資源簡介

6.2 向量的加、減法和數乘運算
本節課知識點目錄：
向量加法運算之首尾相連計算型；
向量加法運算之“自由平移”計算型。
向量加法運算之“矢量三角形（四邊形）”計算型
向量減法運算
向量的數乘運算
向量共線定理應用
繞三角形（重點）
四心與面積（難點基礎）
向量模與向量三角不等式應用
聯賽、模考與自主招生
一、向量的加法運算之首尾相連計算型
向量加法的運算律
(1)交換律：a＋b＝b＋a.
(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
加法：首尾相連，方向為第一個向量的起點指向最后一個向量的終點（符合三角形法則）；
即：＋＋＋…＋＝.
【典型例題】
【例1】向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】化簡（ ）
A． B． C． D．
【例3】下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】點是平行四邊形的兩條對角線的交點，等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖所示，四邊形是梯形，，與交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】下列各式不一定成立的是
A． B．
C． D．
【對點實戰】
1.式子化簡結果是（ ）
A． B． C． D．
2.（ ）
A． B． C． D．
3.在平行四邊形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
4.化簡的結果等于（ ）
A． B．
C． D．
二、向量的加法運算之“自由平移”計算型
利用向量相等的另一，通過圖形的“平行四邊形”可以自由平移向量。
【典型例題】
【例1】如圖，在正六邊形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】在中，，，分別為，，的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】如圖所示，在正六邊形中，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【例5】如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于　　
A． B． C． D．
【例6】在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是.
A． B． C． D．
三、向量的加法運算之“矢量三角形（四邊形）”運算
【典型例題】
【例1】在四邊形ABCD中，下列結論不正確的是（ ）
A．++= B．+++=
C．+= D．+=
【例2】在中，、、分別為、、的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】當兩人提起重量為的旅行包時，夾角為，兩人用力都為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例4】在中，是的中點.若，，則＝（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知正方形的邊長為，則＝（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
【例6】設、、分別為三邊、、的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知為三角形所在平面內一點，，則（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.在四邊形中，，則（ ）
A．是矩形 B．是菱形 C．是正方形 D．是平行四邊形
2.如圖，在矩形ABCD中，=
A． B．
C． D．
3.在矩形ABCD中，，，則向量的長度為（ ）
A． B． C．12 D．6
4.如圖，D，E，F分別為的邊AB，BC，CA的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
5.已知正方形的邊長為1，，，，則等于（ ）
A．0 B． C． D．
四、向量的減法運算
＝a，＝b，則向量a－b＝
【典型例題】
【例1】化簡：（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知六邊形ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中，則=（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖，向量，，，則向量可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【例4】下列等式中，正確的個數為（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．3 B．4 C．5 D．6
【例5】如圖，平行四邊形的對角線交于點，若，，用、表示為
A． B． C． D．
【例6】已知分別是的邊的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【例7】在中，，分別是，的中點，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知中，，則（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知平面內作用于點O的三個力，，，且它們的合力為，則三個力的分布圖可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，在中，是上一點，則（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四邊形中，（ ）
A． B． C． D．
5.如圖，設＝，＝，＝，則等于（ ）
A．－＋ B．－(＋) C．＋＋ D．－＋
五、向量的數乘運算
1.|λa|＝|λ||a|
2.設λ，μ為任意實數
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
【典型例題】
【例1】等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知向量，(為單位向量)，則向量與向量（ ）
A．不共線 B．方向相反
C．方向相同 D．
【例3】下列算式中，正確的個數為（ ）
①；
②；
③.
A． B． C． D．
【例4】若，與的方向相反，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】若，則下列各式中不正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【例7】正五角星是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系.在如圖所示的正五角星中，以為頂點的多邊形為正五邊形且，下列關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【對點實戰】
1.已知，且，則實數___________.
2.已知，求.
3.若，，則___________，___________，___________.
4.設，若用與表示，求的表達式.
