資源簡介

6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及加、減、數乘
運算的坐標表示
本節課知識點目錄：
向量的正交分解與坐標表示
向量加法、減法運算的坐標表示。
向量數乘運算的坐標表示
向量平行的坐標表示
單位向量與三角換元
定比分點
與均值不等式結合求最值
三角函數恒等變形與向量運算的坐標表示
一、向量的坐標表示
1.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2.正交分解的基底：在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．
3．坐標：對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，則有序數對(x，y)叫做向量a的坐標．
4．坐標表示：a＝(x，y)．
5．特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
6.已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．
【典型例題】
【例1】已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標是（ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
【例2】已知點，，向量，則向量（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣5）
【例3】已知，，若，則點的坐標為（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【例4】如果用分別表示軸和軸正方向上的單位向量，且，則可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知 分別是方向與x軸正方向 y軸正方向相同的單位向量，O為坐標原點，設，則點A位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例6】在平面直角坐標系內，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示__．
【對點實戰】
1.已知向量，點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2.已知點，則向量（ ）
A． B． C． D．
3.已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
4.平面直角坐標系內，為坐標原點，若點，則向量的向量正交分解形式是___________．
二、向量加法、減法運算的坐標表示
1.加法運算：兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
2.1.加法運算：兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
即a-b＝(x1-x2，y1-y2)
【典型例題】
【例1】已知，，那么=（ ）
A．（2，2） B．（3，0） C．（4，1） D．（3，2）
【例2】已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【例4】若，，，則=（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例5】已知點A（0，1），B（3，2），向量，則向量等于（ ）
A．（－7，－4） B．（7，4）
C．（－1，4） D．（1，4）
【例6】在平行四邊形中，為一條對角線．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【例7】在平行四邊形中，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知作用在原點的三個力，，，求它們的合力的坐標．
【對點實戰】
1.已知向量，，則向量（ ）
A． B． C． D．
2.設向量，，則（ ）
A． B． C． D．
3.設，，則（ ）.
A． B． C． D．
4.在平行四邊形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，則＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
5.在平行四邊形中，,,則點的坐標為
A． B． C． D．
6.如圖，已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標.
在平面直角坐標系中，的三個頂點是A(3，2)，，，D是BC的中點，求的坐標．
三、向量數乘運算的坐標表示
已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．
【典型例題】
【例1】若，，則
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
【例2】已知點，，且，，求，兩點及的坐標．
【例3】已知，，點P在直線上，且，則點P的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
【例4】已知，，點是線段上的點，且，則點的坐標為.
A． B． C． D．
【例5】已知，若，則點的坐標為（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【對點實戰】
1已知四邊形ABCD的三個頂點為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點D的坐標為（ ）
A． B．
C．(3，2) D．(1，3)
2.已知點M(5，－6)和向量，若，則點N的坐標為（ ）
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
3.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，則a－2b等于(　　)
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(1，－2)
4.已知向量，，，則________．
四、向量平行的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
則a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b(b≠0)共線．
【典型例題】
【例1】已知向量，若，則實數等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例2】已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知向量，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．與可以作為一組基底
C． D．與方向相反
【例4】已知向量，，設，，若∥，則實數k的值為（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
【例5】已知、，且、、三點共線，則點的坐標可以是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】已知向量，，，中，相互平行的向量是______．
【例7】過不同兩點，的直線l的一個方向向量坐標為，則實數m的值為______________．
【對點實戰】
1.已知向量，，且與平行，則（ ）
A．1 B．0 C． D．
2.已知平面向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．2
3.向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三點共線，則k的值為（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
4.已知向量，，若與平行，則實數________
5.已知向量，，當實數k為何值時，向量與平行？并確定此時它們是同向的還是反向的．
6.已知向量，，，．
（1）寫出平面向量基本原理的內容，并由此說明能否成為一組基底；
（2）若對于任意非0實數t，與均不共線，求實數k的取值范圍．
五、單位向量與三角換元
單位向量的坐標：
（1）
（2）顯然滿足：
【典型例題】
【例1】若向量，則與其平行的單位向量為（ ）
A． B． C． D．
【例2】.已知，，是的單位向量，則的坐標為___________.
【例3】已知點，點，則與共線的單位向量為______.
