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6.4.1-6.4.2平面幾何中的向量方法和向量的物理應用
本節課知識點目錄：
平面幾何中的向量方法1：長度；
平面幾何中的向量方法2：角度。
平面幾何中的向量方法3：判斷三角形形狀。
平面幾何中的向量方法4：求面積
平面幾何中的向量方法5：四心
平面幾何中的向量方法6：證明題
物理應用：受力分析
物理應用：“渡河”等
一、平面幾何中的向量方法1：長度
用向量方法解決平面幾何問題：
1.適當的選擇平面幾何與向量的聯系點，如建系、三角代換、幾何意義等，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題．
2.通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題．
3.把運算結果轉化成幾何關系．
【典型例題】
【例1】在平行四邊形中，，，為的中點，若，則的長為
A．1 B． C． D．
【例2】已知是的重心，若，，則的最小值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【例3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為______.
【例4】矩形ABCD中，，，點P為矩形ABCD內（包括邊界）一點，則的取值范圍是________．
【例5】已知外接圓的圓心為O，半徑為1.設點O到邊，，的距離分別為，，.若，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【例6】設正數，，滿足，，，是以為圓心的單位圓上的個點，且.若是圓所在平面上任意一點，則的最小值是
A．2 B．3 C． D．
【對點實戰】
1.如圖，在中，，，，為邊的中點，且，則向量的模為（ ）
A． B． C．或 D．或
2.已知矩形ABCD的一邊AB的長為4，點M，N分別在邊BC，DC上，當M，N分別是邊BC，DC的中點時，有.若，x+y＝3，則線段MN的最短長度為（ ）
A． B．2 C．2 D．2
3.已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
4.在中，，點滿足，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5.已知為等邊三角形，，所在平面內的點滿足，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、平面幾何中的向量方法2：角度
1.利用向量數量積計算公式：
2.最常用的計算思維：兩邊平方
【典型例題】
【例1】已知是外接圓的圓心，若，則_______
【例2】已知外接圓圓心為， G為所在平面內一點，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】中，若，，點滿足，直線與直線相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【例4】在中，，點滿足，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例5】在中，點D滿足且，則當角A最大時，cosA的值為（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知的重心為點P，若，則角B為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知向量與滿足，則與的夾角為______.
2.已知菱形中，，，點為上一點，且，則的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3.直角三角形中，，，，M為的中點，，且P為與的交點，則（ ）
A． B． C． D．
三、平面幾何中的向量方法3：判斷三角形形狀
【典型例題】
【例1】若，則為
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形
【例2】已知中，，則的形狀為
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【例3】四邊形ABCD中，，則四邊形一定是（　?。?br/>A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
【例4】若平面四邊形滿足，在方向上的數量投影是0，則該四邊形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【例5】設平面上有四個互異的點，若，則的形狀一定是_______.
【例6】在中，若，且，則的形狀為
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不對
【例7】已知，若對任意，恒成立，則為（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定
【例8】在中，為的中點，為邊上靠近點的三等分點，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.在中，角，，所對的邊分別為，，且，，，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能判定
2.在中,,,且,則是
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
3.中,設,若,則的形狀是
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
4.P是所在平面內一點，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
5.在中，若，則為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定
6.在中，，則的形狀為（ ）．
A．鈍角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．不確定
7.已知在四邊形中， ，則四邊形的形狀是
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．以上都不對
8.已知在四邊形ABCD中，，且||=||，tan D=，判斷四邊形ABCD的形狀.
四、平面幾何中的向量方法4：求面積
【典型例題】
【例1】在四邊形中，，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．2
【例2】已知點P為內一點，若F為AC中點，G為BC中點，___________．的面積之比為_____________．
【例3】已知和分別為的外心和重心，且，若，則面積的最大值為___________
【例4】設點是所在平面內動點，不在上，滿足，且（，）， ，若，則的面積的最大值______．
【例5】如圖，在中，，分別為邊，上的點，且，，為上任意一點，實數，滿足，設，，，的面積分別為，，，，記，，，則當取最大值時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知點O是內一點，滿足，，則實數m為（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【例7】已知的外接圓半徑為1，圓心為點，且，則的面積為
A． B． C． D．
五、平面幾何中的向量方法5：四心
四心的向量表示：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的內心.(其中 為的三邊)
【典型例題】
【例1】在中，角，，所對的邊分別為，，，點為所在平面內點，滿足，下列說法正確的有（ ）
A．若，則點為的重心
B．若，則點為的外心
C．若，，，則點為的內心
D．若，，，則點為的垂心
【例2】已知點O為△ABC所在平面內一點，且，則O一定為△ABC的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【例3】設O是所在平面內一定點,P是平面內一動點,若,則點O是的
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【例4】已知，，，，為外接圓上的一動點，且，則的最大值是（　?。?br/>A． B． C． D．
【例5】過內一點任作一條直線，再分別過頂點作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心
【例6】在中，，，且，，則點的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．內心
C．外心 D．垂心
【例7】已知點是銳角的外心，，，，若，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
六、平面幾何中的向量方法6：證明題
【典型例題】
【例1】如圖，在中，點C分為，點D為中點，與交于P點，延長交于E，求證：.
【例2】如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D為BC的中點，E是AB上的一點，且，求證：.