設為實數，已知點P在直線MN上，且，，求的值．
六、向量共線定理應用
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使得b＝λa.
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【典型例題】
【例1】已知向量，，，則（ ）
A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
【例2】若，，則以下向量中與共線的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例5】已知向量，且，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【例6】如圖，B是的中點，，P是平行四邊形內（含邊界）的一點，且，則下列結論正確的為（ ）
A．當時， B．當P是線段的中點時，，
C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段 D．的最大值為
【例7】已知向量是兩個非零向量，在下列條件中，一定能使共線的是（ ）
A．且
B．存在相異實數，使
C．（其中實數x，y滿足）
D．已知梯形ABCD，其中
【對點實戰】
1.已知三角形，以下各式可以確定P點在線段延長線上的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知與是兩個不共線的向量，且向量(+λ)與(-3)共線，則λ的值為_____.
七、繞三角形（重點）
“繞三角形”是指實戰中把加減法運算，放到三角形中，通過：。。。三角形。。。。數乘。。。三角形。。。數乘。。。這樣的轉化，得出最終的向量線性關系。
【典型例題】
【例1】在中，，分別是邊，上的點，且，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】．如圖所示，在中，．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【例3】在中，點D在CB的延長線上，且，則等于（ ）
A．0 B． C． D．3
【例4】在中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，AD、BE、CF交于點G，則：①；②；③；④．上述結論中，正確的序號是______．
【例5】已知平面內一點及△，若，則點與△的位置關系是（ ）
A．點在線段上 B．點在線段上
C．點在線段上 D．點在△外部
【例6】如圖，△中，延長到，使，當點在線段上移動時，若，則的最大值是_______.
【例7】已知，，，用，表示，則（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.如圖所示，已知，則用表示為_______．
2.已知D，E，F分別為的邊BC，CA，AB的中點，，．給出下列五個命題：①；②；③；④；⑤．其中正確的命題是________．（填序號）
3.在中，若，為線段上且滿足，則實數的值為__________．
4.在△中，為邊上一點，且滿足，設，則________
5.如圖，已知，，，用表示，則________．
八、四心與面積（難點基礎）
三角形的四心與向量關系：
（1）是重心，
是平面內任一點， 是重心．
（2）是垂心，
若是垂心，則．
（3）是外心，
【例1】在中，G為重心，E，F，D分別是AB、BC、AC邊的中點，則______．
【例2】若，，則平分線上的向量可以表示為________．
【例3】已知為內的一點，滿足，則與的面積之比為________．
【例4】已知為所在平面內的點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為的中點
B．若，則為的重心
C．若，則為的垂心
D．若，則在的中位線上
【例5】瑞士數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設中，點O H G分別是外心 垂心和重心，下列四個選項中結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】已知點是所在平面內的一點，若，則__________．
【例7】已知點M是所在平面內的一點，若滿足，且，則實數的值是______.
【例8】已知點是的內心，若，則______.
九、向量模與向量三角不等式應用
【典型例題】
【例1】在平行四邊形中，，則必有（ ）.
A． B．或
C．是矩形 D．是正方形
【例2】設，是任一非零向量，則在下列結論中:
①；②；③；④；⑤.
正確結論的序號是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
【例3】在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【例4】設、是非零向量，則“、共線”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
十、聯賽、模考與自主招生
【典型例題】
【例1】在中,，若點D為所在平面內一點,且滿足條件:①；②，則________(用表示).
【例2】若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖，等腰梯形中，，與交于點，，若，則以下所有結論中正確的序號是______.
①若，則
②三角形的面積為4
③
④若，是直線上的動點，
6.2向量的加減法和數乘運算
本節課知識點目錄：
向量加法運算之首尾相連計算型；
向量加法運算之“自由平移”計算型。
向量加法運算之“矢量三角形（四邊形）”計算型
向量減法運算
向量的數乘運算
向量共線定理應用
繞三角形（重點）
四心與面積（難點基礎）
向量模與向量三角不等式應用
聯賽、模考與自主招生
一、向量的加法運算之首尾相連計算型
向量加法的運算律
(1)交換律：a＋b＝b＋a.