【例4】如圖，以為直徑在正方形內部作半圓，為半圓上與不重合的一動點，下面關于的說法正確的是
A．無最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但無最小值 D．既無最大值，又無最小值
【例5】已知正三角形的邊長為，點是所在平面內的任一動點，若，則的取值范圍為________.
【例6】在中，，，點，為所在平面內的一點，且滿足，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例7】如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點C在弧上，且，若，則
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知向量，向量，則與向量方向相同的單位向量的坐標為________．
2.已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（ ）
A． B． C． D．
3.設，為單位向量，則的最大值是________
六、定比分點
課本P32例題9，涉及到求中點、三等分點，屬于擴展的“定比分點”知識，所以授課時適當的增加定比分點知識以及定比分點推導公式
1.定比分點坐標公式：若點，，為實數，且，則點坐標為，我們稱為點分所成的比.
2.內分點和外分點：
①當時，與同向共線，這時稱點為的內分點；
②當()時，與反向共線，這時稱點為的外分點.
3.若分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則；
特別地為的中點.
4.公式較復雜，不容易記憶，授課時可以利用向量關系推導。，
【典型例題】
【例1】已知，則線段的中點坐標為___________.
【例2】已知，，若線段的一個三等分點為，則的坐標為（ ）
A．或 B．
C． D．或
【例3】已知，，，點分的比為，點在線段上，且，求點的坐標.
【例4】已知點，，若直線與線段交于點C，且，則實數______．
【例5】已知，，點P在延長線上，且，則的坐標為______．
【例6】設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
（2）當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．
【例7】已知點分的比為，設，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知向量，且點分有向線段所成的比為，則的坐標是
A．( B． C． D．
【對點實戰】
1.在△ABC 中，已知，，若，則的坐標為_______.
2.已知，，，則P的坐標為______．
3.（1）已知，，三點共線，求的值；
（2）在（1）的條件下求線段的兩個三等分點的坐標.
4,在中，已知，，是中線上一點，且，那么點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
5.若點P分有向線段所成的比為，則點B分有向線段所成的比為
A．3 B． C． D．
6.若過兩點P1(-1,2)，P2(5,6)的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段所成的比的值為
(A)－ (B) － (C) (D)
7.已知兩點，點 分有向線段的比為，則的值為(　　)
A．－，8 B．，－8
C．－，－8 D．4，
8.設，，，是兩兩不同的四個點，若，，且，則稱，調和分割，．現已知平面上兩點C，D調和分割A，B，則下列說法正確的是（ ）
A．點C可能是線段的中點
B．點D不可能是線段的中點
C．點C，D可能同時在線段上
D．點C，D不可能同時在線段的延長線上
七、與均值不等式結合求最值
向量坐標表示與均值不等式結合
【典型例題】
【例1】設向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【例2】已知向量，且，當，時，的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例3】已知向量，若，則的最小值為（ ）.
A．12 B． C．16 D．
【對點實戰】
1.已知向量，且，若實數均為正數，則的最小值是（ ）
A．24 B． C． D．8
2.已知向量，，，，若，則的最小值______.
八、三角函數恒等變形與向量運算
【典型例題】
【例1】已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.已知，，把點繞點沿逆時針方向旋轉得到點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知兩個向量，則的最大值是
A． B． C． D．
【例3】已知向量，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例5】設兩個向量和＝，其中為實數.若，則的取值范圍是________.
【例6】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，又點，，，.若向量與向量共線，常數，求的值域.
【例7】已知兩個向量，滿足，.
（1）若，求的值；
（2）設，將圖像上所用點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的，再把所得函數圖像上的所有點，向右平移個單位，得到函數的圖像.求當時值域.
【對點實戰】
1.已知向量，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
2.設向量，，若，則___________.