【例3】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是邊BC的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．
【例4】已知D，E，F分別為三邊的中點.求證：相交于一點.
【例5】在△中，BC，CA，AB的長分別為a，b，c，試用向量的方法證明：．
【例6】如圖，點D，E，F分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.
七、物理應用：受力分析
1.物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．
2.向量的加減法運算體現在力、速度、加速度、位移的合成與分解．
3.動量mv是向量的數乘運算．
4.功是力F與所產生的位移s的數量積．
【典型例題】
【例1】在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力為，兩個拉力分別為，，且，與夾角為，當兩人拎起行李包時，下列結論正確的是（ ）
A． B．當時，
C．當角越大時，用力越省 D．當時，
【例2】如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為的物體，恰好使得系統處于平衡狀態，求正數的取值范圍.
【例3】體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為360N，則該學生的體重（單位kg）約為（ ）(參考數據：取重力加速度大小為10m/s2，)
A． B．62 C． D．
【例4】(多選題)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（ ）
A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變
【例5】兩個力，作用于同一質點，使該質點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：
（1），分別對該質點做的功；
（2），的合力對該質點做的功.
【例6】已知三個力，，，同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現加上一個力，則______.
【例7】如圖，重為的勻質球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端固定在墻上，端用水平繩索拉住，板長，木板與墻夾角為，如果不計木板重，當為時，求繩的拉力大小.
【對點實戰】
1兩個大小相等的共點力，當它們夾角為時，合力大小為，則當它們的夾角為時，合力大小為
A． B． C． D．
2.一個物體受到同一平面內三個力F1，F2，F3的作用，沿北偏東45°方向移動了8m，已知|F1|=2N，方向為北偏東30°，|F2| =4N，方向為北偏東60°，|F3| =6N，方向為北偏西30°，則這三個力的合力所做的功為(　　)
A．24 J B．24J
C．24J D．24J
3.如圖，一個力作用于小車G，使小車G發生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向的夾角為60°，則在小車位移方向上的正射影的數量為 牛，力做的功為_____牛米．
4.如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重為的物體，則邊上點處的受力情況是___________.
5.已知力，滿足，且，則________N.
6.如圖所示，把一個物體放在傾角為的斜面上，物體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力，已知，求的大小.
八、物理應用：“渡河”等
【典型例題】
【例1】如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為米，一艘船從河岸的地出發，向河對岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，船的速度與水流速度的合速度為，那么當航程最短時，下列說法正確的是（ ）
A．船頭方向與水流方向垂直 B．
C． D．該船到達對岸所需時間為分鐘
【例2】一質點受到平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態.已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為（ ）
A．6 B．2 C．8 D．
【例3】某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.
【例4】長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是_____.（寫出所有正確答案的序號）
①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變小；③船的浮力不斷變?。虎艽母×Ρ３植蛔?
【例6】某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.
【對點實戰】
1河中水流自西向東每小時10 km，小船自南岸A點出發，想要沿直線駛向正北岸的B點，并使它的實際速度達到每小時10 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為(　　)
A．西偏北30°，速度為20 km/h
B．北偏西30°，速度為20 km/h
C．西偏北30°，速度為20 km/h
D．北偏西30°，速度為20 km/h
2.河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度駛向對岸，則小船的靜水速度大小為_______m/s．
3.若渡船在靜水中的速度大小為，河寬為，水流的速度大小為，則（1）此船渡過該河所用時間的最小值是多少？（2）此船渡過該河的位移最小時，需要多長時間才能從此岸到達彼岸？
4.帆船比賽是借助風帆推動船只在規定距離內競速的一項水上運動，如果一帆船所受的風力方向為北偏東30°，速度為20 km/h，此時水的流向是正東，流速為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．
6.4.1-6.4.2-平面幾何中的向量方法和向量的物理應用
本節課知識點目錄：
平面幾何中的向量方法1：長度；
平面幾何中的向量方法2：角度。
平面幾何中的向量方法3：判斷三角形形狀。
平面幾何中的向量方法4：求面積
平面幾何中的向量方法5：四心
平面幾何中的向量方法6：證明題
物理應用：受力分析
物理應用：“渡河”等
一、平面幾何中的向量方法1：長度
用向量方法解決平面幾何問題：
1.適當的選擇平面幾何與向量的聯系點，如建系、三角代換、幾何意義等，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題．
2.通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題．
3.把運算結果轉化成幾何關系．
【典型例題】
【例1】在平行四邊形中，，，為的中點，若，則的長為
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
作出圖形，根據平面向量基本定理，得到，再由題中數據，根據向量數量積的運算，即可求出結果．
【詳解】
解：如圖．
．∴，即．故選：D．
【例2】已知是的重心，若，，則的最小值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知，得出，，從而，利用不等式求其最小值，得出的最小值．
【詳解】
，，，
為三角形的重心，，
，
從而的最小值是，
故選：D
【例3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為______.
【答案】7
【解析】
【分析】
以為軸的正方向建立直角坐標系，設，然后表示出，然后可得答案.
【詳解】
以為軸的正方向建立直角坐標系，如圖所示：
設，
則
，當時取得最小值7
故答案為：7
【例4】矩形ABCD中，，，點P為矩形ABCD內（包括邊界）一點，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
由題意，取中點為，則有，可知求解的范圍就是的范圍.
