不能確定 奇函數 奇函數
奇函數 奇函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
知識點二：奇函數，偶函數的性質
1、奇函數，偶函數的圖象特征
設函數的定義域為
（1）是偶函數的圖象關于軸對稱；
（2）是奇函數的圖象關于原點對稱；
（3）若是奇函數且，則
2、函數的奇偶性與單調性的關系
（1）是偶函數在關于原點對稱區間上具有相反的單調性；
（2）是奇函數在關于原點對稱區間上具有相同的單調性；
3、函數的奇偶性與函數值及最值的關系
設函數的定義域為（其中）
（1）是偶函數，且在上單調，則在上有相反的單調性，此時函數的最大（小）值相同；
（2）是奇函數，且在上單調，則在上有相同的單調性，此時函數的最值互為相反數；
知識點三：對稱性
1、軸對稱：
設函數的定義域為，且是的對稱軸，則有：
①；
②
③
2、點對稱
設函數的定義域為，且是的對稱中心，則有：
①；
②
③
3、拓展：
①若，則關于對稱；
②若，則關于對稱；
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）是定義在R上的函數，若，則一定是偶函數．( )
（2）對于函數，若存在x，使，則函數一定是奇函數．( )
（3）不存在既是奇函數，又是偶函數的函數．( )
（4）若函數的定義域關于原點對稱，則這個函數不是奇函數就是偶函數．( )
【答案】 錯誤 錯誤 錯誤 錯誤
（1）要對任意的，都有，才是偶函數，故該結論錯誤．
（2）要對任意的，都有，才是奇函數，單是存在某個滿足是不符合定義的，故該結論錯誤．
（3）存在既是奇函數，又是偶函數的函數，比如，故該結論錯誤．
（4）函數，定義域關于原點對稱，但是它既不是奇函數又不是偶函數，故該結論錯誤．
2．（2022·全國·高一課時練習）下列函數是偶函數的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
A選項，，故它不是偶函數．
B選項，，故它是偶函數．
C選項 ，，故它不是偶函數．
D選項，該函數的定義域不關于原點對稱，故它不是偶函數．
故選：B
3．（2022·全國·高一課時練習）若為R上的偶函數，且，則___________．
【答案】3
∵為R上的偶函數，
∴
故答案為：3
4．（2022·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．若一個函數的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數為奇函數
B．若一個函數為偶函數，則它的定義域關于坐標原點對稱
C．若一個函數的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數為偶函數
D．若函數f(x)的定義域為，且，則是奇函數
【答案】B
奇偶函數的定義域一定關于原點對稱，B正確；
定義域關于原點對稱的函數不一定具有奇偶性，如R上的函數既不是奇函數，也不是偶函數，A，C都錯誤，
如函數的定義域是R，且有，但不是奇函數，D錯誤．
故選：B
5．（2022·北京·高三學業考試）已知函數，則（ ）
A．是奇函數 B．是偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數
【答案】B
由題意，，即函數為偶函數.
故選：B
重點題型一：用定義法判斷函數的奇偶性
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）判斷下列函數的奇偶性：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)偶函數(2)奇函數(3)奇函數(4)非奇非偶函數
(1)的定義域為，它關于原點對稱.
，故為偶函數.
(2)的定義域為，它關于原點對稱.
，故為奇函數.
(3)的定義域為，它關于原點對稱.
，故為奇函數.
(4)，
故，故為非奇非偶函數.
例題．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數為偶函數，求的值．
【答案】
解：根據題意，函數為偶函數，則有，
即，即，即，所以，解得；
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）下列函數中，既是奇函數又是增函數的有哪些？
①；②；③；④．
【答案】
對于①，設，其定義域為，但，故不是奇函數，
對于②，設，其定義域為，但為上的減函數，
對于③，設，其定義域為，此函數在上為減函數；
對于④，設，其定義域為，且，
故為上的奇函數，
當時，，此時在為增函數，故為上的增函數，
故既是奇函數又是增函數的函數為.
2．（2022·湖南·高一課時練習）判斷下列函數的奇偶性
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)奇函數(2)偶函數(3)偶函數(4)非奇非偶函數
(1)函數的定義域為R
且
故函數為奇函數
(2)函數的定義域為R
且
故函數為偶函數
(3)函數的定義域為R
且
故函數為偶函數
(4)由于
且
故函數為非奇非偶函數
重點題型二：分段函數奇偶性的判斷
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）判斷下列函數的奇偶性：
【答案】奇函數．
當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
當x<0時，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)為奇函數．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數f(x)＝是奇函數.
求實數m的值；
【答案】（1）2；
（1）設x＜0，則－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x).
于是當x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
2．（2022·北京平谷·高一期末）已知函數
(1)求，的值；
(2)作出函數的簡圖；
(3)由簡圖指出函數的值域；
(4)由簡圖得出函數的奇偶性，并證明.
