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第二章 直線和圓的方程單元總結(jié)
要點1.直線的傾斜角的斜率
令直線的傾斜角為，斜率為，
（1），其中，當(dāng)時，斜率不存在；
（2）過的直線斜率.
要點2.直線方程的幾種形式
（1）點斜式
注意：①表示不含才是整條直線方程。
②當(dāng)直線的斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為.
③在解題時若選用點斜式的話，應(yīng)單獨考慮斜率不存在時的情況.
（2）斜截式
.
注意：在解題時若選用斜截式的話，應(yīng)單獨考慮斜率不存在時的情況.
（3）兩點式
注意：①兩點式方程的條件是，即不能表示平行（或重合）于坐標(biāo)軸的直線。
②若把兩點式寫成：，則可適用任何位置的直線.
（4）截距式
.
注意：①截距是坐標(biāo)而不是長度.
②當(dāng)斜率不存在或為零時，或直線過原點時，都不能用截距式，因此用截距式時應(yīng)單獨考慮這幾種情形.
（5）一般式
.
要點3.兩直線的位置關(guān)系
（1）兩直線的位置關(guān)系
設(shè).（都存在）
①與相交，特別地；
②且；
③與重合且.
設(shè)
①與相交，特別地；
②且；
③與重合且.
（2）點到直線的距離
設(shè)，直線，點到直線的距離，特別地，.
注意：①當(dāng)在上時，則；
②當(dāng)在上方，則；
③當(dāng)在下方，則.
（3）兩平行線間距離
設(shè).
，與間的距離.
（4）直線系方程
①平行直線系：（為常數(shù)，為變數(shù)），表示一組斜率為的平行直線。
②共點直線系：[定點為為變數(shù)]，表示一束過定點的直線（不包括直線）.
③過直線交點的直線系：設(shè)，則表示一束過交點的直線（不包括）.
（5）中心對稱和軸對稱
①中心對稱：設(shè)點關(guān)于點對稱，則.
②軸對稱：設(shè)關(guān)于直線對稱，則
a.時，有，且 ；
b. 時，有，且 ；
c.時，有且.
要點4.幾個值得注意的問題
（1）關(guān)于五種形式的直線方程及其轉(zhuǎn)化形式要注意：
①直線斜率往往是求直線的關(guān)鍵，若不能判定直線有斜率，必須分兩種情況討論；
②在直線的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距離”；
③當(dāng)斜率不存在時，會正確選擇直線的表示形式，同時注意直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式表示直線的局限性。
（2）關(guān)于兩條直線的位置關(guān)系要注意：
①判斷垂直或平行時，要考慮兩條直線中一條無斜率或都無斜率的情況；
②區(qū)分“到角”與“夾角”的異同，以及“到的角”與“到的角”的不同；
③利用公式，要注意將直線方程化為一般形式，利用公式求平行線間的距離，要注意把對應(yīng)項的系數(shù)化為相同.
（3）關(guān)于直線傾斜角要注意：
①注意與斜率概念的區(qū)別
直線的斜率是直線傾斜角的正切值，任何一條之下都有傾斜角，但并不是任何一條直線都有斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時，其傾斜角等于；
②注意傾斜角的取值范圍
直線傾斜角的取值范圍是，且當(dāng)時，；當(dāng)時.在通過斜率的范圍求傾斜角的范圍時，應(yīng)特別注意，否則容易出現(xiàn)錯誤.