【詳解】
由題意，取中點為，則有，
，
如圖所示，當點與點或者點重合時，取最大值
當點與點重合時，取最小值0
故答案為：
【例5】已知外接圓的圓心為O，半徑為1.設點O到邊，，的距離分別為，，.若，則（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根據題意：，則有，進而移項進行兩兩組合，
，進一步可以化簡為：，設出三邊的中點，結合圖形，探討三角形的形狀，最后得到答案.
【詳解】
∵外接圓半徑為1，∴，∴，
∴，
∴，設邊，，的中點分別為M,N,P，
∴,同理：，如圖1：
若點O不與M,N,P任何一點重合，則，同時成立，顯然不合題意；
如圖2：
不妨設點O與點M重合，由，根據中位線定理有由AB⊥AC，則，
∴.
故選：B.
【例6】設正數，，滿足，，，是以為圓心的單位圓上的個點，且.若是圓所在平面上任意一點，則的最小值是
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據數量積及建立不等式，即可求出最小值.
【詳解】
是以為圓心的單位圓上的個點,
,
故
而，，
，
故，
當且僅當點與點重合時等號成立，
即的最小值是,
故選：B
【對點實戰】
1.如圖，在中，，，，為邊的中點，且，則向量的模為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
由條件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.
【詳解】
因為，，，所以.
因為，
所以
故選：B
2.已知矩形ABCD的一邊AB的長為4，點M，N分別在邊BC，DC上，當M，N分別是邊BC，DC的中點時，有.若，x+y＝3，則線段MN的最短長度為（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】
先根據M，N滿足的條件，將化成的表達式，從而判斷出矩形ABCD為正方形；再將，左邊用表示出來，結合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.
【詳解】當M，N分別是邊BC，DC的中點時，
有
所以AD＝AB，則矩形ABCD為正方形，設，則
則，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.
故NC+MC＝4，則
（當且僅當MC＝NC＝2時取等號）.故線段MN的最短長度為故選：D.
3.已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
令，，根據題意作出圖形，結合圖形將已知條件轉化，得到，然后數形結合求的最大值.
【詳解】
如圖:令，，則，故.
因為，所以，記的中點為，所以點在以為直徑的圓上.
設，連接，因為，所以點在直線上.
因為，所以，即，所以.
結合圖形可知，當時，即取得最大值，且.
故選：D
4.在中，，點滿足，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取中點O，由已知可確定，利用向量的運算和長度關系將轉化為，由此構造方程求得.
【詳解】
取中點O，連接，
，即，M為BC邊上靠近C的三等分點，
，
，，，
又，，.故選：C.
5.已知為等邊三角形，，所在平面內的點滿足，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】計算出的值，利用向量模的三角不等式可求得的最小值.
【詳解】，所以，，
由平面向量模的三角不等式可得.
當且僅當與方向相反時，等號成立.
因此，的最小值為.故選：C.
二、平面幾何中的向量方法2：角度
1.利用向量數量積計算公式：
2.最常用的計算思維：兩邊平方
【典型例題】
【例1】已知是外接圓的圓心，若，則_______
【答案】.
【解析】
設外接圓的半徑為，根據，得到，然后兩邊平方化簡得到，再由求解.
【詳解】如圖所示：設外接圓的半徑為，
因為,所以，∴，
∴，∴，因為，
所以，解得.故答案為：
【例2】已知外接圓圓心為， G為所在平面內一點，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取的中點，根據題意，可得為的重心，則G在AD上，又，可得，所以，，，四點共線，根據三角形的性質，設，即可求得答案.
【詳解】
取的中點，連接AD， 由，知為的重心，則G在AD上，
所以，而，
所以，，，四點共線，所以，即，
不妨令，則，．所以．
故選：C．
【例3】中，若，，點滿足，直線與直線相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本題首先可構建直角坐標系，根據題意得出、、，然后根據、、三點共線以及、、三點共線得出，再然后根據向量的運算法則得出、，最后根據即可得出結果.
【詳解】
如圖所示，以點為原點，為軸構建直角坐標系，
因為，，所以，，，設，
因為、、三點共線，所以，，，因為，、、三點共線，所以，聯立，解得，，，因為，，所以，，因為，所以，故選：A.
【例4】在中，，點滿足，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取中點，由已知可確定，利用向量的運算和長度關系將轉化為，由此構造方程求得，進而得到所求結果.
【詳解】
取中點，連接，
，即，為邊上靠近的三等分點；
，
，，，
又，，，
，即為等邊三角形，.故選：C.
【例5】在中，點D滿足且，則當角A最大時，cosA的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根據題意得到點的軌跡，利用圓的切線的幾何性質求得最大時，的值.
【詳解】由于，所以在以為直徑的圓上（除兩點）.所以當直線與圓相切時，最大.
當直線與圓相切時，，
由于，設，則，.
，.故選：C
【例6】已知的重心為點P，若，則角B為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由的重心，可得，代入題中等式，結合不共線，可得，進而可求得，，求得角B即可.
【詳解】取的中點，由的重心為點P，可得，又，所以，
所以，即，
因為不共線，所以，故，
所以，故，又，所以，
因為，所以.故選：D.
【對點實戰】
1.已知向量與滿足，則與的夾角為______.
【答案】.
【分析】
根據向量的運算可將化簡得,即.再根據即可求得與的夾角,即可求得與的夾角.