【答案】(1)，；(2)作圖見解析；
(3)；(4)為奇函數，證明見解析.
(1)由解析式知：，.
(2)由解析式可得：
0 1 2
0 0 1 0
∴的圖象如下：
(3)由（2）知：的值域為.
(4)由圖知：為奇函數，證明如下：
當，時，；
當，時，；
又的定義域為，則為奇函數，得證.
重點題型三：抽象函數的奇偶性
典型例題
例題1．（2022·河南·襄城高中高二階段練習（文））已知函數的定義域為，對于任意的，都有，且．
(1)求．
(2)證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
(1)在中，
令，可得，
因為，
所以．
(2)在中，
令，得，
因為，
所以，即，
由于y的任意性，
則．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）已知函數滿足．
(1)求的值；
(2)求證：；
【答案】(1)(2)證明見解析
(1)解：因為，令，則，所以；
(2)解：因為，令，則，又，所以，即；
2．（2022·全國·高三專題練習）定義在上的函數對任意的，都有，且當時，.
（1）若，證明：是奇函數.
【答案】（1）證明見解析；
（1）由題意，函數滿足，
令，可得，解得，
令，可得，即，
即，
因為，所以.
又因為的定義域也是關于原點對稱，所以函數是奇函數.
重點題型四：函數奇偶性的應用
角度1：求函數值
典型例題
例題1．（2022·山西·懷仁市第一中學校二模（理））已知函數為上的奇函數，當時，，則等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
解：因為函數為R上的奇函數，當時，，
所以.
故選：C.
例題2．（2022·四川涼山·高一期末）已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則______.
【答案】
因為，所以有，
因為，分別是定義在R上的偶函數和奇函數，
所以，
因此由，
故答案為：
例題3．（2022·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，且函數是偶函數，函數是奇函數，則（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
因為函數是偶函數，
所以，即①，
因為函數是奇函數，
所以，即②，
由①②可得：，
故選：A.
同類題型演練
1．（2022·云南普洱·高三期末（理））已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
由，分別是定義在上的偶函數和奇函數，
故，
故選：D.
2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數是奇函數，當時，，則
A． B．
C． D．
【答案】D
是奇函數，滿足，
即.
故選：D
3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）已知是R上的奇函數，且當時，，則的值為___________.
【答案】
因為是R上的奇函數，且當時，，
所以，所以
故答案為：
角度2：求函數解析式
典型例題
例題1．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高二階段練習（文））已知是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求時，函數的解析式；
(2)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
(1)設，則，所以
又為奇函數，所以，
所以當時，.
(2)作函數的圖像如圖所示，
要使在上單調遞增，結合的圖象知，所以，
所以的取值范圍是.
例題2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期中（文））已知函數是上的偶函數，當時，
(1)當時，求解析式；
(2)畫出函數的圖象，并寫出的值域.
【答案】(1)
(2)圖象見解析，值域為
(1)當時，，則，
為上的偶函數，，
即當時，.
(2)由（1）得：，
當時，；當時，；
結合二次函數性質可得圖象如下圖所示，
的值域為.
同類題型演練
1．（2022·河南安陽·高一期末（理））已知是定義在R上的奇函數，當時，，則當時，______．
【答案】
時，，是奇函數，
此時
故答案為：
2．（2022·山西太原·高一開學考試）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．則函數的解析式為_________．
【答案】
設 -3-x>0，則有，又因為，所以，又，所以
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習）若是奇函數，當時的解析式是，則當時，的最大值是______．
【答案】
當時，，
∵時，，
∴，又為奇函數，
∴，
∴，
因為時，，
所以當時，取得最大值.
故答案為：
4．（2022·云南昆明·高一期中）定義在R上的函數滿足.當時，，則______.
【答案】
由，所以為定義在R上的奇函數，可得，
所以，可得，
所以時，，
所以，
所以.
故答案為：
5．（2022·全國·高一專題練習）已知，分別是上的奇函數和偶函數，且，試求和的表達式．
【答案】，
解析： 以代替條件等式中的，則有，
又，分別是上的奇函數和偶函數，
故．
又，
聯立可得，．
6．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）已知函數的圖象關于原點對稱，且當時，
(1)試求在R上的解析式；
【答案】(1)
解：的圖象關于原點對稱，
是奇函數，．
又的定義域為，，解得．
設，則，
當時，，
，
所以；
角度3：求參數的值或取值范圍
典型例題
例題1．（2022·河南新鄉·高一期中）若函數在上為奇函數，則___________.
【答案】
因為函數在上為奇函數，
所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知函數是奇函數，則_____．
【答案】2
當時，，，
又為奇函數，，而當時，，
所以．
故答案為：2
同類題型演練
1．（2022·北京海淀·二模）若是奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
易知定義域為，由為奇函數可得，即，解得.