3.向量旋轉具有反映點與點之間特殊對應關系的特征，在電子信息傳導方面有重要應用．平面向量旋轉公式在中學數學中用于求旋轉相關點的軌跡方程具有明顯優勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點，已知平面內點，點，點繞點沿順時針方向旋轉后得到點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4.設點的坐標為，是坐標原點，向量繞著點順時針旋轉后得到，則的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
5.設點O為坐標原點，角，...，的始邊與x軸非負半軸重合，頂點與坐標原點重合，終邊上分別有一點，...，，若，則+++...+（ ）
A． B． C． D．
6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及加、減、數乘
運算的坐標表示
本節課知識點目錄：
向量的正交分解與坐標表示
向量加法、減法運算的坐標表示。
向量數乘運算的坐標表示
向量平行的坐標表示
單位向量與三角換元
定比分點
與均值不等式結合求最值
三角函數恒等變形與向量運算的坐標表示
一、向量的坐標表示
1.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2.正交分解的基底：在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．
3．坐標：對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，則有序數對(x，y)叫做向量a的坐標．
4．坐標表示：a＝(x，y)．
5．特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
6.已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．
【典型例題】
【例1】已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標是（ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
【答案】C
【分析】利用向量的坐標運算求解即可
【詳解】因為A(3，1)，B(2，－1)，
所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．故選：C
【例2】已知點，，向量，則向量（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣5）
【答案】A
【分析】
根據條件利用向量的減法和向量的坐標運算即可得解．
【詳解】
設點，所以，即，解得，
于是得點，因此，，所以向量.故選：A
【例3】已知，，若，則點的坐標為（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】設點的坐標為，根據，列出方程組，即可求解.
【詳解】設點的坐標為，則，，
因為，即，所以，解得，所以
故選：C.
【例4】如果用分別表示軸和軸正方向上的單位向量，且，則可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知點坐標寫出的坐標，根據平面向量的基本定理，可寫出表示的代數形式.
【詳解】
由題意知：，∴.故選：A.
【例5】已知 分別是方向與x軸正方向 y軸正方向相同的單位向量，O為坐標原點，設，則點A位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由向量的正交分解可得點坐標，由橫縱坐標的符號可確定所在象限.
【詳解】
由題意得：
， 位于第四象限。故選：D.
【例6】在平面直角坐標系內，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示__．
【答案】
【分析】
根據平面向量的基本定理，結合已知基底，即可確定向量的坐標.
【詳解】
在平面直角坐標系內，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．
故答案為：．
【對點實戰】
1.已知向量，點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設點的坐標為，則，再結合可求出的值，從而可求得點的坐標
【詳解】
解：設點的坐標為，則，因為，所以，得，
所以點的坐標為，故選：B
2.已知點，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐標運算直接得解.
【詳解】，，故選：A
3.已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
【答案】，
【分析】根據向量的坐標表示列出關于的方程組解出即可.
【詳解】
因為，
所以，即.
4.平面直角坐標系內，為坐標原點，若點，則向量的向量正交分解形式是___________．
【答案】
【分析】
根據向量的正交分解直接可得答案.
【詳解】因為點，所以
故答案為：
二、向量加法、減法運算的坐標表示
1.加法運算：兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
2.加法運算：兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
即a-b＝(x1-x2，y1-y2)
【典型例題】
【例1】已知，，那么=（ ）
A．（2，2） B．（3，0） C．（4，1） D．（3，2）
【答案】D
【分析】
由向量加法的坐標運算即可求解.
解：因為，，所以，故選：D.
【例2】已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量坐標的線性運算求的坐標.
【詳解】由題設，.故選：C.
【例3】已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量減法法則計算．
【詳解】故選：A.
【例4】若，，，則=（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據向量的加減運算求解.
【詳解】∵∴故選：A.
【例5】已知點A（0，1），B（3，2），向量，則向量等于（ ）
A．（－7，－4） B．（7，4）
C．（－1，4） D．（1，4）
【答案】A
【分析】首先設，根據得到，再求的坐標即可.
【詳解】設，則
所以，，即.所以.故選：A
【例6】在平行四邊形中，為一條對角線．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
在平行四邊形中，由，，利用減法得到，然后利用加法求.
【詳解】
在平行四邊形中， ，，所以，
所以.故選：B
【例7】在平行四邊形中，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量加減的坐標表示結合圖示計算出的坐標.
【詳解】
因為，所以.故選：C.
【例8】已知作用在原點的三個力，，，求它們的合力的坐標．
【答案】
【分析】
根據向量的幾何意義和力的合成，只需將三個力的坐標相加，即可得到它們的合力．
【詳解】
解：根據力的合成的意義，可知
．
故合力的坐標為．
【對點實戰】
1.已知向量，，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的坐標運算法則求解.
【詳解】因為向量，，所以故選：A.
2.設向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量減法的定義及坐標運算即可解得.
【詳解】
.故選：B.
3.設，，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量坐標的減法運算可得答案.
