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6.3.5平面向量數量積的坐標表示
本節課知識點目錄：
向量數量積的坐標表示；
長度與距離：模的坐標表示。
垂直的坐標表示
利用坐標求夾角
投影的坐標表示
坐標應用：建系設點技巧
三角形中的向量坐標計算
利用向量坐標求向量最值（難點）
一、向量數量積的坐標表示
、
【典型例題】
【例1】已知，，求（ ）
A． B． C． D．
【例2】在平行四邊形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，則等于（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【例3】若，，則______．
【例4】已知向量，，且，，求向量的坐標．
【例5】已知向量，滿足，，求．
【對點實戰】
1.已知向量，且，則的值等于（ ）
A． B．- C． D．-
2.若向量，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
3.已知點A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，則的值為________．
4.已知，，，則（　　）
A． B． C．0 D．12
二、長度與距離：模的坐標運算
【典型例題】
【例1】已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
【例2】已知向量則=______．
【例3】已知，，求：
（1）；（2）；（3）．
【例4】設，已知兩個向量，，則向量長度的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例5】.設平面向量，若的模等于，試求k值.
三、垂直
1..
2..
【典型例題】
【例1】．已知向量，，，則實數k的值為（ ）
A． B． C．6 D．
【例2】設，向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【例4】設k為實數，已知，，若，求k的值．
【例5】已知向量，，，若，則______.
【例6】已知向量，求與向量垂直的單位向量的坐標．
【例7】已知向量，．
（1）求證：．
（2）是否存在不等于0的實數k和t，使向量，，且？如果存在，試確定k與t的關系；如果不存在，請說明理由．
【對點實戰】
1.已知向量，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，，若，則______．
3.若向量，，向量與向量垂直，則實數的值為____．
4.已知為坐標原點，，，與垂直，與平行，求點的坐標．
5.已知，，，求的坐標．
6.已知向量，，且，，則______
四、求夾角
非零向量與的夾角：.
【典型例題】
【例1】設向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B．1
C． D．
【例2】若向量，則與的夾角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知向量，，.若，則與的夾角的大小為______.
【例4】已知且與的夾角為，則______
【例5】若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】已知，若與的夾角為，則實數________.
【例8】已知向量，，設.
（1）若，求當取最小值時實數的值;
（2）若，問:是否存在實數，使得向量與向量的夾角為 若存在，求出實數;若不存在，請說明理由.
【對點實戰】
1.若向量，，則與的夾角為（ ）．
A． B． C． D．
2.已知，是單位向量，且，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3.設向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B．1
C． D．
4.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
A． B． C． D．
6.已知，，和的夾角為150°，則實數______．
7.已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量與的夾角為銳角，求的取值范圍.
五、投影的坐標表示
向量在方向上的投影：設為、的夾角，則為在方向上的投影.
【典型例題】
【例1】已知向量，向量，則向量在方向上的投影向量的模為（ ）
A．1 B． C． D．
【例2】向量在向量上的射影為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知點A（-1，1） B（1，2） C（-2，-1） D（3，4），則向量在方向上的投影為___________.
【例4】已知點，，，，與同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【例5】設向量，．若，，則______，向量在向量上的投影向量為______．
【例6】已知向量滿足,,且在方向上的投影與在方向上的投影相等,則等于( )
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知，，則在方向上的數量投影為______．
2.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，則向量的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
3.已知向量，，則在上的投影向量坐標為___________.
4.設，若 在方向上的投影為 , 且在 方向上的投影為3，則和 的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量,在上的投影為______
六、坐標應用：建系設坐標技巧
有模長，可以適當的設置對應向量點的坐標，作為向量計算的一個有用的技巧
【典型例題】
【例1】已知平面向量，，滿足，，則的最大值是_______
【例2】在矩形中，，頂點分別在軸 軸的正半軸上（含原點）滑動，且矩形位于第一象限，則的最大值為___________.
【例3】已知正方形的邊長為2，點是邊上的動點，則的值為___________；的最大值為___________．
【例4】已知，向量滿足，當向量，夾角最大時，_________．
【例5】在菱形中，，，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】在平行四邊形中，，，，且在邊上，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【例7】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E與M，N分別是AB，AC的三等分點，且，則cosA＝______，＝______.