要點5．圓的方程
（1）標(biāo)準(zhǔn)式：圓心為點，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．特別地，當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點時，圓的方程為；
（2）一般式：；
（3）值得關(guān)注的幾個問題
①在二元二次方程中，和的系數(shù)相等摒棄沒有項，只是表示圓的必要條件，而不是充分條件．
②如果問題中給出了圓心兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時，一般用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上的三個點的坐標(biāo)，一般用一般方程．
③在一般方程中，當(dāng)時．方程表示一個點；當(dāng)時，無軌跡．
④由于圓的方程均含有三個參變（、、或、、），而確定這三個參數(shù)必須有三個獨立條件，因此，三個獨立條件確定一個圓．
⑤待定系數(shù)是求圓的方程的常用方法．
要點6．點與圓的位置關(guān)系
(1)點在圓上
①如果一個點的坐標(biāo)滿足圓的方程，那么該點在圓上．
②如果點到圓心的距離等于半徑，那么點在圓上．
注意：若點是圓為一定點，則該點與圓上的點的最大距離：，最小距離：．
要點7．直線一與圓的位置關(guān)系
(1)直線與圓的位置關(guān)系有相交、相離、相切三種，其判別方法有：
①代數(shù)法：通過解直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來研究．若有兩組不同的實數(shù)解(即)，則相交；若有兩組相同實數(shù)解(即)，則相切；若無實數(shù)解，則相離．
②幾何法：由圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷．當(dāng)時，直線與圓相交；當(dāng)時，直線與圓相切；當(dāng)時，直線與圓相離．
（2）值得關(guān)注的幾個問題
①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離，最小距離．其中為圓心到直線的距離．
②當(dāng)直線與圓相交時，設(shè)弦長為，弦心距為，半徑為，則有．
③當(dāng)直線與圓相交時，設(shè)弦長為，則．
④當(dāng)直線與圓相切時，切線的求法有如下幾種：
a．若點在圓上，則切線方程為．
若點在圓上，則切線方程為．
b．斜率為且與圓相切的切線方程為．
斜率為且與圓相切的切線方程的求法，可以設(shè)切線為，然后變成一般式，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程，求．
c．若點在圓外，則設(shè)切線方程為，變成一般式因為直線與圓相切，所以有．由此解出，若此方程有一個實根，則還有一條斜率不存在的切線，務(wù)必要補上．
要點8．圓與圓的位置關(guān)系
(1)圓與圓的位置關(guān)系共有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種，其判別方法有：
①代數(shù)法：解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組．若方程組有兩組不同的實數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解，則兩圓相切(內(nèi)切或外切)；若
無實數(shù)解，則兩圓外離或內(nèi)含．
②幾何法：設(shè)兩圓半徑分別為兩圓心分別為、，兩圓心分別為、，則
當(dāng)時，兩圓相離；
當(dāng)時，兩圓外切；
當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；
當(dāng)時，兩圓相交；
當(dāng)時，兩圓內(nèi)含．
(2)值得關(guān)注的幾個問題
共交點圓系：已知兩圓相交，則與兩圓共交點的圓系方程為，其中為的任意常數(shù)，此圓系不包括第二個圓．
當(dāng)時，為根軸方程，即兩圓公共弦所在的直線方程為．
專題一 直線的傾斜角與斜率的問題
例1 已知坐標(biāo)平面內(nèi)的三點．
（1）求直線的斜率和傾斜角；
（2）若為的邊上一動點，求直線的斜率的取值范圍．
解：（1）由斜率公式，得，，．
因為，所以的傾斜角為；因為，所以的傾斜角為；因為，
所以的傾斜角為．
（2）如圖，當(dāng)斜率變化時，直線繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線由逆時針旋轉(zhuǎn)到過程中，直線
與恒有交點，即在的邊上，此時由增大到，所以的取值范圍是．
解后反思：在解答直線的傾斜角和斜率問題時，注意結(jié)合有關(guān)概念和公式，注意斜率不存在時的情況不能
忽略．
專題二 直線方程的五種形式
例2 求與直線垂直,并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24的直線的方程．
解：方法1:由直線與直線垂直,可設(shè)直線方程為,則直線在軸,軸上的截距分別為．又因為直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，所以，即，，解得或．故所求直線方程為或，即或．
方法2:設(shè)直線的方程為，則直線的斜率．因為與直線垂直，所以，即．又因為直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，所以，即．
所以或．所以直線的方程為或，即或．