【詳解】因為，，
所以.故選：A
4.在平行四邊形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，則＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
【答案】A
【分析】利用平行四邊形法則，結合向量坐標的加減運算，計算結果.
【詳解】
在平行四邊形ABCD中，因為A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.故選:A.
5.在平行四邊形中，,,則點的坐標為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求,再求,即可求D坐標
【詳解】
，∴，則D(6,1)
故選A
6.如圖，已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標.
【答案】，
【分析】
依題意，分別是，角的終邊與單位圓的交點，設，．由三角函數的定義，求出、的坐標，再根據向量的坐標表示和向量的加減運算可得.
解：由題知，分別是，角的終邊與單位圓的交點．設，．由三角函數的定義，
得，，∴．，，∴．
∴，．
∴，
7.在平面直角坐標系中，的三個頂點是A(3，2)，，，D是BC的中點，求的坐標．
【答案】
【分析】
根據中點坐標公式求出點D的坐標，從而可求出向量的坐標．
【詳解】因為，，所以，
又因為A(3，2)，所以.故答案為：.
三、向量數乘運算的坐標表示
已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．
【典型例題】
【例1】若，，則
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
【答案】； ； ； ； ； .
【分析】
根據向量線性運算的坐標表示即可求出答案.
【詳解】
（1）因為，所以；
（2）因為，所以；
（3）因為，，所以；
（4）因為，，所以；
（5）因為，，所以；
（6）因為，，所以.
故答案為：；；；；；.
【例2】已知點，，且，，求，兩點及的坐標．
【答案】，.
【分析】
根據數乘運算求出和的坐標，然后根據向量的坐標等于終點坐標減起點坐標即可求出的坐標.
【詳解】
因為，，
所以，，
所以，.
【例3】已知，，點P在直線上，且，則點P的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
設點P的坐標為，表示出，的坐標，由且P在直線上，故分或兩種情況討論，根據向量相等得到方程組，解得．
解：設點P的坐標為，，則，．
由且點P在直線上，得或．
∴或解得或
∴點P的坐標為或．故選：
【例4】已知，，點是線段上的點，且，則點的坐標為.
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
試題分析： 設，則，，
【例5】已知，若，則點的坐標為（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【答案】D
【分析】
設，根據平面向量的坐標運算得出，再根據，列出方程組可求出，從而得出點的坐標.
解：設，則，，根據，得，
即，解得：，所以點的坐標為.故選：D.
【對點實戰】
1已知四邊形ABCD的三個頂點為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點D的坐標為（ ）
A． B．
C．(3，2) D．(1，3)
【答案】A
【分析】
先設出點的坐標，根據所給的點的坐標，寫出向量的坐標，由橫坐標和縱坐標分別相等，得到結果．
【詳解】
設頂點的坐標為，，且，
故選：．
2.已知點M(5，－6)和向量，若，則點N的坐標為（ ）
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
【答案】A
【分析】
N(x，y)，由題意結合向量相等的坐標表示即可求解
【詳解】設N(x，y)，由，
可得(x－5，y＋6)＝(－3，6)，∴x＝2，y＝0.故選：A
3.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，則a－2b等于(　　)
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(1，－2)
答案:A
解析:a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．
4.已知向量，，，則________．
【答案】
【分析】
由列方程組可求出的值
【詳解】因為，，，
所以，所以，解得，故答案為：
四、向量平行的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
則a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b(b≠0)共線．
【典型例題】
【例1】已知向量，若，則實數等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
利用平面向量的共線的坐標表示即可求解.
【詳解】由題意可得，解得.故選：C
【例2】已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出的坐標，進而根據平面向量平行的坐標運算求得答案.
【詳解】
由題意，，因為，所以.
故選：A.
【例3】已知向量，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．與可以作為一組基底
C． D．與方向相反
【答案】B
【分析】由條件可得，然后逐一判斷即可.
【詳解】因為，，所以；
所以，，A、C正確；
與不可以作為一組基底，B錯誤；
，所以與方向相反，D正確；故選：B
【例4】已知向量，，設，，若∥，則實數k的值為（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
【答案】B
【分析】由向量平行的坐標關系即求.