【對點實戰】
1.已知中是直角，，點是的中點，為上一點.
（1）設，，當，請用，來表示，.
（2）當時，求證：.
2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，點E為線段BC的中點，點F為線段CD上的動點，則的取值范圍是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
3.在中， ，，為線段的三等分點，則＝( )
A． B．
C． D．
4.已知向量，，滿足，，，的最大值，最小值分別為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5.已知矩形ABCD，，，點P為矩形內一點，且，則的最大值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6.已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
七、三角形中的計算
【典型例題】
【例1】已知點A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）當m＝﹣3時，求向量與夾角的余弦值；
（2）若A，B，C三點構成以A為直角頂點的直角三角形，求m的值．
【例2】在中，，，且的內角B為直角，則的值為______．
【例3】在中，，，，為邊上的高，求與點的坐標．
【例4】在△ABC中，AB=6，AC=4，∠A=120°，，則的最小值為__________，若，則m=____________．
【例5】在中，底邊上的中線，若動點滿足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范圍．
【例6】在中，，點.
（1）若，且A、B、C能構成直角三角形，求點B的坐標；
（2）x軸上是否存在點B、C，滿足？若存在，求出點B、C的坐標；若不存在，請說明理由.
【例7】在直角三角形中，，，是斜邊上的兩點.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍.
八、向量最值（難點）
【典型例題】
【例1】已知平面向量，，，點M是直線OP上的一個動點，求的最小值及此時的坐標.
【例2】已知點為坐標原點，向量，且，則的最小值為____________.
【例3】已知是坐標原點
（1）當A，B，C三點共線時，求的值．
（2）當取何值時，取最小值？并求出最小值
【例4】點是邊長為2的正六邊形內或邊界上一動點，則的最大值與最小值之差為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例5】是邊長為2的正方形的內切圓內部（含邊界）的一動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】在等腰梯形中，是腰上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
【例7】直角三角形中，，，點，分別為斜邊上的兩個動點，且，設的取值范圍為，則函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例8】設直線，互相垂直于，，是直線上的兩個定點，滿足，、是直線上的兩個動點，滿足，若的最小值是，則______．
【對點實戰】
1已知向量，，且，，求向量的坐標．
2．已知坐標平面內，，，P是直線OM上的一個動點．當取最小值時，求的坐標，并求的值．
3,。如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為AB的中點.以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點F.若P為劣弧上的動點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C． D．
4.已知是邊長為2的正三角形，點為所在平面內的一點，且，則長度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5.在中，，，，點P是線段上一動點，則的最小值是______.
6.3.5平面向量數量積的坐標表示
本節課知識點目錄：
向量數量積的坐標表示；
長度與距離：模的坐標表示。
垂直的坐標表示
利用坐標求夾角
投影的坐標表示
坐標應用：建系設點技巧
三角形中的向量坐標計算
利用向量坐標求向量最值（難點）
一、向量數量積的坐標表示
、
【典型例題】
【例1】已知，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量數量積的坐標運算即可得解.
【詳解】∵，∴ ∴故選：C.
【例2】在平行四邊形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，則等于（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】先求得，由此求得.
【詳解】如圖，由向量的加減，可得=(1，2)，
=(0，2).
故=(1，2)·(0，2)=0+4=4.故選：A
【例3】若，，則______．
【答案】
【分析】
根據向量數量積的運算直接可得.
【詳解】
由已知的坐標表示為，的坐標表示為，
所以，故答案為：.
【例4】已知向量，，且，，求向量的坐標．
【答案】
【分析】
設向量的坐標為，用坐標表示，，聯立方程組即得解
【詳解】由題意，設向量的坐標為則，
解得：故向量的坐標為
【例5】已知向量，滿足，，求．
【答案】
【分析】根據題意，結合向量的坐標運算，求得和，利用數量積的坐標運算，即可求解.
【詳解】由題意向量，滿足，，因為，可得，
則，即，可得，
又由，可得，則，
即，可得，所以.
【對點實戰】
1.已知向量，且，則的值等于（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【分析】
利用向量數量積公式列方程，由此求得的值.
【詳解】
依題意.故選：D
2.若向量，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可；
解：因為，，
所以，解得．故選：A
3.已知點A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，則的值為________．
【答案】
【分析】
根據點的坐標求出向量的坐標，從而根據向量數量積的坐標運算求即可.
