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6.3.1平面向量的基本定理
本節課知識點目錄：
平面向量基本定理概念；
基底理解：坐標系坐標軸合力。
基地基礎：向量平行和繞三角形（基礎）
基底：繞三角形“中線型”
基底：然三角形“中線上的中線型”
基底：“不正常基底型”
等和線與三點共線
向量最值范圍
三角形內分點面積比值型（“奔馳定理”）
聯賽、聯考與自主招生題選
一、平面向量基本定理概念
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
【典型例題】
【例1】下列說法錯誤的是（ ）
A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示
B．平面內的所有向量均可以用此平面內的任意兩個向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面內的任意向量在給定基底下的分解式唯一
【例2】．設是平面內所有向量的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【例3】設，是平面內不共線的兩個向量，則以下各組向量中不能作為基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【例4】如果是平面α內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【例5】設向量與不共線，若，則實數的值分別為（ ）
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
【例6】設向量，若用表示，則________.
【對點實戰】
1.設是平面內兩個不共線的向量，則向量可作為基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2.設是平行四邊形兩對角線的交點，給出下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
3.下列說法中正確的是（ ）
A．平面向量的一個基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，則.
C．若單位向量 的夾角為，則在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面內所有向量的基底是唯一的.
4.給出以下說法，其中不正確的是（ ）
A．若，則；
B．若，則存在實數，使；
C．若，是非零向量，，那么；
D．平面內任意兩個非零向量都可以作為表示平面內任意一個向量的一組基底.
5.已知向量是一個基底，實數滿足，則_________．
6.若是平面內兩個不共線的向量，則下列說法中正確的是（ ）
A．不可以表示平面內的所有向量；
B．對于平面中的任一向量，使的實數有無數多對；
C．若均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使；
D．若存在實數使，則.
二、基底實戰理解：就是坐標軸坐標系
1.共起點基底，理解成坐標軸。不一定是垂直的坐標軸。（可補充球面航海經緯度增加類比理解）
2.兩基底所在直線區域，可以按照基底向量剪頭方向對照直角坐標系四個象限。
3第3題，原解法涉及到老教材的“線性規劃”，根據其概況，建議類比即將學習的圓內點和圓外點知識，適當的擴展一下。
【典型例題】
【例1】如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界)．設=m+n，且點P落在第Ⅲ部分，則實數m，n滿足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【例2】向量，如圖所示，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖，在中，點是線段及、的延長線所圍成的陰影區域內（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐標平面上，實數對所表示的區域在直線的右下側部分的面積是（ ）
A． B． C． D．不能求
【例4】設，，是平面內共線的三個不同的點，點是，，所在直線外任意-點，且滿足，若點在線段的延長線上，則（ ）
A．， B．， C． D．
【例5】．已知E，F分別是的邊，的中點，若，則點P在四邊形內（包括邊界）的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、基底基礎：共線和繞三角形（基礎）
1.用基底表示三點向量共線關系
2.繞三角形（基礎）
【典型例題】
【例1】已知和不共線，，并且共線，則下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】在邊長為1的正方形中，為上靠近的三等分點，為的中點.若()，則（ ）
A．0 B． C．2 D．
【例3】如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖，在平行四邊形中，E是的中點．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知平行四邊形中，，，，為的中點，則（ ）（用向量，表示）
A． B． C． D．
【例7】如圖所示，點A、B、C是圓O上的三點，線段與線段交于圓內一點P，若，則（ ）
A．當P為線段中點時， B．當P為線段中點時，
C．無論取何值，恒有 D．存在
【對點實戰】
1.如圖，已知，用，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
2.若點D在的邊BC上，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，在矩形中，，分別為的中點，為中點，則（ ）
A． B． C． D．
4.設分別是的邊上的點，且，，，若記，則（ ）
A． B．
C． D．
5.已知在中，點，分別在邊上，，且，，若，則的值為__________.
6.設為基底向量，已知向量，，，若三點共線，則實數的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
四、基底：繞三角形“中線型”
模型大致如圖：
【典型例題】
【例1】已知△ABC的邊BC上有一點D滿足，則可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】已知為所在平面內一點，，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】在中，是的中點．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【例4】如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】．如圖，在中，、分別為邊、的中點. 為邊上的點，且，若，，則的值為___________.