(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
加法：首尾相連，方向為第一個向量的起點指向最后一個向量的終點（符合三角形法則）；
即：＋＋＋…＋＝.
【典型例題】
【例1】向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量加法運算法則直接計算可得結果.
【詳解】
故選：C.
【例2】化簡（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量加法法則，求即可.
【詳解】
，故選：C
【例3】下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據平面向量的加法法則,即可求解.
【詳解】
A.,故A成立;
B.根據向量加法滿足交換律,可知,故B成立;
C.,故C不成立;
D.利用向量的加法法則,可知,故D成立.故選:C.
【例4】點是平行四邊形的兩條對角線的交點，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據幾何圖形，結合向量線性運算的幾何含義，即可知所表示的向量.
【詳解】
由題意，如上圖示，又，∴.故選：A
【例5】如圖所示，四邊形是梯形，，與交于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量加法的三角形法則可得結果.
【詳解】
.故選：B.
【例6】下列各式不一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據向量加法的運算法則即可求解.
【詳解】
A成立，A為向量加法交換律；
B顯然成立；
C成立，即向量加法的三角形法則；
D不一定成立，只有當西同向或至少有一個為零向量時，才有.
故選：D
【對點實戰】
1.式子化簡結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.
【詳解】
由
.故選：B.
2.（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量加法的運算法則可得.
【詳解】
，
故選：C.
3.在平行四邊形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用向量加法法則即可求出答案.
【詳解】
畫出圖形，如圖所示：.
故選：D.
4.化簡的結果等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
運用平面向量加法運算性質進行求解即可.
【詳解】
，
故選：B
二、向量的加法運算之“自由平移”計算型
利用向量相等的另一，通過圖形的“平行四邊形”可以自由平移向量。
【典型例題】
【例1】如圖，在正六邊形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據相等向量和向量加法運算直接計算即可.
【詳解】
，.
故選：A.
【例2】如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據平面向量的線性運算，直接可得出結果.
【詳解】
因為在矩形中，為中點，
所以.故選：B.
【例3】在中，，，分別為，，的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據三角形中位線性質得,再根據向量相等以及加法法則得結果.
【詳解】
因為，，分別為，，的中點，所以,
因此。故選:C
【例4】如圖所示，在正六邊形中，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【分析】由正六邊形性質可得,進而由向量的加法法則求解即可
【詳解】
由題,可知,所以,故選:B
【例5】如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用是相等向量及為中點可得正確的選項．
【詳解】
因為，故選A．
【例6】在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
畫出圖像，根據向量加法運算，對選項逐一分析判斷，由此得出正確選項.
【詳解】
畫出圖像如下圖所示.對于A選項，大小相等方向相反，，結論正確.對于B選項，根據向量加法的平行四邊形法則可知，，結論正確.對于C選項，由于，故結論錯誤.對于D選項，，大小相等方向相反，，結論正確.故選C.
三、向量的加法運算之“矢量三角形（四邊形）”運算
【典型例題】
【例1】在四邊形ABCD中，下列結論不正確的是（ ）
A．++= B．+++=
C．+= D．+=
【答案】C
【分析】
由向量加法法則依次判斷即可得出結果.
【詳解】
由向量的三角形法則可得++=，+++=，+=，ABD正確，只有當四邊形ABCD為平行四邊形時，+=才成立，故C錯誤.
故選：C
【例2】在中，、、分別為、、的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析可知四邊形為平行四邊形，利用向量加法的平行四邊形法則可得結果.
【詳解】
如下圖所示：
因為、、分別為、、的中點，則，，
故四邊形為平行四邊形，所以，.故選：C.