【詳解】∵＝(1，2)，＝(0，1)，
∴，，
∴即.故選：B
【例5】已知、，且、、三點共線，則點的坐標可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本題首先可設點的坐標為，然后通過題意得出，再然后寫出、，最后通過向量平行的相關性質即可列出算式并通過計算得出結果.
【詳解】設點的坐標為，因為、、三點共線，所以，因為，，所以，，則，整理得，
將、、、代入中，只有滿足，故選：C.
【例6】已知向量，，，中，相互平行的向量是______．
【答案】
【分析】
利用向量共線的坐標表示即得.
【詳解】∵向量，， ∴，
∴，又， ∴，所以與不共線，
又∴，∴，
故答案為：
【例7】過不同兩點，的直線l的一個方向向量坐標為，則實數m的值為______________．
【答案】-2
【分析】
由，，結合向量平行的關系即可求解.
【詳解】由題知，，設直線的方向向量為，則，
即，得，解得或，
當時，，顯然不滿足題意，排除，當時，，符合題意.
故答案為：
【對點實戰】
1.已知向量，，且與平行，則（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】
求出與的坐標，再借助向量共線的坐標表示列式計算即得.
【詳解】因向量，，則，，
又與平行，于是得，解得，所以.故選：C
2.已知平面向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據，利用平面向量的共線向量定理求解.
【詳解】因為向量，，，所以，
因為，所以，解得，故選：B．
3.向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三點共線，則k的值為（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
【答案】C
【分析】求出的坐標即得解.
【詳解】由題得＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
由題知，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.故選：C
4.已知向量，，若與平行，則實數________
【答案】##
【分析】根據平面向量的坐標進行運算與共線定理，列方程即可求出.
【詳解】，，，
∥，，.故答案為：
5.已知向量，，當實數k為何值時，向量與平行？并確定此時它們是同向的還是反向的．
【答案】,同向
【分析】求出向量與的坐標，利用平行的坐標表示列式計算可得實數k的值，在通過確定中的正負來判斷同向的還是反向.
【詳解】由已知，，
因為向量與平行，，解得，此時，
，則向量與同向.
6.已知向量，，，．
（1）寫出平面向量基本原理的內容，并由此說明能否成為一組基底；
（2）若對于任意非0實數t，與均不共線，求實數k的取值范圍．
【答案】（1）平面向量基本原理：如果是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任意向量，有且僅有一對實數，使得；可以成為一組基底；（2）.
【分析】
（1）根據平面向量基本原理即可得到答案；
（2）先假設與共線，然后建立等式關系，若不共線，則等式不成立，進而通過分參求出答案.
【詳解】
（1）平面向量基本原理：如果是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任意向量，有且僅有一對實數，使得.
因為，所以不共線，可以成為一組基底.
（2）若與共線，則存在，使得，化簡得：，
而與均不共線，所以對于任意非0實數t，方程無實根，
所以，因為，所以.
五、單位向量與三角換元
單位向量的坐標：
（1）
（2）顯然滿足：
【典型例題】
【例1】若向量，則與其平行的單位向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用與已知向量平行的單位向量為，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，向量，可得，
所以與已知向量平行的單位向量為.故選：C.
【例2】.已知，，是的單位向量，則的坐標為___________.
【答案】
【分析】直接利用向量的線性運算，單位向量的應用求出結果.
解：已知，，則，
故向量的單位向量為故答案為：.
【例3】已知點，點，則與共線的單位向量為______.
【答案】或
【分析】
求出和，即可寫出與共線的單位向量.
解：點，點，所以，所以，
所以與共線的單位向量為，
即或.故答案為：或
【例4】如圖，以為直徑在正方形內部作半圓，為半圓上與不重合的一動點，下面關于的說法正確的是
A．無最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但無最小值 D．既無最大值，又無最小值
【答案】D
【詳解】
設正方形的邊長為2，如圖建立平面直角坐標系，
則D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）
,
∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故選D
【例5】已知正三角形的邊長為，點是所在平面內的任一動點，若，則的取值范圍為________.
【答案】
【分析】
以A點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,不妨設 ,根據向量的坐標運算和向量的模可得 ,再根據三角函數的性質即可求出范圍.
解：以點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則 ,
,不妨設,
,
,,
的取值范圍為：.故答案為：
【例6】在中，，，點，為所在平面內的一點，且滿足，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據題意，建立平面直角坐標系，由，根據向量坐標運算求出的坐標，設，由，得出點滿足，根據圓的參數方程，可設點，根據，得出，最后利用化一公式和三角函數求最值，即可得出的最大值.