【例6】已知點P是所在平面內一點，若，則與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.在中，點為對角線上靠近點的三等分點，連結并延長交于，則（ ）
A． B．
C． D．
2.在三角形中，點，在邊上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
3.如圖，已知，若點滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四邊形中，為的中點，交于點，若，則______．
5.我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（ ）
A． B． C． D．
6.在平行四邊形ABCD中O是對角線交點，E是OD的中點，連接AE交CD于F，設，＝，若，則x＝______，y＝______．
五、基底：繞三角形“中線上“中線”型”
模型之一如圖
【典型例題】
【例1】如圖，在中，，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【例3】在三角形中，點在直線上，且，點在直線上，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【例4】如圖，在中，， ，若，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【例5】如圖，在△ABC中， =,P是BN上的一點，若=m+，則實數的值為___________.
【例6】如圖，四邊形中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.如圖所示，在中，點D在邊BC上，且，點E在邊AD上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
2.如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為________.
3.如圖所示，在中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四邊形中，與交于點，，的延長線與交于點.若，，則
A． B． C． D．
5.如圖所示，△ABC中，，點E是線段AD的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
六、基底：“不正常”型（起點不同的基底）
1.所給基底起點不同。
2.基底起點不同，可以平移，也可以列出“方程式子反解”，還可以用即將學的坐標系設點解決
【典型例題】
【例1】如圖，在正方形中，是的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】如圖所示，在矩形中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】在△ABC中，如果AD，BE分別為BC，AC上的中線，且＝，＝，那么為（ ）
A．＋ B．－ C．－ D．－＋
【例4】已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且，，，則下列命題中正確命題為（ ）
A．； B．；
C．； D．
【例5】如圖，在中，為線段上靠近點的四等分點，若，則______．
【對點實戰】
1.在三角形中，已知是的中點，是三角形的重心．設向量，，則向量_______________________(結果用，表示)．
2.如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________
3.如圖，在矩形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點，若，，則的值為________．
4.如圖所示，中，，點E是線段AD的中點，則　　
A． B．
C． D．
七、等和線與三點共線
1.等和線原理：
2.等和線計算：
【典型例題】
【例1】已知平面內有、、、四點，其中，，三點共線，且，則________.
【例2】如圖，C，D是△AOB中邊AB的三等分點，設=，=，以{，}為基底來表示=____，=_____．
【例3】如圖，中，點M是BC的中點，點N滿足，AM與CN交于點D，，則（ ）
A． B． C． D．
【例4】在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點，，，三點共線.若，則實數的值為______.
【例5】如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點（點N與點C不重合），設，，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例6】在中，點滿足，當點在線段上移動時，記，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最小值為
【例7】在中，分別是邊的中點，點是線段上，異于端點的一點，且，則____________.
【例8】如圖，經過的重心G的直線與分別交于點，，設，，則的值為________．
【例9】如圖，中，與交于，設，，，則為
A． B． C． D．
八、向量最值范圍
【典型例題】
【例1】直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點 在過點P的直線上，若，，(，)，則下列結論正確的是（ ）
A．為常數 B．的最小值為3
C．的最小值為 D．的最小值為
【例2】在中，點是線段上任意一點（不包含端點），若，則的最小值是________.
【例3】已知是內一點，且，點在內（不含邊界），若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【例4】如圖，矩形中，，，是對角線上一點，，過點的直線分別交的延長線，,于.若，，則的最小值是（ ）
B． C． D．
【例5】已知中，過中線的中點任作一條直線分別交邊，于，兩點，設，（），則的最小值 ．
【例6】在中，點D滿足，當點E在射線AD（不含點A）上移動時，若，則的最小值為________．
九、三角形內分點面積比值型（“奔馳定理”）
三角形內分點結論
【典型例題】
【例1】已知為內一點，，則，的面積之比為______．
【例2】已知點是所在平面內一點，若，則與的面積之比為（ ）
A． B． C．2 D．
【例3】在中，D為三角形所在平面內一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例4】設點在內部，且有，點是邊的中點，設與的面積分別為，則（ ）
A． B． C． D．
十、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】在中，為角的平分線，點在上，為的中點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如圖1，“六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點且三組對邊分別平行，點，是“六芒星”（如圖2）的兩個頂點，動點在“六芒星”上（內部以及邊界），若，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點， ，AE與BF交于O點.若，且AE與BF不垂直，則__________.