【例3】當兩人提起重量為的旅行包時，夾角為，兩人用力都為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據力的平衡或平面向量的和為零向量即可求出．
【詳解】
由題意作出示意圖，由可知，
，四邊形為菱形，且都是正三角形，所以．
故選：D．
【例4】在中，是的中點.若，，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由于，，從而得，而由是的中點，可得，進而可得結果
【詳解】
解：因為，，所以，
因為是的中點，所以，
所以，所以，故選：B
【例5】已知正方形的邊長為，則＝（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
【答案】B
【分析】
先求出，再利用向量的平行四邊形法則得到，再利用向量的模求解即可.
【詳解】
由正方形的邊長為，可得正方形的對角線長，利用向量的平行四邊形法則可得：
，則.故選：B.
【例6】設、、分別為三邊、、的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
運用平面向量的加法的幾何意義求解即可.
【詳解】
因為、、分別為的三邊、、的中點，
所以.
故選：A
【例7】已知為三角形所在平面內一點，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
題目考察三角形四心的問題，易得：為三角形的重心，位于中線的三等分點處，從而求出三角形面積的比例關系
【詳解】
如圖所示，由得：為三角形的重心，是中線的交點，
且，所以，，底邊為，所以，故選：B
【對點實戰】
1.在四邊形中，，則（ ）
A．是矩形 B．是菱形 C．是正方形 D．是平行四邊形
【答案】D
【分析】
根據向量加法的平行四邊形法則可得，以為鄰邊做平行四邊形ABCD，可得，進而可判斷.
【詳解】
根據向量加法的平行四邊形法則可得，以為鄰邊做平行四邊形ABCD，如圖，
可得，所以四邊形ABCD為平行四邊形.故選：D
2.如圖，在矩形ABCD中，=
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意， 故選B.
3.在矩形ABCD中，，，則向量的長度為（ ）
A． B． C．12 D．6
【答案】B
【分析】
結合向量運算求得正確答案.
【詳解】因為，所以的長度為的模的2倍．
又，所以向量的長度為故選：B
4.如圖，D，E，F分別為的邊AB，BC，CA的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根據平面向量的線性運算法則計算可得；
【詳解】
解：，，分別是的邊，，的中點，
，，，
則，故A正確；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D錯誤；
故選：A．
5.已知正方形的邊長為1，，，，則等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據題意，分析易得正方形中，由向量加法的性質可得
，由向量模的公式計算可得答案.
【詳解】
如圖，因為正方形的邊長為1， , ,，
，
， 故選：D
四、向量的減法運算
＝a，＝b，則向量a－b＝
【典型例題】
【例1】化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量加減法公式直接結算結果.
【詳解】
.故選：C
【例2】已知六邊形ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由圖形可得，從而可得正確的選項.
【詳解】
，故選：D.
【例3】如圖，向量，，，則向量可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據平面向量的加減法法則結合圖形即可得到答案.
【詳解】
如圖，
.故選：D.
【例4】下列等式中，正確的個數為（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
利用向量加減法的運算性質，轉化各項表達式即可知正誤.
【詳解】
由向量加減法的運算性質知：①；②；③；④；⑤，正確；⑥，錯誤.故選：C
【例5】如圖，平行四邊形的對角線交于點，若，，用、表示為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用、表示出向量，再由可得出結果.
【詳解】
由平面向量減法的三角形法則可得，
平行四邊形的對角線交于點，則點為的中點，
因此，.故選：D.
【例6】已知分別是的邊的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由條件有,再由向量的減法可得答案.
【詳解】
因為分別是的邊的中點所以.
又.所以.故選：C
【例7】在中，，分別是，的中點，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量減法的三角形法則，得到，即可求解.
【詳解】
在中，，分別是，的中點，若，，
可得.故選：C.
【例8】已知中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由可得D為BC中點，即可得出結果
【詳解】
由可得D為BC中點，.故選：C.
【對點實戰】
1.已知平面內作用于點O的三個力，，，且它們的合力為，則三個力的分布圖可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據平面向量的加法和減法的幾何意義進行判斷即可.