故選：C.
2．（2022·遼寧·高一階段練習）已知定義在上的奇函數，當時，，則的值為（ ）
A．-8 B．8 C．-24 D．24
【答案】A
解：在上是奇函數，
，解得，
又時，，
．
故選：A．
3．（2022·山西·河津市第二中學高二階段練習）若函數是偶函數，定義域為，則等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
因為函數是偶函數，定義域為，
所以，即，
即，得，且，，
則，
故選：B.
4．（2022·海南·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，則______.
【答案】
依題意函數是定義在上的奇函數，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案為：
角度4：求函數的值域或最值
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）若函數的圖像關于直線對稱，則的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
由函數的圖像關于直線對稱，知是偶函數，
，即，
整理得總成立，得，
，
令，則，
當時，有最大值，即的最大值是．
故選：B．
例題2．（2022·湖南·長郡中學高二期中）已知是定義在上的偶函數，當時，．
(1)求的解析式；
(2)求在區間上的值域．
【答案】(1)(2)答案見詳解.
(1)解:（1）當時，所以；
因為為R上的偶函數，所以；
又，所以
(2)解:作出的大致圖象如下所示：
當時，在區間上單調遞減，則在區間上的值域為，即；
當時，在區間上的最大值為，最小值為所以在上的值域為，即；
當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且，則在區間上的值域為，即．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知是定義在R上的奇函數，且時，，則在上的最大值為_____.
【答案】
∵是定義在R上的奇函數，∴，
又∵，，∴，∴時，，
設，則，則，則，
即當x＞0時，，∴f（x）在上單調遞減，
∴在上的最大值為．
故答案為：
2．（2022·安徽·高一期中）已知函數是定義在上的奇函數，且
(1)求的值
(2)用定義法證明在上的單調性，并求出在上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)證明見解析；
(1)解：由，
可得，
此時，符合題意；
(2)設，
，
，
由，
，
故，
所以在上單調遞減，
此時.
角度5：解不等式
典型例題
例題1．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因為函數滿足對任意的，有，
即在上單調遞減，又是定義在R上的偶函數，所以在上單調遞增，
又，所以，函數的大致圖像可如下所示：
所以當時，當或時，
則不等式等價于或，
解得或，即原不等式的解集為；
故選：C
例題2．（2022·寧夏六盤山高級中學二模（文））定義在R上的偶函數在上單調遞減，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：∵因為偶函數滿足，∴，又∵在上單調遞減，∴，即，∴.
故選：D
例題3．（2022·北京市第五中學高一期末）已知上的奇函數是增函數，若，則的取值范圍是________．
【答案】
因為函數為奇函數，所以，而函數在R上為增函數，則.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·貴州遵義·三模（文））若奇函數在單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由是奇函數在單調遞增，且可知：當 時，，當 時，，
又或，解得：或
滿足的x的取值范圍是或
故選：D
2．（2022·浙江·金華市曙光學校高二階段練習）已知偶函數f (x)在區間 單調遞增，則滿足的 x 取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
因為偶函數在區間上單調遞增，
所以在區間上單調遞減，故越靠近軸，函數值越小，
因為，
所以，解得：.
故選：A．
3．（2022·廣西南寧·高一期末）若函數是定義在上的偶函數，在上單調遞減，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由于函數是偶函數，所以，
由題意，當時，，則；
又因為函數是偶函數，圖象關于軸對稱，所以當時，，則，所以的解集為.
故選：C.
4．（2022·安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）已知偶函數在區間上單調遞增，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因為偶函數在區間上單調遞增，所以在上單調遞減，則等價于，解得，所以原不等式的解集為；
故選：A
5．（2022·河南平頂山·高一期末）若偶函數在上單調遞減，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由題意得在上單調遞增，且，
因為，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故選：A
6．（2022·廣西玉林·高二期末（文））已知奇函數在區間上單調遞減，且，則不等式的解集是___________.
【答案】
因為奇函數在區間上單調遞減，且，所以在上單調遞減，且，
則不等式可轉化為或，解得，或，
所以不等式的解集為.
故答案為：
重點題型五：奇、偶函數的圖象特征的應用
典型例題
例題1．（2021·北京市第四十三中學高一階段練習）已知是定義在上的奇函數，當時，的圖像如圖所示，那么不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由題可得，當時，當時，
因為是定義在上的奇函數，
所以當時，當時，
所以不等式的解集是.
故選：C.
例題2．（2022·河南商丘·三模（理））已知定義在上的奇函數在上的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
根據奇函數的圖象特征，作出在上的圖象如圖所示，
由，得，
等價于或
解得，或，或．
故不等式解集為：.