6.3.1平面向量的基本定理
本節課知識點目錄：
平面向量基本定理概念；
基底理解：坐標系坐標軸合力。
基地基礎：向量平行和繞三角形（基礎）
基底：繞三角形“中線型”
基底：然三角形“中線上的中線型”
基底：“不正常基底型”
等和線與三點共線
向量最值范圍
三角形內分點面積比值型（“奔馳定理”）
聯賽、聯考與自主招生題選
一、平面向量基本定理概念
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
【典型例題】
【例1】下列說法錯誤的是（ ）
A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示
B．平面內的所有向量均可以用此平面內的任意兩個向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面內的任意向量在給定基底下的分解式唯一
【答案】B
【分析】
根據共線向量的性質和基底的性質，結合平面向量基本定理逐一判斷即可.
【詳解】
由共線向量的性質可知選項A正確；
根據平面向量基本定理可知：平面內的所有向量均可以用此平面內的任意兩個不共線的向量表示，所以選項B不正確；
根據平面向量基本定理可知中：選項C、D都正確，
故選：B
【例2】．設是平面內所有向量的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】
利用向量可以作為基底的條件是，兩個向量不共線，由此分別判定選項中的兩個向量是否共線即可．
【詳解】
對A，B，D，令，，均無法找到一個實數使得等式成立，故均不共線，可作為基底；
對C，，所以兩個向量共線，所以不能當成基底，故選：C.
【例3】設，是平面內不共線的兩個向量，則以下各組向量中不能作為基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【分析】根據基底不共線即可判斷.
解：，是平面內不共線的兩個向量，對A，與不共線，故可以作為基底，故A錯誤；
對B，與不共線，故可以作為基底，故B錯誤；
對C，，故與共線，
不可以作為基底，故C正確；
【例4】如果是平面α內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【分析】
根據題意可得：兩個向量滿足平面的一組基底，需這兩個向量不共線，由此逐一判斷可得選項．
【詳解】
對于A：設，則，所以無解；
對于B：設，則，所以無解；
對于C：設，則，所以無解；
對于D：設，則，解得，所以此兩向量是共線向量；
故D中向量能作為平面內所有向量的一組基底，
故選：D．
【例5】設向量與不共線，若，則實數的值分別為（ ）
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
【答案】D
【分析】根據題意，由不共線向量和向量相等得出，即可求出的值.
解：已知向量與不共線，因為，
所以，解得：.故選：D.
【例6】設向量，若用表示，則________.
【答案】
【分析】根據平面向量基本定理進行求解即可.
【詳解】設，則有，
得，所以，故答案為：
【對點實戰】
1.設是平面內兩個不共線的向量，則向量可作為基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐項判斷向量是否共線，若不共線，則可以作為基底
【詳解】
解：對于A，因為，所以共線，所以不能作為基底，所以A不合題意；
對于B，因為，所以共線，所以不能作為基底，所以B不合題意；
對于C，若共線，則存在唯一實數，使，即，所以且，所以不存在，所以不共線，所以可以作為基底，所以C符合題意；
對于D，因為，所以共線，所以不能作為基底，所以D不合題意，
故選：C
2.設是平行四邊形兩對角線的交點，給出下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】
根據基底為一組不共線的向量可得出結論.
【詳解】
如下圖所示：
①與不共線；②，則與共線；③與不共線；④，則與共線．
由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個向量才能構成一組基底，故①③滿足題意．
故選：B.
3.下列說法中正確的是（ ）
A．平面向量的一個基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，則.
C．若單位向量 的夾角為，則在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面內所有向量的基底是唯一的.
【答案】ABC
【分析】
由平面向量基本定理，依次判定即可
【詳解】
選項A：作為基底的兩個向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此，一定都是非零向量，故A正確；
選項B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正確；
選項C：在方向上的投影向量為：，故C正確；
選項D：平面內任何兩個不共線的向量都可作為基底，因此基底不是唯一的，故D錯誤
故選：ABC
4.給出以下說法，其中不正確的是（ ）
A．若，則；
B．若，則存在實數，使；
C．若，是非零向量，，那么；
D．平面內任意兩個非零向量都可以作為表示平面內任意一個向量的一組基底.
【答案】BCD
【分析】
由向量共線的定義即可知A、B的正誤，當，為相反向量時C不成立，根據平面向量基本定理中基底的性質即可知D的正誤.