【詳解】因為,兩邊同時平方可得,即所以
以與為長作矩形,如下圖所示:則,。所以即為與的夾角
因為。則。所以
故答案為:
2.已知菱形中，，，點為上一點，且，則的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
設與交于點，以為坐標原點，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標系，利用向量的夾角公式可得答案.
【詳解】
設與交于點，以為坐標原點，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標系如圖所示，則點，，，
∴，，則，
故選：D.
3.直角三角形中，，，，M為的中點，，且P為與的交點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設， 且與的夾角為， 由此可表示出和；結合已知可求出和，由此可求出，接下來根據向量數量積的運算公式即可解答.
【詳解】設， ，則，，，
設與的夾角為， ∵，，
∴，∴|，，
∴，.∵，∴.∵即為向量與的夾角，
∴，故.故選：C.
三、平面幾何中的向量方法3：判斷三角形形狀
【典型例題】
【例1】若，則為
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形
【答案】A
【解析】
根據數量積的運算法則推導得即可.
【詳解】
,,,為直角三角形.
故選：A
【例2】已知中，，則的形狀為
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據向量的運算法則可得,可得，即，得到答案．
【詳解】
根據向量的運算法則可得,所以，
所以，所以為直角三角形，故選B．
【例3】四邊形ABCD中，，則四邊形一定是（　?。?br/>A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
【答案】C
【分析】
根據及向量加法的平行四邊形法則可判斷四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷四邊形是矩形.
解：因為，由向量加法的平行四邊形法則知，線段是以為鄰邊的平行四邊形的對角線，
所以四邊形是平行四邊形，
又因，
所以四邊形是矩形.
故選：C.
【例4】若平面四邊形滿足，在方向上的數量投影是0，則該四邊形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】
首先根據向量相等判斷四邊形為平行四邊形，再根據投影為零得到對角線互相垂直，即可判斷；
【詳解】
解：因為，所以，所以平面四邊形為平行四邊形，
又，在方向上的數量投影是0，即，即，所以平行四邊形為菱形；
故選：C
【例5】設平面上有四個互異的點，若，則的形狀一定是_______.
【答案】等腰三角形
【分析】
根據的前式，可將進行拆解，利用向量減法公式進行化簡即可
【詳解】
∵
，
∴，∴為等腰三角形.
【例6】在中，若，且，則的形狀為
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不對
【答案】A
【分析】
由題中，結合三角形圖像找準向量夾角，得出基本關系式，再根據幾何關系進行求解
【詳解】
如圖所示.
，，.
∵，∴.作于，則，∴，∴為的中點，∴.同理可證，∴為等邊三角形.答案選A
【例7】已知，若對任意，恒成立，則為（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定
【答案】C
【分析】
在直線上取一點，根據向量減法運算可得到，由垂線段最短可確定結論.
【詳解】
在直線上取一點，使得，則，
.
對于任意，都有不等式成立，由垂線段最短可知：，即，
為直角三角形.故選：.
【例8】在中，為的中點，為邊上靠近點的三等分點，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圖形，用、表示向量、，由可得出，利用基本不等式求得的最小值，結合二倍角的余弦公式可求得的最小值.
【詳解】
如下圖所示：
，，
，則，
即，可得，當且僅當時，等號成立，
所以，.故選：D.
【對點實戰】
1.在中，角，，所對的邊分別為，，且，，，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能判定
【答案】B
【解析】
由向量平行可得出a，b，c的關系，進而可判斷出三角形的形狀.
【詳解】
，，可化簡為：，
所以的形狀為直角三角形.
故選：B.
2.在中,,,且,則是
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】
根據數量積的公式分析B為鈍角即可.
【詳解】
因為,所以,
所以.因為,,所以,所以B為鈍角,所以是鈍角三角形.無法判斷其是不是等腰三角形.
故選：C.
3.中,設,若,則的形狀是
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
【答案】C
【解析】
有題意可得，從而可判斷出，得為鈍角，從而得出答案．
解：∵，∴，∴角為鈍角，故選：C．
4.P是所在平面內一點，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
【答案】B
【分析】
根據平面向量的線性運算與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.
【詳解】
由，可得，即，
等式兩邊平方，化簡得，，
因此，是直角三角形.故選：B.
5.在中，若，則為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定
【答案】C
【分析】
利用平面向量的數量積的運算性質可得 ，從而可得答案．
【詳解】
解：在中， ，
，為等腰三角形，故選：C．
6.在中，，則的形狀為（ ）．
A．鈍角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．不確定
【答案】B
【分析】
根據向量運算可知三角形中中線與垂線重合，可知三角形為等腰三角形，即可確定三角形形狀.
【詳解】因為，所以，
即，
所以在中，與邊上的中線垂直，則，
同理，，
所以，是等邊三角形．故選：B
7.已知在四邊形中， ，則四邊形的形狀是
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．以上都不對
【答案】B
【解析】
計算得到，得到，為平行四邊形，得到答案.
【詳解】
，則.
設，故，為平行四邊形，故為梯形.
故選：.
8.已知在四邊形ABCD中，，且||=||，tan D=，判斷四邊形ABCD的形狀.
【答案】四邊形ABCD是菱形.