故選: C
同類題型演練
1．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期中）已知奇函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由圖像可知在時，
當，，當，，
由為奇函數，圖象關于原點對稱，
在時，
當，；當，，
又在時與同號，
在時與異號
故不等式的解集為：.
故選：D.
2．（2021·全國·高一專題練習）已知偶函數與奇函數的定義域都是，它們在，上的圖象如圖所示，則使關于的不等式成立的的取值范圍為（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
如圖所示：當時，，，；當時，，，，故當時，其解集為，∵是偶函數，是奇函數，∴是奇函數，由奇函數的對稱性可得：當時，其解集為，綜上：不等式的解集是 ，
故選：C.
重點題型六：函數性質的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·重慶巴蜀中學高二期末）已知定義在上的函數，滿足為偶函數，若對于任意不等實數，，不等式恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為是偶函數，所以 圖像關于直線對稱，
又因為當時，恒成立
即當時，；時，
所以在區間上單調遞減.
解得.
故選：D.
例題2．（2022·湖南·高二階段練習）已知偶函數在上單調遞減，若，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為偶函數在上單調遞減，所以在上單調遞增，且，又，所以.
由，得或
所以或
解得或.故x的取值范圍是.
故選：D.
例題3．（2022·北京市第十一中學高二期末）已知函數是奇函數，且.
(1)求實數的值；
(2)用函數單調性的定義證明：在上單調遞增；
(3)當時，解關于的不等式：.
【答案】(1)，，(2)證明見解析，(3)
(1)因為函數是奇函數，
所以，即，
，
所以，解得，
所以，
因為，
所以，解得，
(2)證明：由（1）可知
任取，且，則
，
因為，且，
所以，，
所以，即，
所以在上單調遞增；
(3)
當時，，
由（2）可知在上單調遞增，
因為，
所以，即，解得（舍去），或，
所以不等式的解集為
例題4．（2022·安徽·高一期中）已知函數滿足，當時，成立，且．
(1)求，并證明函數的奇偶性；
(2)當，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，證明見解析；
(2).
(1)解：令，可得，
令，則，所以，
所以，
所以為奇函數；
(2)解：，即，
所以，
又當時，成立，所以為增函數，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以當時，，
所以，即.
同類題型演練
1．（2022·陜西·西安市雁塔區第二中學高二階段練習（文））函數是定義在上的奇函數，且．
(1)確定的解析式
(2)證明在上的單調性；
(3)解關于的不等式．
【答案】(1)
(2)證明見解析；
(3)不等式解集為.
(1)根據題意，函數是定義在上的奇函數，
則，解可得；
又由，則有，解可得；
則
(2)由（1）的結論，，
設，
則
又由，
則，，，，
則，即
則函數在上為增函數.
(3)由（1）（2）知為奇函數且在上為增函數.
，
解可得：，
即不等式的解集為.
2．（2022·山西·河津市第二中學高二階段練習）已知函數是定義在上的奇函數，且.
(1)求，的值；
(2)判斷在上的單調性，并用定義證明；
(3)設，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)在，上單調遞增，證明見解析
(3)
(1)因為函數是定義在，上的奇函數，且（1），
則，解得，，
所以函數，
經檢驗，函數為奇函數，
所以，；
(2)在，上單調遞增.
證明如下：設，
則，
其中，，
所以，即，
故函數在，上單調遞增；
(3)因為對任意的，，總存在，，使得成立，
所以，
因為在，上單調遞增，
所以，
當時，；所以恒成立，符合題意；
當時，在，上單調遞增，則（1），
所以，解得；
當時，函數在，上單調遞減，則，
所以，解得.
綜上所述，實數的取值范圍為.
3．（2022·黑龍江雙鴨山·高一期末）設函數是增函數，對于任意都有．
(1)寫一個滿足條件的；
(2)證明是奇函數；
(3)解不等式．
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)
(1)因為函數是增函數，對于任意都有，這樣的函數很多，其中一種為：，證明如下：
函數滿足是增函數， ，所以滿足題意.
(2)令，則由
得，
即得，故是奇函數．
(3)，所以，則
，因為，所以
，所以，又因為函數是增函數，所以
，所以或.所以的解集為：.
1．（2021·全國·高考真題（文））設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
2．（2021·全國·高考真題（理））設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題意可得，
對于A，不是奇函數；
對于B，是奇函數；
對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；
對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數.
故選：B
3．（2022·北京海淀·二模）若是奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
易知定義域為，由為奇函數可得，即，解得.
故選：C.
4．（2022·上?！つM預測）若函數為奇函數，求參數a的值為___________；
【答案】1
因為為奇函數，所以，當時，，
所以，即，所以，解得.
故答案為：.
5．（2022·貴州·模擬預測（理））已知函數的定義域為R，為奇函數，則___________.
【答案】1
因為函數的定義域為R，為奇函數，
所以，即.
故答案為：1

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