【詳解】
A：向量的數乘運算的幾何意義，正確；
B：若，，有，但不存在實數，錯誤；
C：，為相反向量，則，此時，錯誤；
D：平面向量的基本定理，作為基底的兩向量是不共線的非零向量，錯誤.
故選：BCD
5.已知向量是一個基底，實數滿足，則_________．
【答案】3
【分析】
由相等向量可得關于x，y的方程組，解方程組即可.
【詳解】因為是一組基底，所以與不共線，因為，
所以，解得，所以.故答案為：3
6.若是平面內兩個不共線的向量，則下列說法中正確的是（ ）
A．不可以表示平面內的所有向量；
B．對于平面中的任一向量，使的實數有無數多對；
C．若均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使；
D．若存在實數使，則.
【答案】D
【分析】
根據平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ與λ2+μ2均為零向量或者λ2+μ2為零向量的特殊情況，可以判定C.
【詳解】
由平面向量基本定理可知，A錯誤，D正確；
對于B：由平面向量基本定理可知，若一個平面的基底確定，
那么該平面內的任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的，故B錯誤；
對于C：當兩個向量均為零向量時，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時，這樣的λ有無數個，
或當λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時λ不存在，故C錯誤；
故選：D.
二、基底實戰理解：就是坐標軸坐標系
1.共起點基底，理解成坐標軸。不一定是垂直的坐標軸。（可補充球面航海經緯度增加類比理解）
2.兩基底所在直線區域，可以按照基底向量剪頭方向對照直角坐標系四個象限。
3第3題，原解法涉及到老教材的“線性規劃”，根據其概況，建議類比即將學習的圓內點和圓外點知識，適當的擴展一下。
【典型例題】
【例1】如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界)．設=m+n，且點P落在第Ⅲ部分，則實數m，n滿足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【答案】B
【分析】
應用向量的可分解性質，將分解到，所在直線上，結合圖形判斷參數的符號.
【詳解】
如圖所示，利用平行四邊形法則，將分解到，上，有，
∴=m=n，
顯然方向相同，則m>0；方向相反，則n<0．故選：B
【例2】向量，如圖所示，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
連接向量的終點并觀察圖形即可得解.
【詳解】
如圖，連接向量的終點并指向的終點，于是得，觀察圖形得
所以等于.故選：C
【例3】如圖，在中，點是線段及、的延長線所圍成的陰影區域內（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐標平面上，實數對所表示的區域在直線的右下側部分的面積是（ ）
A． B． C． D．不能求
【答案】A
【分析】由點是由線段及、的延長線所圍成的陰影區域內（含邊界）的任意一點，作的平行線，把中、所滿足的不等式表示出來，然后作出不等式組所表示的可行域，并計算出可行域
在直線的右下側部分的面積即可.
【詳解】如下圖，過作，交的延長線于，交的延長線于，
設，，，，
則，
所以，得，所以.
作出不等式組對應的可行域，如下圖中陰影部分所示，
故所求面積為，故選：A.
【例4】設，，是平面內共線的三個不同的點，點是，，所在直線外任意-點，且滿足，若點在線段的延長線上，則（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】A
【詳解】由題可得：，所以可化為：
整理得：，即：又點在線段的延長線上，所以與反向，
所以，故選：A
【例5】．已知E，F分別是的邊，的中點，若，則點P在四邊形內（包括邊界）的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【分析】
由題意可知點P在四邊形內（包括邊界），則，逐個判斷即可求解
【詳解】由題意可知點P在四邊形內（包括邊界），則，
對于A：，滿足條件，故A正確；
對于B：，不滿足條件，故B錯誤；
對于C：，不滿足條件，故C錯誤；
對于D：，滿足條件，故D正確；
故選：AD
三、基底基礎：共線和繞三角形（基礎）
1.用基底表示三點向量共線關系
2.繞三角形（基礎）
【典型例題】
【例1】已知和不共線，，并且共線，則下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量共線，即存在一個實數使，結合題設列方程組求即可.
【詳解】
由題意，有，即，可得.故選：B
【例2】在邊長為1的正方形中，為上靠近的三等分點，為的中點.若()，則（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
以為基底表示出，由此求得，進而求得.
【詳解】
，所以.故選：C
【例3】如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量線性運算，即可用基底表示.
【詳解】∵，∴.故選：D.
【例4】如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量線性運算，即可用基底表示.