【詳解】
根據平面向量加法和減法的幾何意義可知選項C符合題意，
故選：C
2.化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據平面向量加法和減法的運算法則進行求解即可.
【詳解】
故選：C
3.如圖，在中，是上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的加法和減法運算求解.
解：由圖形可知：.故選：C.
4.在平行四邊形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由平行四邊形的性質可得，從而可求得答案
【詳解】
解：因為四邊形為平行四邊形，所以,
所以，故選：D
5.如圖，設＝，＝，＝，則等于（ ）
A．－＋ B．－(＋) C．＋＋ D．－＋
【答案】A
【分析】由向量的線性運算即可得出.
【詳解】
.故選：A.
五、向量的數乘運算
1.|λa|＝|λ||a|
2.設λ，μ為任意實數
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
【典型例題】
【例1】等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據平面向量的線性運算可得結果.
【詳解】.故選：C
【例2】已知向量，(為單位向量)，則向量與向量（ ）
A．不共線 B．方向相反
C．方向相同 D．
【答案】B
【分析】
根據兩者之間的數乘關系可判斷兩者之間的關系.
【詳解】
因為，，所以，
故向量與向量共線反向.故選：B.
【例3】下列算式中，正確的個數為（ ）
①；
②；
③.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由平面向量的線性運算和數乘運算可判斷①②③的正誤.
【詳解】
對于①，，①正確；
對于②，，②正確；
對于③，，③錯誤.
故選：C.
【例4】若，與的方向相反，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量反向可知，即，由此構造方程求得，即可得到結果.
【詳解】
與的反向，，，即，解得：，
.故選：B.
【例5】已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的加法以及數乘運算即可求解.
【詳解】
，所以，
所以.故.故選：B
【例6】若，則下列各式中不正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據向量的數乘的定義判斷．
【詳解】
如圖，由知在延長線上，且，
因此由向量數乘定義知ABC三個選項均正確，D錯誤．
故選：D．
【例7】正五角星是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系.在如圖所示的正五角星中，以為頂點的多邊形為正五邊形且，下列關系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數乘運算的幾何意義，便可解決問題．
【詳解】
在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且．
在A中，，故A正確；
在B中，，故B錯誤；
在C中，，故正確；
在D中，，
若，則，不合題意，故D錯誤．
故選：AC
【對點實戰】
1.已知，且，則實數___________.
【答案】
【分析】
根據向量共線和向量數乘求解即可.
【詳解】
解：因為，
所以三點共線，其位置關系如圖，
其中點在線段的四等分點靠近點的位置，
所以，所以
故答案為：
2.已知，求.
【答案】
【分析】
利用向量線性運算的運算律可求.
【詳解】
因為，所以，
所以.
3.若，，則___________，___________，___________.
【答案】 ##
【分析】
根據平面向量線性運算可求出結果.
【詳解】
因為，，
所以，，.
故答案為：，，
4.設，若用與表示，求的表達式.
【答案】
【分析】
利用向量加法的三角形法則及數乘向量運算律求解即得.
【詳解】
因，
則，
所以.
5.設為實數，已知點P在直線MN上，且，，求的值．
【答案】
【分析】
分別分析點P位于MN之間和之外兩種情況，數形結合，即可得答案.
【詳解】
若點P位于MN之間，因為，所以，故，
若點P位于點MN之外，因為，則N為MP的中點，
所以，故.
綜上：
六、向量共線定理應用
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使得b＝λa.
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【典型例題】
【例1】已知向量，，，則（ ）
A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
【答案】A
【分析】
利用向量共線定理依次判斷即可.
【詳解】
∵向量，，
∴=2，即點A，B，D三點共線.
故選：A.
【例2】若，，則以下向量中與共線的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由，得，，再利用平面向量共線定理判定.
【詳解】
若，，則
.
所以向量與共線.故選：B.