【詳解】
因為A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，所以，
所以.故答案為：.
4.已知，，，則（　　）
A． B． C．0 D．12
【答案】B
【分析】
根據向量的坐標運算計算．
【詳解】由已知，所以．故選：B．
二、長度與距離：模的坐標運算
【典型例題】
【例1】已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
根據平面向量模的坐標運算公式，即可求出結果.
【詳解】
因為向量，，所以.
故選：B.
【例2】已知向量則=______．
【答案】
【分析】先求出，再求.
【詳解】因為向量所以,
所以.故答案為：
【例3】已知，，求：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根據向量數量積的坐標運算即可直接求出答案；
（2）根據向量線性運算的坐標表示及向量數量積的坐標運算即可直接求出答案；
（3）根據向量線性運算的坐標表示及向量模的坐標表示即可求出答案.
（1）
因為，，所以.
（2）
因為，，所以，
所以.
（3）
因為，，所以，
所以.
【例4】設，已知兩個向量，，則向量長度的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先求出的坐標，再利用坐標求模長，根據三角函數式的范圍，得模長范圍，便可確定結果.
【詳解】由題得，，
，
，，，，長度的取值可以是，，．故選：ABC．
【例5】.設平面向量，若的模等于，試求k值.
【答案】或
【分析】
求出，表示出模，即可建立關系求解.
【詳解】
因為，因為的模等于，
所以，化簡得，解得或.
三、垂直
1..
2..
【典型例題】
【例1】．已知向量，，，則實數k的值為（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】
由，得，根據向量數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】
解：因為，，，
所以，即，解得，故選：C.
【例2】設，向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據給定條件利用向量垂直的坐標表示，求出即可計算作答.
【詳解】
向量，，，則，解得，即，
所以.故選：A
【例3】已知，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出的坐標，利用坐標表示即可求解.
【詳解】因為，，則，
因為，所以，解得：，故選：D.
【例4】設k為實數，已知，，若，求k的值．
【答案】
【分析】利用平面向量數量積的坐標運算，由垂直條件構造方程可直接解出
【詳解】∵, ∴
因為，所以
即,解得故答案為：
【例5】已知向量，，，若，則______.
【答案】
【分析】
利用向量的坐標運算求，然后結合已知條件利用向量的數量積的坐標運算公式即可求解.
【詳解】因為，，所以，
又因為，，所以，解得.故答案為：.
【例6】已知向量，求與向量垂直的單位向量的坐標．
【答案】或.
【分析】
設與向量垂直的單位向量為，根據列出方程組即可求出答案.
【詳解】設與向量垂直的單位向量為，
則，即，解得或，
所以與向量垂直的單位向量的坐標為或.
【例7】已知向量，．
（1）求證：．
（2）是否存在不等于0的實數k和t，使向量，，且？如果存在，試確定k與t的關系；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明詳見解析（2）存在，且.
【分析】
（1）根據向量和的坐標，利用兩個向量的數量積公式求得，可得．
（2）假設存在不等于0的實數k和t，使得成立，可得，根據向量的數量積公式化簡即可求出結果．
（1）證明：向量，，∴，∴．
（2）
解：假設存在不等于0的實數k和t，使得成立，則
整理得，又∵，，
∴，即，
所以存在非零實數k和t，使得成立；其關系為且.
【對點實戰】
1.已知向量，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依題意首先求出的坐標，再根據，得到，即可得到方程，解得即可；
【詳解】
解：因為，，，所以，因為，所以，解得，故選：A
2.已知向量，，若，則______．
【答案】10
【分析】
根據，求得，進而得到的坐標求解.
【詳解】
因為向量，，且，
所以，解得，
則，，
所以，故答案為：10
3.若向量，，向量與向量垂直，則實數的值為____．
【答案】
【分析】
利用向量垂直的坐標運算列方程，化簡求得的值.
【詳解】，，
由于與垂直，
所以.故答案為：
4.已知為坐標原點，，，與垂直，與平行，求點的坐標．
【答案】.
【分析】設，根據與垂直，與平行，列出方程組，解之即可得出答案.
解：設，則，
因為與垂直，與平行，所以，解得，
所以點的坐標為.
5.已知，，，求的坐標．
【答案】或
【分析】設，由題意列方程組，即可求出的坐標.
