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第一章 空間向量與立體幾何單元總結(jié)
要點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念
空間向量：空間中，既有大小又有方向的量；
空間向量的表示：一種是用有向線段表示，叫作起點(diǎn)，叫作終點(diǎn)；
一種是用小寫字母（印刷體）表示，也可以用（而手寫體）表示．
向量的長度（模）：表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作或．
向量的夾角：過空間任意一點(diǎn)作向量的相等向量和，則叫作向量的夾角，記作，規(guī)定．如圖：
零向量：長度為0或者說起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，記為0．規(guī)定：0與任意向量平行．
單位向量：長度為1的空間向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共線向量（平行向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合．
平行于記作，此時(shí)．=0或=．
共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．
要點(diǎn)詮釋：
（1）數(shù)學(xué)中討論的向量是自由向量，即與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)． 只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移；
（2）當(dāng)我們說向量、共線（或//）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．
（3）對(duì)于任意一個(gè)非零向量，我們把叫作向量的單位向量，記作．與同向．
（4）當(dāng)=0或時(shí)，向量平行于，記作；當(dāng) =時(shí)，向量垂直，記作．
要點(diǎn)二：空間向量的基本運(yùn)算
空間向量的基本運(yùn)算：
運(yùn)算類型 幾何方法 運(yùn)算性質(zhì)
向量的加法 1平行四邊形法則： 加法交換率：加法結(jié)合率：
2三角形法則：
向量的減法 三角形法則：
向量的乘法 是一個(gè)向量，滿足：>0時(shí)，與同向；<0時(shí)，與異向；=0時(shí)， =0 ∥
向量的數(shù)量積 1．是一個(gè)數(shù)：；2．，或=0．
要點(diǎn)三：空間向量基本定理
共線定理：兩個(gè)空間向量、（≠），//的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使．
共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使．
要點(diǎn)詮釋：
（1）可以用共線定理來判定兩條直線平行（進(jìn)而證線面平行）或證明三點(diǎn)共線．
（2）可以用共面向量定理證明線面平行（進(jìn)而證面面平行）或證明四點(diǎn)共面．
空間向量分解定理：
如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.
要點(diǎn)詮釋：
（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；
（2）由于零向量可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是零向量0．
（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．
要點(diǎn)四：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
空間兩點(diǎn)的距離公式
若，，則
①；
②；
③ 的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
空間向量運(yùn)算的的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)，，則
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ，；
⑥ ．
空間向量平行和垂直的條件
若，，則
①，，；
②．
要點(diǎn)詮釋：
（1）空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：
過作面的垂線，垂足為，在面中，過分別作軸、軸的垂線，垂足分別為，則．如圖：
（２）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：
，其中θ的范圍是．
（３）與任意空間向量平行或垂直．
要點(diǎn)五：用向量方法討論垂直與平行
圖示 向量證明方法
線線平行（//） //（分別為直線的方向向量）
線線垂直（） （分別為直線的方向向量）
線面平行（//） ，即（是直線的方向向量，是平面的法向量）．
線面垂直（） //（是直線的方向向量，是平面的法向量）
面面平行（//） （分別是平面，的法向量）
面面垂直（） ，即（，分別是平面，的法向量）
要點(diǎn)詮釋：
（１）直線的方向向量：若、是直線上的任意兩點(diǎn)，則為直線的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直線，取的方向向量，有，則稱為為平面的法向量． 一個(gè)平面的法向量不是唯一的．
要點(diǎn)六：用向量方法求角
圖示 向量證明方法
異面直線所成的角 （，是直線上不同的兩點(diǎn)，，是直線上不同的兩點(diǎn)）
直線和平面的夾角 （其中直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為）
二面角 （平面與的法向量分別為和，平面與的夾角為）
要點(diǎn)詮釋：
①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于，的夾角的大小。
②當(dāng)法向量，的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于，的夾角的補(bǔ)角的大小。
要點(diǎn)七：用向量方法求距離
圖示 向量證明方法
點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量）
與平面平行的直線到平面的距離 （是平面的公共法向量）
兩平行平面間的距離 （是平面，的一個(gè)公共法向量）
要點(diǎn)詮釋：（1）在直線上選取點(diǎn)時(shí)，應(yīng)遵循“便于計(jì)算”的原則，可視情況靈活選擇．
（2）空間距離不只有向量法一種方法，比如點(diǎn)面距還有一種重要的求法為等積轉(zhuǎn)化法．
（3）各種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離．而且我們?cè)谇蠼鈺r(shí)往往又轉(zhuǎn)化為空間向量的處理方法．
要點(diǎn)八：立體幾何中的向量方法
用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”
1．建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）
2．通過向量運(yùn)算研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及它們之間的距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）
3．把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義．（回到圖形問題）
用坐標(biāo)法解決立體幾何中問題的一般步驟
1．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
2．寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；
3．進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算；
類型1 利用空間向量證明線、面位置關(guān)系
空間中的線、面位置關(guān)系的證明問題主要包含兩類，即平行與垂直．平面問題包括線線平行、線面平行、面面平行；垂直問題包括線線垂直、線面垂直和面面垂直．利用向量法解決位置關(guān)系問題，實(shí)際上是將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，突出了向量這一工具的便捷性，在高考中，若能將向量方法融入到立體幾何的線、面位置關(guān)系的證明中，將會(huì)使問題的解答過程更加簡捷明了．
例1 如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點(diǎn)，求證：、
（1）平面；（2）平面平面．
分析：結(jié)合已知條件平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）利用向量共面的充要條件將用平面中兩個(gè)不共線向量線性表示即可得證；（2）先分別求出平面與平面的法向量，再證兩法向量垂直即可．
證明：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則有．
（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以．
所以．所以．