【例3】設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據向量與向量共線，由求解.
【詳解】
因為，是兩個不共線的向量，且向量與向量共線，
所以，即，所以，解得，故選：D
【例4】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】
根據平面向量共線定理得到，對于①，故兩向量共線；對于②，故兩向量共線；對于③不存在實數滿足，故不共線.
【詳解】
對于①，，，故兩向量共線；
對于②，，，故兩向量共線；
對于③，，
假設存在，因為，是不共線向量，
故得到無解.故選：A.
【例5】已知向量，且，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】
根據三點共線的知識確定正確選項.
【詳解】
依題意，
，所以共線，即三點共線，A正確.
，則不共線、不共線，BD錯誤.
，則不共線，C錯誤.
故選：A
【例6】如圖，B是的中點，，P是平行四邊形內（含邊界）的一點，且，則下列結論正確的為（ ）
A．當時， B．當P是線段的中點時，，
C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段 D．的最大值為
【答案】BCD
【分析】
利用向量共線的充要條件判斷出A錯，C對；利用向量的運算法則求出，求出，判斷出B對，過作，交于，作，交的延長線于，則，然后可判斷出D正確.
【詳解】
當時，，則在線段上，故，故A錯
當是線段的中點時，
，故B對
為定值1時，，，三點共線，又是平行四邊形內（含邊界）的一點，故的軌跡是線段，故C對
如圖，過作，交于，作，交的延長線于，則：；
又；，；
由圖形看出，當與重合時：；
此時取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正確
故選：BCD
【例7】已知向量是兩個非零向量，在下列條件中，一定能使共線的是（ ）
A．且
B．存在相異實數，使
C．（其中實數x，y滿足）
D．已知梯形ABCD，其中
【答案】AB
【分析】
選項A：根據，即可得出，從而得出共線；選項B：可得出都不等于0，并得出，從而得出共線；選項C：當，時，滿足選項的條件，顯然得不出共線；對于選項D：顯然得不出共線．
【詳解】
解：A．聯立和消去向量可得出 ，
∴，且，所以共線.
B．∵都是非零向量，且，，
∴都不為0，所以，所以共線.
C．當 時，滿足，此時對任意的向量都有，∴得不出共線；
D．∵在梯形中AB與CD不一定平行，∴得不出共線．
故選：A B．
【對點實戰】
1.已知三角形，以下各式可以確定P點在線段延長線上的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
首先將，化簡為共線向量，利用共線向量的幾何意義，判斷選項.
【詳解】
，
即，當時，P點在線段上，當時，P點在線段延長線上，時，P點在線段延長線上，故B正確，A不正確；
當時，點在線段延長線上，此時點是的中點，故C正確；
時，P點在線段延長線上，故D不正確.
故選：BC
2.已知與是兩個不共線的向量，且向量(+λ)與(-3)共線，則λ的值為_____.
【答案】-
【分析】
由向量共線可得+λ=k((-3)，計算即可.
【詳解】
由向量共線可得+λ=k((-3)，
即+λ=k-3 k，∴解得λ=-.
故答案為：-
七、繞三角形（重點）
“繞三角形”是指實戰中把加減法運算，放到三角形中，通過：。。。三角形。。。。數乘。。。三角形。。。數乘。。。這樣的轉化，得出最終的向量線性關系。
【典型例題】
【例1】在中，，分別是邊，上的點，且，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算直接運算.
【詳解】
如圖所示：
，故選：A.
【例2】．如圖所示，在中，．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據．且，，利用平面向量的加法,減法和數乘運算求解.
【詳解】
因為．且，，所以， ，
，.故選：C
【例3】在中，點D在CB的延長線上，且，則等于（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根據，利用平面向量的基本定理求解.