【詳解】設.因為，，，
所以，解得：或，
即或
6.已知向量，，且，，則______
【答案】
【分析】
根據求得，根據求得，從而求得.
【詳解】
由知，，解得，故，又
則，解得，
。故答案為：
四、求夾角
非零向量與的夾角：.
【典型例題】
【例1】設向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【分析】
根據題意先求出，再利用數量積關系即可求出.
【詳解】設，則，所有，解得，
所以.故選：D.
【例2】若向量，則與的夾角余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量數量積的坐標運算以及向量模的坐標運算即可求解.
【詳解】由，，則，，，
設與的夾角余弦值為，所以
.故選：C
【例3】已知向量，，.若，則與的夾角的大小為______.
【答案】##
【分析】由向量坐標運算可求得，代入向量夾角公式可求得，由此可得結果.
解：由題意得：，
設，則，即
故答案為：
【例4】已知且與的夾角為，則______
【答案】
【分析】
首先求出與的坐標，即可求出其模，再根據平面向量數量積的定義及坐標運算得到方程，解得即可；
【詳解】
解：因為，，，所以，，，因為與的夾角為，所以，即，即，解得
故答案為：
【例5】若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
不妨設，，則，，進而由夾角公式可求得結果.
【詳解】
不妨設，，則，，
所以，，，
設的夾角為，則，又，所以.
故選：C.
【例6】已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本題首先可根據題意得出，然后根據與的夾角為銳角得出，解得，最后根據與不平行即可得出結果.
【詳解】因為，，所以，因為與的夾角為銳角，
所以，解得，若與平行，則，解得，
則實數的取值范圍是，故選：B.
【例7】已知，若與的夾角為，則實數________.
【答案】
【分析】
利用向量夾角的坐標公式計算即可.
【詳解】
，則，由夾角公式可得：
整理得，且，解得.故答案為：
【例8】已知向量，，設.
（1）若，求當取最小值時實數的值;
（2）若，問:是否存在實數，使得向量與向量的夾角為 若存在，求出實數;若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）由題意可得，，從而可得，再利用二次函數的性質可得答案，
（2）由題意可得，再由可得，從而可求得，的值，從而可求出實數的值
【詳解】（1）當時，，則，∴=，∴當時，取得最小值.
（2）假設存在滿足條件的實數t.由條件得，∵，∴=，
=，，∴.∴，且，得.
∴存在滿足條件.
【對點實戰】
1.若向量，，則與的夾角為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
運用向量的平方即為模的平方求模，再求出，的數量積，再由向量的夾角公式，計算即可得到．
【詳解】，，，，，
設與夾角的余弦值為，，所以．故選：
2.已知，是單位向量，且，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據平面向量夾角坐標公式求解即可．
【詳解】
由題意可知，，
則解得故選：A
3.設向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【分析】
根據題意先求出，再利用數量積關系即可求出.
【詳解】設，則，所有，解得，
所以.故選：D.
4.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由已知得且與不平行，根據向量的坐標運算可得選項.
【詳解】
因為與的夾角為銳角，所以且與不平行，即且，解得且，
所以實數的取值范圍是，
故選：D.
5.設為實數，已知向量，.若，則向量與的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根據得到，求得值，確定，再計算與的數量積及模長，即求得兩向量夾角的余弦值.
【詳解】
由題意可知，由，可得，即，解得，
所以，所以，
所以，又 ，
所以.
故選：A.
6.已知，，和的夾角為150°，則實數______．
【答案】
【分析】
根據和的夾角列方程，由此求得的值.
【詳解】依題意，解得.故答案為：
7.已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量與的夾角為銳角，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）且.
【分析】
（1）由垂直的坐標表示可得；
（2）由且與不同向可得．
【詳解】
解，
，
解得.
向量與的夾角為銳角，且與不同向
解得且. (沒有扣2分）
五、投影的坐標表示
向量在方向上的投影：設為、的夾角，則為在方向上的投影.
【典型例題】
【例1】已知向量，向量，則向量在方向上的投影向量的模為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根據在方向上的投影的計算公式求出，即可求出投影向量，從而求出向量的模即可求解．
解：，所以，
在方向上的投影為，所以在方向上的投影向量為，其模為故選：．
【例2】向量在向量上的射影為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用數量積的幾何意義直接求解即可
【詳解】向量在向量上的射影為
，故選：D
【例3】已知點A（-1，1） B（1，2） C（-2，-1） D（3，4），則向量在方向上的投影為___________.