【詳解】∵，∴.故選：D.
【例5】如圖，在平行四邊形中，E是的中點．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據圖形，利用向量的加，減，數乘運算，即可判斷選項.
【詳解】
.故選：A
【例6】已知平行四邊形中，，，，為的中點，則（ ）（用向量，表示）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平面向量加法的運算性質，結合平行四邊形的性質進行求解即可.
【詳解】
，故選：B
【例7】如圖所示，點A、B、C是圓O上的三點，線段與線段交于圓內一點P，若，則（ ）
A．當P為線段中點時， B．當P為線段中點時，
C．無論取何值，恒有 D．存在
【答案】AC
【分析】
運用向量的加法表示向量，在用用平面向量的基本定理求得和的值，得到答案.
【詳解】
由題意，可得，
因為與共線，所以，解得，所以C正確，D錯誤；
當為線段中點時，則，即，
則且，解得，所以A正確，B錯誤.
故選：AC.
【對點實戰】
1.如圖，已知，用，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量加法和數乘運算的幾何意義，即可得答案；
【詳解】
，故選：A.
2.若點D在的邊BC上，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
用基底向量表示，再結合已知并借助平面向量基本定理即可作答.
【詳解】
在中，因，則，
而不共線，且有，
于是得，進而得，所以等于.故選：C
3.如圖，在矩形中，，分別為的中點，為中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量加法的三角形法則和四邊形法則，可得結果.
【詳解】根據題意：又
所以故選：C
4.設分別是的邊上的點，且，，，若記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
把作為基底，利用平面向量基本定理逐個求解即可
解：因為，，，，
所以，所以A正確；
，所以B錯誤；
，所以C正確；
，所以D錯誤，
故選：AC
5.已知在中，點，分別在邊上，，且，，若，則的值為__________.
【答案】
【分析】
利用向量的線性運算和平面向量基本定理即可求解.
【詳解】
，因為，
所以，，所以，故答案為：
6.設為基底向量，已知向量，，，若三點共線，則實數的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
【答案】A
【分析】
根據題意得，進而根據三點共線得，再根據向量相等即可列方程求解.
【詳解】
∵，，，∴ ，
∵三點共線，∴，即
∵為基底向量∴解得．故選：A
四、基底：繞三角形“中線型”
模型大致如圖：
【典型例題】
【例1】已知△ABC的邊BC上有一點D滿足，則可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根據向量的線性運算，由題意可得，整理即可得解.
【詳解】
由，可得，整理可得，所以，故選：A
【例2】已知為所在平面內一點，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據平面向量的線性運算及平面向量基本定理即可得出答案.
【詳解】
解：因為為所在平面內一點，，
所以.故選：A．
【例3】在中，是的中點．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據向量的加減及數乘運算即可求出．
【詳解】∵是的中點，∴，∴.故選：C
【例4】如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把作為基底，利用向量的加減法法則和平面向量基本定理把用基底表示出來，從而可得答案
【詳解】
解：因為四邊形為矩形，且為的中點，
所以，所以，
因為，所以，所以，故選：B
【例5】．如圖，在中，、分別為邊、的中點. 為邊上的點，且，若，，則的值為___________.
【答案】.
【詳解】
試題分析：為的中點，，，，，.
【例6】已知點P是所在平面內一點，若，則與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
過作，根據平面向量基本定理求得，即可求得與的面積之比.
【詳解】點是所在平面上一點，過作，如下圖所示：
由，故，
所以與的面積之比為，故選：D．
【對點實戰】
1.在中，點為對角線上靠近點的三等分點，連結并延長交于，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
把向量作為基底，根據題意可得為的中點，然后根據向量的加減法法則和平面向量基本定理求解即可
【詳解】
解：因為點為對角線上靠近點的三等分點，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以∥，
所以，所以，所以，
,故選：B
2.在三角形中，點，在邊上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量的加法、減法線性運算即可求解.
【詳解】
，
故選：C.
3.如圖，已知，若點滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
將化為，整理后，結合題中條件，即可求出從而可得出結果.
【詳解】
由得，即，
又，所以，因此.故選：C.