解后反思：直線的方程由五種形式，在求直線方程時要選擇恰當(dāng)?shù)男问剑渲幸渣c斜式、斜截式最為常用，通常采用待定系數(shù)法求直線的方程．
專題三 兩條直線的位置關(guān)系
例3 已知點，若為直角三角形，則必有（ ）
A． B． C． D．
解析：若以為直角頂點，則在軸上，則必為0，此時重合，不符合題意；
若，則；若，根據(jù)斜率關(guān)系可知，，所以，即，綜上，只有C滿足條件．故選C．
解后反思：由于直角的位置不確定故而應(yīng)分類討論求解，對于特殊位置不要遺漏．
例4 已知兩條直線，．求分別滿足下列條件的的值．
（1）直線過點，并且直線與直線垂直；
（2）直線與直線平行，并且坐標(biāo)原點到，的距離相等．
解：（1）因為，所以，即．①
又因為點在上，所以．②
由①②解得．
（2）因為直線與直線平行，且的斜率為，即，故與的方程可分別表示為，，因為原點到，的距離相等，所以，所以，或．
解后反思：考查兩條直線的平行與垂直的關(guān)系時，通常有兩種方式可以選擇：一是直線方程以斜截式給出，此時可通過斜率和直線在軸上的截距來處理；二是直線方程以一般式給出，此時可轉(zhuǎn)化為斜率和直線在軸上的截距來處理，也可直接利用系數(shù)處理．
專題四 距離問題
例5 已知和直線，求一點，使，且點到直線的距離等于2．
解：方法1：設(shè)點，因為，所以．①
又因為點到直線的距離等于2，所以．②
由①②聯(lián)立方程組解得或．
方法1：設(shè)點，因為，所以點在線段的垂直平分線上，由題意知，線段的中點為，所以線段的垂直平分線的方程是．所以可設(shè)點．
因為點到直線的距離等于2，所以，解得或．
所以或．
解后反思：解決解析幾何問題的主要方法就是利用點的坐標(biāo)反映圖形的位置，所以只要將題目中的幾何條
件用坐標(biāo)表示出來，即可轉(zhuǎn)化為方程的問題，其中方法2是利用了點的幾何特征產(chǎn)生的結(jié)果，所以解題
時注意多發(fā)現(xiàn)，多思考．
專題五 直線中的最值問題
例6 在平面直角坐標(biāo)系中，到點的距離之和最小的點的坐標(biāo)是 ．
解析：由題意可知，設(shè)為平面直角坐標(biāo)系的任意一點，則，等號成立的條件是點在線段上．，等號成立的條件是點在線段上，所以到，，，四點的距離之和最小的點為和的交點．直線的方程為，直線的方程為，所以由，得，即所求點的坐標(biāo)為.
答案：
解后反思：利用幾何圖形，借助三角形的三邊關(guān)系，將所求點與已知四點之間的距離最小問題轉(zhuǎn)化為兩線段之和最小的問題，本例充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解決直線中的最值問題的作用，在學(xué)習(xí)中要注意借鑒.
例7 有兩條直線和，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時，求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值．
解：解方程，得．所以兩直線的交點為，如圖3-2．
在中，令，得；在中，令，得．
所以四邊形．
因為，所以當(dāng)時，四邊形面積取最小值．
解后反思：求不規(guī)則四邊形的面積，可以先將四邊形分成若干個小三角形，利用三角形的面積公式來求解．本題根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形可知四邊形，因此只需要求出兩三個三角形的面積．因為，，，，，，所以只需要求出兩直線的交點，以及兩直線與,軸的交點．根據(jù)四邊形及，即可求出四邊形的最小面積．
專題六 對稱問題
對稱問題包括點關(guān)于點、點關(guān)于直線、直線關(guān)于點、直線關(guān)于直線以及曲線關(guān)于點、直線的對稱．其中點關(guān)于點、點關(guān)于直線對稱式所有對稱中的兩種最基本的對稱，應(yīng)該重點掌握，并能夠把其他對稱都轉(zhuǎn)化為這兩種對稱．由于對稱問題綜合運用了兩直線垂直、平行的判定，點到直線的距離公式等知識點，因此對稱問題一直是高考考查的重點．對稱是圖形的一種幾何特征，如角的平分線，入（反）射光線，在一條定直線上求一個點到兩個定點的距離之和最小，差的絕對值最大等問題都隱含著對稱關(guān)系，因此，要注意對稱在解題中的重要作用．
（1）點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)是．
（2）點不在直線：上，點關(guān)于直線的對稱點的求法是利用垂直平分線段，即，解出即可．
（3）曲線（直線）關(guān)于點的對稱可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱．
（4）曲線（直線）關(guān)于直線的對稱可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱．
例8　已知直線：，求：
（1）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)；
（2）直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；
（3）直線關(guān)于點的對稱直線的方程．
解：（1）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在直線上，且直線垂直于直線．
所以，解得．
所以點的得坐標(biāo)為．
（2）設(shè)直線：關(guān)于直線對稱的直線為，則上任一點關(guān)于的對稱點一定在上，反之也成立．
故，解得，把代入，整理得，所以直線的方程為．