【答案】
【分析】
求出，，再根據投影的定義即可得出答案.
解：，
所以向量在方向上的投影為.故答案為：.
【例4】已知點，，，，與同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據所給點的坐標求出向量，的坐標及模長，再求出與同向的單位向量，最后根據投影向量的定義求解.
【詳解】
由題知點，，，，
有， ，
，.
與同向的單位向量為.
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故選：B.
【例5】設向量，．若，，則______，向量在向量上的投影向量為______．
【答案】13
【分析】
由向量的坐標運算求出向量、的坐標，由向量數量積的坐標運算即可求的值，根據投影向量的計算公式即可求向量在向量上的投影向量.
【詳解】因為向量，，所以，
，所以，
由，可得：，，所以，
向量在向量上的投影向量為：，
故答案為：；.
【例6】已知向量滿足,,且在方向上的投影與在方向上的投影相等,則等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量數量積的幾何意義可得，進而求出向量的夾角，再利用向量數量積求出向量的模即可.
【詳解】
設兩個向量的夾角為,則,
從而,,所以.
故選：A.
【對點實戰】
1.已知，，則在方向上的數量投影為______．
【答案】
【分析】
根據題意，結合向量的投影公式，即可求解.
【詳解】
根據題意，可知在方向上的數量投影為.
故答案為：.
2.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，則向量的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
設，根據，在向量上的投影相等，得到，進而得到，再由，得到，聯立求解.
【詳解】設，因為，在向量上的投影相等，所以，即 ，
所以 ，即 ，即，因為，
所以，即，所以，
解得，所以.故選：AC
3.已知向量，，則在上的投影向量坐標為___________.
【答案】
【分析】
根據平面向量的坐標運算與數量積定義，計算投影即可得到答案
【詳解】向量，，則在上的投影為
又在軸上，故在上的投影向量坐標為.故答案為：
4.設，若 在方向上的投影為 , 且在 方向上的投影為3，則和 的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
試題分析：由向量的數量積可知，由 在 方向上的投影為 ，解得 ，在 方向上的投影為 ，解得 ，則 ．
所以和的夾角等于．故選：A
5.已知向量,在上的投影為______
【答案】-1
【分析】
由已知及向量數量積性質,結合可求，然后代入可求在上的投影．
【詳解】
，，
,
,
在上的投影為，故答案為-1．
六、坐標應用：建系設坐標技巧
有模長，可以適當的設置對應向量點的坐標，作為向量計算的一個有用的技巧
【典型例題】
【例1】已知平面向量，，滿足，，則的最大值是_______
【答案】##
【分析】
先求出向量，的夾角，從而可設，得到點在圓上，由，根據直線與圓的位置關系可得答案.
【詳解】設向量，的夾角為 則。，則，則
則不妨設。由可得,即點在圓上。，則。即當滿足時，求的最大值.
由直線，可得當直線在軸上的截距最大時，取得最大值.
又當直線與圓相切時，直線在軸上的截距取得最值.
由，解得，所以的最大值為.
故答案為：
【例2】在矩形中，，頂點分別在軸 軸的正半軸上（含原點）滑動，且矩形位于第一象限，則的最大值為___________.
【答案】6
【分析】
如圖建立平面直角坐標系，設，表示兩點坐標，計算，結合同角三角函數關系以及輔助角公式，即得解
【詳解】如圖所示，設
則由于故
其中：
故，當，即時等號成立
故的最大值為6。故答案為：6
【例3】已知正方形的邊長為2，點是邊上的動點，則的值為___________；的最大值為___________．
【答案】4 4
【分析】
分別以為軸建立平面直角坐標系，設，得出向量，，的坐標，利用向量數量積的坐標運算得出答案.
【詳解】如圖分別以為軸建立平面直角坐標系.
則，設
所以，, 則
，由所以當時，的最大值為4
故答案為：4，4
【例4】已知，向量滿足，當向量，夾角最大時，_________．
【答案】
【分析】
設=（1，0），=（x，y），把已知等式用坐標表示得出的關系，從而把用表示，再求出兩向量夾角的余弦值，由換元法和函數的性質得出最小值即得向量夾角的最大值，由此可得.