4.在平行四邊形中，為的中點，交于點，若，則______．
【答案】
【分析】利用三角形相似可得，然后向量的加減法用表示，再與對比可求出的值，進而可得答案
【詳解】由題意知，，
，
∴，∴．故答案為：
5.我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可；
【詳解】
由題意,
， 故選：D
6.在平行四邊形ABCD中O是對角線交點，E是OD的中點，連接AE交CD于F，設，＝，若，則x＝______，y＝______．
【答案】
【分析】
由條件可知，又E、F三點共線，所以設，再由D、F、C三點共線可得，解得，從而表示出，求得x，y．
【詳解】
如圖：；
因為E是OD中點，O是AC中點，
則；
因為A、E、F三點共線，
所以設，
又因為D、F、C三點共線，
所以，解得；
所以
，所以，
故答案為：；
五、基底：繞三角形“中線上“中線”型”
模型之一如圖
【典型例題】
【例1】如圖，在中，，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出，得λ＝，μ＝，即得解.
【詳解】
因為＋μ，
所以λ＝，μ＝，則λ＋μ＝＋＝.故選：B
【例2】如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把作為基底，利用向量的加減法法則和已知條件，把用基底表示即可
解：因為四邊形為平行四邊形，對角線與交于點，且，
所以，所以.故選:C.
【例3】在三角形中，點在直線上，且，點在直線上，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的線性運算可得的表示形式，從而可求的值.
【詳解】
因為，故，故，
所以，故，則，
故選：B.
【例4】如圖，在中，， ，若，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量的線性運算法則，準確運算，即可求解.
【詳解】因為，所以，所以，
又因為，所以，所以,
可得，所以,即，即.
故選：B.
【例5】如圖，在△ABC中， =,P是BN上的一點，若=m+，則實數的值為___________.
【答案】
【詳解】因為 =，=m+=
又P是BN上的一點，所以的值為．
【例6】如圖，四邊形中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依據圖形，結合向量的加法，減法，數乘運算的運算律利用，表示.
【詳解】
，
．故選：A.
【對點實戰】
1.如圖所示，在中，點D在邊BC上，且，點E在邊AD上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據向量的加減的幾何意義和三角形法則即可求出．
解：，點在邊上，
，故選：．
2.如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為________.
【答案】
【分析】解法1：先根據得到，從而可得，再根據三點共線定理，即可得到的值.
解法2：根據圖形和向量的轉化用同一組基底去表示，根據圖形可得：，設，通過向量線性運算可得：，從而根據平面向量基本定理列方程組，解方程組得的值.
解法1：因為，所以，又，所以
因為點三點共線，所以，解得：.
解法2：因為，設，所以，因為，所以，
又， 所以，所以，
又，所以 解得： ，所以.故答案為：.
3.如圖所示，在中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量的加法、減法、數乘，利用基底表示所求向量即可.
【詳解】
因為，
所以，故選：B
4.在平行四邊形中，與交于點，，的延長線與交于點.若，，則
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量的線性運算律進行運算.
解：如圖所示：由得，由得∽，∴，
又∵，∴，，
故選：B.
5.如圖所示，△ABC中，，點E是線段AD的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
結合圖形，根據向量的線性運算結論用，表示，由此確定正確選項.
【詳解】∵ E為線段AD的中點∴ ，又，
∴ ，故選：A.
六、基底：“不正常”型（起點不同的基底）
1.所給基底起點不同。
2.基底起點不同，可以平移，也可以列出“方程式子反解”，還可以用即將學的坐標系設點解決
【典型例題】
【例1】如圖，在正方形中，是的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量的線性運算和平面向量基本定理得到,再與對比,得到1 即可.
【詳解】
因為，，
所以，
所以1.故選:C.
【例2】如圖所示，在矩形中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出，從而可求.
【詳解】,而，故選：A.
【例3】在△ABC中，如果AD，BE分別為BC，AC上的中線，且＝，＝，那么為（ ）
A．＋ B．－ C．－ D．－＋
【答案】A
【分析】
根據題意畫出示意圖，結合向量的線性運算，用基向量表示目標向量即可.
【詳解】
根據題意，作圖如下：，
整理可得：.故選：.
【例4】已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且，，，則下列命題中正確命題為（ ）
A．； B．；
C．； D．
【答案】BCD
【分析】利用向量加法、減法、數乘運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】，A錯誤.
，B正確.
，C正確.
，D正確.
故選：BCD
【例5】如圖，在中，為線段上靠近點的四等分點，若，則______．
【答案】
【分析】
利用向量的加減運算法則得，根據三點共線即可得解.