又因?yàn)槠矫妫云矫妫?br/>（2）由（1），知，所以．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，即．解得．令，
則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即．
得．令，則，因?yàn)椋裕势矫嫫矫妫?br/>解后反思：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．
（2）證明線面平行的方法；
①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；
②證明平面內(nèi)存在一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；
（3）證明面面平行的方法：
①轉(zhuǎn)化為線線平行或線面平行處理；
②證明兩個(gè)平面的法向量是共線向量．
（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．
（5）證明線面垂直的方法：
①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；
②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．
（6）證明面面垂直的方法：
①轉(zhuǎn)化為線線垂直或線面垂直處理；
②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．
類型2 利用空間向量求空間角
空間角包括：異面直線所成的角（線線角）、直線與平面所成的角（線面角）、二面角（面面角）．用向量法求空間角，把復(fù)雜的作角、證明、求角問題代數(shù)化，降低了思維難度，是近年來高考的一個(gè)方向．
例2 如圖①，在中，，是邊上的高，沿把折起，得如圖3-3②所示的三棱錐，其中．
（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值．
分析：（1）先確定圖形在折起前后不變的量，如角的大小不變，線段長度不變、線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）在（1）的基礎(chǔ)上確定出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．
（1）證明：因?yàn)檎燮鹎笆沁吷系母撸援?dāng)折起后，．又因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）解：由及（1），知兩兩垂直．不妨設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖3-4所示的空間直角坐標(biāo)系，
易得．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．
所以．所以．
故與夾角的余弦值是．
解后反思：求一對(duì)異面直線所成的角的方法：一是按定義平移轉(zhuǎn)化為兩相交直線的夾角；二是在異面直線上各取一向量，轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角，無論哪種方法，都應(yīng)注意對(duì)異面直線所成角的范圍的限定．
例3如圖，在等腰直角三角形中，，分別是上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．將沿折起，得到如圖3-6所示的四棱錐，其中．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
分析：（1）用勾股定理可證，從而證得平面；
（2）用“三垂線”法作二面角的平面角后求解或用向量法求兩個(gè)平面的法向量的夾角．
（1）證明：由題意，得．
如圖3-7，連接，在中，由余弦定理，得．由翻折不變性，知．所以，所以．同理可證．又因?yàn)椋云矫妫?br/>（2）解：方法1：如圖3-8，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．
因?yàn)槠矫妫裕詾槎娼堑钠矫娼牵Y(jié)合圖3-5可知．為的中點(diǎn)，故，從而．所以．所以二面角的平面角的余弦值為．
方法2：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3-9所示（為的中點(diǎn)）．
易知，所以．
設(shè)平面的法向量．則，即，解得．
令，得．由（1），知為平面的一個(gè)法向量
所以，即二面角的平面角的余弦值為．
解后反思：求二面角的大小時(shí)，也可以先作出垂直于棱的兩個(gè)向量，再轉(zhuǎn)化為求這兩向量的夾角，但應(yīng)注意此時(shí)兩向量的起點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上．
例4在平面四邊形中，．將沿折起，使得平面平面，如圖所示．
（1）求證：；
（2）若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．
分析：（1）根據(jù)面面垂直、線面垂直的性質(zhì)，證明線線重起；（2）利用（1）的結(jié)論，先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與向量的坐標(biāo)，再用向量法求線面角的正弦值．
（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕?br/>（2）解：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖3-11所示．
由（1），知平面，平面，平面，所以．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3-11所示．依題意，得．則
．設(shè)平面的法向量，則，即，取，得平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成角為．則，即直線與平面所成角的正弦值為．
解后反思：求直線與平面所成的角的方法：
設(shè)為平面的斜線，為直線的方向向量，為平面的法向量，為與所成的角，則．
類型3 利用空間向量求距離
求距離是一類常見的題型，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．常見的距離問題有：點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線距、線面距、面面距，其中求線面距、面面距及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離問題．用向量法求點(diǎn)面距的具體步驟為：
（1）求出該平面一個(gè)法向量；
（2）找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；
（3）先求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模．
例5 如圖，已知正方形的邊長為1，平面，且，分別為的中點(diǎn)．求：
（1）點(diǎn)到平面的距離； （2）直線到平面的距離．
分析：（1）根據(jù)平面，四邊形為正方形建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．利用距離（為過點(diǎn)的向量，為平面的一個(gè)法向量）來求點(diǎn)到平面的距離；（2）求直線到平面的距離時(shí)，根據(jù)平面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．
解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）．則．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，所以．令，則．所以．
（2）．由（1），知平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為．因?yàn)槠矫妫灾本€到平面的距離為．
解后反思：兩點(diǎn)間距離一般利用向量模求解，即利用兩點(diǎn)間的距離公式，而點(diǎn)面距主要利用平面的法向量求解，有時(shí)也利用等體積轉(zhuǎn)化法求解．
空間向量與立體幾何
空間向量及其運(yùn)算
空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
空間向量的線性運(yùn)算
空間向量的基本定理
兩個(gè)向量的數(shù)量積
空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
共線向量定理
共面向量定理
空間向量分解定理
平行與垂直的條件
直線的方向向量與直線的向量方程
平面的法向量與平面的向量表示
直線與平面的夾角
二面角及其度量
距離
A
B
C
D
M
N
P
y
z
A
B
C
D
M
N
P
x
D
C
B
A
①
A
B
C
D
E
②
x
y
z
A
B
C
D
E
圖3-4
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
B
C
D
E
O
圖3-7
圖3-8
H
B
C
D
E
O
F
x
y
z
圖3-9
B
C
D
E
O
A
B
C
D
M
圖3-11
E
x
y
z
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E
F
P
x
y
z
A
B
C
D
E
F
P

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