【詳解】設=（1，0），=（x，y），∵，∴，化簡后可得，，
∴，∴
設t=，即0取得最小值，即向量，夾角最大，
∴．故答案為：
【例5】在菱形中，，，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標系，設, 得到是的中點，根據已知求出再根據即得解.
【詳解】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，因為因為，所以,即是的中點，
所以所以，由題知.
故故選：D
【例6】在平行四邊形中，，，，且在邊上，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根據向量的數量積的運算，求出，再建立坐標系，得到的表達式，利用二次函數的性質求出函數的最小值，問題得以解決．
解：平行四邊形中，，，，點在邊上，，
，，，以為原點，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，
建立如圖所示的坐標系，，，，、、設，則，，，，
設，則在上單調遞減，在上單調遞增，
，則的最小值是，故選：．
【例7】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E與M，N分別是AB，AC的三等分點，且，則cosA＝______，＝______.
【答案】
【分析】
可取邊的中點為，然后以點為原點，以直線為軸，建立平面直角坐標系，并設，然后可得出，，的坐標，進而根據定比分點坐標公式即可得出，，，的坐標，從而得出向量的坐標，從而根據即可求出，然后即可求出向量的坐標，從而可求出和的值．
【詳解】
取的中點為，以點為原點，直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，，則：，，
，，
，，解得，
，，，
，．故答案為：．
【對點實戰】
1.已知中是直角，，點是的中點，為上一點.
（1）設，，當，請用，來表示，.
（2）當時，求證：.
【答案】（1），（2）證明見解析
【分析】
（1）利用向量的線性運算求解；
（2）以點為坐標原點，以，為，軸，建立如圖所示平面直角坐標系，用數量積的坐標表示計算．
（1）∵，，點是的中點，∴，∴，
∵.
（2）以點為坐標原點，以，為，軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
設，∴點坐標為，另設點坐標為，∵點是的中點，
∴點坐標為，又∵，∴，∴，，
所以，，所以，∴.
2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，點E為線段BC的中點，點F為線段CD上的動點，則的取值范圍是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算，轉化為一次函數，根據單調性求范圍即可.
【詳解】如圖建立平面直角 ，
則A(0，0)，E(2，1)，設F(x，2)(0≤x≤2)，所以=(2，1)，=(x，2)，因此=2x+2，
設f(x)=2x+2(0≤x≤2)，f(x)為增函數，則f(0)=2，f(2)=14，故2≤f(x)≤14，的取值范圍是[2，14].
故選：A
3.在中， ，，為線段的三等分點，則＝( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據題意得出⊥，建立平面直角坐標系，表示出、，求出數量積的值．
【詳解】
中，||＝||，∴22，
∴0，∴⊥，
建立如圖所示的平面直角坐標系，
由E，F為BC邊的三等分點，則A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），
∴（，），（，），∴+．故選：C
4.已知向量，，滿足，，，的最大值，最小值分別為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由可計算向量，夾角，設，結合夾角和可求的坐標，設，根據已知條件可得出向量所對的點的軌跡為圓，由圓的性質即可求解，，即可求解.
【詳解】設向量，夾角為，由可得，即
所以解得：，因為，所以，
設，則，設，則，，
，
即，以向量所對的點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
，所以，，
所以，故選：B.
5.．已知矩形ABCD，，，點P為矩形內一點，且，則的最大值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐標系寫出各點坐標，因為，所以點P在單位圓上，設出P點坐標，再利用向量的加法、乘法坐標運算求得三角函數表達式，結合角的范圍求得最大值即可．
【詳解】以點A為原點，AB所在直線為為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
因為，所以點P在第一象限內的單位圓上，可設P，，
又，則，，，則，所以
，而，所以當，即時，取得最大值為2.故選：B.
6.已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根據數量積可求出向量與的夾角，然后利用坐標法求解即可.
【詳解】
設與的夾角為，，
因為，所以，所以，
設，，設，則，，
由，得，即，
所以，所以，所以的最大值為.