【詳解】
三點共線，所以.故答案為：
【對點實戰】
1.在三角形中，已知是的中點，是三角形的重心．設向量，，則向量_______________________(結果用，表示)．
【答案】；
【分析】
由于是三角形的重心，可得的三等分點，從而可得，而是的中點，可得，再利用向量的加減法法則可得結果
解：因為是的中點，所以，因為是三角形的重心，所以，所以，
故答案為：
2.如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________
【答案】　
【分析】解直角三角形求得的長，根據，用表示，由此得到的表達式，從而求出的值，進而求得的值.
【詳解】.因為AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因為BC＝3，所以BH＝BC．
因為點M為AH的中點，所以＝＝ (＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
3.如圖，在矩形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點，若，，則的值為________．
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理分別把向量，用基底{，}表示出，結合得到含有系數，的的基底表示，與直接根據向量的線性運算得到的的基底表示比較，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的關系，進而求得結論．
解：因為，，
所以，
又因為，且，不共線，所以，
兩式相加得，顯然,所以，故答案為：．
4.如圖所示，中，，點E是線段AD的中點，則　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
利用向量三角形法則、向量共線定理即可得出．
【詳解】如圖所示，
，，，，．故選：C．
七、等和線與三點共線
1.等和線原理：
2.等和線計算：
【典型例題】
【例1】已知平面內有、、、四點，其中，，三點共線，且，則________.
【答案】1
【分析】利用平面向量的基本定理計算即可.
【詳解】因為，，三點共線，所以存在使得
由
所以即故答案為：1
【例2】如圖，C，D是△AOB中邊AB的三等分點，設=，=，以{，}為基底來表示=____，=_____．
【答案】+
【分析】
由題設圖形，結合向量加法的幾何意義有、，進而可得、關于{，}為基底的表達式.
【詳解】=+(-)=+，
=(-)=+．
故答案為：+，+.
【例3】如圖，中，點M是BC的中點，點N滿足，AM與CN交于點D，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題設易得，利用平面向量的三點共線定理即可求值.
【詳解】由題設，，又，，
∴，而共線，
∴，可得.故選：C
【例4】在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點，，，三點共線.若，則實數的值為______.
【答案】
【分析】
將化為以為基底可得，由，，三點共線可知，計算即可.
【詳解】，，，分別為邊，，的中點，
,，，三點共線，
，解得：.故答案為：.
【例5】如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點（點N與點C不重合），設，，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由為的重心，可得，結合，，根據三點共線，得到的關系式，即可得到答案
【詳解】延長AG交BC與點H, H為BC中點,為的重心，
三點共線,故選:
【例6】在中，點滿足，當點在線段上移動時，記，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】BD
【分析】
由可得，再根據點在線段上移動時，可得，再根據二次不等式的范圍求解的最小值即可
【詳解】
因為，所以．又，點在線段上移動，
所以，則，即，故A錯誤，B正確
所以，
當時，的最小值是．故C錯誤，D正確。故選：BD
【例7】在中，分別是邊的中點，點是線段上，異于端點的一點，且，則____________.
【答案】
【分析】
利用向量線性運算可化簡得到，設，整理可得，由向量不共線可構造方程求得結果.
【詳解】
是中點，；同理可得：；
，
三點共線，可設，，
不共線，，解得：，.
故答案為：.
【例8】如圖，經過的重心G的直線與分別交于點，，設，，則的值為________．
【答案】3
【分析】設，求出，，再根據P，G，Q三點共線得到，化簡即得解.
解：設，由題意知，，由P，G，Q三點共線，得存在實數使得，
即，從而消去，得．故答案為：3
【例9】如圖，中，與交于，設，，，則為
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】延長交于點；與交于，點是的重心，
，，
又 ，則為；故答案選A
八、向量最值范圍
【典型例題】
【例1】直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點 在過點P的直線上，若，，(，)，則下列結論正確的是（ ）
A．為常數 B．的最小值為3
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】
根據 向量的線性運算和向量共線的推論，逐項分析計算即可得解.
【詳解】
由，由共線可得，
對A，由，為常數，正確；
對B，，
當且僅當，即取等號，故B正確；
對C，，
當且僅當，即,此時取等號，故C錯誤；
對D，，可得，當且僅當，即時，等號成立，故D正確.
故選：ABD.