【解析】
【分析】
根據證得四邊形ABCD是平行四邊形，進而證出AB=BC，即可求出結果.
【詳解】
∵在四邊形ABCD中，，
∴AB//DC，且AB=DC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵tan D=，由于，∴∠B=∠D=60°.
又||=||，∴△ABC是等邊三角形.
∴AB=BC，故四邊形ABCD是菱形.
四、平面幾何中的向量方法4：求面積
【典型例題】
【例1】在四邊形中，，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意分析可知，四邊形為菱形且，然后求解四邊形的面積.
【詳解】
因為，所以四邊形為平行四邊形，
又，則平分，則四邊形為菱形.
且，由，則,
所以四邊形的面積為.
故選：A.
【例2】已知點P為內一點，若F為AC中點，G為BC中點，___________．的面積之比為_____________．
【答案】 5：3：2
【分析】
整理原式可得，又，可得解第一空；易證GF為三角形ABC的中位線，且，結合第一空結論，可得解第二空
【詳解】
因為，所以，
因為F為AC中點，G為BC中點，
所以，所以，
所以F、P、G三點共線，且
易知GF為三角形ABC的中位線，
設中PC邊上的高為，中PC邊上的高為，
所以，而，
所以的面積之比為。故答案為：，
【例3】已知和分別為的外心和重心，且，若，則面積的最大值為___________
【答案】
【分析】
根據重心和外心滿足的幾何性質，將進行轉化，找到點滿足的等量關系，然后求三角形的面積的最值．
【詳解】因為，是三角形的外心和重心，設為的中點，．
①，，
將上式代入①式得，
，所以，點在以的中點為圓心，半徑為的圓上．
故當時，面積的最大為．故答案為：．
【例4】設點是所在平面內動點，不在上，滿足，且（，）， ，若，則的面積的最大值______．
【答案】9
【分析】
以所在直線為軸，的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系：則，，設，，由得，由可得，，利用可得代入可得，利用換元法可得取得最大值，即中以為底的高的最大值為，由面積公式可得結果.
【詳解】
以所在直線為軸，的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系：
則，，
因為，所以為的外心，設，，
由得，化為，
由可得，
即為，，
聯立以上兩式解得，，
由可得，即，代入，可得，
令，則，
所以當即時，取得最大值，從而取得最大值，即中以為底的高的最大值為，
所以的面積的最大值為.故答案為：9
【例5】如圖，在中，，分別為邊，上的點，且，，為上任意一點，實數，滿足，設，，，的面積分別為，，，，記，，，則當取最大值時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由長度關系可確定，由，結合基本不等式可求得的最大值，并得到當時取得最大值，由此確定為中點；根據向量線性運算可得到，由此得到的值，代入可得結果.
【詳解】
，；
，，且，
，即，，
又，即，（當且僅當時取等號），
當時，為中點，
則由得：，，
.
故選：D.
【例6】已知點O是內一點，滿足，，則實數m為（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【分析】
將已知向量關系變為：，可得到且共線；由和反向共線，可構造關于的方程，求解得到結果.
【詳解】由得：設，則 三點共線
如下圖所示：與反向共線
本題正確選項：
【例7】已知的外接圓半徑為1，圓心為點，且，則的面積為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
試題分析：由變形可得,即,所以,由變形可得,故,所以,同理可得:,所以,選D.
五、平面幾何中的向量方法5：四心
四心的向量表示：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的內心.(其中 為的三邊)
【典型例題】
【例1】在中，角，，所對的邊分別為，，，點為所在平面內點，滿足，下列說法正確的有（ ）
A．若，則點為的重心
B．若，則點為的外心
C．若，，，則點為的內心
D．若，，，則點為的垂心
【答案】AC
【分析】
若，結合圖形以及平面向量的線性運算即可推出結果，若，，，結合圖形以及平面向量的線性運算即可推出結果.
【詳解】
解：若則，∴.取中點，連接，
∴.∴在的中線上，同理可得在其它兩邊的中線上，
∴是的重心.
若，，，則有，
延長交于，則，，
∴，設，則，
∵與共線，與，不共線，∴，，∴，
∴為的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線.∴是的內心.
故選：AC.
【例2】已知點O為△ABC所在平面內一點，且，則O一定為△ABC的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【答案】C
利用向量的等式關系，轉化成，利用向量加減法運算化簡得到，即證，再同理證得，即得是的垂心．
【詳解】
由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故選：C.
【例3】設O是所在平面內一定點,P是平面內一動點,若,則點O是的
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】
設的中點分別為，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出結論.
【詳解】
設的中點分別為，
，
，
所以，點在線段的垂直平分線上，
同理點在線段的垂直平分線上，
所以為的外心.
故選:B.
【例4】已知，，，，為外接圓上的一動點，且，則的最大值是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以的中點為原點，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設的坐標為，求出點的坐標，根據向量的坐標和向量的數乘運算得到，根據正弦函數的圖象和性質即可求出答案.
解：以的中點為原點，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則外接圓的方程為，設的坐標為，過點作垂直軸，
∵，∴，，∴，
∴，∵，∴，，
∵∴
∴，，∴，，
∴，其中，，
當時，有最大值，最大值為，故選B．
【例5】過內一點任作一條直線，再分別過頂點作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心
【答案】B
【分析】
本題采用特殊位置法，將直線特殊為過三角形頂點，從而可得解.