解：由題意，以原點，，所直線為軸，軸建立直角坐標系，
則，，，，，設，因為，
所以點滿足，則可設點，則由，得，所以，
則的最大值為.故選：A.
【例7】如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點C在弧上，且，若，則
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐標系，求出點的坐標，結合平面向量的基本定理建立方程求解即可.
【詳解】如圖所示，以O為原點，OB為x軸，建立直角坐標系，
，，即，，，即，又，，
，解得，，故選：B
【對點實戰】
1.已知向量，向量，則與向量方向相同的單位向量的坐標為________．
【答案】
【分析】
先求出的坐標和模，再根據單位向量的定義即可求得.
【詳解】
，∴與方向相同的單位向量為.
故答案為：
2.已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由A、B的坐標求得，再求出即可.
【詳解】因為，所以，
所以與同向的單位向量為.故選：A
3.設，為單位向量，則的最大值是________
【答案】
【分析】
用坐標表示，，化簡，利用柯西不等式求得最大值.
【詳解】
依題意，為單位向量，設，
則
，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：
六、定比分點
課本P32例題9，涉及到求中點、三等分點，屬于擴展的“定比分點”知識，所以授課時適當的增加定比分點知識以及定比分點推導公式
1.定比分點坐標公式：若點，，為實數，且，則點坐標為，我們稱為點分所成的比.
2.內分點和外分點：
①當時，與同向共線，這時稱點為的內分點；
②當()時，與反向共線，這時稱點為的外分點.
3.若分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則；
特別地為的中點.
4.公式較復雜，不容易記憶，授課時可以利用向量關系推導。，
【典型例題】
【例1】已知，則線段的中點坐標為___________.
【答案】
【分析】
由題意利用向量的坐標運算求出點的坐標，再根據中點坐標公式，即可求出結果．
【詳解】設因為，所以，即，
所以，所以，∵，則線段的中點坐標為，
故答案為：．
【例2】已知，，若線段的一個三等分點為，則的坐標為（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【分析】
由條件可知，或，再轉化利用向量，表示，最后代入坐標運算.
【詳解】
由線段的一個三等分點為，得或，若，則，所以；若，則，所以.
故選:A.
【例3】已知，，，點分的比為，點在線段上，且，求點的坐標.
【答案】
【分析】
先通過與面積的比，以及它們高的比，求出它們底邊的比，即與的比，可得到，設出點坐標，將用坐標表示，列方程可求出點的坐標．
【詳解】
解：如圖，設點的坐標為，點到的距離為，點到的距離為，
由平行線分線段成比例得：，，，
，，，解得：，
點的坐標為．
【例4】已知點，，若直線與線段交于點C，且，則實數______．
【答案】4
【分析】設點為，則由，可求得，即，再將點的坐標代入直線可求得的值
【詳解】設點為，則，，因為，
所以，所以，得，
所以點，因為點在直線上，所以，解得，故答案為：4
【例5】已知，，點P在延長線上，且，則的坐標為______．
【答案】
【分析】
由向量的減法法則及向量的坐標運算即得.
【詳解】∵點P在延長線上，且，∴，
∴即，又，，
∴.故答案為：.
【例6】設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
（2）當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．
【答案】（1）.（2）或.
【分析】（1）根據即可求出點P的坐標；
（2）通過分類討論，點P滿足兩種情況或，然后利用向量加法的三角形法則即可求出答案.
解（1）如圖，由向量的線性運算可知,
所以點P的坐標是.
（2）
當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，或，若，如圖(1)，那么
，即點P的坐標是.
同理，如果，如圖(2)，那么點P的坐標是.
【例7】已知點分的比為，設，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由點分的比為得,再將化為,由此可得答案.
【詳解】
因為點分的比為,所以,
由得,得,得,
所以,解得.故選:D.
【例8】已知向量，且點分有向線段所成的比為，則的坐標是
A．( B． C． D．
【答案】C
【分析】
設出點的坐標，利用向量共線列方程，由此解得.
【詳解】
設，依題意，即，所以，解得.過于.
【對點實戰】
1.在△ABC 中，已知，，若，則的坐標為_______.
【答案】
【分析】由題意知是線段的中點，根據向量加法的幾何意義有，結合向量線性運算的坐標表示求的坐標.