（3）設(shè)直線關(guān)于點的對稱直線為，由∥可設(shè)為．
由點到直線的距離公式，得，即．解得或（舍去）．
所以直線的方程為，即對稱直線的方程為．
解后反思：中心對稱問題可分為點的中心對稱與直線的對稱問題；軸對稱是關(guān)于直線的對稱問題．
專題七　求圓的方程
求圓的方程，主要是根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法求解．用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟：
第一步：選擇圓的方程的某一形式；
第二步：由題意，得（或）的方程（組）；
第三步：解出（或）；
第四步：代入圓的方程．
在高考中單獨求圓的方程的問題不多，一般在考查直線與圓的位置關(guān)系中間接考查．
例9　若圓經(jīng)過坐標(biāo)原點和點．且與直線相切，則圓的方程是______．
解析：因為圓的弦的垂直平分線必過圓心，且圓經(jīng)過原點和，所以設(shè)圓心為．又因為圓與直線相切，所以，所以，解得，所以圓的方程為．
答案：
解后反思：確定圓的方程關(guān)鍵在于確定圓心和半徑．本例先通過圓經(jīng)過兩點確定圓心的位置，再利用和圓相切表示出半徑，最后建立方程求解．
例10　　有一圓與直線相切于點，且經(jīng)過點，求此圓的方程．
解：方法1：由題意可設(shè)所求圓的方程為，又圓過點．代入求得．故所求圓的方程為．
方法2：設(shè)圓的方程為，則圓心為，由，垂直于直線，
得解得
故所求圓的方程為．
方法3 :設(shè)所求圓的方程為，圓心為，由垂直于直線，在圓上，得，解得．故所求圓的方程為．
方法4：設(shè)圓心為，則垂直于直線，又設(shè)與圓的另一交點為，則所在直線的方程為，即．又因為，所以．所以直線的方程為．解方程組，得．所以．所以圓心為的中點，半徑長為，故所求圓的方程為．
解后反思：求圓的方程，主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程等，利用待定系數(shù)法求解．
專題八　　直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系是本章的重點內(nèi)容，在處理直線與圓的位置關(guān)系時，常用的方法有幾何法和代數(shù)法．此部分在高考中也是考查重點，其中切線問題是重點中的重點．在處理直線與圓位置關(guān)系時要注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以達到簡化解題過程的目的．
例11已知點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（　　）
A．相切　　　　B．相交　　　　C．相離　　　　D．不確定
解析：由題意，知點在圓外，則．圓心到直線的距離，故直線與圓相交．
答案：B
解后反思：確定直線與圓的位置關(guān)系可用幾何法，也可用代數(shù)法，但代數(shù)法計算較為繁瑣，而幾何法的關(guān)鍵在于比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，幾何法應(yīng)熟練掌握．
例12 在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為_____________．
解析：由圓的方程可知，圓心為，半徑為2．如圖4-1所示，設(shè)已知直線被圓截得的弦為，取弦的中點，連接，則，圓心到直線的距離．在中，，故直線被圓截得的弦長．
答案：
解后反思：求直線與圓相交形成的弦長問題，一般不采用代數(shù)法，而是利用圓的幾何性質(zhì)構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合求解．
專題九　圓與圓的位置關(guān)系
圓與圓的位置關(guān)系與是本章的重點和難點，圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，從外離到內(nèi)含，圓心距逐漸變小．判斷圓與圓的位置關(guān)系時有兩種方法：代數(shù)法和幾何法，具體應(yīng)用時以幾何法為主．在高考中，圓與圓的位置關(guān)系也是重點，常以選擇題或填空題形式考查，解題時要注意圓與圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用．
例13 已知兩圓和．⑴ 取何值時兩圓外切？⑵ 取何值時兩圓內(nèi)切？
解：圓：可化為：.圓：可化為.兩圓心之間的距離.
⑴兩圓外切時，，所以.所以.
⑵兩圓內(nèi)切時，，因為，所以.所以，所以.
解題反思：解決圓與圓的位置關(guān)系問題的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系.
專題十　與圓有關(guān)的最值問題
與圓有關(guān)的最值問題是本章中的一個難點，常見的類型包括以下幾種：
⑴求圓上一點到圓外一點的最大、最小距離：，；
⑵求圓上的點到與圓相離的某條直線的最大、最小距離：設(shè)圓心到直線的距離為，則，；
⑶已知某點的運動軌跡是，求①；②；③等式子的最值，一般運用幾何法求解.
例14.已知實數(shù),滿足方程，求的最大值和最小值.
解：設(shè)，由題意，知直線與圓有公共點,所以，即.所以.所以的最小值為，最大值為.
解后反思：在解決直線與圓的最值和范圍問題時，最常用的方法是函數(shù)法，把要求的最值或范圍表示為某個變量的關(guān)系式，用函數(shù)或方程的知識，尤其是配方法求出最值或范圍.

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