【詳解】
本題采用特殊位置法較為簡單.
因為過內一點任作一條直線，可將此直線特殊為過點A，則，有.
如圖：
則有直線AM經過BC的中點，
同理可得直線BM經過AC的中點，直線CM經過AB的中點，
所以點是的重心，
故選B.
【例6】在中，，，且，，則點的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．內心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】
過C作，交AB于H，取AB中點D，連接CD，所以，根據向量的線性運算法則，化簡可得，根據三角形的性質，分析即可得答案.
【詳解】過C作，交AB于H，取AB中點D，連接CD，如圖所示：
根據三角函數定義可得，
因為，所以，即，
即點P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點為該三角形的重心，
所以點的軌跡一定通過的重心.故選：A
【例7】已知點是銳角的外心，，，，若，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】
由題干條件及幾何關系，可得，，繼而構造等式，即得解
【詳解】
如圖所示，過點分別作，，垂足分別為，；則，分別為，的中點，∴，
；又，∴，
∵，∴，，
化為①，②，聯立①②解得，；
∴．
故選：B
六、平面幾何中的向量方法6：證明題
【典型例題】
【例1】如圖，在中，點C分為，點D為中點，與交于P點，延長交于E，求證：.
【答案】證明見解析.
【分析】
以點O為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設，，，，依題意可求出點的坐標，再根據點A，P，D共線可得，由點B，P，C共線，可得，由點O，P，E共線，可得，即可解出，從而證出．
【詳解】
以點O為坐標原點，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
設，，，，則.
因為點C分為，所以
因為點D為的中點，所以.
因為點A，P，D共線，所以.
又，，所以.
同理由點B，P，C共線，可得，
由點O，P，E共線，可得.解得.所以.
【例2】如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D為BC的中點，E是AB上的一點，且，求證：.
【答案】證明見解析
【分析】
以為基底，表示，，結合向量的運算可知，進而證得結論.
【詳解】
因為，所以，即，故.
【例3】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是邊BC的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
設，結合正弦定理求得，由此證得.
【詳解】
設，則.
由解得，
所以，
在三角形中，由正弦定理得，
為銳角，所以.
，在中，，
.
在中，.
在三角形中，，
由正弦定理得.
而，結合圖象可知均為銳角，
所以.
【例4】已知D，E，F分別為三邊的中點.求證：相交于一點.
【答案】證明見解析.
【分析】
設，直線交于點G，利用平面向量基本定理可得，所以G在中線上，即可得到答案；
【詳解】
設，直線交于點G.設，
則
，又，
所以解得
則.
又因為，所以，所以G在中線上，所以相交于一點.
【例5】在△中，BC，CA，AB的長分別為a，b，c，試用向量的方法證明：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
根據線段的幾何關系有＝＋，將上式兩邊點乘，結合平面向量數量積的運算律及其定義、正弦定理的邊角關系即可證結論.
【詳解】
∵＝＋，
∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosB＋||||cosC，
∴，則；
【例6】如圖，點D，E，F分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
根據＝，可得且，從而可得DE∥AF，即可證得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得證.
【詳解】
證明：因為＝，所以且，故四邊形AEDF是平行四邊形，
所以DE∥AF，則∠C＝∠BDE，
由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，
故△BDE∽△DCF.
七、物理應用：受力分析
1.物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．
2.向量的加減法運算體現在力、速度、加速度、位移的合成與分解．
3.動量mv是向量的數乘運算．
4.功是力F與所產生的位移s的數量積．
【典型例題】
【例1】在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力為，兩個拉力分別為，，且，與夾角為，當兩人拎起行李包時，下列結論正確的是（ ）
A． B．當時，
C．當角越大時，用力越省 D．當時，
【答案】B
【分析】
根據題意可得，則，再根據各個選項分析即可得出答案.
【詳解】
解：根據題意可得：，
則，
當時，，故A錯誤；
當時，，及，故B正確；
，因為在上遞減，
又因行李包所受的重力為不變，所以當角越大時，用力越大，故C錯誤；
當時，即，解得，
又因，所以，故D錯誤.
故選：B.
【例2】如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為的物體，恰好使得系統處于平衡狀態，求正數的取值范圍.
【答案】
【分析】
建立坐標系，設出坐標，把平衡關系轉化為向量關系，然后根據三角的相關公式整理出正數關于角的函數，再進行恒等變換求出參數的取值范圍.
【詳解】
如圖建立坐標系，記OB、OA與軸的正半軸的夾角
分別為，則由三角函數定義得，
，
由于系統處于平衡狀態，∴
∴ ，
【方法一】
移項，（1）、（2）平方相加得：，
即 ，
而存在正數使得系統平衡，∴△＝，
∴.（因滑輪大小忽略，寫成亦可，
不扣分．這時均為0）
由（*）解得，由（2）式知
∴，這是關于的增函數，
∴正數的取值范圍為 .
【方法二】
（1）、（2）平方相加得：，
由（1）知，，而
∴ 隨單調遞增，∴
（這里的銳角滿足，此時）
且（寫成不扣分，這時均為0）
∴從而，
∴，即，
【例3】體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為360N，則該學生的體重（單位kg）約為（ ）(參考數據：取重力加速度大小為10m/s2，)
A． B．62 C． D．
【答案】B
【分析】
由題作出學生處于如圖所示的平衡狀態受力示意圖，根據受力平衡知，兩胳膊的受力的合力與學生所受的重力大小相等，解該等式即可.