故選：D
七、三角形中的計算
【典型例題】
【例1】已知點A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）當m＝﹣3時，求向量與夾角的余弦值；
（2）若A，B，C三點構成以A為直角頂點的直角三角形，求m的值．
【答案】（1） ；（2）．
【分析】
（1）求出向量，的坐標，運用向量的夾角公式，計算即可得到；
（2）運用向量垂直的條件，即為數量積為0，計算即可得到m．
【詳解】
解：（1）點A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4），
則，，，
則向量與夾角的余弦值為；
（2）A，B，C三點構成以A為直角頂點的直角三角形，
則有⊥，由于，，
則，解得．
【例2】在中，，，且的內角B為直角，則的值為______．
【答案】
【分析】
根據題意，求出向量的坐標，結合，即可求解.
【詳解】
根據題意，得，因為為直角，所以，即.
故答案為：.
【例3】在中，，，，為邊上的高，求與點的坐標．
【答案】，.
【分析】
設，由與共線、可構造關于的方程組，解方程組即可求得點坐標，由向量模長坐標運算可求得.
【詳解】
設，則，，，
在直線上，即與共線，存在實數，使得，
即，，即，；
，，即，；
由得：，即，，；
，.
【例4】在△ABC中，AB=6，AC=4，∠A=120°，，則的最小值為__________，若，則m=____________．
【答案】
【分析】
以A為原點，方向為x軸正方向建立坐標系，由可得，即得解.
【詳解】
以A為原點，方向為x軸正方向建立坐標系，則A（0，0），B（6，0），，
由可得，
則，即最小值為，當時等號成立；
當時，，解得.
故答案為：；.
【例5】在中，底邊上的中線，若動點滿足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知條件可知A、P、D三點共線，結合D為中點，可表達出的函數關系為一個二次函數，再配成頂點式可求出最值；
（2）建系，將轉化為坐標運算，可得到一個二次函數，根據P的范圍可求得答案.
【詳解】
∵，
∴A、P、D三點共線
又∵，
∴在線段上.
∵為中點，設，則，，
∴====，
∴的最大值為2
（2）如圖，以D為原點，BC為軸，為軸，建立坐標系，
∵，，∴，
設，則∴=，
∵，∴
【例6】在中，，點.
（1）若，且A、B、C能構成直角三角形，求點B的坐標；
（2）x軸上是否存在點B、C，滿足？若存在，求出點B、C的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）點B的坐標為或或或；
（2）存在，、或、.
【分析】
(1)根據題意，分別討論和兩種情況，結合向量的坐標公式，即可求解；
(2)根據題意，設點B，C的坐標，結合向量的坐標運算公式列出方程組，即可求解.
【詳解】
(1)設點，則，，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
當時，，∴.
又∵，∴或2.
∴點B的坐標為或.
當時，，∴.
又∵，∴.
∴點B的坐標為或.
綜上所述，點B的坐標為或或或.
(2)依題意可設點，，則，.
∵，，∴，，
∴或，∴點B、C的坐標分別為、或、.
【例7】在直角三角形中，，，是斜邊上的兩點.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量基本定理即線性運算將用表示，從而求得；
（2）以點為原點，，為，軸建系，設，，，利用坐標求出數量積，即可得出的取值范圍.
【詳解】
解：（1）∵，∴，∴，
所以，故.
（2）以點為原點，，為，軸建系，，，，
直線所在方程為，設，，
由，得，不妨設，∴，.
，
當或時，取得最大值，當時，取得最小值，所以的取值范圍為.
八、向量最值（難點）
【典型例題】
【例1】已知平面向量，，，點M是直線OP上的一個動點，求的最小值及此時的坐標.
【答案】取最小值，此時
【分析】
設.由與共線求得，把表示成關于y的函數，利用二次函數求最值即可.
【詳解】
設.
因為與共線，所以，即.
由，，
得.
當時，點取最小值，此時.
【例2】已知點為坐標原點，向量，且，則的最小值為____________.
【答案】
【分析】
由已知列出關于和的等式，再結合消去或者得到根號下關于或者二次函數，轉化為求二次函數的最小值再開根號即可.
【詳解】
解：因為，且
則，即
而
當時，故答案為：.