【詳解】
因為點D在CB的延長線上，且，所以 ，
又因為 ，所以 ，所以，故選：C
【例4】在中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，AD、BE、CF交于點G，則：①；②；③；④．上述結論中，正確的序號是______．
【答案】②③④
【分析】
對①結合中位線性質以及向量的加法運算和數乘運算即可判斷；對②③結合圖形中的線段的關系以及向量加法運算和數乘運即可判斷；對④結合重心的性質以及向量加法運算和數乘運即可判斷.
【詳解】
因為分別為CA、AB的中點，所以，且，所以，故①錯誤；
，故②正確；
故③正確；
因為三邊的中線交于點，故是的重心，所以，所以
，故④正確；
故答案為：②③④.
【例5】已知平面內一點及△，若，則點與△的位置關系是（ ）
A．點在線段上 B．點在線段上
C．點在線段上 D．點在△外部
【答案】C
【分析】
將化為，然后合并得，則點在線段上.
【詳解】
由，得，即，
故點在線段上．
故選：.
【例6】如圖，△中，延長到，使，當點在線段上移動時，若，則的最大值是_______.
【答案】3
【解析】
試題分析：設==，0≤k≤1；
又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1時t取最大值3．
即t=λ﹣μ的最大值為3．
【例7】已知，，，用，表示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
結合平面圖形的幾何性質以及平面向量的線性運算即可求出結果.
【詳解】
因為，
所以，
又因為，，
所以，故選：D.
【對點實戰】
1.如圖所示，已知，則用表示為_______．
【答案】
【分析】
由，，結合已知即可得關于的線性表達式.
【詳解】
．
答案：
2.已知D，E，F分別為的邊BC，CA，AB的中點，，．給出下列五個命題：①；②；③；④；⑤．其中正確的命題是________．（填序號）
【答案】②③④⑤
【分析】
根據平面向量線性運算法則計算可得；
【詳解】
解：因為，，所以，
，，
，
，即，即正確的有：②③④⑤
故答案為：②③④⑤
3.在中，若，為線段上且滿足，則實數的值為__________．
【答案】
【分析】
利用三點共線的性質即可得解
【詳解】
，
又三點共線，，解得
故答案為：
4.在△中，為邊上一點，且滿足，設，則________
【答案】1
【分析】
依題意可得，進而可得結果.
【詳解】
依題意可得，所以，因此，所以.
故答案為：.
5.如圖，已知，，，用表示，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據向量的加法運算，減法運算以及共線向量基本定理即可用表示。
【詳解】
．
故答案為：
八、四心與面積（難點基礎）
三角形的四心與向量關系：
（1）是重心，
是平面內任一點， 是重心．
（2）是垂心，
若是垂心，則．
（3）是外心，
【例1】在中，G為重心，E，F，D分別是AB、BC、AC邊的中點，則______．
【答案】.
【分析】
先根據中點關系化簡原式，然后根據重心的特點進行向量運算，由此求解出結果.
【詳解】
因為，
又因為為重心，所以，所以，故答案為：.
【例2】若，，則平分線上的向量可以表示為________．
【答案】，
【分析】
根據題意，以，為鄰邊作平行四邊形則四邊形為菱形，根據平面向量加法的平行四邊形法則得，由，共線，最后根據向量共線定理得，從而得出答案.
解：，，，，以，為鄰邊作平行四邊形則為菱形，
平分，
根據向量加法的平行四邊形法則可得：，，共線，
由共線定理可得存在唯一的實數使得：.故答案為：，.
【例3】已知為內的一點，滿足，則與的面積之比為________．
【答案】
【分析】
取中點，利用向量的線性運算可求得，從而得到的值，根據可求得結果.
【詳解】
分別取的中點，連接，
，，即，
，，；
又為中點，，.
故答案為：.
【例4】已知為所在平面內的點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為的中點
B．若，則為的重心
C．若，則為的垂心
D．若，則在的中位線上
【答案】ABD
【分析】
通過向量加法、減法、數乘運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】
A選項，，，所以為的中點，A正確.
B選項，如下圖所示，設是的中點，由得，即三點共線，且，所以是的重心.