【詳解】
由題作出學生處于如圖所示的平衡狀態受力示意圖，
記為與的合力，則有，
其中，(單位kg)為學生的體重，
因為，與的夾角為，
所以.
又取，所以，.
把代入，可得.
故選：B.
【例4】(多選題)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（ ）
A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變
【答案】AC
【分析】
設水的阻力為f，繩的拉力為F，F與水平方向夾角為θ()，則由題意可得|F|cos θ＝|f|，然后逐個分析判斷即可
【詳解】
設水的阻力為f，繩的拉力為F，F與水平方向夾角為θ().則|F|cos θ＝|f|，
∴|F|＝.∵θ增大，cos θ減小，∴|F|增大.∵|F|sin θ增大，|F|sin θ加上浮力等于船的重力，
∴船的浮力減小.故選：AC
【例5】兩個力，作用于同一質點，使該質點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：
（1），分別對該質點做的功；
（2），的合力對該質點做的功.
【答案】
（1）對該質點做的功為（），對該質點做的功（）；
（2）（）.
【分析】
（1）根據題意，求出位移，結合功的計算公式，即可求解；
（2）根據題意，求出合力，結合功的計算公式，即可求解.
（1）
根據題意，，，，
故對該質點做的功（）；
對該質點做的功（）.
（2）
根據題意，，的合力，
故，的合力對該質點做的功（）.
【例6】已知三個力，，，同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現加上一個力，則______.
【答案】.
【解析】
根據平衡得合力為零，解得結果.
【詳解】
由題意得
故答案為：
【例7】如圖，重為的勻質球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端固定在墻上，端用水平繩索拉住，板長，木板與墻夾角為，如果不計木板重，當為時，求繩的拉力大小.
【答案】
【分析】
設球的重力為，球對板的壓力為，繩對板的拉力為，根據力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解.
【詳解】
設球的重力為，球對板的壓力為，繩對板的拉力為，
由已知得，由處于平衡狀態，以為杠桿支點，有.
又，，，
所以繩的拉力為.
【對點實戰】
1兩個大小相等的共點力，當它們夾角為時，合力大小為，則當它們的夾角為時，合力大小為
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
當它們夾角為時，結合平行四邊形法則可知，，當和的夾角為時，結合平行四邊形法則，可求出.
【詳解】設合力為，由平行四邊形法則可知，，
當和的夾角為時，由平行四邊形法則，，
故選:B.
2.一個物體受到同一平面內三個力F1，F2，F3的作用，沿北偏東45°方向移動了8m，已知|F1|=2N，方向為北偏東30°，|F2| =4N，方向為北偏東60°，|F3| =6N，方向為北偏西30°，則這三個力的合力所做的功為(　　)
A．24 J B．24J
C．24J D．24J
【答案】D
【詳解】
如圖，建立直角坐標系，
則F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，
則F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).
又位移s=(4，4)，
故合力F所做的功為W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 選D.
3.如圖，一個力作用于小車G，使小車G發生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向的夾角為60°，則在小車位移方向上的正射影的數量為 牛，力做的功為_____牛米．
【答案】1000
【解析】
【詳解】
∵||=50，且與小車的位移方向的夾角為60°，
∴在小車位移方向上的正射影的數量為||cos60°=50×=25（牛）．
∵力作用于小車G，使小車G發生了40米的位移，
∴力做的功w=25×40=1000（牛米）．
考點：向量在功、動量的計算中的應用.
4.如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重為的物體，則邊上點處的受力情況是___________.
【答案】大小為，方向與相同
【解析】
【分析】
從點處進行受力分析，進而畫出受力圖，即可得出結果.
【詳解】
解：如圖，在點處進行受力分析，由已知條件有，
根據平衡條件有，，
則，方向水平向右.
則邊上點處的受力情況是大小為，方向與相同.
故答案為：大小為，方向與相同.
5.已知力，滿足，且，則________N.
【答案】
【解析】
【分析】
將變形后平方得到相應結論，然后將平方即可計算對應的值.
【詳解】
由，可得，所以，化簡可得，
因為，所以，
所以.
故答案為
6.如圖所示，把一個物體放在傾角為的斜面上，物體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力，已知，求的大小.
【答案】的大小為60N，的大小為.
【分析】
作出力的分解示意圖，根據受力平衡以及解直角三角形，求得的大小.
【詳解】
依題意，作出力的分解示意圖.
在矩形OABC中，，
，
.
即的大小為60N，的大小為.
八、物理應用：“渡河”等
【典型例題】
【例1】如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為米，一艘船從河岸的地出發，向河對岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，船的速度與水流速度的合速度為，那么當航程最短時，下列說法正確的是（ ）
A．船頭方向與水流方向垂直 B．
C． D．該船到達對岸所需時間為分鐘
【答案】B
【分析】
分析可知，當船的航程最短時，，利用平面向量數量積可判斷ABC選項的正誤，利用路程除以速度可得航行時間，可判斷D選項的正誤.
【詳解】
由題意可知，，當船的航程最短時，，而船頭的方向與同向，
由，可得，，A選項錯誤，B選項正確；
，C選項錯誤；
該船到達對岸所需時間為（分鐘），D選項錯誤.