【例3】已知是坐標原點
（1）當A，B，C三點共線時，求的值．
（2）當取何值時，取最小值？并求出最小值
【答案】（1）（2）時，最小值為
【分析】
（1）首先求出向量、的坐標，依題意，根據平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可；
（2）首先表示出向量，的坐標，再根據數量積的坐標表示得到關于的二次函數，根據函數的性質計算可得；
（1）
解：因為，所以，，因為三點共線，所以，交集，解得
（2）解：因為，所以，所以
所以當時，
【例4】點是邊長為2的正六邊形內或邊界上一動點，則的最大值與最小值之差為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標系，將向量的運算轉化為坐標的運算以實現簡化.
解：如圖，以為軸，為軸建立平面直角坐標系，則，，設，
在中，∵，，∴，高，∴，∴，，
∵，，∴，∵，∴，
∴最大值與最小值之差為8.故選：D.
【例5】是邊長為2的正方形的內切圓內部（含邊界）的一動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
法1：利用向量數量積的幾何意義求最值；（2）以圓的圓心為原點建立如圖所示坐標系，轉化為向量數量積的坐標表示求取值范圍.
【詳解】
法1：幾何意義為在方向上的投影與的乘積，由圖可知，當與重合時，在上的投影最大，最大值為1，當與重合時，在上的投影最小，最小值為，所以．
法2：如圖，以圓的圓心為原點建立如圖所示坐標系，則，，，設，則，，則.
故選：A．
【例6】在等腰梯形中，是腰上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，用坐標表示出，即可求出答案
解：如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，則由題意可得，設，其，則，所以，
所以，所以當時，取最小值，故選：C
【例7】直角三角形中，，，點，分別為斜邊上的兩個動點，且，設的取值范圍為，則函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
建立坐標系，根據向量積的坐標運算，再結合二次函數求最值即可.
詳解】以點為坐標原點，分別以，所在直線為軸，軸建立平面直角坐標系如右圖所示：
則，，，設，，，
則，，所以，
結合，所以，，所以，所以的取值范圍為.
又因為函數在上為增函數，所以當時，該函數取得最大值，故選：B
【例8】設直線，互相垂直于，，是直線上的兩個定點，滿足，、是直線上的兩個動點，滿足，若的最小值是，則______．
【答案】2
【分析】
根據題意，設直線，分別為平面直角坐標系中的軸與軸，結合向量的坐標運算即可求解.
【詳解】
根據題意，設直線，分別為平面直角坐標系中的軸與軸，
設，，由，得，由，得，
故，
因此當時，取最小值，故 ，即，
因此.故答案為：.
【對點實戰】
1已知向量，，且，，求向量的坐標．
【答案】
【分析】
設向量的坐標為，用坐標表示，，聯立方程組即得解
【詳解】由題意，設向量的坐標為則，
解得：故向量的坐標為
2．已知坐標平面內，，，P是直線OM上的一個動點．當取最小值時，求的坐標，并求的值．
【答案】；
【分析】
由點在直線上，設，再計算出的坐標，由數量積的坐標運算求出的最小值時的的值，即可求出的坐標，再根據向量的夾角公式可求出的值
【詳解】
點在直線上，即與共線，
設，則，，
當時，取得最小值，此時，，
.
3,。如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為AB的中點.以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點F.若P為劣弧上的動點，則的最小值為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先以為原點，直線，分別為軸，建立直角坐標系，設，，，，得到，再利用三角函數的性質求解最值即可.
【詳解】
以為原點，直線，分別為軸，建立直角坐標系，如圖所示：
設，，由題知：，，
所以，，所以
，.
當時，取得最小值，.
故選：C
4.已知是邊長為2的正三角形，點為所在平面內的一點，且，則長度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通過建立直角坐標系，利用向量的坐標表示結合基本不等式解決向量模長問題.
【詳解】
如圖，以的中點為原點，，所在直線分別為軸，
軸建立直角坐標系，即，，，
則，.
設，，，，
所以.設，，解得，，
則，所以長度的最小值為.故選：B
5.在中，，，，點P是線段上一動點，則的最小值是______.
【答案】
【分析】
建立如圖所示的直角坐標系，根據題意求得各點坐標，利用向量的坐標運算求得數量積，再結合二次函數求最值即可得解.
【詳解】
在中，由余弦定理得，所以是直角三角形，
以點A為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，
設點P坐標為，，，，，直線對應一次函數為，
所以，，，
，對稱軸，當時，取得最小值.故答案為：

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