【詳解】由題設，點是線段的中點，
∴.故答案為：
2.已知，，，則P的坐標為______．
【答案】
【分析】
根據向量線性運算的坐標表示計算．
【詳解】設，由得，
即，解得．故答案為：．
3.（1）已知，，三點共線，求的值；
（2）在（1）的條件下求線段的兩個三等分點的坐標.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由三點共線可得，寫出與，然后列方程組求解；（2）先計算出，設線段的兩個三等分點為，計算出向量和，即可得的坐標.
【詳解】
（1）因為，，三點共線，所以可得，又，，所以，所以的值為.
（2）由（1）得，，設線段的兩個三等分點為，則，，所以，所以線段的兩個三等分點的坐標為.
4,在中，已知，，是中線上一點，且，那么點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】假設，根據，可得為重心，根據重心的坐標表示，可得結果.
【詳解】由題意知：是的重心，設，則有解得
故.故選：C
5.若點P分有向線段所成的比為，則點B分有向線段所成的比為
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
考點：線段的定比分點．
分析：本題考查的知識點是線段的定比分點，處理的方法一般是，畫出滿足條件的圖象，根據圖象分析分點的位置：是內分點，還是外分點；在線段上，在線段延長線上，還是在線段的反向延長線上．然后代入定比分點公式進行求解．
解：本小題主要考查線段定比分點的有關計算．
如圖可知，B點是有向線段PA的外分點
λ=-=，故選D．
6.若過兩點P1(-1,2)，P2(5,6)的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段所成的比的值為
(A)－ (B) － (C) (D)
【答案】A
【解析】設P (x,0)，則。
7.已知兩點，點 分有向線段的比為，則的值為(　　)
A．－，8 B．，－8
C．－，－8 D．4，
【答案】C
【分析】
由定比分點坐標公式,代入即可求得
【詳解】依題意由定比分點坐標公式,可得的值.
,解方程可得所以選C
8.設，，，是兩兩不同的四個點，若，，且，則稱，調和分割，．現已知平面上兩點C，D調和分割A，B，則下列說法正確的是（ ）
A．點C可能是線段的中點
B．點D不可能是線段的中點
C．點C，D可能同時在線段上
D．點C，D不可能同時在線段的延長線上
【答案】BD
【分析】由題意設，，，，結合已知條件得，根據選項考查的解，用排除法選擇答案即可.
【詳解】由已知不妨設，，，，
由C，D調和分割A，B 可知，，，
代入得( )
對于AB，若C是線段AB的中點，則，代入( )得，d不存在，故C不可能是線段AB的中點，同理D不可能是線段的中點，故A錯誤，B正確；
對于C， 若C，D同時在線段AB上，則，代入( )得，，
此時C和D點重合，與已知矛盾，故C錯誤；
對于D，若C，D同時在線段AB的延長線上時，則，，則，這與矛盾，所以C，D不可能同時在線段AB的延長線上，故D正確；
故選：BD.
七、與均值不等式結合求最值
向量坐標表示與均值不等式結合
【典型例題】
【例1】設向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】
根據向量共線定理可得，再應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件.
【詳解】
由題設，，，A，B，C三點共線，
∴且，則，可得，
∴，當且僅當時等號成立.
∴的最小值為.故選：A
【例2】已知向量，且，當，時，的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
根據平面向量的共線定理得出，再利用基本不等式求出的最小值．
解：向量，且，所以，即；
當，時，，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9．
故選：．
【例3】已知向量，若，則的最小值為（ ）.
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】
根據向量的平行關系，得到間的等量關系，再根據“”的妙用結合基本不等式即可求解出的最小值.
【詳解】
因為，所以，所以，
又因為，
取等號時即，所以.故選：B.
【對點實戰】
1.已知向量，且，若實數均為正數，則的最小值是（ ）
A．24 B． C． D．8
【答案】D
【分析】
根據向量共線得等量關系，再根據基本不等式求最值.
【詳解】
所以
當且僅當時取等號,
故選：D
2.已知向量，，，，若，則的最小值______.
【答案】
【分析】
首先根據向量平行的坐標表示得到，再根據“1”的變形，利用基本不等式求最值.