故選：B.
【例2】一質點受到平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態.已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為（ ）
A．6 B．2 C．8 D．
【答案】D
【分析】
根據向量的合成法則以及向量的模長公式，進行計算即可.
【詳解】
根據題意，得
，
的大小為.故選：D.
【例3】某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.
【答案】實際風速的大小是，為西北風.
【解析】
【分析】
設實際風速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風速為，當速度為時感到的風速為，作出對應的圖形，根據向量的線性運算及向量的模長公式，即可得解.
【詳解】
設實際風速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風速為，當速度為時感到的風速為，
如圖，設，，.
∵，∴，這就是速度為時感到的由正北方向吹來的風速.
∵，∴，這就是速度為時感到的由東北方向吹來的風速，
由題意知，，，∴為等腰直角三角形，
∴，，即.
∴實際風速的大小是，為西北風.
【例4】長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
設船的實際速度為，根據題意作圖，設與南岸上游的夾角為，由題意可得的值，再計算的值即可.
【詳解】
設船的實際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，
要使得游船正好到達處，則，即，
又因為，所以，
故選：D.
【例5】如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是_____.（寫出所有正確答案的序號）
①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變?。虎鄞母×Σ粩嘧冃?；④船的浮力保持不變.
【答案】①③
【解析】
【分析】
小船勻速直線運動，處于平衡狀態，結合物理知識可知小船水平方向和豎直方向所受合力大小為0，結合平面向量知識列出式子可選出答案.
【詳解】
設水的阻力為，繩的拉力為，與水平方向夾角為，則，
∴.∵增大，∴減小，∴增大.∵增大，∴船的浮力減小.
故答案為：①③
【例6】某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速的大小和方向.
【答案】實際風速的大小是，為西北風.
【分析】
設實際風速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風速為，當速度為時感到的風速為，作出對應的圖形，根據向量的線性運算及向量的模長公式，即可得解.
【詳解】
設實際風速為，由題意可知，此人以速度向正東方向行駛時，感到的風速為，當速度為時感到的風速為，
如圖，設，，.
∵，∴，這就是速度為時感到的由正北方向吹來的風速.
∵，∴，這就是速度為時感到的由東北方向吹來的風速，
由題意知，，，∴為等腰直角三角形，
∴，，即.
∴實際風速的大小是，為西北風.
【對點實戰】
1河中水流自西向東每小時10 km，小船自南岸A點出發，想要沿直線駛向正北岸的B點，并使它的實際速度達到每小時10 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為(　　)
A．西偏北30°，速度為20 km/h
B．北偏西30°，速度為20 km/h
C．西偏北30°，速度為20 km/h
D．北偏西30°，速度為20 km/h
【答案】B
【解析】
【詳解】
方向為北偏西30°，選B
2.河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度駛向對岸，則小船的靜水速度大小為_______m/s．
【答案】
【解析】
【分析】
“垂直于河岸方向10m/s的速度”是實際的速度，在數學中相當是和向量．“河水的流速為2m/s”是其中一個分向量，靜水速度是另一個分向量．即10是和向量，是對角線，另外兩個分向量是平行四邊形的邊長為2的邊與對角線垂直，求另一邊就是本題的靜水速度．
【詳解】
為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即：靜水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=2m/s平行于河岸；
靜水速度與河水速度的合速度v=10m/s指向對岸．
∴靜水速度v1=m/s．
故答案為．
3.若渡船在靜水中的速度大小為，河寬為，水流的速度大小為，則（1）此船渡過該河所用時間的最小值是多少？（2）此船渡過該河的位移最小時，需要多長時間才能從此岸到達彼岸？
【答案】此船渡過該河所用時間的最小值是；此船渡過該河的位移最小時，需要才能從此岸到達彼岸.
【分析】
（1）當船頭方向與河岸垂直時，渡河時間最短，求解即可.
（2）當合速度的方向垂直于河岸時，此船渡過該河的位移最小，水流的速度為，船的速度為，合速度為，則，，設船速與合速度的夾角為，求解與，即可.
【詳解】
（1）當船頭方向與河岸垂直時，渡河時間最短，
最短時間.
（2）當合速度的方向垂直于河岸時，此船渡過該河的位移最小，
如圖所示，水流的速度為，則，船的速度為，則，合速度為，合速度的大小為，則，
設船速與合速度的夾角為，則，
此時.
渡河時間為.
答：此船渡過該河所用時間的最小值是；此船渡過該河的位移最小時，需要才能從此岸到達彼岸.
4.帆船比賽是借助風帆推動船只在規定距離內競速的一項水上運動，如果一帆船所受的風力方向為北偏東30°，速度為20 km/h，此時水的流向是正東，流速為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．
【答案】帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為km/h
【詳解】
建立如圖所示的直角坐標系，風的方向為北偏東30°，速度為|v1|＝20（km/h），水流的方向為正東，速度為|v2|＝20（km/h），設帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2.
由題意，可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10,10），向量v2＝（20,0），
則帆船的行駛速度v＝v1＋v2＝（10,10）＋（20,0）＝（30,10），
所以|v|＝＝20（km/h）．
因為tan α＝ （α為v和v2的夾角，α為銳角），所以α＝30°.
所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20km/h.

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