【例2】在中，點是線段上任意一點（不包含端點），若，則的最小值是________.
【答案】9
【分析】
利用平面向量共線的結論 , 得到，然后用“1”的代換后，用基本不等式即可解..
【詳解】∵是線段上一點,∴三點共線， ∴ m ＋ n = 1 , 且 m > 0 , n > 0 ,
當且僅當 即
又∵ ∴時取等號，的最小值為 9 .故答案為：9
【例3】已知是內一點，且，點在內（不含邊界），若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據可知O為的重心；根據點M在內，判斷出當M與O重合時，最小；當M與C重合時，的值最大，因不含邊界，所以取開區間即可．
【詳解】因為是內一點，且所以O為的重心
在內（不含邊界），且當M與O重合時，最小，此時
所以，即
當M與C重合時，最大，此時 所以，即
因為在內且不含邊界所以取開區間，即。所以選B
【例4】如圖，矩形中，，，是對角線上一點，，過點的直線分別交的延長線，,于.若，，則的最小值是（ ）
B． C． D．
【答案】C,設,則，又,所以，因此
，
【例5】已知中，過中線的中點任作一條直線分別交邊，于，兩點，設，（），則的最小值 ．
【答案】由已知可得
,由
.
【例6】在中，點D滿足，當點E在射線AD（不含點A）上移動時，若，則的最小值為________．
【答案】由，得，即，因為點E在射線AD（不含點A）上移動，所以，又因為，所以，
則（當且僅當，即時取等號）；故填．
九、三角形內分點面積比值型（“奔馳定理”）
三角形內分點結論
【典型例題】
【例1】已知為內一點，，則，的面積之比為______．
【答案】
【分析】取的中點，的中點，然后利用已知化簡得到，利用面積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，由，得，
取為中點，為中點，則，所以．
故答案為：.
【例2】已知點是所在平面內一點，若，則與的面積之比為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
作出圖形，結合三點共線性質可得，，同時設，聯立解出，進而確定關系，同時滿足，進而求出關系，即可求解兩三角形面積之比.
【詳解】
如圖，延長交于，則，因為，，三點共線，所以，即，所以，則，故且，又，故，所以，，所以，所以．
故答案為：C
【例3】在中，D為三角形所在平面內一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設AD交BC于E，然后根據條件得到點E的位置，進而根據向量關系得到線段間的比例，最后得出面積比.
【詳解】如圖，設AD交BC于E，且，由B,E,C三點共線可得：
，∴，∴.
設，則，∴.
又，∴，∴.故選：B.
【例4】設點在內部，且有，點是邊的中點，設與的面積分別為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
設為的中點，由為的中點.則,，由向量線性運算得，則三點共線，且，由此可得題中三角形面積比．
【詳解】
由，所以，
設為的中點，由為的中點.則,
所以，則三點共線，且，如圖.
所以,則點到的距離是點到的距離的倍.所以.
故選：C.
十、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】在中，為角的平分線，點在上，為的中點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分線的性質推導出，利用平面向量的加法法則可得出，再利用平面向量的減法法則可得出關于、的表達式.
【詳解】如下圖所示，
根據角平分線的性質可知，點到直線、的距離相等，故，故，
所以，，
為的中點，則，
因此，.故選：C.
【例2】如圖1，“六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點且三組對邊分別平行，點，是“六芒星”（如圖2）的兩個頂點，動點在“六芒星”上（內部以及邊界），若，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
畫出圖形，結合圖形，得出求的最大值時，只需考慮圖中以為起點，個頂點為終點向量，分別求出即得結論．根據其對稱性，可知最小值，進而可知的取值范圍，即可得正確選項.
【詳解】
如下圖所示，求的最大值，只需考慮下圖中以為起點，個頂點為終點向量即可，討論如下：
當，此時；
當，此時；
當，此時；
當，此時；
當，此時；
當，此時；
所以的最大值為，根據其對稱性，可知的最小值為，
則的取值范圍為，
由選項判斷可知，選項BC正確，故選：BC.
【例3】如圖在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點， ，AE與BF交于O點.若，且AE與BF不垂直，則__________.
【答案】
【分析】
設，分別表示，，利用向量相等求得，然后由求解.
【詳解】
設，所以，，，
又，所以，所以，則，
則，解得，所以，因為，
所以,即，因為AE與BF不垂直，所以，
所以，即.故答案為：

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