C選項，由，得，
所以，所以在邊的高上，不一定是垂心，C錯誤.
D選項，如下圖所示，設分別是的中點，，即，，，即三點共線，且，所以在的中位線上.
故選：ABD
【例5】瑞士數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設中，點O H G分別是外心 垂心和重心，下列四個選項中結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
根據歐拉線定理、外心 垂心和重心的性質以及平面向量的線性運算對四個選項逐個分析可得答案.
【詳解】
如圖：根據歐拉線定理可知，點O H G共線，且
對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，取的中點為，則，故B正確；
對于C，
，故C正確；
對于D，顯然不正確.
故選：ABC
【例6】已知點是所在平面內的一點，若，則__________．
【答案】
【分析】
設為的中點，為的中點，為的中點，由得到，再進一步分析即得解.
【詳解】
如圖，設為的中點，為的中點，為的中點，因為，
所以可得，整理得.又，
所以，所以，又，所以．故答案為
【例7】已知點M是所在平面內的一點，若滿足，且，則實數的值是______.
【答案】
【分析】
點M是所在平面內的一點，若滿足，根據向量的概念，運算求解得：，，再根據與的關系，求出與之比，得出.
解：記，.
又，從而有.
【例8】已知點是的內心，若，則______.
【答案】
【分析】
根據已知條件用表示出，判斷出的位置關系，利用三角形內心的特點結合角平分線定理即可計算出的值.
【詳解】
因為，即，
取中點，連接，則，故，故點共線，
又，故，且，所以.
故答案為：.
九、向量模與向量三角不等式應用
【典型例題】
【例1】在平行四邊形中，，則必有（ ）.
A． B．或
C．是矩形 D．是正方形
【答案】C
【分析】
根據題意，由平面向量的線性運算法則，得出，進而可求出結果.
【詳解】
在平行四邊形中，
因為，
所以，即對角線相等，
因為對角線相等的平行四邊形是矩形，
所以是矩形.
故選：C.
【例2】設，是任一非零向量，則在下列結論中:
①；②；③；④；⑤.
正確結論的序號是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
【答案】D
【分析】
根據向量線性運算可確定為零向量，由此可判斷得到結果.
【詳解】
，
又是任一非零向量，，，，①③⑤正確.
故選：D.
【例3】在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
根據向量的加減法法則可得，結合題意即可得出結果.
【詳解】
因為，，所以，
所以為等邊三角形．故選：A．
【例4】設、是非零向量，則“、共線”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】
利用特例法結合共線向量的性質以及充分條件、必要條件的定義判斷了得出結論.
【詳解】
解：已知、是非零向量，若、共線，取，則，
另一方面，若，則、方向相同，
即“”“、共線”，
因此，“、共線”是“”的必要而不充分條件.故選：B.
十、聯賽、模考與自主招生
【典型例題】
【例1】在中,，若點D為所在平面內一點,且滿足條件:①；②，則________(用表示).
【答案】
【分析】
由①②可知,為的角平分線，利用的面積關系，即可求出.
【詳解】
，共線，且有一公共點，
三點共線，即在邊上.由=
向量在的角平分線上，，所以為的角平分線.
.故答案為:
【例2】若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用向量減法的幾何意義，即可判斷.
【詳解】
，
所以.故選：D
【例3】如圖，等腰梯形中，，與交于點，，若，則以下所有結論中正確的序號是______.
①若，則
②三角形的面積為4
③
④若，是直線上的動點，
【答案】③④
【分析】
利用解三角形和向量的線性運算求解即可
【詳解】
如圖，由已知得，， 又由，得到，
則有，所以，①錯，
過作，由得，，過作，明顯地，，且，所以，，，所以，②錯，
又因為在中，所以，，且在等腰梯形中，所以，又由，得，而由根據正弦定理，得，所以，成立，③對，
對于④若，是直線上的動點，又由等腰梯形可得，，可得，
，④對
答案：③④

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