【詳解】
，，
，
當且僅當，即時，等號成立.故答案為：
八、三角函數恒等變形與向量運算
【典型例題】
【例1】已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.已知，，把點繞點沿逆時針方向旋轉得到點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用題中的定義，可先計算，，結合已知，利用向量的減法，可求點坐標
【詳解】由已知可得，，將點，繞點沿逆時針方向旋轉，
得，，，故選：．
【例2】已知兩個向量，則的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量的線性運算得2的表達式，再由向量模的求法，逆用兩角差的正弦公式進行化簡，即可求出答案．
解：∵向量，∴2（2cosθ，2sinθ+1），∴
＝4﹣4cosθ+4sinθ+4＝8sin（θ）+88+8＝16，當sin（θ）＝1時，取“＝”，
∴的最大值為4．故選C．
【例3】已知向量，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的共線關系求解出的值，然后利用兩角差的正切公式計算出的值.
【詳解】
因為，所以，所以，又因為，
故選：A.
【例4】已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據向量平行可構造方程求得，由同角三角函數關系求得；根據誘導公式可求得結果.
【詳解】
，解得：
故選：
【例5】設兩個向量和＝，其中為實數.若，則的取值范圍是________.
【答案】
【分析】
由可得，且，整理得，結合三角函數和二次函數性質求出范圍，即可得范圍，同時將代換成關于表達式，即可求解.
【詳解】∵2＝，，∴，且，
∴，即，又∵，，∴，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，∴，又∵λ＝2m－2，∴，∴，
∴的取值范圍是.故答案為：.
【例6】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，又點，，，.若向量與向量共線，常數，求的值域.
【答案】）當時的值域為.時的值域為.
【詳解】
分析：由已知表示出向量，結合向量與向量共線，常數，建立的表達式，代入 ，對分類討論，綜合三角函數和二次函數的圖象與性質，即可求出值域.
詳解：
（2），∵向量與向量共線，常數，
∴，
∴ .
①當即時，當時，取得最大值，
時，取得最小值，此時函數的值域為.
②當即時，當時，取得最大值，
時，取得最小值，此時函數的值域為.
綜上所述，當時的值域為.
時的值域為.
【例7】已知兩個向量，滿足，.
（1）若，求的值；
（2）設，將圖像上所用點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的，再把所得函數圖像上的所有點，向右平移個單位，得到函數的圖像.求當時值域.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由平面向量共線的坐標表示得到，即可得到，再根據同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得；
（2）首先根據向量數量積的坐標表示求出，即可得到，再根據三角函數的變換規則得到，最后根據正弦函數的性質求出函數的值域；
【詳解】
解：（1）因為，且，所以，即，所以
（2）因為，
所以， 又
所以，將圖像上所用點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的，
得到，
再將函數的圖像上的所有點，向右平移個單位，得到.
因為，所以，所以，所以
【對點實戰】
1.已知向量，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據向量平行得到，再利用和差公式計算得到答案.
【詳解】
向量，且，則..
故選：.
2.設向量，，若，則___________.
【答案】
【分析】根據向量平行的坐標表示可求結果.
【詳解】因為，所以，所以.故答案為：
3.向量旋轉具有反映點與點之間特殊對應關系的特征，在電子信息傳導方面有重要應用．平面向量旋轉公式在中學數學中用于求旋轉相關點的軌跡方程具有明顯優勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點，已知平面內點，點，點繞點沿順時針方向旋轉后得到點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
表示出向量后，根據平面向量旋轉公式可求得，由此可求得點坐標.
【詳解】
，，，點繞點沿順時針方向旋轉等價于點繞點沿逆時針方向旋轉，，.
故選：C.
4.設點的坐標為，是坐標原點，向量繞著點順時針旋轉后得到，則的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由題意利用任意角的三角函數的定義、兩角和差的三角公式，求得的坐標．
【詳解】
根據題意，設，向量與軸正方向的夾角為，
又由點的坐標為，則，，
向量繞著點順時針旋轉后得到，則，．
而，
，
故的坐標為，故選：B
5.設點O為坐標原點，角，...，的始邊與x軸非負半軸重合，頂點與坐標原點重合，終邊上分別有一點，...，，若，則+++...+（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據向量的坐標的定義和三角函數的定義求得，然后利用正弦函數的性質求解．
【詳解】
因為，所以是射線上的點，
，所以，
所以+++...+
．故選：A．

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